人教版小学数学六年级上册 分数乘除法 期末复习知识清单

人教版小学数学六年级上册分数乘除法期末复习知识清单  一、分数乘法核心概念与基础运算  （一）分数乘整数【基础】【高频考点】  1、意义：分数乘整数，表示求几个相同加数的和的简便运算，与整数乘法的意义相同。例如：29×3\frac{2}{9}\times392​×3表示3个29\frac{2}{9}92​相加的和是多少，也表示29\frac{2}{9}92​的3倍是多少。  2、计算方法：用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。在计算过程中，能约分的可以先约分，再计算，这样计算比较简便。计算结果必须是最简分数。  3、算理推导：ab×c=a×cb\frac{a}{b}\timesc=\frac{a\timesc}{b}ba​×c=ba×c​(b≠0)。约分的实质是利用分数的基本性质，将分子和分母同时除以它们的最大公因数。  4、易错点辨析：【难点】整数与分子相乘时，误将整数与分母相乘。例如：38×4=38×41=128=32\frac{3}{8}\times4=\frac{3}{8}\times\frac{4}{1}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}83​×4=83​×14​=812​=23​，而非332\frac{3}{32}323​。约分时，必须是整数与分母约分，不能与分子约分。  （二）一个数乘分数【重要】  1、意义：一个数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少。这是分数乘法的核心意义，也是后续学习分数应用题的基础。  2、类型：   （1）整数乘分数：12×3412\times\frac{3}{4}12×43​表示求12的34\frac{3}{4}43​是多少。   （2）分数乘分数：56×23\frac{5}{6}\times\frac{2}{3}65​×32​表示求56\frac{5}{6}65​的23\frac{2}{3}32​是多少。  3、计算方法：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。同样，能约分的先约分再计算。ab×cd=a×cb×d\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\timesc}{b\timesd}ba​×dc​=b×da×c​(b≠0,d≠0)。  （三）分数乘法的混合运算与简便运算【高频考点】【难点】  1、运算顺序：分数混合运算的运算顺序和整数混合运算的运算顺序相同。先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。  2、运算定律：整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法同样适用。   （1）乘法交换律：a×b=b×aa\timesb=b\timesaa×b=b×a。常用于交换分子或分母的位置，以便于约分。   （2）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)(a\timesb)\timesc=a\times(b\timesc)(a×b)×c=a×(b×c)。当三个或以上的分数相乘时，可以将易于约分的两项先结合。   （3）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c(a+b)\timesc=a\timesc+b\timesc(a+b)×c=a×c+b×c，c×(a+b)=c×a+c×bc\times(a+b)=c\timesa+c\timesbc×(a+b)=c×a+c×b。这是简便计算中考查最多的定律，尤其适用于形如(45+13)×15(\frac{4}{5}+\frac{1}{3})\times15(54​+31​)×15或24×512+24×71224\times\frac{5}{12}+24\times\frac{7}{12}24×125​+24×127​的题目。  3、拓展应用：   （1）形如713×12+713\frac{7}{13}\times12+\frac{7}{13}137​×12+137​的题目，可将后一个713\frac{7}{13}137​看作713×1\frac{7}{13}\times1137​×1，再逆用乘法分配律简算。   （2）形如58×27\frac{5}{8}\times2785​×27的题目，可将27拆分为26与1的和，再利用乘法分配律进行简便计算：58×27=58×(26+1)=58×26+58×1=654+58=1308+58=1358\frac{5}{8}\times27=\frac{5}{8}\times(26+1)=\frac{5}{8}\times26+\frac{5}{8}\times1=\frac{65}{4}+\frac{5}{8}=\frac{130}{8}+\frac{5}{8}=\frac{135}{8}85​×27=85​×(26+1)=85​×26+85​×1=465​+85​=8130​+85​=8135​。   （3）形如79×35+29÷53\frac{7}{9}\times\frac{3}{5}+\frac{2}{9}\div\frac{5}{3}97​×53​+92​÷35​的题目，需要先将除法转化为乘法（除以一个数等于乘以它的倒数），再逆用乘法分配律简算。  4、约分技巧：【非常重要】在计算过程中“交叉约分”。例如计算415×58\frac{4}{15}\times\frac{5}{8}154​×85​，可以先将第一个分数的分母15与第二个分数的分子5同时除以5，再将第一个分数的分子4与第二个分数的分母8同时除以4，最后计算13×12=16\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}31​×21​=61​。这样能有效避免大数相乘的繁琐。  二、分数除法核心概念与基础运算  （一）倒数的认识【基础】  1、定义：乘积是1的两个数互为倒数。倒数是指两个数之间的关系，它们是相互依存的，必须说“谁是谁的倒数”。  2、求倒数的方法：   （1）求一个分数（ab\frac{a}{b}ba​，a≠0，b≠0）的倒数，只要交换分子分母的位置即可，即ba\frac{b}{a}ab​。   （2）求一个整数（a≠0）的倒数，可以把这个整数看作分母是1的分数，即a1\frac{a}{1}1a​，再交换分子分母位置，得到1a\frac{1}{a}a1​。   （3）求一个小数的倒数，可以先将小数化成分数，再求其倒数。   （4）求一个带分数的倒数，可以先将带分数化成假分数，再求其倒数。  3、特殊数的倒数：   （1）1的倒数是1。   （2）0没有倒数。因为0乘任何数都得0，不可能等于1。  4、重要性质：【重要】如果a和b互为倒数，那么a×b=1a\timesb=1a×b=1。这个性质常在填空题和选择题中考查。  （二）分数除以整数【基础】  1、意义：分数除以整数，表示把一个分数平均分成若干份，求每份是多少。  2、计算方法：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。ab÷c=ab×1c=ab×c\frac{a}{b}\divc=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\timesc}ba​÷c=ba​×c1​=b×ca​(b≠0,c≠0)。  3、算理推导：例如，把一张纸的47\frac{4}{7}74​平均分成2份，每份就是47\frac{4}{7}74​的12\frac{1}{2}21​，即47×12\frac{4}{7}\times\frac{1}{2}74​×21​。  （三）一个数除以分数【核心难点】  1、类型：   （1）整数除以分数：6÷236\div\frac{2}{3}6÷32​表示已知一个数的23\frac{2}{3}32​是6，求这个数。   （2）分数除以分数：45÷34\frac{4}{5}\div\frac{3}{4}54​÷43​表示已知一个数的34\frac{3}{4}43​是45\frac{4}{5}54​，求这个数。  2、计算方法：一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即甲数除以乙数（乙数不为0），等于甲数乘以乙数的倒数。a÷bc=a×cba\div\frac{b}{c}=a\times\frac{c}{b}a÷cb​=a×bc​(b≠0,c≠0)。  3、统一法则：分数除法的统一计算法则：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。将所有的除法都转化为乘法来计算。  （四）分数四则混合运算【高频考点】【难点】  1、运算顺序：与整数四则混合运算相同。在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算乘除法，后算加减法。在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。  2、简便运算：整数的运算定律（交换律、结合律、分配律）同样适用于分数除法混合运算。但要注意，除法没有分配律！形如a÷(b+c)a\div(b+c)a÷(b+c)不能写成a÷b+a÷ca\divb+a\divca÷b+a÷c，这是学生最容易犯的错误。  3、易错警示：【非常重要】   （1）除法没有分配律：例如15÷(35+53)15\div(\frac{3}{5}+\frac{5}{3})15÷(53​+35​)不能简算，必须先算括号内的加法，再算除法。   （2）运算顺序错误：例如56÷23÷56\frac{5}{6}\div\frac{2}{3}\div\frac{5}{6}65​÷32​÷65​必须从左往右依次计算，不能错误地写成56÷(23×56)\frac{5}{6}\div(\frac{2}{3}\times\frac{5}{6})65​÷(32​×65​)。   （3）对除法转化不熟练：遇到连续除以几个数时，要正确地将每个除数转化为它的倒数，并同时将除号变乘号。例如：a÷b÷c=a×1b×1c=ab×ca\divb\divc=a\times\frac{1}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\timesc}a÷b÷c=a×b1​×c1​=b×ca​。  三、分数乘除法应用题的解题模型与策略【非常重要】【高频考点】【难点】  分数应用题是期末考试的压轴题和拉分题。解决这类问题的关键是找准单位“1”。  （一）确定单位“1”的方法  1、基本句式：通常，“的”字前面的量是单位“1”，“比”字后面的量是单位“1”。   （1）例如：“男生人数的34\frac{3}{4}43​”，单位“1”是“男生人数”。   （2）例如：“实际比计划增产15\frac{1}{5}51​”，单位“1”是“计划产量”。  2、理解分率：分率（几分之几）表示的是部分与整体、或两个量之间的关系。  （二）三大基本题型及解题公式【核心】  1、求一个数的几分之几是多少？（单位“1”已知，用乘法）   解题公式：单位“1”的量×对应分率=对应量   【示例】果园里有苹果树120棵，梨树的棵数是苹果树的35\frac{3}{5}53​，梨树有多少棵？   分析：单位“1”是“苹果树的棵数”（已知），求梨树的棵数，就是求120的35\frac{3}{5}53​是多少。   列式：120×35=72120\times\frac{3}{5}=72120×53​=72（棵）  2、已知一个数的几分之几是多少，求这个数？（单位“1”未知，用除法或方程）   解题公式：对应量÷对应分率=单位“1”的量   【示例】果园里有梨树72棵，正好是苹果树棵数的35\frac{3}{5}53​，苹果树有多少棵？   分析：单位“1”是“苹果树的棵数”（未知）。梨树的72棵对应着苹果树的35\frac{3}{5}53​。求单位“1”，用除法。   列式：72÷35=72×53=12072\div\frac{3}{5}=72\times\frac{5}{3}=12072÷53​=72×35​=120（棵）   方程法：设苹果树有xxx棵。根据等量关系“苹果树棵数×35\frac{3}{5}53​=梨树棵数”列出方程：35x=72\frac{3}{5}x=7253​x=72。  3、求一个数是另一个数的几分之几？（比较量，用除法）   解题公式：比较量÷标准量（单位“1”的量）=分率   【示例】果园里有苹果树120棵，梨树72棵，梨树的棵数是苹果树的几分之几？   分析：单位“1”是“苹果树的棵数”（已知），求梨树是它的几分之几，用梨树的棵数除以苹果树的棵数。   列式：72÷120=72120=3572\div120=\frac{72}{120}=\frac{3}{5}72÷120=12072​=53​  （三）稍复杂的分数乘除法应用题【难点】  1、已知一个数，求比它多（或少）几分之几的数是多少？（单位“1”已知，用乘法）   解题模型：比单位“1”多几分之几：单位“1”×(1+几分之几)        比单位“1”少几分之几：单位“1”×(1几分之几)   【示例】果园里有苹果树120棵，梨树比苹果树多15\frac{1}{5}51​，梨树有多少棵？   分析：单位“1”是“苹果树”（已知）。梨树比它多15\frac{1}{5}51​，即梨树是苹果树的1+15=651+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}1+51​=56​。   列式：120×(1+15)=120×65=144120\times(1+\frac{1}{5})=120\times\frac{6}{5}=144120×(1+51​)=120×56​=144（棵）  2、已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数？（单位“1”未知，用除法或方程）   解题模型：实际量÷(1±几分之几)=单位“1”的量   【示例】果园里有梨树144棵，比苹果树多15\frac{1}{5}51​，苹果树有多少棵？   分析：单位“1”是“苹果树”（未知）。梨树比它多15\frac{1}{5}51​，即梨树是苹果树的1+15=651+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}1+51​=56​。已知一个数（苹果树）的65\frac{6}{5}56​是144，求这个数。   