考研数学公式大全(考研)

高等数学公式篇

导数公式：

基本积分表:

Jkdx=kx+Cfxadx=—xa+,+C,(aw-l)

Ja+1

j-HJX=InX+Cjexdx=ex+C

(a>0,a*1)jsinxdx=-cosx+C

jcosxdx=sinx+C——-^-dx=arctanx+C

J1+x2

jtanxdx=-ln|cosx|+Crdxf>>.八

---；—=sec-xdx=tanx+C

Jcos-xJ

Jcotxdx=ln|sinx|+C

fd：=fesc2xdx=-cotx+C

Jsecxdx=in|secx+tanx|+CJsin2xJ

|cscxdx=ln|cscx-colx|十CJsecx-tanxdx=secx+C

jcscx•cotxdx=-cscx+C

shxdx=chx+C

chxdx=shx+C

22

x:=in(x+7x±a)+C

Vx2±a2

acosx+bsinx,.!」•i「

-------------dx=Ax+OB1lnccosx+dsinx+C

ccosx+dsinx

其中，acosx+bsinx=A(ccosx+dsinx)+B(ccosx4-dsinx)

Ac+Bd=aAd-Be=b=>A,B

三角函数的有理式积分:

.2u1-lTX

smx=----，cosx=------，u=tan—,

1+u21+u22

一些初等函数:两个重要极限:

sinx,

双曲正弦:5以="一"hm------=1

2XT。X

双曲余弦:。丘二纪土"lim(1+%=e=2.718281828459045...

218X

双曲正切:机“四=冬三

chxe+e

arshx=ln(x+VP+1)

archx=±ln(x+VP-1)

1+x

arthx=—In

2

三角函数公式:

、诱导公

我

赧sincostancot

角A\

-a-sinacosa-tana-cota

90°-acosasinacotatana

900+acosa-sina-cota-tana

180°-asina-cosa-tana-cota

180°+a-sina-cosatanacota

270°-a-cosa-sinacotatana

2700+a-cosasina-cola-tana

360°-a-sinacosa-tana-cota

360°+asinacosatanacota

•和差角公式:•和差化积公式:

•倍角公式：

sin2a=2sinacosa

3

cos2a=2cos2a-1=l-2sin2a=cos2a-sin2asin3a=3sina-4sina

3

-cot2a-1cos3a=4cosa-3cosa

cot2a=------------3

「3tana-tana

2cotatan3a=-------------；------

32tana1-3tan-a

tan2a=--------：-

1-tan'a

•半角公式:

a1+cosa

cos—=土

22

1-cosa_sinaa1-cosa1+cosasina

cot—=±

sinaI+cosa21-cosasina1-cosa

•正弦定理：口•余弦定理：口

•反三角函数性质：口

高阶导数公式一莱布尼兹（Leibniz）公式：

k=0

2!k\

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)-fia)=fq)(b-a)

柯西中值定理:'

F(b)-F(a)尸©

当F(x)=N、j，柯西中值定理就孰格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds=J1+)尸"%其中y'=tga

平均曲率a=也3々:从M点到M，点，切线斜率的倾角变化量；加：弧长。

△s

M点的曲率：A：=lim—=—=.

A'fOAsdsJ(l+y'2)3

直线：K=O;

半径为〃的圆：K=-.

a

定积分的近似计算：

矩形法：J/(x)=与^()，0+弘+…+X,，1)

梯形法：jf(x)«(%+y〃)+y+…+y„_,]

bb—ci

抛物线法:]7(x)?

x——[(>o+%)+2(%+”+・••+yn-2)+4(%+%+…+)]

a

定积分应用相关公式:

功：W=Fs

水压力:F=p•A

引力：尸=女警次为引力系数

r

函数的平均值分=j-jf(x)dx

b-aJ

均方根彳

b-a

空间解析几何和向量代数:

