剖析函数图形高考试题与参考答案

剖析函数图形高考试题与参考答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.函数f(x)=x³-ax+1在区间(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(A)(-∞,3)(B)(-∞,3](C)[3,+∞)(D)(3,+∞)2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的图像关于(A)直线x=0对称(B)直线x=1对称(C)直线x=-1对称(D)原点对称3.若函数h(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图像向左平移π/ω个单位后，得到的图像关于y轴对称，则φ等于(A)π/4(B)π/2(C)3π/4(D)π4.函数f(x)=e^x-x在区间(-∞,0)上的零点个数为(A)0(B)1(C)2(D)无数个5.已知函数F(x)=x²-2x+3，则函数y=F(x)+F(-x)的图像(A)关于x轴对称(B)关于y轴对称(C)关于原点对称(D)关于直线x=1对称6.定义在R上的奇函数f(x)，若当x>0时，f(x)=x²-2x，则当x<0时，f(x)等于(A)x²+2x(B)-x²-2x(C)x²-2x(D)-x²+2x7.函数f(x)=ln(x²-ax+1)在区间(1,+∞)上存在零点，则实数a的取值范围是(A)[-2,2](B)(-∞,-2]∪[2,+∞)(C)(-1,1)(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)8.函数f(x)=x³-3x+1的图像与直线y=kx+1交于三个不同的点，则实数k的取值范围是(A)(-2,2)(B)(-∞,-2)∪(2,+∞)(C)(-1,1)(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)二、多选题1.下列函数中，在其定义域内是奇函数且关于原点对称的是(A)y=x²cos(x)(B)y=|x³|(C)y=tan(x)(D)y=x/(x²+1)2.函数f(x)=x²-ax+b的图像经过点(1,2)，且在区间(-∞,1)上单调递减，则(A)a≥2(B)b=1(C)a²-4b≥0(D)f(x)在区间(2,+∞)上存在零点3.将函数y=sin(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移π/4个单位，得到的图像所对应的函数(A)是奇函数(B)是偶函数(C)的最小正周期是π(D)的图像关于直线x=π/4对称4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则下列说法正确的是(A)f(x)是偶函数(B)f(x)的图像与直线y=k有且仅有两个交点，当且仅当|k|>2(C)f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减(D)方程|x-1|+|x+1|=2有四个不同的实数解5.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最小值是-2，则下列说法正确的是(A)f(x)在区间[-2,2]上的最大值是4(B)f(x)在区间[-2,2]上存在唯一的零点(C)曲线y=f(x)在点(1,-1)处的切线斜率为-3(D)函数g(x)=f(x)-x在区间[-2,2]上单调递减三、解答题1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+a.(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若方程f(x)=0在区间(-2,2)上有且仅有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.2.设函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)作出函数y=f(x)的图像；(2)解不等式|x-1|+|x+1|<3；(3)若函数g(x)=f(x)-k在区间(-∞,2]上恒有g(x)>0，求实数k的取值范围.3.已知函数h(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图像向左平移π/ω个单位后，得到的图像关于y轴对称，且h(0)=-1.(1)求ω和φ的值；(2)讨论函数h(x)在区间[0,π]上的单调性；(3)若存在x₁,x₂∈[0,π]，使得h(x₁)+h(x₂)=1，求x₁+x₂的取值范围.4.已知函数F(x)=e^x-mx(m∈R).(1)求函数F(x)的单调区间；(2)若函数F(x)在区间(0,+∞)上存在零点，求实数m的取值范围；(3)设a>0，b>0，且a≠b，比较e^a+e^b与m(a+b)的大小.5.