复变函数与积分变换：理论基础与工程方法 课件全套 第1-10章 复数与复变函数 -离散求和变换

CONTENTS目录第1章复数与复变函数1.1复数及其运算1.2复平面上的点集、区域与曲线1.3复变函数

MATLAB编程练习与演示1.41.5本章小结1.1

复数及其运算1.1.1复数的概念1.1.2复数的表示形式1.1.3复数的运算1.1.4工程技术中常用的复数表示1.1.1复数的概念1.复数的定义复数（complexnumber）是高等数学与工程数学的基础概念，是实数系的延伸，其核心作用是解决实数范围内无法求解的方程（例如），同时为信号处理、控制工程、机械电子和电气工程等领域提供高效的数学工具。定义1.1复数

形如（）（1.1）的数称为复数。式（1.1）中，x是复数z的实部（realpart），

记为；y是复数z的虚部（imaginarypart），记为。i是虚数单位，满足。需要注意的是，复数也可以写成的形式，其含义不变。虚数单位i的n次方具有周期性，且周期为4，即满足在式（1.1）中，当时，有，则复数退化为实数。而当时，有，则复数退化为纯虚数。全体复数构成的集合称为复数集，记为。实数集是复数集的子集。②1.1.1复数的概念2.复数的相等与共轭复数的相等性：两个复数和相等的充分必要条件是二者的实部和虚部分别相等，即满足且。需要注意的是，复数不能比较大小，这是复数与实数的重要区别。共轭复数：对于复数，其共轭复数表示为。在工程技术中，共轭复数常表示为。不难证明，共轭复数具有以下性质：①、、③④、此外，若一个复数，必须且只须其实部和虚部同时等于0，即满足。1.1.2复数的表示形式1.复数的几何表示形式（1）复平面的概念复平面（complexplane），又称高斯平面（Gaussianplane），是表征复数的核心几何工具。一个复数本质上是由一对有序实数唯一确定的，于是能够建立全体复数与平面上的点之间的一一对应关系。也就是说，可用点来表述复数。由于横轴x轴上的点对应着实数，故将x轴称为实轴（realaxis）；纵轴y

轴上除了原点外的点对应着纯虚数，故将y轴称为虚轴（imaginaryaxis）。称这种表示复数的平面为复平面，也常称为z平面。复平面为复数运算、复数的模与辐角的定义以及复变函数可视化提供直观的几何载体。图1.1给出了复平面与复数几何表示的示意图。（2）复数的模与辐角如图1.1所示，在复平面上，复数还与从原点到点所引向量构成一一对应关系。因此，也可以用向量来表示复数。1.1.2复数的表示形式复数的模：复数的模表示复数的长度，定义为（1.2）复数的模具有以下性质：1.1.2复数的表示形式复数的辐角（argument）：由复平面实轴正向到向量之间所成角的弧度称为复数的辐角，记为。复数的辐角在工程领域的相位分析和信号调制等场景中应用广泛。具有周期性，周期为，其一般表达式为（1.3）式中，称为主值辐角，常记为，通常表示为的辐角。当时，主值辐角按式（1.4）所示关系确定：1.1.2复数的表示形式

2.复数的解析表示形式（1）复数的代数形式（algebraicform）：如式（1.1）所示的就是复数的代数表示形式，是复数最基本的表示形式，例如和。可看出，复数的代数形式相当于在复平面的直角坐标系中表示复数。（2）复数的三角形式（trigonometricform）：是连接复数代数运算与几何意义的重要工具，在信号处理中的相位计算、电路分析中的阻抗表示等工科领域应用广泛。对于任意非零复数，其三角形式表达式为（1.5）式中，为复数z的模，为复数z的辐角，满足。（3）复数的指数形式（exponentialform）：是连接复数代数形式、三角形式的关键桥梁。基于欧拉公式

（1.6）可将复数的“模—辐角”属性封装为简洁的指数形式。由式（1.5），经欧拉公式转换，可直接得复数的指数形式为（1.7）1.1.2复数的表示形式（4）三种解析形式的互相转换复数的代数形式、三角形式和指数形式可以通过模r和辐角主值实现相互转换，其核心纽带是欧拉公式。表1.1给出了复数三种表示形式的互相转换关系。1.1.2复数的表示形式【例1.1】已知复数

,(a)试将其转换为三角形式;(b)试将其转换为指数形式.解(a)根据表1.1给出的转换关系,分别计算给定复数的模和主值辐角,有,(b)根据表1.1给出的转换关系,可以进一步得到已知复数的指数形式,为这样,有,1.1.2复数的表示形式【例1.2】已知复数.试将其转换为三角形式和指数形式.解故已知复数的三角形式为：，其指数表示形式为：.1.1.3复数的运算1.复数的四则运算设两个复数为，二者的四则运算规则为：复数的加法运算规则为（1.8）复数的减法运算规则为（1.9）复数的乘法运算规则为（1.10）复数的除法运算规则为（）（1.11）与实数的四则运算情形相同，复数的四则运算也满足交换律、结合律和分配律。即：（1.12）（1.13）（1.14）1.1.3复数的运算2.工程技术中复数的常用运算方式（1）复数乘积与商的指数形式利用复数的指数形式（或三角形式），可得关于复数乘除法、乘幂和方根运算的定理。定理1.1复数乘积两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数乘积的辐角等于它们辐角的和。因此：（1.15）证明设，则由指数的运算规则，有定理1.2复数的商两个复数的商的模等于它们的模的商；两个复数的商的辐角等于被除数的辐角与除数辐角之差。采用与定理1.1的方式可以得到定理1.2的证明。若将复数表示为指数的形式，则定理1.2可以简明地表示为（1.16）1.1.3复数的运算【例1.3】已知复数

