经济应用数学二线性代数

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2065-经济应用数学二(线性代数)

单项选择题

1.设A和B都是n阶矩降，旦|A+AB|=0,则有()

A.|A|=0

B.|E+B|=0

C.|A|=0M|E+B|=0

D.|A|=0且|E+B|=0

答案：C

2A*X12

1X11

设/(x)=中含有A：”的项的系数是(

32X1

2.111X

A.1

B.-l

C.2

D.2

答案：C

3.若C=AB,贝!J()

A.A与B的阶数相同；

B.A与B的行数相同；

C.A与B的列数相同；

D.C与A的行•数相同。

答案：D

4./「是/的伴随矩阵，且|川丰0,刚A的逆矩阵/「=()o

A.AAf

B.\A\X

cV.M,1,.

D.力W

答案：C

5.矩阵A的秩为r,则知()

A.A中所有r阶子式不为0;

B.A中所有r+1阶子式都为0；

C.r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0;

D.r-1阶子式都为0o

答案：B

6.4是.4的n阶伴随矩阵，且力可逆，则|4|=()o

A.|A|;

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B.1;

C.|A|n-'

D.|A|n*'

答案：C

7.设A,B,C为同阶矩陈，若AB=AC,必推出B=C,则A应满足条件()

A.|A|手0

B.A=0

C.|A|=0

D.A于0

答案：A

8.设A是sxt矩阵，B是同mxn矩阵，如果ACrB有意义，则C应是()矩阵。

A.sxn

B.sxm

C.mxt

D.txm

答案：C

9.设A、B为n阶矩阵，A可逆，k=#0,则运算()正确.

A«=

R|-A|=-|A|

D.

22

cB-A=(B-A)(B+A)

D

答案：D

10.设力为3阶方阵，且|川=2,则力尸=()o

A.2

B.-2

I

C.2

I

D.2

答案：C

11.设A是mxk矩阵，B是mxn矩阵，C是sxk矩阵，D是sxn矩阵，且k=#n,则下列

结论错误的是().

A.8'力是nxk夕巨阵

B.〃是nxk矩阵

C.8/7'是mxs次巨阵

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D.是nxk矩阵

答案：B

12.设A、B为n阶方除，则().

A.I4.4。”♦后0

B(4♦价Z+W+rf

c(必'尺R

D.AB=0时，A=0或B=0

答案：A

13.设A,B均为n阶方阵，下面结论正确的是()o

A.若A,B均可逆，则A+B可逆

B.若A,B均可逆，则AB可逆

C.若A+B可逆，则A-B可逆

D.若A+B可逆，贝!JA,B均可逆

答案：B

14.当()时，A=\°「是正交阵.

A.a=1,b=2,c=3

B.a=b=c=1

Qa=1,b=0,C=

n.a=b=l,c=0

答案：c

15.设A为三阶方阵，且才':0,以下成立的是()

A.A=0

B.心0

C.R(A)=0

D.R(A)=3

答案：B

16.在下列命题中，正确的是()

TTT

A.(AB)=AB

B.若AR3,则、'四；

C.设A,B足三角矩阵，则A+B也处三角矩阵；

22

DA-E=(A-E\A^E)

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答案：D

n।9

■=10,=3=3

17.t满尺（）时，vvI,饯性无关.

A.t=#l；

B.t=l;

C.t=#0;

D.t=0.

答案：A

18.设ai,a2,…，a,为n维向分组，且秩R（a”a2>,•%aj=r则（）o

A.该向*组中任意r个向量•线性无关；

B.该向量组中任怠r+1个向2•线性相关；

C.该向*组存在唯一极大无关组；

D.该向量组有若干个极大无关组.

答案：B

19.如果两个同维的向低组可以相互线性表示，则这两个向珏组（）.

A.相等

B.所含向量的个数相等

C.不相等

D.秋相等

答案：D

20.设a”）2,人是AX=B的三个段性无关的解，其中A是秩为1的4x3矩阵，E是4

维列同型，则下列（）是AX=0的基砧1解系.

+

A.a）+a2a3

B.a]+a2-2a3

C.ai,a2,a3

D.a2一ai,a3-a2

答案：D

21.如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（）

A.相等；

B.所含向量的个数相等；

C.不相等；

D.秩相等。

答案：D

22.两个n阶矩阵A与B相似的，是指（）

A.PAP'=B

B.QAQ=B

C.Q；/\Q二B

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D.AB=E(Q,Pf。均为〃阶可逆方阵)

答案：C

23.当A是正交疏时，下列结论错误的是().

A.A'l=Ar

B.力也是正交阵

C.H也是正交阵

D.A的行列式值一定为1

答率：D

24.设/=-4是方阵A的一个特征值，则矩阵A-5E的一个特征值是().

A.1

B.-9

C.-1

D.9

答案：B

计算题

20I

32g

I50

26.计算行列式、

案

2001

12

3228-17

3543

115578

-11

23110

u00A

0ubQ

0Atf0

27.计算行列式DA00a

答案：D=(a-Z>2)32

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00-1-12、

14-102

求矩阵力二的秩。

-1-42-10

28.(28112J

29,解矩阵方程XA=B,

(51

.-..

