全等三角形、角平分线、垂直平分线专题练习

几何学的魅力在于其逻辑的严谨与图形的直观，而全等三角形、角平分线及垂直平分线则是平面几何入门的基石与核心。掌握这些知识，不仅能解决具体的几何问题，更能培养逻辑推理能力与空间想象能力。本文将系统梳理相关核心知识点、常见辅助线技巧，并通过典型例题与专题练习，帮助读者深化理解，提升解题技能。一、全等三角形：构建图形相等关系的桥梁全等三角形的本质是能够完全重合的两个三角形，这意味着它们的对应边、对应角均相等。寻找和证明全等三角形，是解决线段相等、角相等问题的最基本也是最重要的方法。核心知识回顾1.全等三角形的判定公理与定理：*SSS(边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。这是基于三角形的稳定性。*SAS(边角边)：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。注意，这里的角必须是夹角，否则可能出现“SSA”的反例。*ASA(角边角)：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS(角角边)：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。ASA的推论。*HL(斜边、直角边)：适用于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。2.全等三角形的性质：*对应边相等，对应角相等。*对应边上的中线、高线、对应角的角平分线相等。*周长相等，面积相等。辅助线添加技巧与思路点拨在证明三角形全等时，辅助线的添加往往是解题的关键。常见的技巧有：1.遇中线，倍长中线：将中线延长一倍，构造全等三角形，实现线段的转移和等量代换。2.遇角平分线：*向两边作垂线：利用角平分线的性质定理，构造全等的直角三角形。*截长补短：在角的两边截取相等的线段，或延长某一线段，构造SAS或AAS全等。3.遇线段和差：通常采用截长法或补短法，将问题转化为证明两条线段相等。4.图形补全法：对于残缺的图形，通过添加辅助线补全为完整的、易于识别的基本图形（如等腰三角形、等边三角形）。5.“手拉手”模型：共顶点的两个等腰三角形（顶角相等），常连接对应底角顶点，构造全等三角形。典型例题解析例题1：已知，如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。分析：要证∠A=∠D，观察图形，考虑证明△ABC≌△DEF。已知两边AB=DE，AC=DF，只需再证第三边BC=EF即可。而BE=CF，根据等式性质，BE+EC=CF+EC，即BC=EF。从而由SSS可证全等，进而得到对应角相等。证明：∵BE=CF(已知)∴BE+EC=CF+EC(等式的性质)即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE(已知)AC=DF(已知)BC=EF(已证)∴△ABC≌△DEF(SSS)∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)点拨：本题直接利用“SSS”判定全等，关键在于通过线段的和差关系证明第三边相等，这是处理共线线段问题的常用手段。例题2：已知，如图，AB=AC，AD平分∠BAC。求证：∠B=∠C。分析：要证∠B=∠C，AB=AC为已知，AD为角平分线，则∠BAD=∠CAD，AD为公共边。因此，可尝试证明△ABD≌△ACD。证明：∵AD平分∠BAC(已知)∴∠BAD=∠CAD(角平分线的定义)在△ABD和△ACD中AB=AC(已知)∠BAD=∠CAD(已证)AD=AD(公共边)∴△ABD≌△ACD(SAS)∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)点拨：本题是“SAS”判定定理的直接应用，同时也体现了角平分线在构造全等条件中的作用。公共边是常见的隐含相等条件。二、角平分线：角的对称轴与等量传递者角平分线不仅将一个角分成两个相等的角，其性质定理更是解决线段相等、距离问题的重要工具。核心知识回顾1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。*几何语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∴PD=PE。2.角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。*几何语言：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上。3.三角形的角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。辅助线添加技巧与思路点拨1.“角平分线，向两边作垂线”：这是角平分线性质定理和判定定理最直接的应用，构造出相等的垂线段。2.“角平分线，截长补短”：在角的两边截取相等的线段，或延长某一线段，构造全等三角形，转移角或线段。3.“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”：过角平分线上一点作角一边的平行线，可构造等腰三角形。典型例题解析例题3：已知，如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD。求证：BE=CF。分析：要证BE=CF，已知BD=CD。观察图形，DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是角平分线，根据角平分线性质定理可得DE=DF。因此，可考虑证明Rt△BDE≌Rt△CDF。证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC(已知)∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等)∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定义)在Rt△BDE和Rt△CDF中BD=CD(已知)DE=DF(已证)∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴BE=CF(全等三角形的对应边相等)点拨：本题巧妙地结合了角平分线的性质定理和“HL”定理证明直角三角形全等，是角平分线性质应用的典型范例。