，求和.解由于复数的乘法和除法采用指数形式计算更为方便,故先将z1和z2改写为指数形式,借用例1.2的结果和例1.3的已知条件,有和这样，，按照表1.1给出的转换规则，可以把上述指数形式运算的结果再转换到代数形式和三角形式。请读者自行计算。1.1.3复数的运算（2）复数乘幂与方根的指数形式与实数的乘幂形式相似，复数z的乘幂定义为。其中，n为正整数，z

为非零复数。若将z写为指数形式，则有，这样z的乘幂表示为（1.17）利用欧拉公式可方便地把式（1.17）所示的复数乘幂表示为三角形式。由欧拉公式，有，这样（1.18）若满足，则有棣莫弗（DeMoivre）公式为（1.19）复数的n次方根是复变函数中的基础运算。称满足方程的复数为复数z的n次方根，记作（1.20）设，则有。由于两复数相等时有二者的模与相位分别相等，可知，这样，有

（1.21）1.1.3复数的运算于是（1.22）当取时，可以得到非零复数z的全部n个互异的n次方根，可以写为（1.23）由欧拉公式，式（1.23）也可以写为三角形式为（1.24）显然，还是指数形式的复数表示更为简洁。1.1.3复数的运算【例1.4】求解因为，所以.也可以把该式改写为三角形式和代数形式为1.1.3复数的运算【例1.5】求解因为，所以.请读者自行把上述解转化为三角形式和代数形式。可解出1.1.4工程技术中常用的复数表示

工程技术中各种物理量,广泛地采用不同形式的复数来表示,其核心问题是适配不同应用场景的计算需求与物理意义,而采用代数形式、指数形式或极坐标形式(三角形式的工程简化版)来表示和描述.在工程技术领域,往往约定性地采用

j

来表示虚数单位,而不采用数学领域中普遍采用的

i

,其理由主要是避免与电气工程领域中的电流符号

i

发生冲突.在工程技术中,复数的不同表示形式各有侧重,其中,代数形式便于拆解物理分量,指数形式和极坐标形式便于处理“幅度-相位”的关联运算,等等.1.代数形式的应用如前所述，代数形式是复数最基础的表示形式，其优势是将复数拆解为实部和虚部两个部分，可以分别对应于物理量的两个独立的属性，例如阻抗中的电阻与电抗、通信信号中的同相分量与正交风量等。2.指数形式的应用经由欧拉公式，复数的指数形式可将复数的幅度和相位（辐角）封装为一体，从而显著简化复数的乘法、除法、乘幂和方根运算，在信号处理和通信技术等领域得到普遍的采用。3.极坐标形式的应用复数的极坐标表示是其三角形式（或指数形式）的工程简化，一般直接以“幅度相位”的形式出现，具有直观性和运算便捷性，广泛应用于工程手册、现场调试和口头交流中。

1.2复平面上的点集、区域与曲线1.2.1复平面上的点集1.2.2区域1.2.3曲线1.2.4单连通区域与多连通区域1.2.5工程问题的几何建模定义1.2邻域和去心邻域复平面上以z0为圆心，为半径的圆的内部由所确定的点集，称为点z0的-邻域。由所确定的点集称为点z0的-去心邻域。1.2.1复平面上的点集

复平面上的点集、区域与曲线是研究复变函数定义域、解析性及积分路径的基础几何概念，其定义依托复平面的二维结构，与平面解析几何中的点集、区域等概念相通，但需结合复数的代数与几何属性进行理解。1.点集与邻域的概念复平面上的点集是指由复平面内若干复数点组成的集合，记为，其中每个点对应一个复数，等价于平面直角坐标系中的点(x,y)。1.2.1复平面上的点集2.内点、外点与边界点复平面上点z0与点集E的位置关系可分为三种情况，即：内点：z0完全落在E的内部，周围足够小的范围都是E的点。外点：z0完全落在E的外部，周围足够小的范围无E的点。边界点：z0位于E的边缘上。其任意邻域内既有集合内的点，也有集合外的点。称边界点的全体为点集E的边界，记为。边界点可以属于E，也可以不属于E3.开集与闭集若点集E的所有点均为内点，则称E为开集，开集不含边界。若点z0的任意邻域都含有E的无穷多个点，则称z0为E的聚点。若E的每个聚点都属于E，则称E为闭集。4.有界集与无界集设有正数M，若对于点集E内的点z均满足，则称E为有界集，否则称E为无界集。定义1.3表明，区域是连通的开集，区域D与它的边界一起构成闭区域，也称为闭域，记为，即单位开圆盘是典型的开区域，而单位闭圆盘则是典型的闭区域。值得注意的是，根据定义1.3，区域是开集，闭区域是闭集，除了全平面既是开区域又是闭区域这一特例外，闭区域不是区域。1.2.2区域定义1.3区域若平面点集E满足以下两个条件：（1）E是一个开集；（2）E是连通的，即E中任何两点都可以用完全属于E的一条折线连接起来。则称该平面点集为区域，记为D。1.2.3曲线1.复平面上曲线的概念复平面上的曲线是连接复变函数“几何直观”与“解析运算”的关键载体，既是区域边界的构成元素，也是复积分、场论分析的核心路径，其定义、分类和工程应用均围绕参数化表达展开。其本质是二维平面曲线的复数表示，通过参数方程将实参数映射为复平面上的点。设参数，曲线C可表示为：

