考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷3

考研数学二(一元函数积分概念、计算

及应用)模拟试卷3

一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)

1、函数F(%)=J/Ff(t)dt,其中f(t)=e""(l+si£)cos2t,则F(x)

A、为正数.

B、为负数.

C、恒为零.

D、不是常数.

标准答案：B

知识点解析：由于被积函数连续且以兀为周期(2兀也是周期)，故F(»=F(O)=

k产f(t)dt=2j。吁⑴出，即FQ)为常数.由于被积函数是变号的，为确定积分值的符

号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即2blf⑴出=©/”(1+

・2

sin2l)d(sin2t)=fo7t—sin2tC8，f，(24-sin2t)dt<0,故应选B.

rInx

设F(%)=,+f(t)dt,敢)连续，则FU)=

2、

A、

/(Inx)

B、

C±/(lnx)

标准答案：A

知识点解析：这是上、下限均为已知函数的变限积分，直接由变限积分求导法得

Fk)=/(%(m)'-e心)=3(依)♦[4十)•故应选人

二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

3、J。=.

标准答案:3.

知识点解析：令£=t,则

原式二八""!/:『de-3

-3

=-》:，*一号（工］oo

-2te~*dt

=-3/大-=-3传「

e~*d/=3.

oo

标准答案：2&・

知识点解析：

令U=G.,行

—=-2(0-2joe-du)=4-y=272.

——Ax

5J1=(1re')=

1

标准答案：ln(l+e)

知识点解析：因(/y=W%+i),令％c，=t,则出=斗%+1)故，于是

r]+X.广8j(l+4).令"’=(r♦*1,

-------------dx=——--------—dx=————山

}1x(\+xex)J1xex(l+zex)h«(!+<)

”:(十一占)市=鹏匕II/=)n^=ln(l+±).

6、曲线％=a(cost+tsinl),y=a(sint-tcost)(0StS2兀)的长度L=

标准答案：2兀2a

知识点解析：曲线由参数方程表出，直接套弧长公式得

L=fy/x，2（t）+y，2（l）df=[y/a2t2cos2t­¥a2t2sin2tdt

JoJo

|2ir

疝=a•—I2=2ir2a.

o2o

7、曲线y2=2%在任意点处的曲率为

I

-（i+JL『-（i（i+2”）/

标准答案：'y]

|y”l

23•

知识点解析：用曲率计算公式K=（l♦¥'）丁由y2=2%推出2yy，=2,得

三、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

8、设两y=a7^（a>0）与y=ln不在（加，yo）处有公切线（如图3.13）,求这两曲线

与X轴围成的平面图形绕为轴旋转而成的旋转体的体积

标准答案：先求a值与切点坐

71=。而，匕=告L,力=卜区外=；.

标.2〃"由两曲线在（如，yo）处

J2A2x0，即°解得飞=」

有公切线得0Ai而，In=L

所

值,y=Ina、

求的旋转体体积等于曲线y=。分别与无轴及直线％=e2所围成平面图

形绕X轴旋转而成的旋转体体积之

差.

J

,TUG)2re

dx-irj(In石尸所

Ib

=7'TX2!O-fX，n2z|：+句:2lnxdz

=ye：-++今加"-罚产•=ye2-y(e2-1)=y.

知识点解析：暂无解析

9、求圆弧£+y2=a2(2与&)绕y轴旋转一周所得球冠的面积.

4:77^7(.w,Wa),则乎=-上,

标准答案：将它表为'dy7%直

接由旋转面的面积计算公式得

5=2*?(y)•］】+($)%=2叭咤好

=2ir•-^a=-rra2.

知识点解析：暂无解析

10、有一椭圆形薄板，长半轴为a,短半轴为b,薄板垂直立于水中，而其短半轴

与水面相齐，求水对薄板的侧压力.

标准答案：取坐标系如图3.17所示，椭圆方程为a?m=1.分割区间［0,a］,

在小区间设，x+取］对应的小横条薄板上，水对它的压力dP=压强x面积=".2川%

=Y5Ca."d%,其中y为水的比重.于是从。到a积分便得到椭圆形薄板所

=告"6・

oaa3

11、在X轴上有一线密度为常数u长度为1的细柠，在杆的延长线上离杆右端为

kmM

a处有一质量为m的质点P,求证：质点与杆间的引力为卜=0（。+'）（M为杆的

质量）.