列式：144÷(1+15)=144÷65=144×56=120144\div(1+\frac{1}{5})=144\div\frac{6}{5}=144\times\frac{5}{6}=120144÷(1+51​)=144÷56​=144×65​=120（棵）   方程法：设苹果树有xxx棵。x×(1+15)=144x\times(1+\frac{1}{5})=144x×(1+51​)=144。  3、已知两个量的和（或差）及它们的倍数关系，求这两个量。【拔高难点】   解题策略：设单位“1”的量为xxx，用含有xxx的式子表示另一个量，再根据和（或差）列方程解答。   【示例】果园里苹果树和梨树共264棵，其中梨树的棵数是苹果树的35\frac{3}{5}53​，苹果树和梨树各有多少棵？   分析：设苹果树有xxx棵，则梨树有35x\frac{3}{5}x53​x棵。等量关系：苹果树棵数+梨树棵数=总棵数。   列方程：x+35x=264x+\frac{3}{5}x=264x+53​x=264，解得85x=264\frac{8}{5}x=26458​x=264，x=165x=165x=165，梨树：165×35=99165\times\frac{3}{5}=99165×53​=99棵。  四、工程问题【热点】【跨学科视野】  工程问题是分数应用题的一种特殊形式，将工作总量看作单位“1”，用分率表示工作效率。  （一）基本数量关系  工作总量=工作效率×工作时间  工作效率=工作总量÷工作时间  工作时间=工作总量÷工作效率  （二）解题核心  1、把工作总量看作单位“1”。  2、工作效率通常用“1工作时间\frac{1}{工作时间}工作时间1​”来表示。例如，一项工程，甲队单独做10天完成，甲队的工作效率就是110\frac{1}{10}101​。  3、合作效率=各队效率之和。  （三）典型题型  1、求合作时间：【高频】   【示例】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作，需要多少天完成？   分析：甲效率110\frac{1}{10}101​，乙效率115\frac{1}{15}151​，合作效率110+115=16\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}101​+151​=61​。   列式：1÷(110+115)=1÷16=61\div(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})=1\div\frac{1}{6}=61÷(101​+151​)=1÷61​=6（天）  2、求剩余工作的时间：   【示例】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合作4天后，剩下的由甲队单独完成，还需要几天？   分析：先求合作4天完成的工作量：(110+115)×4=23(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})\times4=\frac{2}{3}(101​+151​)×4=32​。剩余工作量：1−23=131\frac{2}{3}=\frac{1}{3}1−32​=31​。剩余由甲做，时间=剩余工作量÷甲效率。   列式：[1−(110+115)×4]÷110=[1−23]÷110=13×10=103[1(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})\times4]\div\frac{1}{10}=[1\frac{2}{3}]\div\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\times10=\frac{10}{3}[1−(101​+151​)×4]÷101​=[1−32​]÷101​=31​×10=310​（天）  3、中途有人加入或退出：   解题关键是分段处理，找出每个时间段对应的工作效率和相应的工作量。  五、比的意义、性质与应用【高频考点】  （一）比的意义【基础】  1、定义：两个数相除又叫做两个数的比。比表示两个数之间的倍数关系。  2、比的各部分名称：在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。  3、比值：比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。比值是一个数，而比表示一种关系。  4、比与除法、分数的联系与区别：【重要】   比的前项相当于除法中的被除数，相当于分数中的分子。   比号相当于除法中的除号，相当于分数中的分数线。   比的后项相当于除法中的除数，相当于分数中的分母。   比值相当于除法中的商，相当于分数中的分数值。   区别：除法是一种运算，分数是一个数，而比是表示两个量之间的关系。  （二）比的基本性质【核心】  1、性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。  