数学教学论（第3版）课件 第6章 数学概念的教学

第一节数学概念的特点主讲教师：第六章数学概念的教学节目录12数学概念的特点数学概念教与学的认知心理学基础数学概念教学的方法3数学概念教学的案例3

1数学概念的特点1数学概念的特点数学概念的特点高度的概括性和抽象性同时具有两种属性一定的系统结构数学概念是客观事物的数和形方面的本质属性的反映。它是排除一类对象的具体物质内容(如颜色、气味、重量等)以后的抽象。数学概念的抽象程度、概括程度还表现出层次性。有些概念具有明显的直观意义，如几何中的直线、角、圆等概念，代数中的自然数、负数。有的概念是通过对已有的概念进一步抽象概括而产生的，例如函数、分式、向量等有的概念则纯粹是“思维的自由想象和创造的产物”，又如四元数、n维空间、群、环、域等。低抽象度概念一般可以看作高抽象度概念的具体模型。1数学概念的特点1.数学概念具有高度的概括性和抽象性数学概念通常用抽象的符号表示。这些符号使得数学较其他学科更加简明、清晰、准确。一个数学概念通常包括五个方面：概念的名称定义符号例子属性1数学概念的特点1.数学概念具有高度的概括性和抽象性

概念的定义正例：不同位置和方向上的各组平行线；反例：“两条没有公共点的直线叫做平行线”；属性：传递性、同位角相等、内错角相等等。概念的名称符号数学发展的历史表明，数学是一个有机的整体。数学概念是随着数学知识的发展而不断发展，学习数学概念也要在数学知识体系中不断加深认识。1数学概念的特点2.数学概念具有一定的系统结构一次函数二次函数有理分式函数对数函数三角函数反三角函数函数概念的联系数学课程总是把许多重要的数学概念、数学思想按螺旋上升的方式分散安排。这就要求教师不仅要了解所教内容的意义和应用，更要经常“瞻前顾后”，适时强调该内容与其他内容的联系，促进学生不断从新的角度理解原有的知识，对认知结构进行调整和重新组织。教学要始终重视知识的整体理解和整体加工处理，将原来彼此分散、彼此分割开来的知识联系成一个统一的整体，揭示出整体规律、整体思想以及处理问题的多种角度和方法。从数学概念之间的关系中来学习概念，可深化对所学概念的认识，有利于加深对有关概念的理解，也便于学生记忆。1数学概念的特点2.数学概念具有一定的系统结构1数学概念的特点2.数学概念具有一定的系统结构集合的交的概念代数式的最大公因式方程组的解直线的交点独立事件同时发生的概率

数学概念既表现为一种动态的算法、操作过程，又表现为一种静态的结构、对象。许多研究表明，数学概念的认知顺序通常是“先过程后对象”。针对数学概念的二重性特征，在实际运用时必须根据情境的需要，灵活地改变认识的角度，有时要把某个概念当作有操作步骤的过程，有时又需将它作为一个整体性的静态的对象。1数学概念的特点3.许多数学概念同时具有两种属性过程性思维函数的“变量”观点

