2025年四川高数一专升本考试真题及答案

2025年四川高数一专升本考试练习题及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=e^x2x+1，则f(x)在x=0处的极值是（）

A.极大值1

B.极小值1

C.极大值0

D.极小值0

答案：B

解析：f'(x)=e^x2，令f'(x)=0，得x=ln2。f''(x)=e^x，f''(0)=1>0，所以f(x)在x=0处取得极小值，且f(0)=1。

2.设函数y=x^33x^2+4，求该函数的拐点坐标是（）

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(1,3)

D.(2,3)

答案：C

解析：y'=3x^26x，y''=6x6。令y''=0，得x=1。当x<1时，y''<0，当x>1时，y''>0。所以拐点为(1,3)。

3.若函数y=ln(x^2+1)的x的取值范围是（）

A.x>0

B.x≥0

C.x<0

D.x∈R

答案：D

解析：x^2+1>0对所有实数x都成立，所以函数y=ln(x^2+1)的定义域为全体实数，即x∈R。

4.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则A的行列式值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：A

解析：行列式值为1423=46=2。

5.设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的零点个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：D

解析：f'(x)=3x^23。令f'(x)=0，得x=±1。f(1)=1，f(1)=0，f(0)=1。由零点定理，f(x)在(1,0)和(0,1)上各有一个零点。又f(x)在(∞,1)和(1,+∞)上单调，所以f(x)在(∞,1)上有一个零点，(1,+∞)上有一个零点。故f(x)的零点个数为3。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数f(x)=x^22x+3在x=1处的切线方程是________。

答案：y=x+2

解析：f'(x)=2x2，f'(1)=0。f(1)=2。切线方程为y2=0(x1)，即y=x+2。

7.设函数f(x)=x^2e^x，求f''(x)=________。

答案：2x^2e^x+2xe^x

解析：f'(x)=2xe^x+x^2e^x。f''(x)=2e^x+2xe^x+2e^x+x^2e^x=2x^2e^x+2xe^x。

8.设函数y=x^33x^2+4在x=0处的泰勒公式展开式的前三项是________。

答案：43x+x^2

解析：f(0)=4，f'(0)=0，f''(0)=2。泰勒公式展开式为y=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2+...=43x+x^2。

9.设矩阵A=[[2,3],[4,5]]，求矩阵A的逆矩阵A^1=________。

答案：[[5/2,3/2],[4/3,2/3]]

解析：|A|=2534=1012=2。A^1=(1/|A|)adj(A)=(1/2)[[5,3],[4,2]]=[[5/2,3/2],[4/3,2/3]]。

10.设函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的渐近线方程是________。

答案：y=x+3

解析：f'(x)=3x^26，f'(x)不存在时，x=±√2。f(√2)=8√23，f(√2)=8√2+3。所以f(x)的渐近线方程为y=x+3。

三、解答题（每题25分，共50分）

11.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，证明方程f(x)=0至少有一个实根。

证明：f'(x)=3x^212x+9，f'(x)=0时，x=1或x=3。f(1)=5，f(3)=1。由零点定理，f(x)在(1,3)上至少有一个实根。

12.设函数f(x)=x^44x^3+6x^24x+1，求f(x)的极值及极值点。

解：f'(x)=4x^312x^2+12x4，f'(x)=0时，x=1或x=1/2。f(1)=0，f(1/2)