2026年湖南省部编版高二数学第7课函数综合练习题

2026年湖南省部编版高二数学第7课函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)∪(1，+∞)B．(-1，0)C．(0，1)D．(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)。当x∈(-1，1)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减。又g(0)=0，g(1)=ln2-1＜0，g(2)=ln3-2＞0，故方程ln(a+1)=a在(-1，0)和(1，+∞)上各有一个解，即a∈(-1，0)∪(1，+∞)。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和。当x∈[-2，1]时，f(x)取最小值，且最小值为1-(-2)=3。3.若函数f(x)=x³-3x+q在x=1处取得极值，则q的值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x²-3，由f'(1)=0得3-3=0，解得x=±1。又f(1)=1-3+q=-2+q，f(-1)=-1+3+q=2+q。当x=1时，f(x)取得极值，故f(1)=-2+q为极值，代入f'(1)=0得q=2。4.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．eD．e^2解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1。又f''(x)=e^x，f''(0)=1＞0，故x=0处为极小值点，符合题意。5.函数f(x)=sin2x+cos2x的最小正周期是（）A．πB．2πC．π/2D．4π解析：f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，其最小正周期为2π/2=π。6.函数f(x)=log₃(2x-1)在区间(1，2)上的值域是（）A．(0，1)B．(1，2)C．(0，+∞)D．(1，+∞)解析：当x∈(1，2)时，2x-1∈(1，3)，故log₃(2x-1)∈(0，1)。7.函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1，3]上的最大值是（）A．1B．3C．5D．7解析：f(x)=(x-1)²+2，对称轴x=1∈[-1，3]，f(1)=2为最小值，f(-1)=6，f(3)=6，故最大值为6。8.函数f(x)=|x-2|+|x+1|在区间(-∞，+∞)上的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)=|x-2|+|x+1|表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和，最小值为2-(-1)=3。9.函数f(x)=x³-3x+1的极值点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(1)＞0，f''(-1)＜0，故x=1为极小值点，x=-1为极大值点，共有2个极值点。10.函数f(x)=sin(x+π/4)在区间[0，π]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：令sin(x+π/4)=0得x+π/4=kπ，k∈Z，即x=kπ-π/4。当k=1时，x=3π/4∈[0，π]；当k=2时，x=7π/4＞π，舍去。故零点个数为1。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=e^x-2x在x=0处的二阶导数为________。参考答案：2解析：f'(x)=e^x-2，f''(x)=e^x，f''(0)=e^0=1。2.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=1处的函数值为________。参考答案：ln2-1解析：f(1)=ln(1+1)-1=ln2-1。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1处的函数值为________。参考答案：3解析：f(-1)=|-1-1|+|-1+2|=2+1=3。4.函数f(x)=x³-3x+1的极大值点为________。参考答案：-1解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)＜0，故x=-1为极大值点。5.函数f(x)=sin2x+cos2x的最小正周期为________。参考答案：π解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，其最小正周期为2π/2=π。6.函数f(x)=log₃(2x-1)的定义域为________。参考答案：(1/2，+∞)解析：2x-1＞0得x＞1/2。7.函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1，3]上的最小值为________。参考答案：2解析：f(x)=(x-1)²+2，对称轴x=1∈[-1，3]，f(1)=2为最小值。8.函数f(x)=|x-2|+|x+1|在区间(-∞，+∞)上的最大值为________。参考答案：+∞解析：f(x)表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和，无最大值。9.函数f(x)=x³-3x+1的极小值点为________。参考答案：1解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(1)＞0，故x=1为极小值点。10.函数f(x)=sin(x+π/4)在区间[0，π]上的值域为________。参考答案：[-√2/2，1]解析：当x∈[0，π]时，x+π/4∈[π/4，5π/4]，sin(x+π/4)∈[-√2/2，1]。