结构性思维函数的“对应”观点

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第二节数学概念教与学的认知心理学基础主讲教师：第六章数学概念的教学背景现行中学数学课程标准指出：数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。认知心理学认为学习就是学习者原有认知结构的组织和重新组织。因此，教师在进行数学教学时，既要注意学习材料本身的意义和逻辑性，也要关注学生的已有知识基础，以及学生学习数学的动机和兴趣。2数学概念教与学的认知心理学基础认知主义心理学认为，学生的概念形成过程不是消极、被动的，而是个人积极、主动地尝试探究、发现概念的过程。参与程度与学生学习时产生的情感因素密切相关，如学习数学的动机、对学习内容的喜好、成功的学习经历体验、适度的学习焦虑、成就感、自信心与意志等。超负荷的训练、枯燥无味的学习过程、屡次失败的经历都会给学生数学学习留下阴影。数学教学应该关注学习者的情感因素，使学生的非智力因素与智力因素协调发展。教师应当为学生创设一个积极向上而又民主和谐的数学学习环境，使得他们能够在其中自主地、充满自信地学习数学，平等地交流各自的数学理解，并通过相互合作去解决所面对的问题。2数学概念教与学的认知心理学基础学生数学学习的情感因素在教学任务的设计和安排方面，要充分考虑学生认知的需要。好的数学任务应具有以下特征：(1)关注点是数学(2)对学生而言富有挑战性，并且可以达到(3)要求学生解释和验证他们的答案2数学概念教与学的认知心理学基础学生数学学习的情感因素学生过去的经验，既包括日常生活经验，又包括在学校数学课中已获得的知识、技能，是保证学生顺利掌握新数学概念的重要条件。2数学概念教与学的认知心理学基础学生的日常经验在数学概念形成中的影响儿童在学习学校数学之先，在日常的生活实践中已形成了一定的“数学概念”，对现实世界中的空间形式和数量关系有自己的看法和理解指定义明确的，有一定逻辑意义和体系属性的概念对于同一个概念，学生在系统地学习科学知识之前所具有的想法被称为“前概念”与科学概念不同的观念一些日常经验可以帮助学生理解抽象的数学概念有些不精确、甚至是错误的作为教师，我们应明确日常概念对科学概念的理解可以产生积极或消极的两种影响。事实上，学生掌握的科学概念许多都是从日常概念中发展而来的，研究学生自身的经验和概念，可以使教师更好地理解他们考虑问题的方法和理由。因此，概念教学要以学生的日常概念为基础进行设计，对照科学概念，帮助学生从自发性概念中去粗取精，去伪存真，提高概念教学的效果。2数学概念教与学的认知心理学基础学生的日常经验在数学概念形成中的影响根据抽象程度的不同，新旧概念之间一般可以有三种关系，这些关系分别对应三种学习类型：2数学概念教与学的认知心理学基础新旧概念之间的不同关系及其学习类型1.下位关系学习或类属学习当新知识从属于学生数学认知结构中已有的、包容范围较广的知识时，则构成下位关系。这是新知识与学生已有认知结构之间的一种最为普遍的关系。这种学习一般表现为通过增加条件对上位概念进行限制，或补充而形成新的概念。三角形等腰三角形等边三角形函数的一般定义幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等2数学概念教与学的认知心理学基础新旧概念之间的不同关系及其学习类型2.上位关系学习或总括学习当要学习的新知识比已有知识的概括程度更高、包容范围更广，可以把一系列已有知识包容其中时，即原有的观念是从属观念，而新学习的观念是总括性观念。新旧知识之间便构成一一种上下位关系，这时的学习就称为上位学习或总括学习。在上位关系学习过程中，关键是从下位概念中归纳概括出它们的共同特征。导数瞬时变化率实数有理数、无理数、正数、负数、零2数学概念教与学的认知心理学基础新旧概念之间的不同关系及其学习类型3.并列结合学习如果新旧知识之间既不产生下位关系，又不产生上位关系，但是新的内容与学习者已有的一一些观念有某种属性或结构的相似，所以可以通过合理的组织这些潜在的已有的观念学习新知识，这种学习类型就称为并列结合学习。从貌似无关的两个事物中发现它们的某些共同的本质特征，从而获得对知识的一种全新理解。数的运算向量“位移”、“速度”运算直线与平面的平行(垂直)直线与直线的平行(或垂直)2数学概念教与学的认知心理学基础新旧概念之间的不同关系及其学习类型从上面的论述中可以发现，无论哪种类型的概念学习，在教学开始时一般都需要一些先于具体的教学内容而向学生呈现的一种引导性材料，它的作用是在学生认知结构中原有的观念和新的学习任务之间建立起关联。这些材料在认知心理学中称作“先行组织者”，这种教学策略就是先行组织者策略。谢谢！THANKS