标准答案：如图3.21建立坐标系,取杆的右端为原点，为轴正向指向质点P.任

Am-d4

2'因此,

取杆的一段3%+dx],它对质点P的引力为dF=（Q.%）杆与质点P

kmp.1_kmM

间的引力大小为F=J"-a(a+Z)a(a+/)*

其中M是杆的质量.图3.21

知识点解析：暂无解析

「—dx与广

Jw

12、比较定积分）。2日26的大小.

标准答案：当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时，只需比较被积函数的

大小就可比较定积分的大小.这里被积函数连续，但积分区间不同，应先通过变量

替换转化为积分区间相同的情形之后再比较被积函数的大

2,二“f*-sin(t+or),

=---------------at=:田巾

，■277J02/+»

知识点解析：暂无解析

T/____“2

(I)〈宣；(n)x/tanxdx<—.

o32

标准答案：(I)设f(%)=V%-%+1,则f(%)在区间［0,1］上连续，且

<0,

,2x-11

/⑴=--J——，工=0,”=T9

2J3--+1

>0.一-”•可见函数放)在点%=2处取得

它在区间［0,1］上的最小值I2,V422,又因f(o)=f(1)=i,故人/

在区间［0，1］上的最大值是f(0)=f(l)=l,从而

注意.dxT

yrn7二=arcsin2t,=%

-T

于是有在F

27T.

(U)注意0VXV4时,0<x<tanx<b则

TT2

=Jx^dx<Jxytanxdz<1

032

知识点解析：暂无解析

14、设政)在(a,b)上有定义，cW(a,b),又f(%)在(a,b)\{c}连续，c为政)的第

一类间断点.问f(»在(a,b)是否存在原函数?为什么?

标准答案：设F(»是f(x)在(a,b)的原函数.考察

0

0

=====Iim(x)=lim/(x)

x洛必达法则«―<,X，

于是尸.(。)=1加/(x),(c)=limf(x).

1"。*T・0由于％=C是f(x)的

lim/(%)与lim/(x)

第一类间断点，故-0Xi-。存在，但不相等，BPF+(c)^F,(c).或

lim/(x)=lim

-c.ox-c-Ofa)*(c),即F〈c)#f(c).这都与F(%)是f(%)在(a,b)的原函数

相矛盾.因此故)在⑶b)不存在原函数.

知识点解析：暂无解析

15、设欧)定义在(a,b)上，cG(a,b),又设H(x),G(»分别在(a,c],[c,b)连

续，且分别在(a,c)与(c,b)是f(x)的原函数.令F(x)=

jH(x),a<x<c.

1C(x)+Q,cW”<以其中选常数co,使得F⑨在义=(：处连续,就下列情

形回答F(»是否是f(%)在(a,b)的原函数.(I)故)在点％=(:处连续；(11)点力^

是f(%)的南一类间断点；(HI)点x=c是f(%)的第二类间曲点.

标准答案：(I)

0

0

广(C)limr(x)=lim/(x)=/(c).

一CX-C洛必达法则因

此，F(%)是f(%)在(a,b)的原函数.(II)F(x)不是侬在(a,b)的原函数,因为在这种

情形下fQ)在(a,b)不存在原函数.(III)若％=。是。%)的8型第二类间断点，则f(%)

在(a,b)也不存在原函数.若存在原函数F(»,贝ij

0

-6~

lim尸(%)==oo

洛必达法则=P(c)不存在，与己

知矛盾.当％=c是非X型的第二类间断点的情形下结论与f(%)的表达式有关，需要

对问题作具体分析.

知识点解析：暂无解析

rcosx-sinx

X<0,

X=0,

ln(1♦■)一-1

16、已知f(%)=x22,在(-8,+8)存在原函数，求常

数A以及f(%)的原函数.

