山东省东平县七年级鲁教版（五四制）数学上册导学案第一章三角形复习

山东省东平县七年级鲁教版（五四制）数学上册导学案第一章三角形复习

一、复习主题与目标定位

本章复习立足于“图形与几何”领域，以三角形的核心概念与性质为基础，以全等三角形的判定与性质为核心，以几何推理意识的启蒙为关键，旨在帮助学生构建系统化、网络化的知识体系。复习课不仅仅是知识的简单再现，更是思维能力的进阶训练。教学目标严格遵循课程标准，从以下三个维度深度整合：

（一）知识与技能目标【基础】【重要】

学生能够准确叙述三角形的相关概念，包括三角形的定义、分类（按角分：锐角、直角、钝角三角形；按边分：不等边、等腰、等边三角形）、三条重要线段（角平分线、中线、高线）的定义及性质。能够熟练掌握并运用三角形内角和定理及其推论（直角三角形的两个锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）进行角度的计算与推理。能够精准识别全等三角形的对应顶点、对应边和对应角，深刻理解并灵活运用五种三角形全等的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS，HL）以及全等三角形的性质（对应边相等，对应角相等）解决复杂的几何问题。

（二）过程与方法目标【重要】

通过构建“三角形知识思维导图”，引导学生经历知识梳理、归纳总结的过程，提升信息整合与系统化思维能力。通过对典型例题的变式训练与探究，培养学生从复杂图形中分解基本图形的能力，以及类比、转化、分类讨论的数学思想方法。在几何证明题的书写过程中，进一步规范逻辑推理的步骤与格式，训练学生言之有据、条理清晰的演绎推理能力，发展学生的几何直观与空间观念。

（三）情感态度与价值观目标

在小组合作探究活动中，培养学生的团队协作精神与交流表达能力。通过对几何问题的多角度探究，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学思维的严谨性与逻辑美，感受数学在解决实际问题中的价值，逐步形成尊重科学、实事求是的理性精神。

二、复习内容与重难点解析

（一）复习内容的知识网络构建

本章内容可归纳为四大模块：

1.三角形的边与角【基础】【高频考点】：包括三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）及其应用；三角形内角和定理及推论；三角形按边、按角的分类。这是解决所有三角形问题的基础。

2.三角形中的三条重要线段【基础】：三角形的角平分线、中线、高线的概念、画法及性质。需特别强调“高线”的分类讨论（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形高的位置差异），以及中线等分三角形面积的性质。

3.全等三角形的判定与性质【核心】【非常重要】【高频考点】【难点】：

（1）判定方法：SSS（边边边），SAS（边角边），ASA（角边角），AAS（角角边），HL（斜边、直角边，仅适用于直角三角形）。需精准辨析每个判定方法的条件，特别是“SAS”中的角必须是两边的夹角，“HL”使用的特定前提。

（2）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段（角平分线、中线、高线）相等，周长、面积相等。

（3）几何证明是本章的制高点，要求学生能熟练进行文字语言、图形语言、符号语言之间的转换，规范书写证明过程。

4.利用三角形全等测距离【热点】：这是全等三角形知识在实际生活中的应用，体现了数学建模思想，将实际问题转化为数学问题（构建全等三角形），进而求解。

（二）教学重难点精确定位

1.教学重点【重要】：

（1）三角形内角和定理及其推论的应用。

（2）全等三角形的五种判定方法的灵活选择与综合运用。

（3）规范书写几何证明题的推理过程。

2.教学难点【难点】：

（1）在复杂图形中，准确识别出全等三角形，并找出对应的边和角。

（2）根据不同条件，灵活选择和恰当运用恰当的判定定理（特别是“SSA”不能判定全等，需通过反例强化理解）。

（3）解决与三角形高线有关的分类讨论问题，以及动态几何问题中的全等三角形存在性探究。

三、教学实施过程（核心环节）

本导学案设计为“三段六环”复习模式，即课前自主梳理、课中合作探究、课后拓展延伸三个阶段，具体包含“忆、理、析、练、悟、用”六个核心环节。

（一）课前自主梳理阶段（忆与理）【基础】

【课前导学任务单】

请同学们独立回顾本章所学内容，完成以下任务：

1.【忆一忆】快速翻阅教材第一章，回忆并尝试复述以下核心概念：

（1）三角形的稳定性指的是什么？在实际生活中有何应用？

（2）三角形的内角和是多少度？你是如何验证的？

（3）直角三角形的两个锐角有什么关系？三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有什么关系？

（4）什么是全等形？什么是全等三角形？全等三角形有哪些性质？

（5）判定两个三角形全等的方法有哪些？分别用文字语言和符号语言表示出来。特别地，判定两个直角三角形全等有哪些特殊方法？

2.【理一理】根据自己的理解，在作业本上绘制一幅“第一章三角形”的知识结构图（思维导图）。要求包含所有关键知识点，并尝试标注出你认为的重点和易错点。此项作业旨在培养学生的归纳概括能力，为课堂上的知识系统化分享做准备。