第三节数学概念教学的方法主讲教师：第六章数学概念的教学学生的概念学习从本质上看就是概念获得的过程。一般来说，概念获得包括概念形成与概念同化两种方式。学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、关键属性的过程。如果某类数学对象的关键属性主要是由学生对大量同类数学对象的不同例证进行分析、类比、猜测、联想、归纳等活动基础上，独立概括出来的，那么这种概念获得的方式就叫做概念形成。3数学概念教学的方法概念形成与概念同化3数学概念教学的方法感知、辨别不同事例从一类相同事例中抽出共性将这种共性与记忆中的观念相联系同已知的其他概念分化将本质属性一般化下定义概念形成的心理过程以概念形成理论为基础进行数学概念教学创设情境引入数学概念对相关属性进行概括和综合从例证中概括出共同特征抽象出概念的本质属性形成概念的定义，并用符号表示概念正反例证辨析概念的初步应用概念教学的基本步骤1.创设情境引入数学概念概念引入环节的主要目的和任务：让学生体会和认识学习的必要性，包括明确学习这一概念的意义，了解概念的作用，引发学生学习的动机。新概念的引入方式一般可分为两大类：一类是从数学概念体系的发展过程中引入新概念；另一类是从解决实际问题的需要出发引入新概念。3概念教学的基本步骤数学概念教学的方法3概念教学的基本步骤数学概念教学的方法（1）从数学知识内部的发展需要引入有些概念是由某一概念通过逐步推广引申而得到的。例如任意角三角函数vs

锐角三角函数有的概念是由某一概念的内涵或外延进一步推广而得到的。例如高中数学“角”(象限角、任意角)“函数”(对应的观点）有的新概念的产生源于对已有概念的引申思考。例如“平方根”概念就源于开平方运算，即平方运算的逆运算3概念教学的基本步骤数学概念教学的方法（2）通过新旧知识的类比引入类比在数学教学中起着特别重要的作用，广泛用于概念的形成、证明教学和解各类习题的过程中。通过类比引入、运用类比方法也是促进学生在概念学习过程中积极思维的有效途径，对类似的概念进行比较，为确定共同特征和发现差异提供了可能。例如圆周角和球面，圆和球体，角和二面角，平行线和平行平面，三角形和四面体，平行四边形和平行六面体等类比法也可应用于代数概念的形成过程中。3概念教学的基本步骤数学概念教学的方法（3）从实际应用的需要引入中学数学的许多概念都有着丰富的现实背景，这不仅可以使学生了解数学的作用，而且为引人数学概念提供很好的素材。负数概念可以从收入与支出、输球和赢球、盈利和亏本等实际问题引入平均变化率概念可以从平均速度、增长率、膨胀率等实际问题引入方差概念可以从均值相同时如何选拔参赛运动员等问题引入3概念教学的基本步骤数学概念教学的方法（4）从实验活动引入数学活动不仅仅限于利用纸和笔进行运算和证明，观察、实验、尝试、猜测等活动，也是数学研究的重要方式。有些数学概念就可以通过安排学生亲手实践来探索和发现。这种引入方式有助于学生了解数学概念产生的背景和线索，加深感悟，促进对数学概念的记忆和理解。小学生第一次学习整数的有余数除法的概念时，可以采用“分豆子”的实践活动进行2.分析、比较不同的例证，对相关属性进行概括和综合3概念教学的基本步骤数学概念教学的方法函数单调性的教学

初步得出有的“在某个区间上图像上升”，有的“在某个区间上图像下降”通过表格定量地分析自变量的增大与函数值的变化之间的规律让学生观察、思考为学生抽象概括本质属性奠定基础3.从例证中概括出共同特征以“函数的单调性”教学为例，上述函数有很多不同的性质，学生观察思考上述例证，教师可以引导学生尝试概括，从图像、函数值等不同的视角概括出“增函数”“减函数”的共同的特征。概念教学的基本步骤3数学概念教学的方法函数的单调性图像函数值增函数减函数4.抽象出概念的本质属性通过学生独立概括定义，逐步使学生形成和理解用准确的数学语言描述的概念定义，明确概念的内涵。数学的符号体系和表示是数学最有意义的成就之一。掌握并运用它可以有效地发展学生数学思考和交流的能力。数学教学应该揭示符号表示的过程及其重要性，教师不仅要介绍和说明数学概念的符号表示，更要在教学中规范的使用数学符号，并且向学生强调数学符号的意义解释，加强文字语言与数学符号语言之间的互换练习。3数学概念教学的方法概念教学的基本步骤学生独立概括增函数的定义可能出现不全面、不完善的情形逐步使学生形成和理解用准确的数学语言描述的概念定义，明确概念的内涵得到增函数的定义5.形成概念的定义，并用符号表示数学概念将该概念与其他有关概念进行联系和分化，使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相关概念建立起实质的联系。本阶段教学中应注意：(1)对定义的关键词进行分析(2)以实例（正例、反例）为载体，让学生进行辨析。(3)让学生自己举出若干实例，检验学生对概念的理解。概念教学的基本步骤3数学概念教学的方法6.概念正反例证辨析，进一步明确概念的内涵和外延本质上是检验和修正概念定义的过程。通过学生解决用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤。通过运用概念，使得抽象概念变成思维中的具体概念。概念教学的基本步骤3数学概念教学的方法“任意角三角函数”概念——问题设置

