第7节 离散型随机变量及其分布列和数字特征

第7节离散型随机变量及其分布列和数字特征

考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念2理解并会

求离散型随机变量的数字特征.

知识诊断,基础夯实

知识梳理

1.离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间。中的每个样本点助都有唯一的实数X(⑼与

之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量

称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为XI,12,…我们称X取每•个

值为的概率尸(X=H)=O,/=1,2,…，〃为X的概率分布列，简称分布列.

3.离散型随机变量的分布列的性质

①p/20(i=l,2,…，〃)；

②〃।+/72~1-----I.

4.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

XXIXI•••Xi•••

・♦♦•••

PPi〃2Pip〃

⑴均值

称+12〃2~1------Fry!------耳工切为随机变量X的均值或数学期望.

它反映了离散型随机变量取值的工继工.

(2)方差

称D(X)=(XI-E(X))2pi+(X2-E(X))>:+…+(Xn一E(X))2/7,,=

25-E(X))25为随机变量X的方差,并称他五匚为随机变量X的标准

差，记为。(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的儡离程度.

5.均值与方差的性质

(\]E(aX+b}=aE(X)-\-b.

2

(2}D(aX-{-h)=aD(X)(gfh为常数).

|常用结论---------

随机变量的线性关系

若x是随机变量，y=ax+667,〃是常数，则y也是随机变量.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

⑴离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现

象.()

(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()

(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()

(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差

或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()

答案⑴J(2)X(3)7(4)7

解析对于(2),离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之

和等于1,故不正确.

2.(易错题)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量均是

()

A.至少取到1个白球

B.至多取到1个白球

C.取到白球的个数

D.取到球的个数

答案C

解析选项A,B表述的都是随机事件；

选项D是确定的值2,并不随机；

选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.

3.(易错题)若随机变量X的分布列为

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

则当P(XVa)=0.8时，实数。的取值范围是()

A.(—8,2]B.[1,2]

C.(l,2]D.(l,2)

答案C

解析由随机变量X的分布列知

P(X<-l)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当P(X<a)=

0.8时，实数。的取值范围是(1,21.

4.(2020・全国IH卷)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为“，〃2,小,

P4,且MP，=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()

A.pi=〃4=0.1,〃2=p3=0.4

B.pi=p4=0.4,P2=P3=O.]

C.pi=p4=0.2,〃2=p3=0.3

D.〃I=〃4=0.3,〃2=“3=0.2

答案B

解析X的可能取值为1,2,3,4,四种情形的数学期望E(X)=lXpi+2Xp2

+3X〃3+4Xp4都为2.5,方差D(X)=[l-E(X)J2Xpi+[2-£(X)J2Xp2+L3-

22

E(X)]XP3+[4-E(X)]Xp4,标准差为(X).

A选项的方差D(X)=0.65；

B选项的方差D(X)=1.85；

C选项的方差。(X)=1.05；

D选项的方差£)(%)=1.45.

可知选项B的情形对应样本的标准差最大.

5.(2022•郴州检测)设随机变量X的概率分布列为

X1234

1\

Pm

346

则尸(|X-3|=1)=.

答案.

解析由:+〃2+[+t=1,解得加=/

P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=|+1=—

6.(2021・浙江卷)袋中有4个红球，机个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球，记取

出的红球数为媒若取出的两个球都是红球的概率为右一红一黄的概率为今则

答案

解析由题意可得尸到=幺化简得(加

=2C)4+m=+〃/^\4=I7Z74I_H)二\3一।Z7?上III)、6

+n)2+7(//14-/2)—60=0,得〃z+〃=5(/〃+〃=—12舍去).

又取出的两个球为一红一黄的概率。=需＞需=/解得〃7=3,故〃=2,

1del

所以"?一〃=1.易知J的所有可能取值为0,1,2,且。(4=2)=j,0(4=1)=F^

-5Pf/_m_C5_A

SC1Q

所以E(C)=0X—+1X-+2X-=-

I考点突破,题型剖析

考点一分布列的性质

例1(1)随机变量X的分布列如下：

X-101

Pabc

其中a,b,C成等差数列，则P(|X|=1)=，公差d的取值范围是

2

答案-

3

解析因为。，b,C成等差数列,

所以2b=a-\~c.

