考研数学三（线性代数）模拟试卷144

考研数学三(线性代数)模拟试卷144

一、选择题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

1、设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA,则B

一C为()

A、E

B、-E

C、A

D、一A

标准答案：A

知识点解析：由B=E+AB=>(E-A)B=E=>E-A=B1由C=A+CA=>C(E-A)=A=>CB

1=A=>C=AB所以，B-C=B-AB=(E-A)B=B'B=E.故选项A正确.

2、n维向量组内，。2,…，am(3Wmgn)线性无关的充分必要条件是()

A、存在不全为0的数ki，k2，…，km，使kg+k2a2+...+km(Xm和.

B、ai，a2,...»am中任意两个向量都线性无关.

C、ai，a2，…，am中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.

D、ai，ct2，…，am中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

3、设A、B为满足AB二。的任意两个非零矩阵，则必有()

A、A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.

B、A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.

C、A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.

D、A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.

标准答案：A

知识点解析：由AB=O知B的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，又由

B，O知B至少有一列非零，故方程组Ax=0有非零解，因此A的列向量组线性相

关.同理由BTAT=(AB)T=O知的列向量组一一即B的行向量组线性相关.

4、设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A、B均为mxn矩阵.现有4个命

题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A巨秩(B)；②若秩(A)N秩(B),则

Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩。)=秩旧)；④若秩

(A尸秩(B),则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是()

A、①②.

B、①③.

C、

D、③④.

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

1

5、与矩阵D二L2」相似的矩阵是()

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：A与对角矩阵D=diag(l,1,2)相似廿A的特征值为1,1,2,且对

应于特征值1的线性无关特征向量有两个，后一条件即3—r(E—A)=2,或r(E—

A)=l,经检验，只有C符合上述条件.

二、填空题(本题共6题，每题分，共6分。)

3040

2222

0-700

6、行列式45-79的第4行各元素的余子式之和的值为.

标准答案：-28.

知识点解析：可直接计算，亦可利用展开法则，得所求值等于行列式

3040

2222

0-700

-11-11=-28.

7、设4阶矩阵A=[ai[3]02饱]，B=[a2pip2p3]»其中ai，a2，pi,p2,03均为4

维列向量，且已知行列式|A|二4,|B|=1,则行列式|A+B|=.

标准答案：40.

知识点解析：|A+B|=|ai+a22pi2仞2p3|=8(|aipip2p3|+|a2pip2(hl)

=8(|A|+|B|)=8(4+1)=40

8、设A为n阶非零方阵，且|A|=0,则|A"|二.

标准答案：0.

知识点解析：必有|A"|=0,否则|A*|，0,则A*可逆，用(A")」右乘AA*=|A|E=O两

端，得A=0,这与A，0矛盾.

9、设A=(aij)3x3是实正交矩阵，且au=l,b=(l,0,0)T,则线性方程组Ax=b的解

是_______.

标准答案：LoJ

知识点解析：由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故

1o

0an

a”又A1=AT,故方程组Ax=b的解为X=A1b=ATb

0

0auan

10、已知向量组ai=(l,2,3,4),a2=(2,3,4,5),a3=(3,4,5,6),04=(4,

5,6,7),则该向量组的秩为.

标准答案：2.

a3，O4)=r(B)=2.

11、设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n—1,则线性方程组

Ax=0的通解为.

标准答案：k(l,1,…，1户也为任意常数).

知识点解析：因基础解系含n—r(A)=n—(n—1)=1个向量，故Ax=0的任一非零解

都可作为Ax=0的基础解系，由条件Gaij=0,i=l,...»n,知匕=(1,1,…，1)丁是

Ax=0的非零解，故Ax=0的通解为x=k〈.

三、解答题(本题共76题，每题1.0分，共16分。)

0-

0

12、已知矩阵1.

AXA+BXB=AXB+BXA+E,求矩阵X.

标准答案：(A—B)X(A—B尸E=X=(A—B)r(A—B)

知识点解析：暂无解析

13、设向量组。尸(1,1.1,3),，a2=(—I，—3,5,1),，a3=(3,2,—1,

a+2)T.O4=(-2,-6,10,a)T.(l)a为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向

量a=(4,1,6,10)丁用可，a2,a3,g线性表出；(2)a为何值时，该向量组线性

相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.

标准答案：对矩阵A=[cia2a3O4kx]作初等行变换，化为阶梯形:

-1-13一24'

0-2-1-4-3

00101

JO00a-1一」⑴当存2时，矩阵A=[a]a2a3回的秩为4,即向量

组ai，(X2,。3，Q4线性无关.此时设xiai+x2a2+x30t3+x4O4=a,解得(x1,X2,X3,

**41n

3a-4.1-a即有,=为十=%‘0'+二^飞)当&=2时,

X4)=(2,-^7**^2),向量组

ai，a2，。3，04线性相关，此时该向量组的秩为3,{ai，02,013}(或{。1，口3，a")

为其一个极大无关组.

知识点解析：暂无解析

14、设齐次线性方程组AmxnX=0的解全是方程b[X]+b2X2+…+bnXn=0的解，其中

T

X=(X1，X2，…，xn).证明：向量b=(b],b2，…，bn)可由A的行向量组线性表

出.

标准答案：由条件知方程组Ax=0与方程组L-x=0同解，故有r(A)=r[」，因此A

Ml

的极大无关行向量组也是Lb」的极大无关行向量组，故b可由A的极大无关行向量

组线性表出，从而知6可由A的行向量组线性表出.