2、应用：利用比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。   （1）整数比的化简：前项和后项同时除以它们的最大公因数。   （2）分数比的化简：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，化成整数比，再化简。   （3）小数比的化简：先将小数点向右移动相同的位数，化成整数比，再化简。  3、易错点：【难点】化简比与求比值要区分开。化简比的结果必须是一个比（即使写成分数形式，也是表示比），而求比值的结果是一个数。  （三）按比分配【高频考点】【热点】  1、意义：在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配方法通常叫做按比分配。  2、解题步骤：   第一步：求出总份数（即比的前项和后项之和）。   第二步：求出各部分量占总量的几分之几。   第三步：用总量（单位“1”的量）乘各部分量对应的分率，求出各部分量。  3、解题模型：   【示例】学校把栽560棵树的任务，按照六年级三个班的人数分配给各班。一班有47人，二班有45人，三班有48人。三个班各应栽树多少棵？   分析：总份数：47+45+48=140（份）。一班占总数的47140\frac{47}{140}14047​，二班占45140\frac{45}{140}14045​，三班占48140\frac{48}{140}14048​。   列式：一班：560×47140=188560\times\frac{47}{140}=188560×14047​=188（棵）；二班：560×45140=180560\times\frac{45}{140}=180560×14045​=180（棵）；三班：560×48140=192560\times\frac{48}{140}=192560×14048​=192（棵）  4、按比分配应用题的变化形式：   （1）已知一个部分量和比，求总量或其他部分量。   （2）已知两个量的差和比，求各量。   （3）在几何图形中的应用（如长方形长与宽的比，已知周长或面积，求长和宽）。此时要注意，周长包含两个长和两个宽，要先求出一组长与宽的和。  六、分数乘除法与比的关系综合【拔高】  分数、除法、比三者有着紧密的联系，在解决复杂问题时可以灵活转化。  1、分数与比的转化：甲数是乙数的34\frac{3}{4}43​，也可以说成甲数与乙数的比是3:4。  2、除法与比的转化：a÷b=a:b(b≠0)。  3、在解方程或应用题时，可以将“比”转化为“分数”来思考，也可以将“分数”看作“比”来处理。例如：已知某校男女生人数比为5:4，则男生人数是女生人数的54\frac{5}{4}45​，女生人数是总人数的49\frac{4}{9}94​。  4、利用份数思想解题：【非常重要】份数思想是解决分数、比、百分数应用题的利器。将比的前后项看作份数，先求出一份的量，再求多份的量。这种方法直观易懂，能有效避免单位“1”混淆带来的错误。  七、典型易错题与解题策略归纳【期末冲刺】  （一）概念辨析易错点  1、分数乘整数与整数乘分数的意义混淆。虽然算法相同，但意义不同。  2、对倒数的理解不透彻。如认为14\frac{1}{4}41​是倒数（错误），应该说14\frac{1}{4}41​和4互为倒数。  3、比的后项不能为0。但体育比赛中的“2:0”只是一种记录形式，不是数学意义上的比。  4、化简比和求比值的结果混淆。要求化简比时，却写成了比值。  （二）计算易错点  1、分数乘除法混合运算中，除法转化为乘法时，忘记变号或只变一部分。如23÷45=23×45\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}32​÷54​=32​×54​（错误，应乘以54\frac{5}{4}45​）。  2、在应用乘法分配律时，符号出错。如18×(12−13)=18×12−1318\times(\frac{1}{2}\frac{1}{3})=18\times\frac{1}{2}\frac{1}{3}18×(21​−31​)=18×21​−31​（错误，应等于18×12−18×1318\times\frac{1}{2}18\times\frac{1}{3}18×21​−18×31​）。  3、解方程时，忘记写“解”字，或等号不对齐。  4、连续除以两个数，不会转化为乘以这两个数的倒数之积。如45÷2÷3=45×12×13=430=215\frac{4}{5}\div2\div3=\frac{4}{5}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{30}=\frac{2}{15}54​÷2÷3=54​×21​×31​=304​=152​。  （三）应用题审题易错点  1、找错单位“1”。没有仔细读题，凭感觉做