其中，和是定义在闭区间上的实值函数。曲线的起点和终点分别记为

和。

参数t遍历时，遍历复平面上的点，形成连续轨迹。2光滑曲线若复平面上曲线C满足以下两个条件，则称其为光滑曲线：（1）一阶导数连续：即和在上连续；（2）导数不同时为零：即对任意，有此外，有限条光滑曲线首尾相接组成的曲线，称为分段光滑曲线。1.2.3曲线3.简单曲线与简单闭曲线在复变函数中，简单曲线也称为若尔当曲线（Jordancurve），是复平面上“不自交的连续曲线”，是构建简单闭曲线、区域边界的基础，其核心特征是“无交叉、无断裂”。对于复平面上的曲线，若同时满足以下两个条件，则称为简单曲线。这两个条件是：（1）连续性：即和在上连续，无间断点；（2）简单性：即曲线在区间内部不相交，对任意，若，则。若对于满足简单曲线条件的曲线补充第三个条件，即（3）闭合性：曲线的起点与终点重合，满足。则称同时满足上述三个条件的曲线为简单闭曲线也称为若尔当闭曲线。简单闭曲线是构成区域边界、支撑柯西积分定理等核心理论的基础几何对象。在工程技术中，简单曲线与简单闭曲线具有重要的应用价值。4.若尔当曲线定理定理1.3若尔当曲线定理任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个部分。除了C外，其中一个是有界区域，称为C的内部；另一个是无界区域，称为C的外部；C是内部和外部的公共边界。1.2.3曲线【例1.6】判断图1.2所示曲线为何种曲线解简单曲线：曲线(1)和曲线(2)；非简单曲线：曲线(3)和曲线(4)；闭曲线：曲线(1)和曲线(3)；非闭曲线：曲线(2)和曲线(4)。因此：曲线(1)为简单闭曲线；曲线(2)为简单非闭曲线；曲线(3)为非简单闭曲线；曲线(4)为非简单非闭曲线。1.2.4单连通区域与多连通区域定义1.4单连通区域与多连通区域若区域D内任意一条简单闭曲线的内部均含于D内，则称D为单连通区域；不是单连通的区域称为多连通区域（又称为复连通区域）。图1.3为单连通区域与多连通区域的示意图。单连通区域D具有以下特征：属于单连通区域D的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续变形而缩为一点，而多连通域则不具有这个特征。直观地说，区域内没有“空洞”的是单连通区域，而有“空洞”的则为多连通区域。单位开圆盘、右半复平面和常见的带状区域、角形区域、上半平面等都是单连通区域；而圆环域和去心邻域等都是多连通区域。1.2.5工程问题的几何建模1.重要数学性质的工程意义开区域/闭区域的工程意义；单连通区域/多连通区域的工程意义；简单闭曲线的工程意义。2.典型工程场景的几何建模（1）控制工程中系统稳定性的区域建模（2）通信技术中信号调制的点集与区域建模星座点集；星座区域。通过优化星座点集的分布（如圆形星座、矩形星座），可在相同带宽条件下提升通信容量，这是5G、6G调制技术的核心设计思路。3.几何建模的工程应用价值复平面的点集、区域与曲线，本质是工程问题的“降维工具”。它将“幅度-相位”、“实部-虚部”等二维耦合物理量，转化为直观的几何对象，实现三大核心价值：简化计算；直观判据；优化设计。复平面几何建模是连接复变函数理论与工程实践的桥梁，掌握这一工具，可大幅提升工程问题的分析与设计效率。

1.3复变函数1.3.1复变函数的概念1.3.2复变函数的极限1.3.3复变函数的连续性1.3.1复变函数的概念1.复变函数概念的引出复变函数是以复数为自变量和因变量的函数.定义1.5复变函数设G是一个复数集，若对G中每一个复数，按照一定的法则有确定的复数与之对应，则称w为G上关于的复变函数，记为。其中，z是自变量，w是因变量，集合G称为函数的定义域，与G中z对应的w的全体构成的集合

