2025年专升本广东高等数学考试试题及答案

2025年专升本广东高等数学考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)的单调递增区间为（）

A.(∞,0]

B.[0,+∞)

C.(∞,1]

D.[1,+∞)

答案：D

解析：求导数f'(x)=3x^23，令f'(x)>0，解得x>1或x<1。因此，f(x)在区间[1,+∞)上单调递增。

2.设函数y=ln(x+1)，求x=0时的二阶导数y''(0)的值（）

A.1

B.1

C.2

D.0

答案：C

解析：求一阶导数y'=1/(x+1)，求二阶导数y''=1/(x+1)^2。将x=0代入y''，得到y''(0)=1/1^2=1。

3.已知函数y=e^xcos(x)，求y在x=0处的极值（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：A

解析：求导数y'=e^x(sin(x))+e^xcos(x)=e^x(cos(x)sin(x))。令y'=0，解得x=0。将x=0代入y，得到y(0)=e^0cos(0)=1。因此，y在x=0处取得极小值1。

4.设函数y=2x^33x^212x+5，求y在x=2处的切线方程（）

A.y5=9(x2)

B.y5=12(x2)

C.y5=15(x2)

D.y5=18(x2)

答案：C

解析：求导数y'=6x^26x12。将x=2代入y和y'，得到y(2)=22^332^2122+5=5，y'(2)=62^26212=12。切线方程为y(5)=15(x2)，即y5=15(x2)。

5.设函数y=x^36x^2+9x+1，求函数的拐点坐标（）

A.(2,3)

B.(2,3)

C.(3,3)

D.(3,3)

答案：A

解析：求二阶导数y''=6x12。令y''=0，解得x=2。将x=2代入y，得到y(2)=2^362^2+92+1=3。因此，拐点坐标为(2,3)。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数y=e^x(x^22x+1)，求y在x=0处的极大值是______。

答案：1

解析：求导数y'=e^x(x^22x+1)+e^x(2x2)=e^x(x^22x+1+2x2)=e^x(x^2+1)。令y'=0，解得x=0。将x=0代入y，得到y(0)=e^0(0^220+1)=1。因此，y在x=0处取得极大值1。

2.设函数y=x^33x^212x+5，求y在x=2处的切线斜率是______。

答案：12

解析：求导数y'=3x^26x12。将x=2代入y'，得到y'(2)=32^26212=12。因此，y在x=2处的切线斜率是12。

3.设函数y=ln(x^2+1)，求x=0时的二阶导数y''(0)的值是______。

答案：0

解析：求一阶导数y'=2x/(x^2+1)，求二阶导数y''=(2(x^2+1)2x2x)/(x^2+1)^2。将x=0代入y''，得到y''(0)=0。

4.设函数y=e^xcos(x)，求y在x=0处的极值是______。

答案：1

解析：求导数y'=e^x(sin(x))+e^xcos(x)=e^x(cos(x)sin(x))。令y'=0，解得x=0。将x=0代入y，得到y(0)=e^0cos(0)=1。因此，y在x=0处取得极小值1。

5.设函数y=x^36x^2+9x+1，求函数的拐点坐标是______。

答案：(2,3)

解析：求二阶导数y''=6x12。令y''=0，解得x=2。将x=2代入y，得到y(2)=2^362^2+92+1=3。因此，拐点坐标为(2,3)。

三、解答题（共50分）

1.（15分）求函数f(x)=x^36x^2+9x+1的单调区间、极值和拐点坐标。

解：求导数f'(x)=3x^212x+9。令f'(x)=0，解得x=1或x=3。因此，f(x)在区间(∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在区间(1,3)上单调递减。

将x=1和x=3分别代入f(x)，得到f(1)=1^361^2+91+1=5，f(3)=3^363^2+93+1=1。因此，f(x)在x=1处取得极大值5，在x=3处取得极小值1。

求二阶导数f''(x)=6x12。令f''(x)=0，解得x=2。将x=2代入f(x)，得到f(2)=2^362^2+92+1=3。因此，拐点坐标为(2,3)。

2.（15分）设函数y=e^x(x^22x+1)，求y的单调区间、极值和拐点坐标。

解：求导数y'=e^x(x^22x+1)+e^x(2x2)=e^x(x^2+1)。由于e^x>0，因此y'的符号取决于x^2+1。由于x^2+1>0对所有实数x恒成立，所以y'>0对所有实数x恒成立。因此，y在(∞,+∞)上单调递增。

由于y'恒大于0，y没有极值。

求二阶导数y''=e^x(x^2+1)+e^x(2x)=e^x(x^2+2x+1)。令y''=0，解得x=0。将x=0代入y，得到y(0)=e^0(0^220+1)=1。因此，拐点坐标为(0,1)。

3.（20分）求曲线y=x^33x^212x+5在x=2处的切线方程和法线方程。

解：求导数y'=3x^26x12。将x=2代入y和y'，得到y(2)=2^332^2122+5=5，y'(2)=32^26212=12