复变函数与积分变换：理论基础与工程方法 课件 第3章 复变函数积分

CONTENTS目录第3章

复变函数积分3.1复变函数积分的概念3.2

柯西积分定理3.3柯西积分公式本章小结3.43.1

复变函数积分的概念3.1.1复变函数积分的定义3.1.2复积分的计算方法与基本性质3.1.1复变函数积分的定义1.复积分的概念复变函数的积分，主要考虑沿复平面上曲线的积分。这里的曲线，一般指简单光滑（或分段光滑）的有向曲线。定义3.1.有向曲线规定了起点和终点的光滑曲线或分段光滑曲线称为有向曲线。若规定曲线C的端点A为起点，B为终点，则称从A到B的方向为曲线C的正向，记作C；而从B到A的方向为曲线C的负向，记作

。曲线C常用参数方程描述，式中，t为实参数，规定t参数增加的方向为曲线C的正向。3.1.1复变函数积分的定义1.复积分的概念定义3.2.复变函数积分设在有向光滑曲线C上有定义，个分点将曲线C分为n个弧段。在第k个小弧段上任取的一点，其中，记，为第k个小弧段的长度，。沿C从起点A到终点B依次任意插入若当时，和式的极限存在，且极限值不依赖于对曲线C的分法和的取法，则称函数沿曲线C可积，此极限值称为沿曲线C的复变函数积分，记为，即3.1.1复变函数积分的定义1.复积分的概念注若沿曲线C的负向积分，则记作；若C为闭曲线，则沿C的积分记为；若C为x轴上的区间，有，则这个定义即为定积分的定义。3.1.1复变函数积分的定义2.复积分存在的条件定理3.1复积分存在的条件设在光滑曲线C上连续，则复积分存在，且可以表示为可知，当是连续函数而C是光滑曲线时，积分存在。且可以通过两个二元实函数的线积分来计算。3.1.1复变函数积分的定义2.复积分存在的条件定理3.1复积分存在的条件设在光滑曲线C上连续，则复积分存在，且可以表示为另外，若C不光滑但由两条光滑曲线相接而成，即分段光滑，则规定若曲线C是由等光滑曲线段依次相互连接所组成的分段光滑曲线，则规定3.1.2

复积分的计算方法与基本性质1.复积分的计算方法（1）复积分的参数方程计算法复积分计算的参数方程表达式为式中，可见，经过曲线参数方程的变换，可变为常规的一元函数定积分计算。3.1.2

复积分的计算方法与基本性质1.复积分的计算方法【例3.1】计算

的积分值，其中，C的起点为0，终点为

，路径如下：(1)沿起点为0，终点为

的直线段；(2)沿实轴从0到3，再沿直线

从0到

。解：(1)C的参数方程为：t从0变化1。则有这样，3.1.2

复积分的计算方法与基本性质1.复积分的计算方法解：(2)C为分段光滑曲线。设，光滑，其中的参数方程为，t从0变到3，；的参数方程为，t从0变到4，。于是【例3.1】计算

的积分值，其中，C的起点为0，终点为

，路径如下：(1)沿起点为0，终点为

的直线段；(2)沿实轴从0到3，再沿直线

从0到

。3.1.2

复积分的计算方法与基本性质1.复积分的计算方法练习【例3.2】计算

的值，其中C的起点为0，终点为

，路径如下：(1)沿起点为0，终点为

的直线段；(2)沿实轴从0到1，再沿直线

从0到

。

对于复积分来说，尽管积分的起点和终点相同，但沿着不同路径积分，所得到的结果可能相同，也可能不同。思考：究竟是什么原因导致这样不同的结果呢？3.1.2

复积分的计算方法与基本性质1.复积分的计算方法（2）复积分的二元实函数线积分计算法当计算复积分的二元实函数线积分时，可以利用平面曲线的直角坐标方程直接确定

x

与

y

的依赖关系，将线积分转化为关于单个变量的定积分，再结合复积分的实部、虚部分解公式进行计算。练习【例3.3】利用复积分的二元实函数线积分计算法计算

的值，其中C的起点为0，终点为

，路径如下：(1)沿起点为0，终点为

的直线段；(2)沿实轴从0到1，再沿直线

从0到

。3.1.2

复积分的计算方法与基本性质2.复积分的基本性质①

，其中，k为复常数；②

③

，其中分段光滑；，则式中，④⑤

设曲线C的长度为L，函数在C上满足3.1.2

复积分的计算方法与基本性质3.一个重要的复积分例题【例3.4】试

计算，其中，C是以a为圆心，r为半径的正向圆周，n为整数。解：设复变量z的极坐标表示为，则①当时，上式为②

当时，上式为因此，有3.2

柯西积分定理3.2.1柯西积分定理（柯西-古萨基本定理）3.2.2复合闭路定理3.2.1柯西积分定理（柯西-古萨基本定理）1.柯西积分定理（即柯西-古萨基本定理）定理3.2柯西积分定理（柯西-古萨基本定理）若函数在单连通区域D内处处解析，则沿D内任意一条闭曲线C的积分值为0，即