标准答案：易求得

11

[.〃、..In(1+x)-x1洛必达法则..1+x1

limf{x)=lim---------------------+k■■…lim-------------=0,

I：i.x22一o.2x2

..c、..xcosx-sinx洛必达法则-xsinx八

limf[x)=lim---------------------------------------lim-----------=0.

«-*o-2x仅

当A=。时f(x)在％=0连续.于是f(%)在(一8,+8)连续，从而存在原函数.当

A翔时％=0是f(%)的第一类间断点，从而f(%)在(-8,十◎不存在原函数.因此求

得A=0.下求fQ)的原函数.当x〈0时，

代)心=J丑无产业=/7d8inx+18inxd(T)=T+c'5当”>0

jf(x)dx=：2")-%+y]dx,J[m(l+”)・*]d(-：)+卜

=9"ln(l+工”+jN±_i)dz+g

iln(1+x)i八、1c

=1------------------ln(1+4)+—x+C.

时，*22

取C|=O,随之取C2=l，于是当％TO-时与％TO+时Jf(%)d%的极限同为1,这样就

sinx

^'(X)=<1.X=0,

_ln(1x),.、1八

2------------------ln(z1+x)+—x,x>0.

得到f(%)的一个原函数X2

因此Jf(%)d%=FCc)+C，其中C为任意常数.

知识点解析：暂无解析

17、计算下列不定积分:

ra.sinx+6.cosx2-,2

(N)/J——r—dx(a+6#0);

,/(x-a)(h-x)Jasinx+bcosx

标准答案：（I）采用凑微分法，并将被积函数变形，则有

=：(i+x2)^-/TTP+c.

J(II)如

果令1=至，计算将较为复杂，而将分子有理化则较简便.于是

必上id-

对千右端第一个积

分，使用凑微分法，即可得到1-X而第二个积分可使

用代换为=sint,则

sin-r.1-cos2r,i1.■八

------cos/dr=----------dr=--------sinzz+C

JEICOSZ224

=­arcsinx--y-xx2+C,

2

因此=-^-arcsinx---(x+2)-i+C

-x22

dx

+b)x-x"-ab(a-b)a+6

4~T~

2“卜一a十+b

.2x-a-6

=arcsin+C=arcsin

|a-6|-6|

(IV)对此三角有理式，如果分子是asin%+bcosx与(asin/+bcos%)，=acosx-bsinx的

线性组合，就很容易求其原函数，故设aisin%+b|COs%=A(asin%+bcos%)+B(acos%

—bsinx).为此应有

aA-bB=a.„…aa.+bb[ab.

解得

bA♦QB=61,

ra(sinx+btcosx

故dr=4fdx+封在吧―府。小丁

Jasinx+bcosxJJasinx+6cosx

aax+bblah"b"[

+-;-----r-ln|asinx+bcosx+C.

a4°(V)

arcsinx,arcsinx.记,

-dx——.dx==J,+J2.

记原式为J,先分项:A-x易凑微分

2

得J2=Jarcsin%darcsin/=2arcsin)+C.作变量替换

Ji=f-------cosudu-Judcotu

Jsin2ucosix

fCOSU..I.

=-ucotu+I—：—du=-ucotu+In|sinu

Jsinu

(VI)记原积分为

f^L

=sindnltam+

cosJJcos/

知识点解析：暂无解析

-In2--------—，0、fTsinzd%

（I）Jfo5/1-edx;Jo1+siru+cosx,

（田）f5/sinx-sin5xdx;（A）Iaiclan/〃-Id%・

J0J]

标准答案：（I）这是一个含根式的积分，首先应该通过变量替换去掉根式.令

_______J_T

八—/则%—2M（1—J）,d%—I-产di.于是

[71-e2,dx=[2-^dt=y-f：7^~2dt="f"ylnI0=g一2+6）.

2

J0丫Jo1-i2Jo1-r2L1-1101

X

（n）令t=tan2,则2arctant,

2t1-c2□2di

sinx=-------r,co&x=------r,dx=------

1+t21+t11+I

：J；（缶-鼻）出………T,n=f-T,n2.