称为函数的值域。若G中的每一个z有且仅有一个w与之对应，则乘此函数为单值函数，否则称为多值函数。

例如，等都是z的单值函数，而则均为z的多值函数。复变函数w和自变量之z间的关系，相当于两个关系式：

它们确定了自变量为x和z=y的两个二元实函数。反之，如果确定了两个二元实函数和，则就构成了的一个复变函数2.复变函数的定义1.3.1复变函数的概念【例1.7】试求出复变函数函数对应的二元实函数和解设，，则，这样，对应于两个二元实函数为1.3.1复变函数的概念3.映射的概念映射是描述两个集合之间元素对应关系的数学概念，简单说就是按一定规则，把一个集合里的元素“对应到”另一个集合里的元素，这个规则就叫映射。复变函数中的“一个复平面到另一个复平面的映射”，就是映射的一种具体应用。例如，对于复变函数，若自变量，代入w后得到。这个过程相当于把z平面上的点(2,3)“平移”到w平面上的点(3,4)。这就实现了z平面上点到w平面的映射。在映射关系中，与点z对应的点w称为点z的像，而点z则称为点w的原像。复数的指数形式（也是极坐标形式）也常用于表示复变函数的映射，见例1.8的例子。1.3.1复变函数的概念【例1.8】试把函数利用极坐标形式进行映射解把复变量z表示为指数形式（即极坐标形式）为，则映射变为

显然，任一非零点z的像可以通过把z的模平方，辐角主值加倍而得到，即

极坐标映射的示意图如图1.4所示，表示了的映射关系。1.3.2复变函数的极限1.复变函数极限的概念复变函数极限的定义在叙述形式上与一元实函数的极限是一致的。定义1.6复变函数的极限设函数在z0的去心邻域内，若有一确定的数A存在，对于任意给定的，相应地必有一正数，使得当时，有

则称A为当z趋向于z0时的极限，记作，或记为当读者需要特别注意的是，定义1.6中z趋向于z0的方式是任意的。即z

无论从什么方向，以何种方式趋向于z0，

都要趋向于同一个常数A。这个条件要比一元实函极限定义的限制要严苛得多。1.3.2复变函数的极限2.复变函数极限存在的充要条件定理1.4复变函数极限存在的充要条件设函数，

则的充要条件是证明必要性：若，则根据极限定义，当时，有，于是，当时，有，即

充分性：若成立，则当时，

有.而，因此，当时，有，即1.3.2复变函数的极限【例1.9】讨论复变函数当时的极限解由给定复变函数，有，当时，有；而当时，有因此，函数当时的极限不存在。1.3.3复变函数的连续性1.复变函数连续性的概念定义1.7复变函数的连续性若，则称在z0处连续。若在区域D处处连续，则称函数在D连续。函数在曲线C上的点z0处连续的意义是指图1.6给出了复变函数在点z0处连续的示意图。1.3.3复变函数的连续性

2.复变函数连续性的性质复变函数的连续性具有以下性质：（1）若函数在z0处连续，则其和、差、积、商（要求分母在z0处不为零）在z0处连续。（2）若函数在z0处连续，函数在处连续，则复合函数在z0处连续。（3）函数在点连续的充要条件是和在

点均连续。（4）若函数在有界闭区域上连续，则有：在上必有界；在上必能取到最大值和最小值；在上必一致连续。

3.复变函数极限与连续性的工程意义复变函数的极限与连续性是其在工程领域应用的底层数学基础，其核心价值在于为“复平面上物理量的映射规律”提供严格的数学约束，从而确保工程模型的可靠性与可计算性。简单说来，极限保证工程系统“不会乱”，连续则保证工程系统“不会断”，二者共同构成了复变函数在工程应用中的可靠性基础。

1.4MATLAB编程练习与演示

MATLAB（MatrixLaboratory，矩阵实验室）是MathWorks公司开发的高级数值计算与可视化编程环境，核心以矩阵为基本数据单元，集成数值计算、符号运算、图形绘制、仿真建模等功能，是复变函数分析、工程系统设计、数据处理的主流工具，广泛应用于控制工程、通信技术、信号处理、机械电子工程和流体力学等领域。

结合本章的内容，本节给出一些MATLAB在复数及复变函数中的编程练习与实例演示，以帮助读者更好地理解本章的学习内容。详见课本P19

1.5本章小结

为补充并完善读者对复数的概念、表示形式与运算规则的认知，本章首先回顾复数的基本概念，继而系统梳理了复数的定义、表示形式及运算规则，并结合工程技术应用背景，介绍了该领域中常用的复数表示方法。在此基础上，本章系统阐释了复平面的核心概念，以及与之密切相关的复平面点集、区域、曲线，还有单连通区域与多连通区域的定义，为后续复变函数与积分变换的理论分析和公式推导奠定基础。此外，本章引入了复变函数的核心概念，明确了其定义与基本性质。最后，结合本章所学的复数及复变函数的概念与运算，给出了对应的MATLAB编程实例，可帮助读者直观、高效地理解并掌握本章核心内容。谢谢聆听！CONTENTS目录第2章解析函数2.1复变函数的导数2.2解析函数2.3解析函数与调和函数初等复变函数及其工程应用2.42.5MATLAB编程练习与演示本章小结2.6

2.1复变函数的导数2.1.1复变函数的可导性2.1.2复变函数导数的运算法则2.1.1复变函数的可导性1.复变函数导数的概念复变函数的导数定义形式上与实函数导数一致，均可以定义为当自变量的增量趋于0时，函数的增量与自变量增量之比的极限值。（1）复变函数导数的定义对于一元实函数y=f(x)，函数在点x0处的导数f’(x0)是当自变量x在附近的增量∆x无限趋于0时，函数值的

