湖南省株洲市2026-2027学年高二上学期开学学情数学自测卷（人教版A）（解析版）

湖南省株洲市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DABDBCBDABDACD题号11答案BCD1．D【分析】根据集合交集的定义，计算即可得答案.【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以．故选：D．2．A【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可直接写出答案.【详解】的否定为故答案为：A.3．B【分析】利用指数函数与对数函数的单调性与0及1比较即可得出大小关系．【详解】，，所以，故选：B4．D【分析】由已知求得，化为二次齐次式，再化为的代数式，求解即可.【详解】因为，所以，所以.故选：D.5．B【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；对于B选项，若，，则，故B选项正确；对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误；对于D选项，若，，则或，故D选项错误；故选：B6．C【分析】由求出，再利用向量的夹角公式可求得结果.【详解】因为为单位向量，且，所以，得，所以，因为，所以.故选：C7．B【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得.【详解】依题意，画出示意图如下，，，在中，，由正弦定理得，因此（海里），所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是海里.故选：B.8．D【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案.【详解】，，又，故，所以，因为，，所以，因为三点共线，所以，故.故选：D9．ABD【解析】根据互斥事件的定义以及对立事件的定义逐个判定即可.【详解】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；在B中,A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的判定,属于基础题.10．ACD【分析】由辅助角公式得，由此可判断A；由周期公式可判断D；由正弦函数、复合函数单调性可判断B；代入检验即可判断C.【详解】．对于A，，故A错误；对于B，当时，，由正弦函数在上单调递增可知：在上单调递增，故B正确；对于C，当时，，则关于成轴对称，故C错误；对于D，的最小正周期，故D错误．故选：ACD．11．BCD【分析】建立空间直角坐标系，求各点坐标，根据两点结论公式求，判断A，求平面的法向量，直线的方向向量，证明两向量垂直，判断B，由求，，判断C，令，确定，关系，由此判断D.【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方体各顶点坐标为，，，，，，，，因为，，所以点Q坐标为，又因为，，，所以点坐标为，对于A，当时，点，点，则，故A错误；对于B，当时，点，设平面的法向量为，，，由，取，可得，，所以为平面的法向量，，，所以，又平面，所以平面，故B正确;对于C，，，，当时，恒成立，当时，令，得，所以，，有，故C正确；对于D，，，，令，即，，因为，所以，所以，，有，故D正确.故选：BCD.12．2【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果.【详解】因为，所以，解得或.当时，，符合题意.当时，，两直线重合，不合题意.综上，.故答案为：2.13．【分析】可设，由,可得关于a,b的方程，即可求得，然后求得答案.【详解】解析：设,因为,所以,又因为,所以,所以.所以,即,故.【点睛】本题主要考查共轭复数的概念，复数的四则运算，难度不大.14．【分析】由题意可得，当D为BC的中点时，此时向量长度最小，问题得以解决．【详解】根据题意，在正三角形中，有向线段的长度最小时，应与边垂直，有向线段的长度的最小值为正三角形的高，即向量的模的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及向量的模，属于基础题．15．（1）；（2）.【分析】（1）由在处取得最大值2，可得，，图象与x轴的相邻两个交点的距离为，可得，，即得解；（2）可化简原式为，结合，即得解【详解】（1）由题设条件知的周期，即，解得．因在处取得最大值2，所以．从而，所以，．又由得，故的解析式为．（2）．因，且，故的值域为．16．(1)证明见解析(2)①证明见解析；②【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线证得，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）①先证得，，利用线面垂直的判定定理得平面，继而得.再利用平面图形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理即可得证；②设点到平面的距离为，先由余弦定理求得，继而求得，，.再根据等体积法得，即可求得.【详解】（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点．因为是的中点，所以∥．因为平面，平面，所以∥平面．（2）①因为是直三棱柱，所以．因为，为的中点，所以．因为，平面，所以平面.∵平面，∴．因为，，所以，所以．因为，所以，，．因为，所以．因为，平面，所以平面．②在中，，，，则．因为，所以．设点到平面的距离为，由①可知平面，所以三棱锥的体积．则，即点到平面的距离为．17．（1），；（2）81.5,82.【分析】（1）首先计算乙样本中数据在的频率，然后计算样本容量，利用频率和等于1求；（2）根据样本平均值和中位数的计算公式分别计算；【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，而这个组学生有人，则，得.由乙样本数据直方图可知，故.（2）甲样本数据的平均值估计值为.由（1）知，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，故乙样本数据的中位数在第组，则可设该中位数为，由得，故乙样本数据的中位数为.根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为.【点睛】本题考查了样本频率分布直方图中的相关计算问题，需熟记公式：每个小矩形的面积是本组的频率，频率之和等于1，频数=频率样本容量，样本平均数等于每组数据的中点乘以本组的面积之和，中位数两侧的面积都是.18．（1）因为底面，底面，所以.因为底面为正方形，所以，所以平面.因为平面，所以.因为为的中点，，所以.又因为，所以平面.因为平面，所以.（2）；（3）.【分析】（1）证明平面即可；（2）作于点，则是的中点，连接，则为与底面所成的角，即可求解；（3）作，垂足为，则为的中点，连接，则，所以为所求二面角的平面角，即可求解.【详解】（1）略（2）作于点，则是的中点，，且，底面.连接，则为与底面所成的角.设，在中，，，所以.（3）解：作，垂足为，则为的中点，连接，则，所以为所求二面角的平面角.在中，，，所以.【点睛】本题考查空间中直线与直线垂直的证明，考查线面角、面面角的求法，属于基础题.19．(1)为奇函数.证明如下：由，得或，即函数的定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数.(2)当时，的减区间为，无增区间；当时，的增区间为，无减区间.(3)【分析】（1）利用定义法即可证明函数的奇偶性；（2）根据对数复合函数的单调性的应用即可求解；（3）由函数的单调性可知且，进而，则是方程在的两个不同的根，解不等式组即可.【详