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在区间[-1，1]上的最大值是1。（×）解析：f(x)=x³在区间[-1，1]上的最大值是1，最小值是-1。2.函数f(x)=ln(x+1)在x=0处取得极值。（×）解析：f'(x)=1/(x+1)，f'(0)=1≠0，故x=0处不取极值。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=0处的函数值为3。（√）解析：f(0)=|0-1|+|0+2|=1+2=3。4.函数f(x)=x³-3x+1的极值点个数为2。（√）解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(1)＞0，f''(-1)＜0，故x=1为极小值点，x=-1为极大值点，共有2个极值点。5.函数f(x)=sin2x+cos2x的最小正周期是π。（√）解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，其最小正周期为2π/2=π。6.函数f(x)=log₃(2x-1)在x=1处的函数值为0。（√）解析：f(1)=log₃(2×1-1)=log₃1=0。7.函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1，3]上的最大值为6。（√）解析：f(x)=(x-1)²+2，对称轴x=1∈[-1，3]，f(-1)=6，f(3)=6，故最大值为6。8.函数f(x)=|x-2|+|x+1|在区间(-∞，+∞)上的最小值是3。（√）解析：f(x)表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和，最小值为2-(-1)=3。9.函数f(x)=x³-3x+1的极小值点为-1。（×）解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)＜0，故x=-1为极大值点。10.函数f(x)=sin(x+π/4)在区间[0，π]上的零点个数为2。（×）解析：令sin(x+π/4)=0得x+π/4=kπ，k∈Z，即x=kπ-π/4。当k=1时，x=3π/4∈[0，π]；当k=2时，x=7π/4＞π，舍去。故零点个数为1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x+1的极值点。参考答案：极大值点为-1，极小值点为1。解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)＜0，f''(1)＞0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。2.求函数f(x)=sin2x+cos2x的最小正周期。参考答案：π解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，其最小正周期为2π/2=π。3.求函数f(x)=log₃(2x-1)的定义域。参考答案：(1/2，+∞)解析：2x-1＞0得x＞1/2。4.求函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1，3]上的最值。参考答案：最小值2，最大值6解析：f(x)=(x-1)²+2，对称轴x=1∈[-1，3]，f(1)=2为最小值，f(-1)=6，f(3)=6，故最大值为6。5.求函数f(x)=|x-2|+|x+1|的最小值。参考答案：3解析：f(x)表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和，最小值为2-(-1)=3。6.求函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值时a的值。参考答案：a=1解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1。又f''(x)=e^x，f''(0)=1＞0，故x=0处为极小值点，符合题意。7.求函数f(x)=sin(x+π/4)在区间[0，π]上的零点。参考答案：x=3π/4解析：令sin(x+π/4)=0得x+π/4=kπ，k∈Z，即x=kπ-π/4。当k=1时，x=3π/4∈[0，π]；当k=2时，x=7π/4＞π，舍去。故零点为x=3π/4。8.求函数f(x)=x³-3x+1的拐点。参考答案：(0，1)解析：f''(x)=6x，令f''(x)=0得x=0，f(0)=1，故拐点为(0，1)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x+q在x=1处取得极值，求q的值。参考答案：q=2解析：f'(x)=3x²-3，由f'(1)=0得3-3=0，解得x=±1。又f(1)=1-3+q=-2+q，f(1)为极值，故q=2。2.已知函数f(x)=sin2x+cos2x，求其最小正周期。参考答案：π解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，其最小正周期为2π/2=π。3.已知函数f(x)=log₃(2x-1)，求其定义域。参考答案：(1/2，+∞)解析：2x-1＞0得x＞1/2。4.已知函数f(x)=x²-2x+3，求其在区间[-1，3]上的最值。参考答案：最小值2，最大值6解析：f(x)=(x-1)²+2，对称轴x=1∈[-1，3]，f(1)=2为最小值，f(-1)=6，f(3)=6，故最大值为6。5.已知函数f(x)=|x-2|+|x+1|，求其最小值。参考答案：3解析：f(x)表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和，最小值为2-(-1)=3。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，求a的值。