复变函数与积分变换：理论基础与工程方法 课件 第4章 复变函数的级数表示

CONTENTS目录第4章

复变函数的级数表示4.1复变函数项级数4.2幂级数4.3泰勒级数洛朗级数4.44.5本章小结4.1

复变函数项级数4.1.1复数序列及其极限4.1.2复数项级数4.1.3复变函数项级数4.1.1复数序列及其极限1.复数序列的概念给定一列无穷多个有序的复数称为复数序列，简记为。2.复数序列的极限定义4.1复数序列的极限给定一个复数序列，设

是一个复常数。对于任一给定的正常数

，存在一个充分大的正整数N，当

时，有

则称当n趋向于时，以为极限。或者称复数序列收敛于极限

，记作4.1.2复数项级数1.复数项级数的概念定义4.1复数序列的极限设为一复数序列，称表达式为复数项级数（complextermseries）。若复数项级数的部分和序列有极限则称级数是收敛的（convergent），s称为级数的和（sum）；若没有极限，则称级数是发散的（divergent）。4.1.2复数项级数2.复数项级数的敛散性定理4.1复数项级数收敛的充分必要条件复数项级数收敛的充分必要条件是和都收敛。复数项级数收敛的必要条件是定义4.3绝对收敛与条件收敛若级数收敛，则称级数绝对收敛；若收敛，但级数发散，则称级数条件收敛。4.1.2复数项级数2.复数项级数的敛散性定理4.2复数项级数的绝对收敛若收敛，则也收敛。【例4.1】考察下列级数的敛散性：解

因调和级数发散，故给定级数发散；，该级数的实部与虚部所构成的实数项级数均为收敛的交错级数，故给定级数收敛。4.1.2复数项级数2.复数项级数的敛散性【例4.2】判断级数

的敛散性。解

因，故发散。4.1.3复变函数项级数1.复变函数项级数的概念定义4.4复变函数项级数设是定义-在区域D上的函数序列，称为复变函数项级数。它的前n项之和称为级数的部分和（partialsum）。4.1.3复变函数项级数2.复变函数项级数的敛散性设为区域D内一点，若存在，则称前式所示级数在处是收敛的。就是它的和，即若级数在D内处处收敛，这时，级数的和是D内的一个函数，称为和函数（sumfunction），即4.2

幂级数4.2.1幂级数的概念4.2.2幂级数的收敛圆与收敛半径4.2.3幂级数的性质与运算4.2.1幂级数的概念1.幂级数的概念若在复变函数项级数中取，其中均为复常数，则得到下列类型的函数项级数称为幂级数。简记为若令，得幂级数4.2.1幂级数的概念2.幂级数的敛散性定理4.3阿贝尔定理（收敛定理）若级数在某点收敛，对于区域内的，级数必绝对收敛；反之，若级数在发散，对于区域上的，级数必发散。4.2.1幂级数的概念2.幂级数的敛散性【阿贝尔定理的几何意义】若幂级数在点收敛，则该级数在以为圆心，以为半径的圆周内部的任意点处也一定收敛。但级数在圆周上及其外部的敛散性，除点以外，需另行判定。4.2.1幂级数的概念2.幂级数的敛散性【阿贝尔定理的几何意义】若幂级数在点发散，则该级数在以为圆心，以为半径的圆周外部的任意点处也一定发散。但级数在圆周上及其内部的敛散性，则需另行判定。4.2.2幂级数的收敛圆与收敛半径1.收敛圆域收敛半径的概念根据阿贝尔定理，我们可以找到一个半径，使得在圆的内部绝对收敛，而在圆的外部发散。这里，称为幂级数的收敛半径则称为幂级数的收敛圆周（radiusofconvergence），而（circleofconvergence）。4.2.2幂级数的收敛圆与收敛半径1.收敛圆域收敛半径的概念图中圆内部分为幂级数的收敛圆，R表示收敛半径，圆外部分则为幂级数发散的区域。一般来说，在收敛圆的内部，级数收敛；在收敛圆的外部，级数发散；在收敛圆的圆周上，级数是收敛还是发散，不能作出一般性结论，要对具体级数进行具体分析。4.2.2幂级数的收敛圆与收敛半径2.收敛半径的求解方法定理4.4达朗贝尔判别法（比值法）若，则幂级数的收敛半径为4.2.2幂级数的收敛圆与收敛半径2.收敛半径的求解方法定理4.5柯西判别法（根值法）若，则幂级数的收敛半径为4.2.2幂级数的收敛圆与收敛半径2.收敛半径的求解方法【例4.3】求下列幂级数的收敛半径，并讨论它们在收敛圆周上的收敛情况。(1)(2)解

(1)，或者故级数的收敛半径在圆周上，级数是收敛的。因为这是一个p级数，，所以原级数在收敛圆上是处处收敛的。4.2.2幂级数的收敛圆与收敛半径2.收敛半径的求解方法【例4.3】求下列幂级数的收敛半径，并讨论它们在收敛圆周上的收敛情况。(1)(2)解

(2)，即收敛半径为在圆周上，当时，原级数成为，是一个交错级数。根据莱布尼茨准则，这个级数是收敛的；当时，原级数成为，是一个调和级数，因此级数是发散的。4.2.2幂级数的收敛圆与收敛半径2.收敛半径的求解方法【例4.4】求幂级数