222

空间2点的距离：d=|M,M2|=^(x2-x])+(y2-yi)-^(z2-z])

向量在轴上的投影Pr/刀=|码cos。,°是而与〃轴的夹角。

Prju(ax+匹)=Prja{+Prja2

a-b=\a\-bcos。=a也+〃、/+〃力.,是一个数量

II人人yy/，

ab+aJ入+ab

两向量之间的夹角cos。=xx2z

+a“+a

c=axb=axav生，同=同・BsinO.例：线速度：v=HXr.

bxbybz

__a.4a:_

向量的混合积==么byb.=dxB.同cosa,a为锐角时,

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式：A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中R={A,B,C},M()(Xo，y0,Zo)

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=()

3、截距世方程2+义+工=1

abc

Ax+B+Cz+D

平面外任意一点到该平面的距离：d=loyool

7A2+B2+C

x=xft+mt

空间直线的方程口^匕也=七亘=1,其中5={m,n,p};参数方程［y=y0+nt

z=z0+pt

二次曲面：

222

1、椭球面:二+三=1

a2b2c2

22

Xv

2、抛物面:一+==z,(p,q同号)

2P2q

3、双曲面：

2)

单叶双曲面三十乌-「=1

a2b2c2

222

双叶双曲面三一七+J=1(马鞍面)

多元函数微分法及应用

,oz.dz..du.du.du.

全微分：dz=——dx-\--dydu=——dx+——ay+——dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：bzxdz=f*(x,y)Ax+fy(x,)，)△)，

多元复合函数的求导法

丁/、，、_,dzdzdudzdv

z=—=—•—+—•—

dtdudtdvot

rr/、3zdzdudzdv

z=/[w(x,y),u(x,>')]—+—•—

dxduexdvex

当〃=〃(x,y),y=u(x,y)时，

.du,du,

du=——dx+—dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式:

隐函数F(x,y)=0,包=一4也=乙一区什乙_区)也

2

dxFydxdxFydyFydx

HzF

隐函数F(x,y,z)=0,^=-—dz_&

oxF.6’工

丝

F(X,>\M,V)=0怒

隐函数方程组1/(EG)

G(x,y,w,v)=0O(M,V)G“G

avl

du_1c(F,G)a-v-1认F,G)

oxJa(x,v)arJd(u.x)

电__J_d(F,G)a-v-ia(F,G)

决M\

dyJd(y,v)a)z//

微分法在几何上的应用：

方向导数与梯度：

函数z=/(x,)，)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为名cos。+3sin9

dldxdy

其中9为x轴到方向/的转角。

函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(^,y)="i+药

oxdy

它与方向导数的关系是?=8也(1f(x,y)et其中。=cos0-i+sin!??-j,为/方向上的

dl

单位向量。

二是gradf(x,y)在/上的投影。

dl

多元函数的极值及其求法：

A

设。(/，y())=/y(o，%)二°，令：九*0，%)=A,fL,>'o)=B,fyy(x0,%)=C

ArP2万寸jA<0,(Xo.X))为极大值

A>O,*o、)，o)为极小值

则/AC-B2<0M,无雕

AC-B~=(附,不确定

重积分及其应用:

JJ/(x,y)dxdy=JJ/(rcos<9,rsin0)rdrdO

I)I)'

曲面z=f(x,y)的面积A=JJdxdy

D

^xp(x,y)d(yMjW。

平面薄片的重心4》D_D

jjp(-v,y)da，"JJQ(KN)db

D

平面薄片的转动惯量：对于1轴7V=0y”(x,y)dcr,对于y轴=^x~p(x,y)d(y

DD

平面薄片(位于切丁平面)对z轴上质点M(0,0,4),(。〉0)的引力：F={FV,FV,FJ,其中:

F二川r(x，y)Wb口川本,产£=_前

D

D(x2+y2+6/2)2(/+y2+〃2)5D(x2+y2+a2V

柱面坐标和球面坐标：

x=rcosO

柱面坐标：y=rsin^,jjjf(x,y,z)dxdydz=jjjz)rdrdOdz,

z=zQ

其中：F(r,0,z)=/(rcos^,rsin0,z)

x=rsingeos。

球面坐标：y=rsinesin仇dv=rd(p-rsin(pdOdr=r~sin(pdrd(pd3

z=reOS。

9jrritp.t)}

2

JJJf(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,4,6)/sin(pdrd(pd0=jd"d(pJF(ry(p,3)rsin(pclr

000

重心：元二看JJJxpdv,y=jjjypdv,z=-^-jjjzpdv\其中M=x=jjjpdv

2222

转动惯量：/r=Jjj(y+z)A/v,/”J0，+z2)Qh/r=JJJ(x+y)/x/v

QQQ

曲线积分:

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：

设L在L上连续J的参数方程为仁北(皿2岫

j7(X)')ds=J/[0a),〃(f)]J/⑺+.2⑺力(。〃)

＜特殊情况《

y=夕⑴

第二类曲线积分(对姗的曲线积分)：

、二叫则:

设L的参数方程)

y=〃(f)

\P(x,y)dx+。(占y)cly=J{+09(f)"⑺]"(/)}dt

La

两类曲线积分之间的：JPdx+Qdy="Pcosa+Qcos0)ds,其中a和0分别为

LL

L上积分起止点处切向量I勺方向角。

格林公式任鲁磊)dxdy可Pdx+0c/)格林公式：JJ(W-*)dxdy=1Pdx+Qdy

LD

当尸=-y,0=x,gp：---=2U1,得至ij£)的面积：A=[dxdv=L，xdy-)dr

J

dxdy-2L

.平面上曲线积分与路径E关的条件：

1、G是一个单连通区域;

2、P(x,y)fQ(x,y)在G内具有一阶连续偏导数且孚="。注意奇点，如(),())，应

dxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积

在学=当时，P公+Qdy才是二元函数《(x,y)的全微分，其中：

dxdy

(r,y)

〃(x,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)dyf通常设为=y0=0。

(0，%)

曲面积分:

对面积的曲面积分Jjf(x,y,z)ds=jj力x,y,z(x,+z；(x,y)+z：(x,y)dxdy

对坐标的曲面积分P(x,y,z)d)Wz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy.其中：

£

JJR(x,y,z)dxdy=±jjR[x,y,z(x,y)]dxdy\取曲面的上侧时取正号；

JJP(x,y,z)dydz=±jjP[x(y,z),y,z]d)Wz,取曲面的前侧付•取正号；

JJQ(x,y,z)dzdx=±jjQ[x,y(ztx\z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。

z%

高斯公式:

斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：

仃而dQdP6RoQOP.

卜办/阳(及产如%--)dxdy=，Pdx+Qdy+Rdz

8y「

dydzdzdxdxdycosacos产cosy

_a_a_a_

上式左端又可写成gggC=JJ

乙Vdxdydzydxdydz

PQRPQR

空间曲线积分与路径底的条件*等

ijk

史.由-ddd

旋度：rotA=———

dxdydz

PQR

向量场,沿有向闭曲线T的环流量，Pdx+Qdy+Rdz=,X•

rr

常数项级数：

等比数歹打+4+/+…+/i=^-

i-q

等差数列U+2+3+…+〃=^^

2

调和级数4+」+」"!是发散的

23n

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法一一根植审敛法(柯西判别法)：

[p<l时，级数收敛

设：p=lim亚,则”>1时，级数发散

夕=1时，不确定

2、比值审敛法：

「<1时，级数收敛

U

设：E-L,0>1时，级数发散

p=WI-iKnOiTJ

夕=1时，不确定

3、定义法：

s=M)+〃2+…+”〃；lims“存在，则收敛；否则遇九

n〃一XO

交错级数W1-“2+〃3-44+…(或-/+〃2-H3+…”>0)的审敛法----莱布尼兹定理:

fU>U„.,

如果交错级数满闰n嬴%那么级数收敛且其和人”其余项乙的绝对瞰佰小

绝对收敛与条件收敛:

(1)W|+〃2其中〃〃为任意实数;

⑵同+同+闷+…+隔+…

如果(2)收敛，财1)肯定收敛，旦称为绝对I攵敛级数;

如果(2)发散，而⑴收敛，则楸1)为条件收敛级数。

调和级数：z/发散，而zg*收敛;

级数》《收敛；

P<1时发散

〃级数

时收敛

幕级数:

,,,血<1时，收敛于一^

\H>M,发散

对于级数(3)《)+4/+42/+…+//'+…，如果它不是仅在原点I攵敛，也不是在全

/W<R时收敛

数轴上都收敛，则必帚ER,使(凶>/?时发散，其中R称为收敛半径。

\k|=R时不定

夕工耐，R=-

夕=0时，R=+8

(P=+8日寸,/?=0

函数展开成幕级数：

函数展开成泰勒级数：f(x)=于C%)(x-X。)+')(X-工0)2H---F—_("，)(茂_X。)”+,•,

2;〃！

余项：R=£23(x—x)叫/(幻可以展开成泰勒级数做要条件是而nR=0

(n+1)!〃廿

/=丽即为麦克劳林公式：5(幻=/(0)+/(0口+/迎/+-+/工/+-

2!ni

一些函数展开成嘉级数：

(1+x)=1+mx+-------厂+…+------4-----------x+…(-1<X<1)

2!〃！

元3r5、2，1

sinx=x----H-------+(-1)/,-1-------+…(-00<x<+00)

3!5!(2/?-!)!

欧拉公式:

e"+e*

或，,co2sx=.-----------

e"=cosx+zsinx

.e—e-IX

sinx=-----------

2

三角级数:

个aa

fU)=A+ZA”sin(〃初+%)=U+Z("〃cosnx-hbtlsinnx)

a

其中，aQ=n=A”sin(pn,b„=Ancos(pn,col=xo

正交性4,sinx,cosx,sin2工,cos2x…sincos〃工…任意两个不同项的乘积电-乃，乃]

上的积分=0。

傅立叶级数：

8

£o

fM=Z(。〃cosnx+bltsin〃x),周期二27

2n=\

[开

an=—J/(X)COS/?ACZY(n=0,1,2•••)

丸-无

其中

/?“=—Jf(x)sinnxdx(n=1,2,3…)

-a

2

111•••=二(相加)

++7+

F3T46

••二二（相减）

合十铲一下

12

正弦级数:an=0,bn=—jf(x)sinnxdxn=1,2,3…/(x)=sinnxSi奇函数

r\灯

/*)=今+是偶函数

余弦级数：bn=0,an=—j/(x)cosnxdxn=(),1,2…Zcos/u

周期为的周期函数的傅立叶级数:

/⑴=B+2(a“cos竿+公山竿)，周期=2/

2rr=|II

nTix,

---dx(〃=0J,2…)

其中:

5=；J/0)sin干dx

(〃二],2,3…)

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：)/=/(x,y)或P(x9y)dx+g(x,y)dy=0

可分离变量的微分方程一阶微分方程可以仞9g(y)dy=/(x)公的形式，解法：

Jg(y)dy=J/(x)公得：G(y)=/(工)+。称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分雄可以写成包=/(x,y)=9(x,y)，即写成)的函数，解法：

dxx

设〃=2,则/=〃+%半,〃+半=火〃),.♦.虫=产分离变量,积分后将'代替小

xdxdxdxx(p(u)-ux

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程:

1、一阶线性微分方程窜+P(x)y=Q(x)

dx

/当0(x)=O时，为齐次方程，y=Ce

,当。(x)/Of,为非齐次方程，y=(jQ(x)J""，/+C)e

n

2、贝努力方程序+P(x)y=Q(x)yf(n+0,1)

dx

全微分方程:

如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全脩份方程，即：

oa

du(x,y)=P(x,)，)dx+Q(x,y)dy=0,其中:J=P(x,y),《=Q(x,y)

dxdy

.”(x,y)=C应该是该全微分方程的解。

二阶微分方程：

d2y、dy//(x)三0时为齐次

—T-4-PU)—Q(x)y=f(x)

dx2dx0on寸为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*))，"+〃)，'+/，=0,其中〃应为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程S)/+*+q=(),其中3为勺系数及常数项恰好是*)式中)，〃,)，',)，的系数;

2、求出(△)式的两个根4G

3、根据？弓的不同情况，按下表写出（*）式的通解:

（*）式的通解

T4的形式

两个不相等实根（p2—4q>0）rxrx

y=cxe'+c2e-

两个相等实根（〃2-4'/=0）rx

y=（G+c2x）e'

一对共轲复根（p2-4q<0）

y=*（qcos/3x+c2sin/3x）

i\=a+i/3,r2=a-i（3

一二P=限左

22

二阶常系数非齐次线性微分方程

yn+pyf+qy=/*），〃应为常数

/㈤型,力为常数;

Zv

f\x）=e[^（x）cosair+Pn（x）sm5]型

1.1.行列式

2.行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

代数余子式的性质：

①、A,y和与的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|川；

3.代数余子式和余子式的关系：

设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

4.将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;

⑦、特征值；

5.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式;

证明的方法：

②、反证法：

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

是阶可逆矩阵：

O同工0(是非奇异矩阵)；

or(A)=〃(是满秩矩阵)

=A的行(列)向量组线性无关：

。齐次方程组,Ar=0有非零解；

,总有唯一解；

oA与E等价；

=A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

oA的特征值全不为0；

=44是正定矩阵；

u>A的行(列)向量组是A"的一组基；

=A是R"中某两组基的过渡矩阵；

6.对于阶矩阵：无条件恒成立；

7.(*5="尸(A-')r=(Ar)~,(A4)T=(Arf

(AB)r=ffrAr(ABf=BA*(AB)-'=B'A-1

8.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;

关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则:

I、=闽…⑸卜

②、("J、仁制；(主对角分块)

(副对角分块)

A1-A'CB'

④、;（拉普拉斯）

B)OB'

A0、A-''OJ'(拉普拉斯)

⑤、

C吗

I.3.矩阵的初等变换与线性方程组

一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；

2.等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;

3.对于同型矩阵、，若；

行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非。元素必须为I;

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

①、初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

若，则可逆，且；

4.②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：;

5.⑤、求解线形力程组：对于个未知数个力程，如果，则可逆，且；

初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素;

③、对调两行或两列，符号,且，例如：；

6.④、倍乘某行或某列，符号,且，例如：；

7.⑤、倍加某行或某列，符号，且，如：;

矩阵秩的基本性质：

①、0Wr（A,„XH）Wmin（w.H）：

②、r（Ar）=r（A）；

③、若，则；

④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、max(r(A).r(j^))<r(A.B)<r(A)+r(B)；(X)

⑥、r(A+B)<.r(A)+r(B)：(X)

⑦、r(AB)<min(r(4),r(B))；(X)

⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）

1、3的列向量全部是齐次方程组4X=0解（转置运算后的结论）；

II、r（A）+r（B）<n

8.⑨、若、均为阶方阵，则；

三种特殊矩阵的方案：

①、秩为I的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律;

②、型如的矩阵：利用二项展开式；

二项展开式：；

注：I、展开后有项；

nmn（n-l）.......（z?-w+l）n\

11、J=------------------=---------

HI、组合的性质：；

9.③、利用特征值和相似对角化：

伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：；

②、伴随矩阵的特征值：；

③、A'=\A\A-\W|=|A「'