参考答案：a=1解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0得a=1。又f''(x)=e^x，f''(0)=1＞0，故x=0处为极小值点，符合题意。7.已知函数f(x)=sin(x+π/4)，求其在区间[0，π]上的零点。参考答案：x=3π/4解析：令sin(x+π/4)=0得x+π/4=kπ，k∈Z，即x=kπ-π/4。当k=1时，x=3π/4∈[0，π]；当k=2时，x=7π/4＞π，舍去。故零点为x=3π/4。8.已知函数f(x)=x³-3x+1，求其极值点。参考答案：极大值点为-1，极小值点为1解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)＜0，f''(1)＞0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.B4.A5.A6.B7.C8.C9.C10.B解析：2.f(a)=0即ln(a+1)=a，g(x)=ln(x+1)-x在(-1，0)和(1，+∞)上各有一个解，故a∈(-1，0)∪(1，+∞)。3.f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为2-(-1)=3。4.f'(x)=3x²-3，f'(1)=0，f''(1)=6＞0，故x=1为极小值点，f(1)=1-3+q=-2+q为极值，故q=2。5.f'(x)=e^x-a，f'(0)=1-a=0，a=1。f''(x)=e^x，f''(0)=1＞0，故x=0处为极小值点。6.f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，最小正周期为2π/2=π。7.2x-1∈(1，3)，log₃(2x-1)∈(0，1)。8.f(x)=(x-1)²+2，对称轴x=1∈[-1，3]，f(1)=2为最小值，f(-1)=6，f(3)=6，故最大值为6。9.f(x)表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和，最小值为2-(-1)=3，无最大值。10.f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(1)＞0，f''(-1)＜0，故x=1为极小值点，x=-1为极大值点。11.令sin(x+π/4)=0得x+π/4=kπ，k∈Z，即x=kπ-π/4。当k=1时，x=3π/4∈[0，π]；当k=2时，x=7π/4＞π，舍去。故零点为x=3π/4。二、填空题1.22.ln2-13.34.-15.π6.(1/2，+∞)7.28.+∞9.110.[-√2/2，1]解析：2.f'(x)=e^x-2，f''(x)=e^x，f''(0)=1。3.f(1)=ln(1+1)-1=ln2-1。4.f(-1)=|-1-1|+|-1+2|=2+1=3。5.f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)＜0，故x=-1为极大值点。6.f(x)=√2sin(2x+π/4)，最小正周期为2π/2=π。7.2x-1＞0得x＞1/2。8.f(x)=(x-1)²+2，对称轴x=1∈[-1，3]，f(1)=2为最小值。9.f(x)表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和，无最大值。10.f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(1)＞0，故x=1为极小值点。11.当x∈[0，π]时，x+π/4∈[π/4，5π/4]，sin(x+π/4)∈[-√2/2，1]。三、判断题1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.×10.×解析：2.f(x)=x³在区间[-1，1]上的最大值是1，最小值是-1。3.f'(x)=1/(x+1)，f'(0)=1≠0，故x=0处不取极值。4.f(0)=|0-1|+|0+2|=1+2=3。5.f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)＜0，f''(1)＞0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。6.f(x)=√2sin(2x+π/4)，其最小正周期为2π/2=π。7.f(1)=log₃(2×1-1)=log₃1=0。8.f(x)=(x-1)²+2，对称轴x=1∈[-1，3]，f(1)=2为最小值，f(-1)=6，f(3)=6，故最大值为6。9.f(x)表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和，无最大值。10.f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)＜0，故x=-1为极大值点。11.令sin(x+π/4)=0得x+π/4=kπ，k∈Z，即x=kπ-π/4。当k=1时，x=3π/4∈[0，π]；当k=2时，x=7π/4＞π，舍去。故零点为x=3π/4。四、简答题1.极大值点为-1，极小值点为1。解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)＜0，f''(1)＞0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。2.π解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，其最小正周期为2π/2=π。3.(1/2，+∞)解析：2x-1＞0得x＞1/2。4.最小值2，最大值6解析：f(x)=(x-1)²+2，对称轴x=1∈[-1，3]，f(1)=2为最小值，f(-1)=6，f(3)=6，故最大值为6。5.3解析：f(x)表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和，最小值为2-(-1)=3。6.a=1