的收敛半径。解

由于，因此故4.2.3幂级数的性质与运算1.幂级数的性质性质4.1解析性幂级数的和函数在收敛圆的内部是一个解析函数。性质4.2可导性与可积性在收敛圆内部，幂级数的和函数可以逐项求导及逐项积分。4.2.3幂级数的性质与运算1.幂级数的性质性质4.1解析性幂级数的和函数在收敛圆的内部是一个解析函数。性质4.2可导性与可积性在收敛圆内部，幂级数的和函数可以逐项求导及逐项积分。4.2.3幂级数的性质与运算2.幂级数的有理运算（1）幂级数的加减运算若幂级数和的收敛半径分别为和，则幂级数的收敛半径不小于，且在的圆内成立4.2.3幂级数的性质与运算2.幂级数的有理运算（2）幂级数的乘法运算若幂级数和的收敛半径分别为和，则幂级数的收敛半径不小于，且在的圆内成立4.3

泰勒级数4.3.1泰勒展开定理4.3.2泰勒级数的展开方法4.3.1泰勒展开定理定理4.6泰勒展开定理设在区域D内解析，是D内一点，R为到D的边界时，有的最短距离，则当其中，。为以为圆心且落在内的任一圆周。上式称为在点的泰勒展开式（Taylorexpansion），展开式唯一，而该式右端的幂级数则称为泰勒级数（Taylor

series）。4.3.2泰勒级数的展开方法1.直接展开法【例4.5】分别求

在

的泰勒展开式。解

由于，且。因此，同理，由和的导数公式，可以得出它们在的泰勒展开式为4.3.2泰勒级数的展开方法1.直接展开法【例4.6】把函数

在

展开成泰勒级数，并求其收敛半径。解

容易求得。所以，由于函数有一个奇点，它与原点之间的距离为1，故收敛半径为。若把收敛半径表示出来，则上式可改写为4.3.2泰勒级数的展开方法2.间接展开法【例4.7】把下列函数在

处展开成泰勒级数：解

(1)根据幂级数在收敛圆内可以逐项求导的性质，并依据上例式，有收敛半径为。这样，可写为4.3.2泰勒级数的展开方法2.间接展开法【例4.7】把下列函数在

处展开成泰勒级数：解

(2)在收敛圆内，任取一条从0到的路径C，把上例式中的则有收敛半径为展开式两边沿C逐项积分，有4.3.2泰勒级数的展开方法【例4.8】将函数

在

处展开成泰勒级数。【例4.9】将函数

在

处展开成泰勒级数。【例4.10】将函数

在

处展开成泰勒级数。4.4

洛朗级数4.4.1洛朗级数的概念与性质4.4.2洛朗展开定理4.4.3洛朗级数的展开方法4.4.1洛朗级数的概念与性质1.洛朗级数的引例函数在及都不解析，但在圆环和内处处解析。先考察在圆环内的情形。有由例4.6，可得所以由此可见，在内是可以展开为级数的。4.4.1洛朗级数的概念与性质1.洛朗级数的引例其次考察在圆环内的情形。从以上引例可以看出，函数是可以展开为级数的。不过这个级数，不仅含有正幂次项，还含有负幂次项，这与泰勒级数是不同的。4.4.1洛朗级数的概念与性质1.洛朗级数的引例由此推想，在圆环域内处处解析的函数，其级数展开式实际上，上式即为洛朗级数的形式。可能有如下形式：4.4.1洛朗级数的概念与性质2.洛朗级数的定义定义4.5洛朗级数称形为的级数为洛朗级数，其中均为复常数，通常，把上式分成含有正幂次项级数和负幂次项级数两部分，即该式的正幂次项级数称为解析部分（analyticpart），该式的负幂次项级数称为主要部分（principalpart），也称为奇异部分（singularpart）。4.4.1洛朗级数的概念与性质3.洛朗级数的敛散性该式是一个常规的幂级数，其收敛范围是一个圆域。若设其收敛半径为，则当时，级数收敛；当时，该级数发散。对于该级数，若令，则可转化为幂级数的形式为4.4.1洛朗级数的概念与性质3.洛朗级数的敛散性设上式的收敛半径为R，则当时，级数收敛，反之则发散。这样，当时，级数收敛；当时，级数发散。当以上两级数同时收敛时，称洛朗级数式收敛；否则为发散。4.4.2洛朗展开定理定理4.7洛朗展开定理设函数在圆环域内处处解析，则一定能在此圆环域中展开为式中，式中C为此圆环域内绕的任一正向简单闭曲线。4.4.3洛朗级数的展开方法

关于洛朗级数的展开方法，一般来说，很少采用诸如泰勒级数那样的计算系数的直接展开法来展开，而是设法把函数拆分成两个部分，一部分在圆盘解析，从而可以展开成式（4.18）这样的幂级数；另一部分在圆周的外部解析，从而可以展开成式（4.19）这样的负次幂级数。这样，可以把泰勒级数展开的方法应用到负次幂部分。4.4.3洛朗级数的展开方法【例4.11】将函数

在以下圆环域内展开成洛朗级数。解

(1)在内，有，于是4.4.3洛朗级数的展开方法【例4.11】将函数

在以下圆环域内展开成洛朗级数。解

(2)在内，有，于是4.4.3洛朗级数的展开方法【例4.11】将函数

在以下圆环域内展开成洛朗级数。解

(3)在内，有4.4.3洛朗级数的展开方法【例4.11】将函数

在以下圆环域内展开成洛朗级数。解

(4)在内，有，于是4.4.3洛朗级数的展开方法【例4.12】将函数

在圆环域

内展开成洛朗级数。解

在内，有，于是所以，4.4.3洛朗级数的展开方法【例4.13】将函数

在

内展开成洛朗级数。解

4.4.3洛朗级数的展开方法【例4.14】将函数

在

内展开成洛朗级数。解

4.5

本章小结

解析函数的级数表示是复变函数理论的重要内容，其核心价值在于搭建了“解析函数”与“幂级数”的桥梁，将复杂的解析函数运算转化为简洁的级数代数运算，为理论推导和工程应用提供了关键工具。

本章主要内容围绕