增量与自变量增量∆x之比值的极限。用数学定义的形式表示为：若极限存在且为有限值，则称f(x)在x0可导，该极限值就是f(x)在x0处的导数。对于复变函数w=f(z)的导数，与实函数的导数概念十分相似。2.1.1复变函数的可导性定义2.1复变函数的导数设函数w=f(z)在区域D内有定义，，且。若极限存在有限的极限值A，则称f(z)在z0处可导，并称此极限值为f(z)在z0

处的导数，记作（2.1）也称或为f(z)在z0

处的微分。实际上，在复变函数中，函数w=f(z)在z0

处可导与在z0处可微是等价的。显然，若f(z)在z0处可导或可微，则f(z)在z0处连续。但函数f(z)在z0

处连续，却在该点不一定可导。这个特性与一元实函数是相同的。若函数f(z)在区域

D内的每一点可导，则称f(z)在区域

D内可导，则称f’(z)或为函数f(z)在区域

D内的导函数，记为（2.2）于是，有2.1.1复变函数的可导性2.与一元实变函数导数定义的差别从定义2.1的形式上来看，复变函数导数与一元实函数导数的定义十分相似，都可以理解为自变量增量趋于0时，函数值增量与自变量增量之比的极限值。但两者导数的核心要求和本质内涵的差异是非常显著的。关于自变量增量的趋近方式：由于一元实函数的自变量x是定义在x轴上的，故∆x→0只有两条路径，即从左边趋近于0和从右边趋近于0；但是，复变函数的自变量z是定义在二维z平面上的，其∆z→0有无穷多条路径，或称为有无穷多种方式，例如水平方向、竖直方向、任意曲线、甚至是螺旋线，等等。关于导数存在的条件：对于一元实函数来说，只须满足左右导数存在且相等即可；但是对于复变函数来说，所有路径、所有方式的极限都存在且相等，才能满足导数存在的条件，因此条件更为严苛。关于导数的几何意义：对于一元实函数来说，我们熟知其导数的几何意义是函数所表示的曲线在x0处的切线斜率；而对于复变函数来说，其导数表示的几何意义是函数映射后曲线的伸缩率与旋转角，构成保角映射的基础（将在后续章节具体介绍）。2.1.1复变函数的可导性【复变函数导数的工程意义】：

复变函数导数的工程意义，核心是用“复平面映射的伸缩率与旋转特性”精确描述工程技术中的“二维耦合物理量”的变化规律。它不像实函数导数仅表示“一维变化率”，而是直接对应场分布、信号变换、流场形态的核心特征，在电磁场、信号处理和流体力学等领域具有不可替代的作用。2.1.1复变函数的可导性【例2.1】求函数的导数.解对于复平面内任一点z，由导数定义式（2.2），有

由z的任意性，可知在复平面内处处有2.1.2复变函数导数的运算法则由于复变函数导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，并且复变函数的极限运算法则也与实函数的极限运算法则相同，故实函数中的求导法则可以直接推广到复变函数中来，且证明方法也相同。定理2.1给出了复变函数的导数运算法则。定理2.1导数运算法则设复变函数f(z)和g(z)在区域D内连续且导数f’(z)和g’(z)存在，C为复常数，则：

2.2解析函数2.2.1解析函数的概念2.2.2函数解析的充分必要条件2.2.1解析函数的概念解析函数是复变函数理论的核心研究对象。解析函数是指在复平面某区域内处处可导的复变函数，也常称为全纯函数或正则函数。定义2.2解析函数若函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析，z0称为f(z)的解析点。

若f(z)在区域D内每一点解析，则称f(z)是

D内的一个解析函数。若函数f(z)在z0点不解析，则称z0为函数f(z)的奇点。例如，函数在复平面上除z=2外都是解析的，z=2是其奇点。根据定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。但是，函数在一点处解析与在一点处可导不是等价的概念。若函数在一点处解析，则其必在该点处可导；而函数在一点处可导，则不一定在该点处解析。可见，函数在一点处解析比在该点处可导的要求更高。式（2.3）给出了函数在点z0处和在区域

D内解析与可导的关系。1.解析函数的定义2.2.1解析函数的概念2.解析函数的运算性质解析函数的运算性质是关于解析函数经过代数运算、复合运算后是否仍为解析函数的问题。定理2.2解析函数的运算性质设函数f(z)和g(z)在区域D内解析，则f(z)和g(z)的和、差、积、商（除去分母为0的点）在

D内也解析。由于函数在区域内解析等价于函数在该区域内可导，故定理2.1给出的结论也适用于区域内解析的函数。此外，多项式函数在复平面内处处解析。有理分式函数在除去分母为0的点的区域内是解析的。满足定义域嵌套条件的解析函数，其复合函数仍为解析函数。具体来说，若两个复变函数中的内层函数在区域D内解析，外层函数在区域G内解析，且内层函数的值域完全包含于外层函数的解析区域，即满足。则复合函数在区域