关于矩阵秩的描述：

①、，中有阶子式不为0,阶子式全部为0;（两句话）

②、，中有阶子式全部为0;

10.③、，中有阶子式不为0；

线性方程组：，其中为矩阵，则：

①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；

11.②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；

线性方程组的求解：

①、对增广矩阵3进行初等吁变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

12.③、特解：自由变量赋初值后求得；

由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：

4玉+"“2+・+°"“=4

am.$++•••+anmxn=b„

②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）

③、（全部按列分块，其中）；

2卢］+。2*2+…+4£=£（线性表出）

⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）

1.4.向量组的线性相关性

个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；

个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；

含W有限个向量的有序向量组与矩阵---对应；

2.①、向量组的线性相关、无关。依=（）有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出=〃是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示=3是否有解；（矩阵方程）

3.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；（例14）

4.r（ATA）=r（A）；（%例15）

维向量线性相关的几何意义：

①、a线性相关oa=0；

②、a,月线性相关=a/坐标成比例或共线（平行）：

③、a,6,/线性相关u>共面；

线性相关与无关的两套定理：

若线性相关，则必线性相关；

若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：

若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则（二版定理7）；

向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）

向量组A能由向量组8线性表示

oAX=B1解：

=（4定理2）

向量组A能由向量组B等价or（A）=r（B）=r（A,B）（%定理2推论）

方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；

①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解

②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；

5.③、矩阵等价：（、可逆）；

对于矩阵与：

①、若与行等价，则与的行秩相等；

②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵4的行秩等于列秩।

若，则：

①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；

6.②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）

齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、AKr=（）只有零解=>Ar=0只有零解；

②、Bx=0有非零解=>ABlr=0一定存在非零解；

设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）

也,b”…、0）=（6、出,..、a）K（B=AK）

其中为，且线性无关，向组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：；充分性：反证法）

注：当时，为方阵，可当作定理使用；

①、对矩阵，存在，、的列向量线性无关；（）

7.②、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；

8.%,%,…,见线性相关

存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）

有非零解，即有非零解；

9.,系数矩阵的秩小于未知数的个数；

设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩

为：；

若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（

题33结论）

1.5.相似矩阵和二次型

正交矩阵或（定义），性质：

①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；

②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；

③、若、正交阵，则也是正交阵；

2.注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

施密特正交化：

a=«i；

[如叫^ar][hr_},ar].

b.=dr------------------------------—・・・----------------------

I”曲1也也1-也_|也_/

对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

3.对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4.①、A与8等价oA经过初等变换得到8；

,、可逆；

,、同型；

②、与合同，其中叫逆；

oxlx与，Ar有相同的正、负惯性指数；

③、A与“相似^>PAP=H；

5.相似一定合同、合同未必相似；

6.若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

7.为对称阵，则为二次型矩阵；

元二次型为正定：

。A的正惯性指数为〃；

与合同，即存在可逆矩阵，使；

。A的所有特征值均为正数；

=A的各阶顺序主子式均大于0：

=>4>0,同>0；（必要条件）

概率论与数理统计

第一章

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

特别地，当A.B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)

条件概率公式

P(AB)

P(A\B)

P(B)

概率的乘法公式

P(AB)=P(B)P(A\B)=P(A)P(B|A)

全概率公式：从原因计算结果

F(x)=/U)

P（A）=支尸（纭）P（A|&）

k=\

Bayes公式：从结果找原因

P（B/A）=P（4）"A|即F(x,y)=P{X<x.Y<y}

汽P（一）P（A|纭）

k=]

第二章

二项分布（BernouHi分布）——X-B（n,p）

P（X=3CP*（I-P）M,R=OL.♦M

泊松分布——X-P（X）

力

p（x=%）=—/,（&=0,1,...）

k!

概率密度函数

f(x)dx=\

J-8

怎样计算概率P{a<X<b)

P(a<X<