数学教学论（第3版）课件 第七章2 数学命题的教学方法

第二节数学命题的教学方法第七章数学命题的教学数学命题的教学方法数学概念的教学数学命题的教学数学解题的教学数学教学的分类数学命题教学的设计应凸显数学猜想的形成过程，以及数学证明的探索发现过程。并按照“观察（实验）—归纳—猜想——证明”的数学活动过程进行教学设计，不断发展学生的合情推理能力和逻辑推理能力。12数学公理的教学方法定理、公式的教学方法CONTENT目录数学公理的教学方法数学公理是指一组不证自明的命题，与不用定义的原始概念地位作用类似。数学公理的概念首先应当使学生了解什么是公理，体会到引入公理的必要性。数学公理的教学0102公理这个名称，首次出现于初中几何，是在学生初步掌握推理方法的基础上提出来的。教学时可以引导学生回忆前面一些定理的证明过程，使学生认识到定理的证明是以它前面的一些定理为依据的。在此基础上可以这样提出问题：“如果每一个后面的定理都依据前面的定理来推证，那么怎样来证明第一个定理呢？”由此，让学生体会到每一数学体系内，必定存在着一些作为推理基础且不加证明的原始命题，即数学公理。数学公理的教学方法数学公理的教学方法公理教学宜采用学生自己动手探索、观察实验，或者由学生熟知的具体事例或生活经验归纳出规律的策略。公理的真实性是人们从长期的生产实践中总结出来的，在教学中应该让学生理解这种真实性，明确公理的意义，教学才能收到好的效果。数学公理的教学例：直线的基本性质对于直线的基本性质(公理)：“经过两点有一条直线，并且只有一条直线．”教材中已采取了用实验来明确的办法，即过一个点作直线，再过两个点作直线，然后总结出规律。在教学中，这个过程最好让学生自己动手，在纸上实践，并可以让学生考虑和尝试过三个点作直线(有时能画一条，有时画不出)，这样学生对“有且只有”的含义更为明确、深刻。公理的内容，也以先让学生尝试总结出为好，得出结论后，还要用更多的实际事例去验证，只要求学生理解，而无需死记这些实例。数学公理的教学方法例：“在所有连结两点的线中，线段最短”公理的教学课本中采用把连结两点的曲线、折线拉直，与线段比较的办法。在教学中，应具体操作，而不要仅仅是口头表述一下。此外还可以利用学生走路的经验，两地之间，走直路或走弯路，或走折线形的路哪个路程最短。这样学生便会对公理有深刻印象，并能学着加以应用。数学公理的教学方法定理、公式的教学方法按照现代教育原理和心理学原则，在数学教学中，不宜由教师直接给出定理的现成内容，而是应该启发学生，通过实验、观察、演算、分析、类比、归纳、作图等步骤，自己探索规律，建立猜想，发现命题。作为引入的数学任务应能引起学生认知新知识的内在需要。定理、公式的教学方法(一)定理、公式的引入几种比较好的引入方法(1)通过对具体事物观察和实验与实践活动，作出猜想定理、公式的教学方法典型的例子是教三角形内角和定理时，可以让学生事先各自用硬纸做一个任意形状的三角形，把它的三个内角剪开后拼在一起，自己发现三个内角之和等于1800。又如，在“有理数乘法法则”教学中，有的教师以“蜗牛运动”为问题情境，利用学生已有的知识——“数轴”为工具，通过让学生在数轴上表示——用符号表示——概括一般规律的策略，引导学生或者独立观察、思考，或者合作交流探索“有理数乘法法则”。(2)通过推理直接发现结论由公理直接推出“三角形任何两边的和大于第三边”，由公理“两点之间，线段最短”直接推出。“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”多边形的内角和定理由三角形的内角和定理通过推理得出由演绎推理直接推出通过归纳或类比推理再作出猜想的办法引入定理、公式“商的算术平方根的性质”定理、公式的教学方法(3)通过命题间的关系，由一个命题制作出它的逆命题例如，教过线段垂直平分线的性质定理以后，在学判定定理时，可引导学生把已学过的性质定理作为原命题，让学生制作出它的逆命题，再加以证明定理、公式的教学方法(二）定理、公式的证明这既是弄清命题本身的要求，又是对命题进行证明的前提，也是应用命题来解决问题的需要。1．引导学生分清定理、公式的条件与结论定理、公式的教学方法每个数学定理、公式都有相应的适用范围，都是在某些条件下或某个范围内成立的相对真理。例如：算术根的运算法则是以各个算术根存在为前提；对数运算法则必须以各对数有意义为前提等等。1．引导学生分清定理、公式的条件与结论定理、公式的教学方法一般地，前提是结论的充分条件，具有“若p则q”的形式。但有一些定理的表述采取的是简化形式，容易使条件和结论变得不十分明显，学生开始时会感到难以掌握。例如，“圆的内接四边形的对角互补”，对于这类命题，可以先转换为“若p则q”的形式，即“若两个角是圆的内接四边形的一组对角，则这两个角互补”。1．引导学生分清定理、公式的条件与结论定理、公式的教学方法对于用文字叙述的定理，分清条件和结论后还要进一步用数学符号表达出来。如“三角形三个内角的和等于