D内解析。若函数w=f(z)是区域

D内的单值解析函数，且，则其反函数在对应的区域内也解析。2.2.1解析函数的概念【例2.2】求有理分式函数的解析区域和该区域上的导函数.解由于，知时，函数f(z)是解析的，即函数f(z)在复平面上除去点的区域内是解析的。f(z)的导函数为2.2.1解析函数的概念3.复变函数的奇点在复变函数中，函数不解析的点称为奇点。具体说来，奇点有以下几种情况：①f(z)的不连续点为函数的奇点；②中，u和v不可微的点为函数的奇点；③f(z)的不可导的点为函数的奇点；④f(z)不满足解析定义的点为函数的奇点；⑤f(z)不满足柯西-黎曼条件的点为函数的奇点。有关柯西-黎曼条件的详细介绍，将在2.2.2节中给出。2.2.2函数解析的充分必要条件1.为什么要判定一个复变函数是否为解析函数判定一个复变函数是否解析，是复变函数理论从“抽象定义”走向“工程应用”的关键环节，其意义体现在数学性质挖掘和工程问题求解这两个层面。在数学层面，若一个复变函数被确定为解析函数，就意味着该函数自动具备一系列实函数不具备的强性质，这些性质是复变函数理论的核心价值。在工程层面，其中大量的二维问题，例如电磁场、流场、通信信号传输与分析等，本质上需要寻找满足特定边界条件的调和函数（有关调和函数的概念将在本章后面部分介绍），而解析函数是构造这类调和函数的最优工具。因此，判定一个复变函数是否解析，本质上是筛选出具备“强数学性质”的函数，使其成为连接复变函数理论与工程问题的桥梁。2.判定复变函数解析的有力工具：柯西-黎曼条件定义2.2关于解析函数的定义，可以看作是一种判定复变函数是否解析的方法或依据。即若函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，则可判定f(z)在z0解析；若在区域D内每一点解析或可导，则可判定f(z)是D内的一个解析函数。但是实际上，如果只根据解析函数的定义来判定函数的解析性，往往是十分困难的。幸运的是，柯西-黎曼条件给出了一种非常简便的判定复变函数解析性的充分必要条件。2.2.2函数解析的充分必要条件定理2.3柯西-黎曼条件（一点处可导）函数定义在区域D内，则f(z)在D内一点可导的充分必要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，且满足柯西-黎曼方程（称为C-R方程）：（2.4）2.2.2函数解析的充分必要条件证明必要性由于f(z)在点处可导，由导数定义，可知

从而得

（2.5）其中，令，其中a与b为实数，与为二元实函数，则式（2.5）可表示为

从而有

由于，所以因此，u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，且满足柯西-黎曼方程2.2.2函数解析的充分必要条件证明充分性由于u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，则这里，由柯西-黎曼方程，可设

则有

于是

因为，故当时，上式右端的最后两项都趋于0。因此，

即f(z)在点处可导。2.2.2函数解析的充分必要条件证明充分性由以上证明知，当定理2.3的条件满足时，可得到一个计算复变函数导数的有用公式为（2.6）需要注意的是，C-R方程只是函数f(z)在z0可导的必要条件，而非充分条件。这是因为一个二元函数在某一点有偏导数甚至不能保证函数在该点连续，更不要说在该点可微了。例如我们可以找到这样的函数尽管二者在z=0这点满足C-R方程，但由二者构成的复变函数在z=0处是不连续的，因而是不可导的。不过，当补充偏导数在z0处连续的条件后，C-R方程就成为复变函数在该点可导（且解析）的充要条件了。2.2.2函数解析的充分必要条件定理2.4柯西-黎曼条件（区域D内解析）函数在区域D内解析（即在区域D内可导）的充分必要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内处处可微，且满足C-R方程

根据解析函数的定义和相关定理，可以得到判定复变函数解析性的方法如下：①若能依据复变函数求导公式与法则确定复变函数f(z)的导数在区域

D处处存在，则可根据解析函数的定义判定f(z)在区域

D内是解析的。②若复变函数中的u(x,y)和v(x,y)在

D内的各一阶偏导都存在且连续，使得u(x,y)和v(x,y)可微，并满足柯西-黎曼方程，则根据解析函数的充要条件可以判定

D内解析。2.2.2函数解析的充分必要条件【例2.3】给定复变函数(1)试依据柯西-黎曼条件判定该函数在复平面上的解析性。(2)试计算f(z)的导数f’(z).解(1)由给定复变函数，知，，计算偏导数，有