三、垂直平分线：线段的对称轴与等距点的轨迹垂直平分线（中垂线）垂直且平分一条线段，其性质定理揭示了到线段两端点距离相等的点的集合特征。核心知识回顾1.垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。*几何语言：∵MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上∴PA=PB。2.垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。*几何语言：∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上。3.三角形的垂直平分线：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。外心到三角形三个顶点的距离相等。辅助线添加技巧与思路点拨1.“遇垂直平分线，连两端”：连接垂直平分线上的点与线段的两个端点，构造等腰三角形，得到相等的线段。2.“构造垂直平分线”：当有线段中点或需要证明线段相等时，可考虑过中点作线段的垂线，构造垂直平分线。典型例题解析例题4：已知，如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=40°，求∠DBC的度数。分析：要求∠DBC，已知AB=AC，∠A=40°，可先求出∠ABC的度数。因为DE是AB的垂直平分线，根据其性质，AD=BD，所以∠ABD=∠A=40°。从而可求出∠DBC。解：∵AB=AC，∠A=40°(已知)∴∠ABC=∠C(等边对等角)∵∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定理)∴∠ABC=(180°-∠A)/2=(180°-40°)/2=70°∵DE是AB的垂直平分线(已知)∴AD=BD(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)∴∠ABD=∠A=40°(等边对等角)∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°点拨：本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质。利用垂直平分线性质得到等腰三角形是解题的关键。四、综合应用与拔高全等三角形、角平分线、垂直平分线的知识往往不是孤立存在的，而是相互交织，共同构成复杂的几何图形。解决综合性问题，需要我们灵活运用上述知识，善于从图形中提取有用信息，巧妙添加辅助线。核心解题策略1.“分解图形”：将复杂图形分解为若干个基本图形（如全等三角形、等腰三角形、直角三角形等）。2.“执果索因”与“由因导果”相结合：综合运用分析法和综合法，从求证结论出发倒推所需条件，从已知条件出发推导可知结论。3.“利用基本图形的性质”：熟悉常见的基本图形及其性质，如“角平分线+垂线”、“垂直平分线+等腰三角形”等。综合例题解析例题5：已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°。求证：AE=AD+BE。分析：要证AE=AD+BE，可考虑“截长法”或“补短法”。已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，可过点C作CF⊥AD的延长线于F，由角平分线性质得CE=CF。再结合∠B+∠D=180°，可证△CDF≌△CBE，从而DF=BE。进而可证AE=AF=AD+DF=AD+BE。证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F。∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD(已知及所作)∴CE=CF(角平分线上的点到角的两边的距离相等)∠CEB=∠CFD=90°(垂直的定义)∵∠B+∠ADC=180°(已知)∠ADC+∠CDF=180°(平角的定义)∴∠B=∠CDF(同角的补角相等)在△CBE和△CDF中∠B=∠CDF(已证)∠CEB=∠CFD(已证)CE=CF(已证)∴△CBE≌△CDF(AAS)∴BE=DF(全等三角形的对应边相等)在Rt△ACE和Rt△ACF中AC=AC(公共边)CE=CF(已证)∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)∴AE=AF(全等三角形的对应边相等)∵AF=AD+DF(线段的和差)DF=BE(已证)∴AE=AD+BE(等量代换)点拨：本题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、补角的性质等知识，通过“补短法”（延长AD构造DF=BE）成功实现了线段的转化与求和。辅助线的添加是解题的突破口。五、专题练习基础巩固1.如图，AC=AD，BC=BD，求证：∠C=∠D。2.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B。求证：OA=OB。3.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若△EBC的周长为10，BC=4，求AB的长。能力提升4.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求证：BF=AC。(提示：延长AD至G，使DG=AD，连接BG)5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F。求证：BD=2CE。参考答案与提示基础巩固：1.提示：连接AB，证明△ABC≌△ABD(SSS)。2.提示：证明Rt△OPA≌Rt△OPB(HL)，可得OA=OB。3.提示：利用垂直平分线性质得AE=BE。△EBC周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=AB+BC=10，AB=6。能力提升：4.提示：延长AD至G，使DG=AD，连接BG。先证△ADC≌△GDB(SAS)，得AC=BG，∠G=∠CAD。再由AE=EF得∠CAD=∠AFE=∠BFG，从而∠G=∠BFG，故BF=BG=AC。5.提示：先证△BEF≌△BEC(ASA)，得EF=EC，即CF=2CE。再证△ABD≌△A