柯西积分定理可直观地解释为：在没有“奇点”的单连通区域内，解析函数沿任意简单闭曲线的积分均为0。实际上，柯西积分定理有三个基本要素，即被积函数为解析函数，单连通区域无奇点，沿闭曲线积分。3.2.1柯西积分定理（柯西-古萨基本定理）2.由柯西积分定理推出的结论（1）与路径无关的条件推论3.1与路径无关条件若函数在单连通区域D内处处解析，则积分仅与曲线C的起点和终点有关，而与积分的路径无关。（2）原函数与不定积分定义3.3原函数与不定积分设函数在区域D内连续，若D内的一个函数满足，则称为的一个原函数（antiderivative），并称原函数的全体为不定积分（indefiniteintegral）3.2.1柯西积分定理（柯西-古萨基本定理）【例3.5】试根据柯西积分定理计算下列函数在任意闭曲线C上的复积分：解：

(1)由柯西积分定理，(2)由柯西积分定理，(3)由柯西积分定理，3.2.1柯西积分定理（柯西-古萨基本定理）2.由柯西积分定理推出的结论（2）原函数与不定积分推论3.2原函数的解析性若函数在单连通区域D内处处解析，则函数必为一解析函数，且（3）复变函数的定积分推论3.3复函数的定积分若函数在单连通区域D内处处解析，为D内的点，且为的一个原函数，则3.2.2复合闭路定理1.闭路变形原理定理3.3闭路变形原理设与是两条简单闭曲线，在的内部。在与所围的多连通区域D内解析，而在上连续，则3.2.2复合闭路定理2.复合闭路定理定理3.4复合闭路定理设区域D是由外边界（简单闭曲线）及内边界（简单闭曲线）所围成的多连通区域，其中既不互相包含，又不互相交叉。若在D内解析，在上连续，则或

其中，

均取逆时针方向，且为D的正向复合边界。特别地，若区域D的内边界只有一条曲线时，上述定理的结论表述为3.2.2复合闭路定理【例3.6】计算

，其中C为包含0和1的简单闭曲线。设与是C内互不相交也互不包含的圆周，函数解：的两个奇点为和。其中，只包围，只包围，3.2.2复合闭路定理【例3.7】计算积分

，其中

，方向取逆时针；解：方向取顺时针。满足。由于被积函数在所围成的圆环内解析，由复合闭路定理，可得3.3

柯西积分公式3.3.1柯西积分公式3.3.2解析函数的高阶导数公式3.3.1柯西积分公式1.柯西积分定理的局限性

柯西积分定理确立了单连通域内解析函数闭合积分为零，揭示了积分路径无关性，成为复分析的基石。但是，柯西积分定理在适用范围、核心突破和工程意义等三个方面存在一定的局限性，3.3.1柯西积分公式2.柯西积分公式定理3.5柯西积分公式设在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在上连续，是D内任一点，则或柯西积分公式的几何意义为，解析函数在闭合曲线

C

内任意一点的函数值

等于函数在曲线

C

上的取值以为权重的

“复积分加权平均”。柯西积分公式的物理意义为，解析函数描述的二维无旋无源场中，闭合曲线的场内分布完全由曲线上的场值决定；若曲线内存在“奇点”，则该点的场值由曲线上的场的环流（或通量）唯一确定。3.3.1柯西积分公式【例3.8】求下列积分沿正向圆周的值：解：由柯西积分公式，有3.3.1柯西积分公式3.几个重要推论（1）平均值公式设C是以为圆心、为半径的圆周，在C上及其内部解析，表明，解析函数在圆心的值，恰好等于其在圆周上值的平均。（2）最大模原理若函数在D内解析，且不为常数，则在D内没有最大值。则有平均值公式3.3.2解析函数的高阶导数公式1.高阶导数公式定理3.6高阶导数公式若函数在闭曲线C上及其所围成的单连通区域D内解析，则在D内任意一点函数有任意阶导数，并且在D内有下列公式成立3.3.2解析函数的高阶导数公式【例3.9】求积分

，其中C是包含i的任意简单光滑曲线。解：由高阶导数公式，并设，则有3.3.2解析函数的高阶导数公式【例3.10】计算积分解：函数在内有2个奇点：。由复合闭路定理并使用高阶导数公式，有3.3.2解析函数的高阶导数公式2.几个重要推论（1）柯西不等式设C是以为圆心、为半径的圆周，

M为在圆周C上的上界，则有对于的n阶导数，则有（2）刘维尔定理（Liouvilletheorem）设函数在全平面上为解析函数为一常数。称为刘维尔定理。且有界，则3.4

本章小结

本章专门介绍了关于复变函数积分的理论与方法，其目的是使读者建立复平面上函数积分的理论体系，深刻理解解析函数的深层性质，并为工程与物理领域的