7.概念的初步应用，建立与相关概念的联系在概念获得的过程中，很重要的是通过概念之间的关系来认识新概念，由于在这个过程中经历了新旧概念的相互作用，无论是已有的概念还是新概念在认识上都有了发展，认知心理学家把此时的概念称为“精致的概念”。在数学学习中，“精致”可以从两个方面进行：一方面是对新概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”，通常表现为对各种可能的特例或变式进行剖析，分析可能发生的概念理解错误；另一方面是加强概念与概念之间关系结构的“组织”，使所学概念与其相关的知识之间的联系明确化，从而形成一个合理有序的概念系统。概念教学的基本步骤3数学概念教学的方法任意角三角函数三角函数值的符号问题终边与坐标轴重合时的三角函数值终边相同的角的同名三角函数值与锐角三角函数的比较从“形”的角度看三角函数——三角函数线，联系的观点终边上任意一点的坐标表示的三角函数3数学概念教学的方法如果学习过程是以定义的方式直接向学生呈现概念的关键特征，实际上是新的数学概念在已有概念的基础上添加其他新的特征性质而形成，这时学生利用自己认知结构中已有的相关知识对新概念进行加工、改造，从而理解新概念的意义，这种获得概念的方式就叫做概念同化。概念形成与概念同化3数学概念教学的方法总的来看，概念同化主要是从抽象定义出发，以演绎的思维方式理解和掌握概念。概念形成与概念同化以概念同化方式学习概念一般要经历以下几个阶段：(1)揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号;(2)对概念进行特殊地分类，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征;(3)使新概念与已有认知结构中的有关概念建立联系，把新概念纳入到已有概念体系中，同化新概念;(4)用肯定例证与否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的相关概念分化;(5)把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概念融会贯通，组成一个整体。谢谢！THANKS

第四节数学概念教学的案例主讲教师：第六章数学概念的教学一、教学目标(1)通过数形结合，理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。(2)通过对函数图像学生观察、归纳单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养抽象概括的能力，以及数学语言的转换和表达能力;通过对函数单调性的证.明，提高学生的推理论证能力。(3)通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。4数学概念教学的案例以“函数的单调性”为例研讨数学概念的教学二、教学重点函数单调性的概念、判断及证明。三、教学难点归纳、抽象概括函数单调性的定义，以及根据定义证明函数的单调性。四、教学方法教师启发讲授，学生探究学习。五、教学辅助手段计算机、投影仪。4数学概念教学的案例六、教学过程（一）创设情境，引入课题4数学概念教学的案例下图是北京市今年8月8日一天24h内气温随时间变化的曲线图引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考4数学概念教学的案例观察图形，能得到什么信息？问题1预案(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到。(2)在某时刻的温度。(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低教师归纳概括在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。还能举出生活中其他的数据变化情况吗？问题2预案水位高低燃油价格股票价格……教师归纳概括用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值相应怎样变化，是变大还是变小。【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣。六、教学过程（二）从直观到抽象，逐步建立概念4数学概念教学的案例对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义。1.借助图像，直观感知4数学概念教学的案例

问题3预案

【设计意图】引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时感悟函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。4数学概念教学的案例能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?问题4预案

【设计意图】从图像直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识。教师归纳概括这种认识是从图像的角度得到的，是对函数单调性的直观描述性。4数学概念教学的案例

问题5【设计意图】学生的困难是难以确定分界点的确切位置。通过讨论，使学生感受到用函数图像判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、