2027山东专升本高数一函数连续性同步巩固练习（含解析）

山东专升本高数一函数连续性同步巩固练习（含解析）适用范围：2027山东专升本高等数学Ⅰ（理工类）核心考点：函数连续性定义、左右连续判定、分段函数连续性、间断点分类、初等函数连续性、闭区间连续函数性质（零点/介值/最值定理）题型设置：选择题、填空题、计算题、证明题（完全贴合专升本真题题型与难度）做题要求：独立完成后对照答案解析，吃透核心公式与判定逻辑，夯实基础考点一、单项选择题（共6题，每题5分，共30分）知识点：连续性定义、间断点类型、可导与连续关系1.函数f(x)在x=x0A.limB.f(xC.limD.函数在x0答案：C解析：函数在一点连续的严格定义为：极限值等于该点函数值，需同时满足三个条件：①f(x0)有定义；②limx→x0f(x)2.设函数f(x)=x+1,x≠12,A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点答案：D解析：计算极限：limx→1f(x)=limx→1(x3.函数f(x)=x2-1x-A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.振荡间断点答案：B解析：函数在x=1处无定义，化简得f(x)=x4.下列说法正确的是（）A.函数连续一定可导B.函数可导一定连续C.不连续的函数一定可导D.极限存在函数一定连续答案：B解析：专升本核心结论：可导必连续，连续不一定可导。举例：y=|x|在x=05.函数f(x)=1x-2在A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点答案：C解析：limx→216.设f(x)=2x,x≤0a+x,xA.0B.1C.2D.-1答案：A解析：分段函数分段点连续需满足左右极限相等且等于函数值。左极限：limx→0-f(x)=二、填空题（共4题，每题5分，共20分）知识点：左右连续、间断点个数、连续性求极限1.函数f(x)=x答案：[-2,+解析：初等函数在其定义区间内处处连续。由定义域x+2≥0得x≥-2，因此连续区间为2.若limx→1f(x)=f(1)，则函数f(x)在x=1答案：连续解析：直接对应函数在一点连续的定义，极限值等于该点函数值，函数在该点连续。3.函数f(x)=sinxx答案：x=0解析：函数在x=0处无定义，limx→0sinx4.闭区间[a,b]上的连续函数一定存在答案：最大值；最小值解析：专升本必考定理：最值定理——闭区间上连续的函数，在区间内一定能取到最大值和最小值。三、计算题（共3题，每题10分，共30分）知识点：分段函数连续性求参数、间断点完整判定、连续性求极限1.已知函数f(x)=x2,x≤1kx答案与解析：分段函数在分段点连续，需满足lim①左极限：lim②函数值：f③右极限：lim由连续条件得：k-1=1，解得2.判定函数f(x)=x|x答案与解析：先化简分段函数：f(x)=1,①左极限：limx→0-左右极限均存在但不相等，符合跳跃间断点定义，因此x=03.利用函数连续性求极限：lim答案与解析：ln⁡(x2直接代入x=2计算：lim四、证明题（共2题，每题10分，共20分）知识点：零点定理应用（专升本高频证明考点）1.证明：方程x3+x-1=0证明解析：①构造辅助函数：f②f(x)为多项式函数，是初等函数，在闭区间③计算端点函数值：f(0)=-1<0，④由零点定理：闭区间连续函数，若端点函数值异号，则区间内至少存在一点ξ∈(0,1)，使得即方程x3+x-1=02.证明：方程ex-x-2=0证明解析：①构造辅助函数：f②f(x)为初等函数，在③端点求值：f(1)=e④端点函数值异号，根据零点定理，存在ξ∈(1,2)，使得故方程在(1,2)内存在实根，得证。五、核心考点总结（必背）1.连续三条件：有定义、极限存在、极限值=函数值；2.间断点四类：可去（极限存在）、跳跃（左右极限不等）、无穷（极限无穷）、振荡（极限不存在