（二）课中合作探究阶段（析、练、悟）

课堂时间分配：第一环节“知识回眸”（约5分钟），第二环节“基础演练”（约10分钟），第三环节“典例精析”（约20分钟），第四环节“变式提升”（约8分钟），第五环节“反思沉淀”（约2分钟）。

第一环节：知识回眸，体系建构

1.【小组交流】将学生分成四人小组，组内交流课前绘制的“三角形知识思维导图”。每位同学轮流分享自己的构建思路，重点阐述各个知识点之间的内在联系。小组长负责整理组内成员的共性认识和典型疑惑。

2.【全班共享】随机邀请2-3个小组的代表上台，利用实物展台展示本组的思维导图，并向全班讲解。教师适时进行点评、补充与提升，引导学生形成对本章知识的结构化认识。

3.【教师精讲】教师基于学生的分享，利用板书或多媒体动态生成一个更为系统、完善的“知识树”。重点强化知识间的逻辑关系：

（1）从一般三角形到特殊三角形（等腰、直角）。

（2）从定性研究（分类、内角和、三边关系）到定量研究（全等）。

（3）全等三角形的判定是核心，它是连接三角形性质与现实应用的桥梁。强调“性质是知道全等得到的结论，判定是具备什么条件才能全等”，两者是互逆的关系。

第二环节：基础演练，查漏补缺【基础】【高频考点】

此环节设计一组覆盖核心知识点的客观题，要求学生快速思考，独立完成，并口答或板演，旨在诊断学生对基础知识的掌握情况。

1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A.1cm，2cm，3cmB.2cm，3cm，6cm

C.4cm，6cm，8cmD.5cm，6cm，12cm

（设计意图：考查三角形三边关系定理，强调“任意两边之和大于第三边”）

2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形

（设计意图：考查三角形内角和定理的应用，渗透方程思想）

3.下列说法中，正确的是（）

A.两个等边三角形一定全等

B.面积相等的两个三角形一定全等

C.形状相同的两个三角形是全等三角形

D.全等三角形的对应边上的中线相等

（设计意图：辨析全等三角形的定义和性质，强调全等与面积、形状的关系）

4.如图（此处口述图形，教师可简单板画），已知∠ABC=∠DCB，添加下列哪个条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）

A.AC=DBB.AB=DC

C.∠A=∠DD.∠ACB=∠DBC

（设计意图：考查全等三角形的判定方法，重点辨析“SSA”不能判定全等的情形。本题条件∠ABC=∠DCB，BC=CB，若添加AC=DB，构成SSA，无法判定）

第三环节：典例精析，能力提升【核心】【重要】【难点】

本环节选取三个典型例题，由浅入深，层层递进，通过师生互动、合作探究的方式，突破难点，提升思维。

【例1】（角度计算与方程思想）

如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线。若∠B=42°，∠C=70°，求∠DAE的度数。

（教学实施过程）

（1）【审题分析】引导学生分析已知条件：高线→直角（90°）；角平分线→两个角相等。所求角∠DAE是△ABD或△ADE的内角，但不易直接得出。

（2）【策略探究】启发学生思考：∠DAE可以看作是∠BAD与∠BAE的差，也可以看作是∠EAC与∠DAC的和。哪一个更容易？因为∠B已知，在Rt△ABD中，可求∠BAD；而∠BAE是∠BAC的一半，∠BAC可由三角形内角和求出。因此，选择“差”的思路。

（3）【规范解答】请一名学生口述解题思路，教师同步板书规范格式。

解：在△ABC中，∵∠B=42°，∠C=70°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-70°=68°。

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=½∠BAC=½×68°=34°。

∵AD是BC边上的高，

∴∠ADB=90°。

在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B=90°-42°=48°。

∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=48°-34°=14°。

（4）【变式追问】若将条件改为“∠B=α，∠C=β（β>α）”，你能用含α，β的式子表示∠DAE的度数吗？（结论：∠DAE=½(β-α)）。这进一步体现了从特殊到一般的数学思想。

【例2】（全等三角形的判定与性质的综合应用）【非常重要】【高频考点】

如图，点B，F，C，E在同一直线上，且BF=CE，AB=DE，AC=DF。求证：AC∥DF。

（教学实施过程）

（1）【独立探究】给学生2-3分钟独立思考，尝试在练习本上写出证明思路。教师巡视，发现学生的典型问题（如条件使用不当、逻辑链条不完整等）。

（2）【小组讨论】组内交流各自的证明方法，重点讨论：要证明AC∥DF，需要什么条件？(同位角相等或内错角相等)图中可能相等的角是哪个？(∠ACB=∠DFE或∠ACF=∠DFC)如何证明这两个角相等？(通过证明它们所在的三角形全等)

