2025年上海市数学专升本考试真题及答案

2025年上海市数学专升本考试练习题及答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.已知函数f(x)=x^33x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在(∞,+∞)内单调递增

B.f(x)在(∞,+∞)内单调递减

C.f(x)在(∞,0)内单调递增，在(0,+∞)内单调递减

D.f(x)在(∞,0)内单调递减，在(0,+∞)内单调递增

答案：D

解析：求导f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，得x=±1。当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当1<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增。所以f(x)在(∞,0)内单调递减，在(0,+∞)内单调递增。

2.若函数g(x)=x^22x+3在区间(2,3)内的极值点为x=a，则a的值为（）

A.2

B.3

C.2.5

D.3.5

答案：C

解析：求导g'(x)=2x2，令g'(x)=0，得x=1。由于x=1不在区间(2,3)内，所以g(x)在区间(2,3)内没有极值点。

3.设函数h(x)=e^x2x，求h(x)的极值点及极值（）

A.极小值点x=0，极小值h(0)=1

B.极大值点x=0，极大值h(0)=1

C.极小值点x=1，极小值h(1)=1

D.极大值点x=1，极大值h(1)=1

答案：A

解析：求导h'(x)=e^x2，令h'(x)=0，得x=ln2。由于h'(x)在x=ln2左侧小于0，在右侧大于0，所以x=ln2是极小值点，h(0)=10=1，h(ln2)=e^ln22ln2=1ln2^2=12ln2<0，所以h(0)是极大值点，h(0)=1。

4.设函数p(x)=x^33x^2+4，下列结论正确的是（）

A.p(x)在(∞,+∞)内单调递增

B.p(x)在(∞,+∞)内单调递减

C.p(x)在(∞,2)内单调递增，在(2,+∞)内单调递减

D.p(x)在(∞,2)内单调递减，在(2,+∞)内单调递增

答案：C

解析：求导p'(x)=3x^26x，令p'(x)=0，得x=0或x=2。当x<0时，p'(x)>0，p(x)单调递增；当0<x<2时，p'(x)<0，p(x)单调递减；当x>2时，p'(x)>0，p(x)单调递增。所以p(x)在(∞,2)内单调递增，在(2,+∞)内单调递减。

5.若直线y=kx+b与函数y=x^33x^2+2相切，则k的取值范围是（）

A.k≤0

B.k≥0

C.k≤1

D.k≥1

答案：A

解析：设切点为(x_0,y_0)，则切线斜率k=3x_0^26x_0。由于切线斜率等于函数导数，所以3x_0^26x_0=k。由于函数y=x^33x^2+2在x=0处取得极大值，所以切线斜率k≤0。

二、填空题（每题4分，共40分）

6.函数y=x^22x+3的最小值为______。

答案：2

解析：函数y=x^22x+3可以写成y=(x1)^2+2，由于(x1)^2≥0，所以y的最小值为2。

7.函数y=e^x2x在x=0处的极值为______。

答案：1

解析：求导y'=e^x2，令y'=0，得x=ln2。由于y'在x=ln2左侧小于0，在右侧大于0，所以x=ln2是极小值点，y(0)=120=1。

8.函数y=x^33x^2+4在x=2处的切线斜率为______。

答案：0

解析：求导y'=3x^26x，代入x=2，得y'(2)=32^262=0。

9.若函数y=x^33x+1在区间(∞,+∞)内有两个极值点，则这两个极值点的和为______。

答案：0

解析：求导y'=3x^23，令y'=0，得x=±1。这两个极值点的和为11=0。

10.若函数y=x^33x^2+2在x=0处取得极大值，则函数y=x^33x^2+2在x=2处的极值为______。

答案：2

解析：求导y'=3x^26x，令y'=0，得x=0或x=2。由于x=0处取得极大值，所以x=2处取得极小值，y(2)=2^332^2+2=2。

三、解答题（共20分）

11.（10分）已知函数f(x)=x^33x+2，求f(x)的单调区间及极值。

答案：f(x)在(∞,0)内单调递减，在(0,+∞)内单调递增。f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f(0)=2。

解析：求导f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，得x=0。当x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增。所以f(x)在(∞,0)内单调递减，在(0,+∞)内单调递增。f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f(0)=2。

12.（10分）已知函数g(x)=x^33x^2+3x1，求g(x)的单调区间及极值。

答案：g(x)在(∞,1)内单调递增，在(1,2)内单调递减，在(2,+∞)内单调递增。g(x)在x=1处取得极大值，极大值为g(1)=1；在x=2处取得极小值，极小值为g(2)=1。

解析：求导g'(x)=3x^26x+3，令g'(x)=0，得x=1或x=2。当x<1时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当1<x<2时，g'(x)<0，g(x