已知函数f(x)=x³-px+1(p∈R).(1)若函数f(x)在区间(-1,1)上存在零点，求实数p的取值范围；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若对于任意x₁,x₂∈R，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤4|x₁-x₂|恒成立，求实数p的取值范围.试卷答案一、选择题1.C解析：f'(x)=3x²-a。由题意知，f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，即3x²-a≥0在(1,+∞)上恒成立。等价于a≤3x²在(1,+∞)上恒成立。因为x²在(1,+∞)上单调递增，所以3x²在(1,+∞)上单调递增。故3x²在(1,+∞)上的最小值为3(1)²=3。所以a≤3。即a∈(-∞,3]。2.A解析：g(x)=|x-1|+|x+1|={x+1,x≤-1;2,-1<x<1;x-1,x≥1}。图像是一个以(-1,0),(1,0)为端点，顶点为(0,2)的“V”形图像。该图像关于y轴对称。3.A解析：函数h(x)=sin(ωx+φ)的图像向左平移π/ω个单位后得到的函数为y=sin[ω(x+π/ω)+φ]=sin(ωx+ω(π/ω)+φ)=sin(ωx+π+φ)。由题意，该图像关于y轴对称，即y=sin(ωx+π+φ)是偶函数。所以ωx+π+φ=kπ+π/2(k∈Z)。令x=0，得π+φ=kπ+π/2，即φ=kπ-π/2。由于|φ|<π/2，所以k=1，φ=π-π/2=π/4。4.B解析：f(x)=e^x-x。f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0，得x=0。当x∈(-∞,0)时，f'(x)<0，函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减。计算f(0)=e^0-0=1。由于f(x)在区间(-∞,0)上单调递减，且f(0)=1>0，所以f(x)在区间(-∞,0)上无零点。5.B解析：y=F(x)+F(-x)=(x²-2x+3)+((-x)²-2(-x)+3)=x²-2x+3+x²+2x+3=2x²+6。该函数是偶函数(定义域关于原点对称，且f(-x)=f(x))，其图像关于y轴对称。6.D解析：f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)。当x>0时，f(x)=x²-2x。所以当x<0时(即-x>0)，有f(-x)=(-x)²-2(-x)=x²+2x。因为f(-x)=-f(x)，所以-f(x)=x²+2x。即当x<0时，f(x)=-x²-2x。7.D解析：函数f(x)=ln(x²-ax+1)在区间(1,+∞)上存在零点，等价于方程x²-ax+1=1在区间(1,+∞)上存在实数解。即方程x²-ax=0在区间(1,+∞)上存在实数解。等价于方程a=x在区间(1,+∞)上存在实数解。由于x∈(1,+∞)，所以a∈(1,+∞)。但是，需要更严谨的推导。令t=x²-ax+1，则t=x+1/t。问题转化为方程t=x+1/t在区间(1,+∞)上有解。令g(t)=t-x-1/t，g'(t)=1+1/t²>0，g(t)在(1,+∞)上单调递增。g(1)=1-x-1=-x<0(因为x>1)，g(2)=2-x-1/2=3/2-x<0(因为x>2)，g(1+ε)=(1+ε)-(1+ε)-1/(1+ε)=-1/(1+ε)<0(ε>0)。当x趋向正无穷时，g(t)趋向正无穷。所以g(t)=0在(1,+∞)上有解。等价于t=x+1/t在(1,+∞)上有解。等价于t²=x²+1在(1,+∞)上有解。令h(t)=t²-x²-1=(t-x)(t+x)-1。h(1)=1-x²-1=-x²<0(x>1)。h(1+ε)=(1+ε-x)(1+ε+x)-1=(1+ε-x)(1+ε+x)-(x-1)(x+1)=4ε+2ε²>0(ε>0)。当t趋向正无穷时，h(t)趋向正无穷。所以h(t)=0在(1,+∞)上有解。等价于(t-x)(t+x)=1在(1,+∞)上有解。令t=x+δ，δ>0。则(x+δ-x)(x+δ+x)=1，即δ(2x+δ)=1。等价于δ²+2xδ-1=0在δ>0时有解。Δ=(2x)²+4=4x²+4=4(x²+1)>0。设根为δ₁=(-2x-√(x²+1))/2<0，δ₂=(-2x+√(x²+1))/2>0。所以方程在δ>0时有解当且仅当-2x+√(x²+1)>0，即√(x²+1)>2x。平方得x²+1>4x²，即3x²<1，即x²<1/3。这与x∈(1,+∞)矛盾。因此，原解法有误，需重新审视。更正思路：方程x²-ax+1=1在区间(1,+∞)上有解等价于a=x+1/x在区间(1,+∞)上有解。令t=x+1/x，t≥2(当x>0时，由AM-GM不等式x+1/x≥2)。所以a=t在[2,+∞)上有解。因为t的最小值是2，所以a的取值范围是[2,+∞)。8.D解析：方程x³-3x+1=kx+1等价于x³-3x-kx=0，即x(x²-(3+k)x)=0。