（3）【全班展示】邀请一位思路清晰的学生上台讲解，展示其证明过程。

证明：∵BF=CE(已知)，

∴BF+FC=CE+FC(等式的性质)，

∴BC=EF。

在△ABC和△DEF中，

AB=DE(已知)，

AC=DF(已知)，

BC=EF(已证)，

∴△ABC≌△DEF(SSS)【非常重要】。

∴∠ACB=∠DFE(全等三角形的对应角相等)。

∴AC∥DF(同位角相等，两直线平行)。

（4）【方法提炼】教师引导学生总结：本题的难点在于“等边加公共线段”的转化，这属于几何证明中的常见技巧。同时，再次强调SSS判定方法的适用条件和书写规范。

【例3】（难点突破：动态几何与全等存在性探究）【难点】【热点】

如图（教师可画出草图），已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点。点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动。

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由。

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（教学实施过程）

（1）【情境导入】这是一个动态几何问题，是当前考查的热点和难点。首先帮助学生理解题意，明确两个动点的起点、方向、速度和时间。将文字语言转化为图形语言和符号语言。

（2）【问题（1）探究】【基础】

①计算：t=1秒时，BP=3×1=3cm，CQ=3×1=3cm。

②分析：∵AB=10，D为AB中点，∴BD=5cm。PC=BC-BP=8-3=5cm。

所以，在△BPD和△CQP中，BP=CQ=3cm，BD=PC=5cm。

还需一个条件。题目已知AB=AC，所以∠B=∠C。

③判定：在△BPD和△CQP中，BP=CQ，∠B=∠C，BD=CP，

∴△BPD≌△CQP(SAS)【非常重要】。

引导学生写出完整的证明过程，强调对应顶点要写在对应的位置上。

（3）【问题（2）探究】【难点】

①引导学生分析：全等是结果，速度不等是条件。因为速度不等，所以t秒时BP和CQ肯定不相等。那么全等的对应关系就不能是BP对CQ了。还有哪种对应可能？

②分类讨论思想【非常重要】：因为∠B=∠C，所以它们必定是对应角。因此，两个三角形全等时，顶点B与C是对应顶点。那么，点B与C对应，点P与点Q对应？还是点P与点P？由于全等三角形的对应边相等，相等的角所对的边应是对应边。∠B对边是PC，∠C对边是BP。所以，若△BPD≌△CQP，则BP应对应CQ，PC应对应BD？或者BP对应CP？引导学生列出两种可能的对应关系：

情况一：△BPD≌△CQP，此时BP=CQ，BD=CP。

情况二：△BPD≌△CPQ，此时BP=CP，BD=CQ。

③分别求解：

情况一：∵BD=CP=5cm，∴BP=BC-CP=8-5=3cm。

∴t=BP/3=1秒，此时CQ=BP=3cm，则v_Q=CQ/t=3cm/s。

这与条件“速度不相等”矛盾，故舍去。

情况二：∵BP=CP=4cm，∴t=BP/3=4/3秒。

又∵BD=CQ=5cm，∴v_Q=CQ/t=5÷(4/3)=15/4=3.75cm/s。

此时，v_P=3cm/s，v_Q=3.75cm/s，符合条件。

④结论：当点Q的速度为3.75cm/s时，能使△BPD与△CQP全等。

（4）【思想升华】教师总结：本题完美体现了分类讨论思想和方程思想在几何动点问题中的应用。解决这类问题的关键在于根据全等三角形的判定条件，抓住不变的量（如对应角相等），对可能成立的对应关系进行分类讨论，进而用速度、时间和路程的关系建立方程求解。

第四环节：变式训练，巩固内化

此环节提供两组变式题，学生可根据自己的掌握情况选择性完成，教师巡视指导，重点关注学困生。

1.【变式一】将例2中的条件“BF=CE”改为“BE=CF”，其他条件不变，结论还成立吗？请说明理由。（旨在培养学生思维的灵活性，识别等式的不同变形）

2.【变式二】在例3的基础上，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，但不全等，请问经过多少时间后，△BPD与△CQP可能全等？如果不全等，请说明理由。（从正向思维转向逆向思维，加深对全等判定条件的理解）

第五环节：反思沉淀，自我建构

1.【课堂小结】引导学生从以下三个方面进行总结：

（1）知识层面：今天我复习了三角形的哪些核心知识？

（2）方法层面：我掌握了哪些重要的数学思想方法（如转化、分类讨论、方程思想）？

（3）能力层面：我在复杂图形中识别基本图形的能力是否有提高？我的几何证明书写是否更规范了？

2.【整理导学案】让学生利用最后2分钟时间，将本节课上的典型例题、自己的错题和重要的解题心得记录在导学案的相应位置，形成个性化的复习资料。

（三）课后拓展延伸阶段（用）

【课后分层作业】

作业设计分为三个层次，供不同层次的学生选择，旨在巩固基础，拓展能力。

1.【基础巩固】（必做）

（1）完成课本复习题中第1-5题。

（2）已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，求它的周长。（提醒学生注意分类讨论，并验证三边关系）

2.【综合应用】（必做）

（1）完成课本复习题中第6-8题。

（2）如图，要测量河两岸相对两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。请说明其中的道理。（将实际问题抽象为数学模型，利用ASA或AAS证明全等）

3.【拓展探究】（选做）

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

（3）