由于上述4个偏导数在复平面上连续，且满足柯西-黎曼条件，即

故，给定复变函数在复平面上为解析函数。(2)因，故有2.2.2函数解析的充分必要条件【例2.4】给定复变函数试求出常数的值，使得f(z)在复平面内处处解析

.解根据给定f(z)的表达式，有。求4个偏导数，有

为使柯西-黎曼方程成立，即成立，只需联立求解上述方程组，可得

则复变函数f(z)在复平面内处处解析。2.2.2函数解析的充分必要条件【解析函数的重要性】：解析是复变函数中最核心的概念，它贯穿复变函数研究的全流程，定义了函数的“良好性质”，是后续章节关于柯西积分定理、洛朗级数、留数等重要理论成立的前提，也是复变函数区别于实函数的关键特征。解析函数的重要性可以从以下几个方面来理解：第一，解析定义了复变函数的“研究主体”。复变函数的主要研究对象就是“解析函数”。解析函数的定义，筛选出了具有“良好局部性质”的函数，后续所有理论都是针对这类函数进行分析的。第二，解析是复变函数理论中所有重要定理的“前提条件”。本书后续章节的所有核心定理（包括：柯西积分定理、柯西积分公式、泰勒展开定理、洛朗展开定理、留数定理等），无一不要求函数“在某区域内解析”，没有解析的前提，这些定理都不成立，复变函数的理论体系会直接崩塌。第三，解析是复变函数“实用价值”的来源。解析函数的独特性质（任意阶可导、柯西积分公式所体现的“局部决定整体”等），让它成为解决实际问题的工具。例如在工程信号分析中，傅里叶和拉普拉斯变换依赖解析函数的积分性质；流体力学和电磁学中的场论分析，其核心是解析函数的应用。这些实用场景的本质，都是解析函数良好性质的延伸。第四，函数解析的概念是区分复变函数与实函数的关键要素。实函数中“可导”≠“任意阶可导”，但复变函数中“解析”（区域内可导）却意味着“任意阶可导”，且能展开为幂级数。这种“更强的性质”，让复变函数形成了独立且严谨的理论体系，而函数的解析性正是这种差异的根源所在。2.3解析函数与调和函数2.3.1调和函数的概念2.3.2解析函数与调和函数的关系2.3.3共轭调和函数2.3.4解析函数在工程技术中的应用2.3.1调和函数的概念在诸如流体力学和电磁学等科学技术领域，有许多问题需要使用一种称为调和函数的方式来描述和分析。本质上，调和函数是一类满足“局部平均值等于中心值”的光滑函数，其核心特点是没有局部极大值和极小值，可对应于物理和工程问题中的“稳态平衡”状态。另一方面，调和函数与解析函数是密切相关的。1.调和函数的定义定义2.3调和函数若二元实函数在区域D内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程（2.7）则称为区域D内的调和函数，或称在区域

D内调和。式（2.7）中，称为拉普拉斯算子。简单说来，调和函数是满足拉普拉斯方程的二阶连续可微函数。2.3.1调和函数的概念调和函数最直观的物理解释，是函数的平均值等于其中心点值。例如：若函数u(x,y)是圆盘形区域内的调和函数，则圆盘中心点的函数值，等于圆盘边界上所有点函数值的平均值。具体来说，在一个稳态的均匀金属圆板上，中心点的温度，等于圆板边缘所有点温度的平均值—边缘温度高的地方和低的地方，会通过热传导让中心点温度稳定在平均水平。再如，一杯静置的水，水面任意一点的高度，等于周围一圈水面高度的平均值，所以水面最终会变成平面（没有局部高低起伏），也就是说，水的表面高度函数是调和函数。【调和函数的直观解释】：2.3.1调和函数的概念2.调和函数的性质调和函数的主要性质是围绕“无局部极值”和“平均值特性”展开的，这些性质是其在工程物理场中应用的理论基础，主要包括：①平均值性质，即圆盘中心点的函数值等于圆盘边界上函数值的平均。这是调和函数最具辨识度的性质，也是推导其他性质的基础。这个性质直接对应稳态场的平衡特性，比如稳态温度场中，内部任意点温度由边界温度的平均值决定，无局部过热/过冷情况。②极值性质，即极值只能出现在区域的边界上，调和函数在区域内部无局部最大值和最小值。其工程意在于，在稳态温度场中，金属板的最高/最低温度一定在边缘；在静电场中，导体内部电势处处相等，极值在导体表面。③解析函数关联性质，这是复变函数中调和函数的核心特性，也是构造解析函数的依据。④其他重要性质，例如光滑性、唯一性及调和性不变性等。光滑性为工程中的数值计算（如有限元法）提供了光滑性保证；唯一性确定了稳态场的解由边界条件唯一确定，比如金属板的温度分布仅由边缘温度决定，解是唯一的，等等。2.3.1调和函数的概念3.调和函数的工程意义与应用场景调和函数是复变函数与数学物理方程的桥梁，核心应用都与稳态场有关。①热传导问题：当一块金属板的边缘温度固定，经过足够长时间后，板内温度分布函数就是调和函数。此时热量不再流动，温度场达到稳态，没有局部热点或冷点。②静电场稳态问题：无电荷区域内的电势函数是调和函数，满足拉普拉斯方程。例如平行板电容器之间的电势分布，没有局部电势极值，电场线是均匀分布的。③流体力学无旋流动：不可压缩、无旋的理想流体的速度势函数和流函数都是调和函数，用于描述流体的稳态流动（比如水流绕过障碍物时的流线分布）。④复变函数的共轭性：任意一个解析函数，其实部和虚部都是调和函数，且满足柯西-黎曼方程。这实际上是使用复变函数解决二维场问题的关键依据。2.3.2解析函数与调和函数的关系定理2.5给出了解析函数与调和函数之间的对应关系和相互依存关系，从而构成了复变函数理论的一个核心纽带。定理2.5解析函数与调和函数设函数在区域

D内解析，则f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是区域

D内的调和函数。证明设函数在区域

D内解析，则其满足柯西-黎曼方程

由于解析函数具有任意阶导数（将在后续章节介绍，这里先行利用），故u(x,y)和v(x,y)均存在任意阶连续导数。这样，有又因为因此，同理有可见，u(x,y)和v(x,y)都满足拉普拉斯方程，故二者均为区域