（IH）由于。sin”-sir?』=JcoJxsinx=\COBX\月二，故被积函数为分段函

TT

数，其分界点为2.于是

f（）/s^nx-sin\dx=1cosx/sinxdx-j\osz/sinxdx=-|-sin^x|'-ysin^x"=A.

（W）作幕函数替换后再分部积分，则有°'

Jiarctan，7^一1dx-Jarctany/l-1dr2

=arctan/t-I）-ft2-——------———-——-df

>」11+（I-1）2Ji-1

=舁■/MB=舁-y/；（G+谷）出

=竽B-信（，.1）/―/-1]L=yTT-2yj.

知识点解析：暂无解析

19、求下列积分：(I)设政尸J/e，dy,求Jo'敢)d%；(口)设函数故)在[0,1]

连续且J(/f(X)d%=A,求1(JJf(»f(y)dy.

标准答案：

)^x2f(x)dx3

(I=yjo/(x)dx=y«7(«)q

,,

(D)令①(x)=Jjf(y)dy,则①'(/)=一侬,于是JodJzf(x)f(y)dy=

1-2/\11/2

--02(x)=-A.

h也f(y)dy]f(%)dx=—B①(x)d①(%)=20

知识点解析：暂无解析

20、设函数故)在(一8,+8)内满足f(%)=f(%—兀)+sin%,且敢)=%,/G|0,兀)，求

Jyf(M.

标准答案：

J/(x)dx=J[/(x-5r)+sinx]dx=Jf(x-TT)dx

7+j/(f)(If=J0/dl+j[/(/-IT)+sin/](k

二三—2+(f(t-ir)d«口±-工三——2+[f(u)(lu=IT2-2.

2Jv2Jo

知识点解析：暂无解析

21、计算下列反常积分；

(DI)(IV)/o^dx(a>0)-

标准答案：(I)这是一个无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计

算.

(口)这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计

11X

“■一■=—・・・・・・

算.因为M-+I)x6+।，且/1,于是有原函数

F(x)=Inx--^-ln(x2+1)=In1.

2Vx2+I

从而f--------------=In=-In-p=；ln2.

+i)Z7TT•。2

十广dx

oJo1+ex

(W)这是一个无界函数的反常积分，其瑕点为a,由于被积函数中含有根式，应通

过变量替换将根式去掉.注意被积函数可改写为

sint),代入即得

it"+2sin/+sinz,)山

IT\32

=T//'+sin2()d<=T(f+T・5)=W

知识点解析：暂无解析

22、假定所涉及的反常积分(广义积分)收敛，证明:

=[f(x)dx.

J-8

1

标准答案：令t=%—X,则当％一+8时，t—+8,%—>0+时，t——00;%T0-时,

t—>+oO;%——8时，tT—8,故应以。为分界点将(*)式左端分成两部分，即

/二(“二小-小+广仆抄”

TW而且将为与t的

£土+4«+/2+4

关系反解出来，即得％=2.同时，当名>0时，"2一—，dx=

；当％V0时,

-y4斗„因此

YgN:/⑴(「意时+丁：/⑴(〜忘W

=1/(r)dr=|/(x)<lx,

即(*)式成立.

知识点解析；暂无解析

23、设f(%)在[a,b]上有二阶连续导数，求证：

J/"(.r)dx=y(6-a)[/(a)+/(A)]+y|/w(^)(x-a)(x-6)dx.

bbb

标准答案：连续利用分部积分有faf(x)dx=faf(x)d(：<-b)=f(a)(b-a)-faf(%)(%-

b)d(x-a)=f(a)(b-a)+fab(x-a)d[f(%)(%-b)]=f(a)(b-a)+a)df(%)+Ja"〃

bb-

(%)(%—a)(%—b)dx=f(a)(b-a)+f(b)(b-a)-faf(Z)dx+faf"(X)(Xa)(x—b)dx，移项

后得

J/(x)dx=--(6-a)[/(a)+f(b)]+/*(^)(x-«)(x-6)dx.

知:只点解析：暂无解析

24、设fQ)与g(%)在但，b]上连续，且同为单调不减(或同单调不增)函数，证明：(b

-a)fabf(X)g(X)<l^abf(X)dxJabg(X)dX-(*)

xxz

标准答案：引进辅助