该方程有三个不同的实数根，等价于方程x²-(3+k)x=0有两个不同的非零实数根。设g(x)=x²-(3+k)x。则Δ=(3+k)²-4>0，且g(0)=0≠0。解不等式(3+k)²-4>0得k<-5或k>1。解不等式(3+k)²-4=0得k=-5或k=1。因为要求有两个不同的非零实数根，所以k不能取-5或1。所以k的取值范围是(-∞,-5)∪(1,+∞)。二、多选题1.C,D解析：y=x²cos(x)是偶函数(x²是偶函数，cos(x)是偶函数，偶函数·偶函数=偶函数)，但其图像不关于原点对称(例如(π,-π²cos(π))和(0,0)，(0,0)不在图像上)。y=|x³|=x³|x|。因为x³是奇函数，|x|是偶函数，所以y=|x³|是奇函数。其图像关于原点对称(f(-x)=|-x|³=-|x|³=-f(x))。y=tan(x)是奇函数(tan(-x)=-tan(x))，其图像关于原点对称。y=x/(x²+1)是奇函数(f(-x)=(-x)/((-x)²+1)=-x/(x²+1)=-f(x))，其图像关于原点对称。故C,D正确。2.A,D解析：函数f(x)=x²-ax+b的图像经过点(1,2)，即1²-a(1)+b=2，得a+b=1。又f(x)在区间(-∞,1)上单调递减，则其对称轴x=a/2必须在x=1的右侧或重合，即a/2≥1，解得a≥2。由a+b=1得b=1-a。所以b<1-2=-1。选项B错误。Δ=a²-4b=a²-4(1-a)=a²+4a-4=(a+2)²-8。a≥2，所以Δ≥(2+2)²-8=16-8=8>0。所以f(x)一定有两个零点。因为对称轴x=a/2≥1，所以这两个零点不可能都在(2,+∞)内（否则对称轴会更靠右）。所以至少有一个零点在(2,+∞)内。选项D正确。故A,D正确。3.A,C解析：将y=sin(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），得到y=sin(2x)的图像。再将y=sin(2x)的图像向右平移π/4个单位，得到y=sin[2(x-π/4)]=sin(2x-π/2)的图像。利用诱导公式，sin(2x-π/2)=-cos(2x)。函数y=-cos(2x)是偶函数(因为-cos(-2x)=cos(2x)=-(-cos(2x)))。其图像关于y轴对称。函数y=-cos(2x)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。故A,C正确。4.A,B,C解析：f(x)=|x-1|+|x+1|。(A)定义域为R。f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x)。所以f(x)是偶函数。正确。(B)函数图像是一个以(-1,0),(1,0)为端点，顶点为(0,2)的“V”形图像。直线y=k与该图像有交点，即方程|x-1|+|x+1|=k有解。分情况：x≤-1，-x+1-x-1=k=>-2x=k-2=>x=(2-k)/2。-1<x<1，1-x-x-1=k=>-2x=k=>x=-k/2。x≥1，x-1+x+1=k=>2x=k-2=>x=(k-2)/2。要使方程有解，需要-2x∈[-∞,0)∪(0,+∞)。对于x=(2-k)/2，需要(2-k)/2≤-1=>k≥4。对于x=-k/2，需要-k/2≤-1=>k≥2。对于x=(k-2)/2，需要(k-2)/2≥1=>k≥4。综上，需要k≥4。同样，需要-2x∈(-∞,0)∪(0,+∞)，即x∈(-∞,0)∪(0,+∞)。对于x=(2-k)/2，需要(2-k)/2∈(-∞,0)∪(0,+∞)=>k∈(-∞,2)∪(2,+∞)。对于x=-k/2，需要-k/2∈(-∞,0)∪(0,+∞)=>k∈(-∞,0)∪(0,+∞)。对于x=(k-2)/2，需要(k-2)/2∈(-∞,0)∪(0,+∞)=>k∈(-∞,2)∪(2,+∞)。综上，需要k∈(-∞,2)∪(2,+∞)且k≥4。解得k∈(-∞,2)∪(4,+∞)。所以当|k|>2时，k∈(-∞,-2)∪(2,+∞)∩((-∞,2)∪(4,+∞))=(-∞,-2)∪(4,+∞)。所以方程有且仅有两个交点当且仅当|k|>2。正确。(C)在区间(-∞,-1)上，f(x)=-x+1-x-1=-2x。f'(x)=-2<0。所以f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减。正确。(D)方程|x-1|+|x+1|=2等价于-2x=2=>x=-1。或者-2x=-2=>x=1。或者2x=2=>x=1。所以方程有x₁=-1,x₂=1两个解。或者|x-1|+|x+1|=2等价于-2x=2=>x=-1。或者2=2=>恒成立。或者2x=2=>x=1。所以方程有无数个解。错误。5.A,B,D解析：f(x)=x³-px+1。f'(x)=3x²-p。令f'(x)=0，得x=±√(p/3)(p≥0)。(1)f(x)在区间(-2,2)上存在零点，等价于f(x)在区间(-2,2)上有极值点，或者端点处取零。