”，即“如果三个角是三角形的三个内角，那么这三个角的和等于

”。用数学符号表达为：若△ABC的三个内角为∠A、∠B、∠C，则∠A+∠B+∠C=。1．引导学生分清定理、公式的条件与结论定理、公式的教学方法弄清与定理、公式有关的概念、关键词的意义。例如，学习定理“在角平分线上的点到这个角的两边距离相等”。应让学生首先回忆“角平分线”和“点到直线的距离”这两个概念。学习定理“同弧或等弧所对的圆周角相等”时，就需特别强调“等弧”的概念，它并非是长度相等的弧，而是“在同圆或等圆中，能够互相重合的弧”。1．引导学生分清定理、公式的条件与结论定理、公式的教学方法定理（公式）的证明是定理的重要组成部分，是定理教学的重点，许多定理的证明方法本身就是重要的数学方法，所以定理的证明不仅是得出结论的手段，它本身也是学生学习的重要内容。定理证明的教学还是学生学习思维方法、发展思维能力、培养良好的思维品质和思维习惯的最为重要的过程。教学时，教师要着重分析，使学生了解证明的思路和方法。2．帮助学生掌握定理、公式的证明定理、公式的教学方法对于定理、公式证明，以下的教学处理常常是有效的：分析证明的思路，掌握证明的方法注意定理、公式的多种证法重视定理证明的书写格式和要求定理、公式的教学方法(1)分析证明的思路，掌握证明的方法掌握证明的方法主要是掌握思考的方法，要让学生掌握“从求证着想，从已知入手”的方法从求证着想从已知入手分析是通向发现之路，综合是通向论证之路。教科书由于文字表达的局限，多采用综合法写出证明，教师应注意，教学中需自己作教学法的处理。定理、公式的教学方法即通常所说的分析法或逆推法即综合法或顺推

我们可以这样思考：为了证明这个不等式，考虑到时不等式两边均为正数，故只需证明即这又只需证明即同样的理由，又只需证明即而这是显然的，故结论得证，思路变得很清晰、自然，最后再用综合法写出证明过程。定理、公式的教学方法（2）注意定理、公式的多种证法对一个命题采用多种证明方法，不仅可以开拓学生的思路，训练思维能力，而且还能使学生从横向和纵向方面把握命题，加深对命题的理解。但考虑到教学时间的限制，可以以一种证明为主，另外的证明方法经教师提示后由学生自己在课后完成。定理、公式的教学方法例：正弦定理的证明在直角三角形中，边之间的比就是锐角三角函数，研究直角三角形的正弦，就能证明直角三角形中的正弦定理。考察锐角三角形，可以发现与都表示AB边上的高，利用同高的两种不同表示，很容易证明锐角三角形的正弦定理。钝角三角形中可以利用正弦函数的诱导公式证明正弦定理。除了这些方法之外，还可以用向量的投影和数量积的概念证明正弦定理，即向量法。定理、公式的教学方法正弦定理的证明上面证明中，向量方法虽然简单巧妙，但是这种方法的思路对许多师生仍显得不自然。等腰梯形判定定理的证明中学课本中是通过在同一底上的两个角相等的梯形是轴对称图形而完成的。这一证法对于学生巩固和运用轴对称概念固然有些好处，但从证法本身来说，并不简单，思路也不自然。我们对定理寻求多种证法，还需有所分析和比较。而首先应该是，其思路相对于学生知识实际上是最简单、最自然的那些方法。定理、公式的教学方法(3)重视定理证明的书写格式和要求课堂教学中定理证明的书写对学生起着示范作用，要根据教学的不同阶段对学生的不同要求，在书写格式中予以明确，以做到条理清楚、表达准确、严谨而不繁琐。定理、公式的教学方法（三）定理、公式的应用学习定理、公式的主要目的在于应用。教学中，及时指出定理的应用价值和适用范围，对引起学生的有意注意，提高学习积极性、目的性以及运用知识的准确性都是十分必要的。例如，教余弦定理时，应向学生指出，它不仅在以后解三角形中广泛应用，而且在解有关测量问题、其他平面几何问题，解析几何问题时都要用到。