335(1444>

2

x4所以T~33

A-=-33

110J

12

(33

答案：3,

O=2*0

2所以

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Xj+x2+x3+2X4=0

■2修+3X2—x3+3X4=0

31.求解线性方程组2xj+5X2-7X34-x4=0

1112、O43)

2313O1—31

、25—7经初笠变换化为00

M：1JI°°，秩R=2.”

答案：故方程组的通解为：其中*k2为任怠游教。

(1A3

ax——210

*

32.求向9•组的一个极大无关组，并把其余向

-2•用此极大无关组线性表示。

13340-3、

(4,%,%)=々210-012

、5-1-17

答案：1°°。J所以一个极大无关组为

=一招+忽

，6

q49口W

2rl+x2-2x,+3X4=0

3』+2x,-Xj+2x4=0

33.求齐次段性方程组玉+与+37"0的通解。

3、

XXVX、=1•/=

I=33-4.4O

所以三=-4%+59基础解系1.所以通解为

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122,

4=2I2

34.设[221,求A的构征值及对应的特征向知.

14T-2-2

-24-1-2=(4-5X4*l/=0

-2

答案：解：-2的征值，=5,A3=-1.

,011)

求矩阵A=101的特征值和特征向量。

35.V1

答案：

IX-1-1

\AE-A\=-12-1=("2)(/1+1>=0

解：由"」2

得•A的特征值为：4=2,4=43=1。

当2时，齐次方程组为(2E-A)X=0t

所以A的属于特证值4=2的全部特征向知为的伏工0)。

当4=4=1时，齐次方程组为(1E-4)x=o,

由

00、

oo

00,解得基础解系为O11'所以A的属于

椅征值4—4=1的全部拘征向量为与R+片以&A洞时为»。

200,

A=110

111

36.求矩阵的枸征值和特征向珏。

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X-200

|AE-J|=-1A-10=(A-2X2-l)2=0

由H-1

答案：解：九1得A的特征值为：4乜4=4=1。

当'、'时，齐次方程组为V-Ji'0,

解得基础解系为

2

1

2

所以A的卮于特征值丹-的仝部特征向生为

当%=4=］时，齐次方程组为（£-A）X=0>

工=O

解得基础解系为1所以A的属于特征值%=小=1的全部特征向《•为

0

kX2=0XxO

37.府二次1期/'G”4"4X,X3>2xn4x2x3腐化为标准型0

答案：解：

・

〃菁8M♦<x,x7-4号”,♦2x；-4x?x,-W

.但♦2x「2xJ-2U「xj・3x；

乂・%.2XJ-2X»

令力./y

乂

所“b般•》为，卜及"y；4y：

38.杼二次型f（x„x2,*1中/巴s凡「3"号1匕为标准型°

4・乂一外

马二川.月

答案：解：由于/中无平方项，故令/.»'，,代入二次型，得

/（4.与.与）,（m一力廿,，川八8-川M-3（乂♦为次

■4一«_2内1,必

・0^-2,力."）・4-4几力・“

・（其・娟’-5♦2%尸♦”:

V”

令今,%+2%

马・必

♦■马♦马

呷为7厂与

所以b解型为:

39.化二次型f(xlfx,,xj=x；-4xK-4X[X3+2X；+3x；为标准跄。

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解：，(巧，/,与)=X；-4x,(x+X)+4(X2-4XX-X”

232+X3)-2x123

(

=(xj—2XT—2X3)*—2x2+X3A_Xj*>

)\=-2X2-2X3

令,必二马十七，二次式为/(壬.2.3)=»；-2资。~

X

答案：.»3=3

填空题

4,如

%%

40.行列式D=5'4妁粒至行列式D二o

4%%

a

p»n%

答案：D'=IU|*a',J"

41.8级排列36215784的逆序数在t(36215784)=___.

答案：10

ITII

051«0

42.若行列式112，贝！Jx=0

答案：-5

43.排列36il5j84在i=___,j=____时是奇排列。

答案：7,2

05i-0

44.若।12，则x=

答案：5

A.一是同阶可逆矩阵,则（43尸

45.

答案：

46.设A为三阶矩阵且A|=2,贝"4A|=

答案：128

47.A*是A的伴雨夕巨阵.且A可逆.则（A*）1

飞r

答案：<-1L

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031S

-11-21

48.若A=I?15'则R(A)=.

答案：2

(；2]

49.设A=V则1J____.

-2I、

31

答案：2

r-l0-24

021)

-1231

50.若A』？"—"，则R(A)=_

答案：3

则向壁组aa2，a：”a।线1生

答案：线性相关

Ax,♦X,♦x,«0

xt4far,4x,=0

52.k满足时，线性方程组，♦町+公产°只有零解.

答案：k=#-2且k=?M

53.单独一个等向母必线性,单独一个非等向量必线性.

答案：相关，无关

54.设々=(110),〃=(030),7=(120),则3a+20-4y=。

答案：(-110)

55.二次型f氏y)=的系数矩阵黑?

答案：l・2I)

56.当t满足条件,使二次型f=x"2x；+3x；+2xM-2X内+21XeX：，至正发的。

答案：-1-V2</<-1+72

57.二次奥F应"二勿一叶一式的系数矩阵是.

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答案：12

证明题.

58.设月，8为r阶矩阵.且2,证明：力》成立的充要条件是“七

答案：证明：由/AN/又/“n/T，4』-£)