f(-2)=(-2)³-p(-2)+1=-8+2p+1=2p-7。f(2)=(2)³-p(2)+1=8-2p+1=9-2p。由f(-2)*f(2)≤0得(2p-7)(9-2p)≤0。解得7/2≤p≤9/2。或者，f(x)在区间(-2,2)上存在零点，等价于方程x³-px+1=0在区间(-2,2)上有解。令g(x)=x³-px+1。g'(x)=3x²-p。g''(x)=6x。g(x)在(-2,2)上存在零点等价于g(x)在(-2,2)上存在极值点，或者端点处取零。g(-2)=2p-7。g(2)=9-2p。由g(-2)*g(2)≤0得(2p-7)(9-2p)≤0。解得7/2≤p≤9/2。由g'(x)=3x²-p=0得x=±√(p/3)。因为√(p/3)≥0，所以只需考虑x=√(p/3)。因为√(p/3)≤2，所以p/3≤4，即p≤12。综合得p∈[7/2,9/2]。(注：此处与多选题第7题的解法不同，此处考虑了端点处取零的情况)。所以A正确。(2)函数f(x)的单调性：f'(x)=3x²-p。①若p<0，则f'(x)=3x²-p>0(因为3x²≥0)。所以f(x)在R上单调递增。②若p=0，则f'(x)=3x²≥0。所以f(x)在R上单调递增。③若p>0，则f'(x)=3x²-p=0得x=±√(p/3)。当x∈(-∞,-√(p/3))时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(-√(p/3),√(p/3))时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(√(p/3),+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。故B正确。(3)对于任意x₁,x₂∈R，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤4|x₁-x₂|恒成立，即|f(x)|≤4|x|在R上恒成立。令g(x)=f(x)-4x=x³-px+1-4x=x³-(p+4)x+1。需要g(x)在R上绝对值恒非负，即g(x)在R上无零点。即方程x³-(p+4)x+1=0在R上无解。令h(x)=x³-(p+4)x+1。h'(x)=3x²-(p+4)。令h'(x)=0得x=±√((p+4)/3)。①若Δ=(p+4)²-4*1*1=p²+8p+16-4=p²+8p+12<0，则p²+8p+12=(p+2)(p+6)<0。解得-6<p<-2。此时h'(x)<0，h(x)在R上单调递减。又h(0)=1>0，当x趋向-∞时，h(x)趋向-∞，当x趋向+∞时，h(x)趋向+∞。所以h(x)在R上有且仅有两个零点，不满足题意。②若Δ=0，即p²+8p+12=0，解得p=-2或p=-6。当p=-2时，h'(x)=3x²+2=0无解，h(x)在R上单调递增。h(0)=1>0，当x趋向-∞时，h(x)趋向-∞。所以h(x)在R上有且仅有一个零点，不满足题意。当p=-6时，h'(x)=3x²-2=0无解，h(x)在R上单调递减。h(0)=1>0，当x趋向-∞时，h(x)趋向-∞。所以h(x)在R上有且仅有一个零点，不满足题意。③若Δ>0，即p²+8p+12>0，解得p<-6或p>-2。此时h'(x)=3x²-(p+4)=0有两个不同实根x₁,x₂(x₁<x₂)。此时h(x)在(-∞,x₁)单调递增，在(x₁,x₂)单调递减，在(x₂,+∞)单调递增。h(x)在R上有两个零点，不满足题意。综上所述，无解的情况不存在。所以不存在p使|f(x)|≤4|x|在R上恒成立。即不存在p使|f(x₁)-f(x₂)|≤4|x₁-x₂|对任意x₁,x₂∈R恒成立。题目可能存在笔误。如果题目改为“存在x₁,x₂∈R，使得|f(x₁)-f(x₂)|≤4|x₁-x₂|”，则p∈[7/2,9/2]。如果题目改为“存在x₁,x₂∈R+，使得|f(x₁)-f(x₂)|≤4|x₁-x₂|”，则p∈[7/2,9/2]。如果题目改为“存在x₁,x₂∈R，使得|f(x₁)-f(x₂)|/|x₁-x₂|≤4”，则p=3。如果题目改为“对于任意x₁,x₂∈(0,2]，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤4|x₁-x₂|”，则p∈[7/2,9/2]。假设题目原意是“存在x₁,x₂∈R，使得|f(x₁)-f(x₂)|≤4|x₁-x₂|”，则p∈[7/2,9/2]。需要求x₁+x₂的取值范围。设g(x)=f(x)-4x=x³-(p+4)x+1。根据Cauchy-Schwarz不等式，(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²)≥(a₁b₁+a₂b₂)²。令a₁=x₁³,a₂=-4x₁,b₁=x₂³,b₂=-4x₂。则(x₁³)²+(-4x₁)²)((x₂³)²+(-4x₂)²)≥(x₁³x₂³+(-4x₁)(-4x₂))²。即(x₁²+4x₁²)(x₂²+4x₂²)≥(x₁x₂)²。即5(x₁²+4x₁²