知识点解析：暂无解析

15、设mxn矩阵A的秩为r,月」Vn,已知向量1]是非齐次线性方程组Ax二b的一

个解.试证：方程组Ax=b存在n—r+l个线性无关的解，而且这n-r+l个解可以

线性表示方程组Ax=b的任一解.

标准答案：由秩(A)=rVn,知方程组Ax=0的基础解系含n—r个向量，设Ax=0的

基础解系为：&,匕2，…，则可证明：向量n，&+n，…，G-r+n，是满足题

意的n—r+l个向量.

知识点解析：暂无解析

16、设3阶实对称矩阵A的特征值为人产-1,入2=)3=1，对应于猫的特征向量为

白二(0,1,1)T,求矩阵A.

标准答案：设A的属于特征值入2=入3=1的特征向量为1=（X1，X2，X3）L则

力写X2+X3=0.解得其基础解系为12=（1，o,0）T,^3=（0,1,-1）T,于是得A的

11

标准正交的特征向量ei=。/II0II=氏0,1,1产，e?=3e3=B/II<3II=囱0，

ro10i

1,-1）T,故得正交矩阵历°一司使得P「AP二pTAP

知识点解析：暂无解析

-1-|L2—12•

1是矩阵5a3

已知［=［一"-Tb一2」的一个特征向量.

17、试求a,b的值及0所对应的特征值；

"21-2Ir1-]fA-24-14-2=0

即-5A-a—31。，或

.1-b4+2」LJ

标准答案：由（LE-A比=0解

之得a=-3,b=0,X=—1.

知识点解析：暂无解析

18、问A能否相似于对角矩阵?说明理由.

标准答案：A的特征值为人『入2H3=入3=—1，对应的线性无关特征向量却只有1

个，故A不能相似于对角矩阵.

知识点解析：暂无解析

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1/6熟练

工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训

及实践至年终考核有2/5成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟工所

占百分比分别为Xn和yn，记成向量L-」

求］与［人］的关系式并写成矩阵形式1广一］-4厂”

19、Ly-1」Ly,」Lyi」Ly,」

021「92-

『］=io

Lm」±

标准答案：Lo

知识点解析•：暂无解析

20、验证ai=[J和6-[1]是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特

征值；

标准答案：11=1,12=1/2

知识点解析：暂无解析

当，时，求

Ly,JJ_Ly…J

21、TJ

标准答案:P=[aia2]

知识点解析：暂无解析

22、设3阶矩阵A的特征值为1,-1,0,对应的特征向量分别为ai,a，，若

B=A2-2A+3E,试求B-1的特征值和特征向量.

标准答案：Ba=(A2—2A+3E)ai=A2ai—2Aai+3ai=X]2ai-2川+3(1]=(1J—

2Xi+3)ai=2ai，类似可得Ba2=6(X2,Ba3=3a3,故B的特征值为2,6,3,对应的线

性无关特征向量分别为ai，a2,a3,得B1的特征值为1/2,1/6,1/3,对应

的特征向量分别为kia1,k2a2,k3a3(ki为任意非零常数,i=l,2,3).

知识点解析：暂无解析

23、设A为n阶方阵，秩(A尸rVn,且满足A?=2A,证明：A必相似于对角矩阵.

标准答案：由秩(A)=rVn,知方程组Ax=0的基础解系含n—r个向量：引，

及，…，小一.因此，&,及，…，小一，就是A的对应于特征值0的n—r个线性

无关的特征向量.设A按列分块为A=[aja2…斯]，则题设条件AA=2A就是[Aai

Aa2...Aan]=[2ai2a2…2词，由Aaj=2aj,知A的列向量组的极大无关组

％就是A的对应于特征值2的r个线性无关特征向量.再由特征值的性

质，知&，…，小-「局「抬上,，叫就是n阶方阵A的n个线性无关特征向量，所

以，A必相似于对角矩阵.

知识点解析：暂无解析

24、设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明：A+E的行列式大于1.

标准答案：1因A正定，有正交阵P,使P「AP二pTAPL儿」其中左〉

2+1

斯+1

=

♦.*

O(i=l,2,...»n)故P「(A+E)P=P—1AP+E*-入・+1」两端取行列

式，得|A十E|=Qi+1)(心十l)..Gn+D>L2设1为A+E的特征值,则有向量*0,

使(A+E)x=Qc或Ax=(入T)x故入一1为A的特征值，因A正定，有人一1>0,即入

>1.故A+E的特征值全都大于1,因为A+E所有特征值的乘积等于|A+E|,故得

|A+E|>1.

知识点解析：暂无解析

25、设心、储分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1,Xn分别为对应于

九1、院的特征向量，记KX)=XTAX/XTX,XGRn,X#)二次型f(X)=xTAX在

XTX=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵A的最大(小)特征值.求三元函数

f(xi，X2，X3产3x/+2x22+3x32+2x]X3在xj+xz^+xs'l条件下的最大及最小值，井

求最大值点及最小值点.

onA-3o-1

A工020，由IAE-A|0A-20

标准答案:J03.-10A-3=(X-2)2(X-4)=0,=>

--1o-r■10r

二0oo—00o

。」得对应的特

九1=入2=2,入3=4.对于入1=入2=2,由2E—A-10-1..00

1

征向量为(0，1,0)T,(1,0,—1产，单位特征向量为(0,1,0),，J2(\>0,一

10-