D内的调和函数。2.3.2解析函数与调和函数的关系【例2.5】判定复变函数的实部和虚部是否为调和函数.解实部，计算二阶偏导数，有，则满足拉普拉斯方程。虚部，计算二阶偏导数，有，则满足拉普拉斯方程。因此，u(x,y)和v(x,y)都是调和函数。2.3.3共轭调和函数1.共轭调和函数的概念共轭调和函数是针对二维调和函数定义的概念，其核心是建立两个调和函数的关联，使其能组合成解析函数，是复变函数连接数学物理场问题的关键纽带。定义2.4共轭调和函数设u(x,y)和v(x,y)均为区域D内的调和函数，且满足柯西-黎曼方程

则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。由共轭调和函数的概念可以推知，复变函数在区域

D内解析的充分必要条件是，在区域

D内f(z)的虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数。由解析函数与共轭调和函数的关系，可以实现由一个调和函数与其共轭调和函数构造出一个解析函数的方法。2.3.3共轭调和函数2.由调和函数的共轭性构造解析函数的方法（1）偏积分法若已知一个调和函数u(x,y)，则可以利用柯西-黎曼方程求得其共轭调和函数v(x,y)，从而构成一个解析函数，这种方法称为偏积分法。偏积分法的算法步骤为：①依据拉普拉斯方程验证u(x,y)是一个调和函数。计算u(x,y)的二阶偏导数和，并验证②由柯西-黎曼方程求v(x,y)的偏导数。根据柯西-黎曼方程，有③对偏导数进行积分求v(x,y)选择偏导数中的一个进行积分运算，以对关于y的积分为例，有，其中是积分常数，是关于x的函数，与y无关。将v(x,y)的积分是代入另一个柯西-黎曼方程，求解④组合为一个解析函数。也可将u(x,y)和v(x,y)转化为的形式，以简化函数。2.3.3共轭调和函数【例2.6】判已知调和函数，求解析函数.解①验证调和性：由，知满足调和条件，故为调和函数。②求v(x,y)的偏导数：③积分求v(x,y)：对关于y积分，有。再对v(x,y)求x的偏导。结合，得，从而得到（常数）取，则有④构造解析函数：2.3.3共轭调和函数（2）线积分法当区域D为单连通区域时，可通过与路径无关的线积分求v(x,y)，本质是利用全微分条件。由于单连通域内积分与路径无关的问题将在后续章节介绍，故此处对线积分法构造解析函数的方法不做详细介绍，仅给出一例简要说明之。【例2.7】给定调和函数与例2.6相同，仍为，试采用线积分法求解v(x,y).解①计算偏导数：②分两段积分：路径1：，路径2：，③总积分：，取，则有，与例2.6的结果相同。2.3.3共轭调和函数3.共轭调和函数的几何意义与物理意义（1）共轭调和函数的几何意义共轭调和函数u(x,y)和v(x,y)的几何意义主要体现在二者的等值线簇的正交性上。对于共轭调和函数对u(x,y)和v(x,y)，其等值线分别为（2.8）式中，C1和C2为常数。设解析函数，等值线是以为渐近线的双曲线簇；等值线则是以坐标轴为渐近线的双曲线簇。如图2.1所示。若u(x,y)表示静电位（也称为静电势），则表示等电位线（也称为等电势线）。若u(x,y)表示温度，则表示等温线。2.3.3共轭调和函数图2.2表示了图2.1中实部和虚部两簇等值线叠加的情况叠加之后，实部和虚部两条等值线在交点处的法向量分别表示为和，由柯西-黎曼方程，有

上式表明，两等值线簇在交点处相互垂直，即正交。2.3.3共轭调和函数（2）共轭调和函数的物理意义共轭调和函数的物理意义是对同一二维稳态场的“势分布”与“通量分布”的互补描述，二者结合可完整刻画场的性质，这里结合静电场问题简介如下：在静电场描述中，调和函数u(x,y)表示静电位，其满足拉普拉斯方程，表示无电荷区。等值线是等电位线。共轭调和函数v(x,y)表示电通量函数，等值线表示电力线。等电位线与电力线处处正交，电场强度方向沿电力线切线方向，且垂直于等电位线；通过的等值线密度可判断电场强度大小（密度越大，场强越强）。例如平板电容器的等电位线是水平直线，电力线是竖直直线，二者正交，符合电场分布规律。共轭调和函数的几何正交性，决定了描述场的两个函数必须满足柯西-黎曼方程，进而表现为等值线簇的正交特性；反之，通过几何正交性可验证物理场描述的合理性。2.3.4解析函数在工程技术中的应用1.电磁场与微波工程中场分布的精确求解无电荷或无电流区域的静电场、恒定磁场，其电势函数和磁势函数均满足拉普拉斯方程，属于调和函数。由此构造解析函数，即为复势函数，可同时描述势分布和场强分布，而解析函数的导数f’(z)则直接对应电场强度/磁场强度。

2.信号处理与控制工程中的系统稳定性分析控制系统的传递函数是解析函数，其中自变量为复频率。传递函数的极点和零点分布直接决定系统的稳定性。设控制系统的传递函数为，其中K为系统增益。现需要根据的极点分布确定系统的稳定性。由的表达式知其极点为，且在复平面除极点外处处解析。构造闭合曲线包围右半复平面，计算沿该曲线的辐角变化量。