又〃+/?+c=l,所以〃=g,

2

因此P(\X\=\)=a-\-c=y

又〃=；­d,c=；+d,

根据分布列的性质，得041一d2音，0若1+d2音,

所以一9

(2)设离散型随机变量X的分布列为

X01234

P0.20.10.10.3m

①求2X+1的分布列；

②求随机变量〃=|X—1|的分布列.

解①由分布列的性质知，().2+().1+().1+().3+加=1,得加=0.3.

X01234

ix-1|10123

所以P(〃=l)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(〃=0)=P(X=D=0.1，尸(〃

=2)=P(X=3)=0.3,P(〃=3)=P(X=4)=0.3,

故〃=|X—1|的分布列为

0123

P0.10.30.30.3

感悟提升分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机

变量在某个范围内的概率.

训练1⑴离散型随机变量X的概率分布规律为尸氏=〃)=丁%丁(〃=1,2,3,

n(〃十1)

4),其中。是常数，则P@VXv|)的值为()

A.j3

B4C.TD.^

DO

答案D

解析因为p(x=〃)=〃(3)(〃=l,2,3,4),

^..,a.a,a.a,_5

所以］+%+12+2()—L即0n。一『

5

-

所以2=P(X=1)+P(X=2)=JX1+^X1=T.

(2)(多选)设离散型随机变量4的分布列如下表所示:

G-10123

11112

P

1051055

则下列各式不正确的是()

A.P(33)=|B.P(e>1)=!

C.P(2<<<4)=|D.P(f<0.5)=0

答案ABD

解析P(S3)==+9+七+9=1,A错误；

1V-ZJ1V/JJ

i23

^>1)=5+5=5，B错误；

2

P(2<<<4)=P(4=3)=5,C正确；

1i3

P(«0.5)=正+5=正，D错误.

[[考点二分布列的求法

例2有编号为1,2,3,…，〃的〃个学生，入座编号为1,2,3,…，〃的〃

个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学

生人数为X,己知X=2时，共有6种坐法.

⑴求〃的值；

(2)求随机变量X的分布列.

解(1)因为当X=2时，有C与种方法，

n(n——1)

因为&=6,即一~^——=6,也即层一〃-12=(),

解得〃=4或〃=—3(舍去)，所以〃=4.

(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,

由题意可知X的可能取值是0,2,3,4,

所以P(X=0)=xj=五，

C1X11

P(X=2)F

CiX21

P(X=3尸k

3,

P(X=4)=1-24-4-3=8

所以X的概率分布列为

X0234

1113

p

24438

感悟提升离散型随机变量分布列的求解步骤

百忑万」明确随机变量的可能取值有哪些，且每

也早回L~)一个取值所爰/勺意义_____________

国左L」要弄清楚随机变量的概率类型，利用相

包耳土「关公式求出变量所对应的概率

［画，格H按规范要求形式写出分布列)

［做［脸)~~［新用分布列的性质检脸分布列是否正确

训练2甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单

项通过考试的概率依次为3本f2,宏1记甲同学三个项目中通过考试的个数为X,求

随机变量X的分布列.

解随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

p(X=0)=(l-舅X(1—1)x(1

p(x=i)=|x|x|+|x|x1+|x|x^=1,

12131132111

P<X=2)=4X3><2+4X3X2-h4X3X2=^

P(X=3)=3^X2-X-1=1-

，随机变量X的分布列为

X0123

P11111

244244

[考点三离散型随机变量的数字特征

角度1期望、方差的计算

例3为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.

该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时

收费标准为40元(不足1小时的部分按I小时计算).有甲、乙两人相互独立地来

该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为51；1小时以上且不

超过2小时离开的概率分别为1今余2两人滑雪时间都不会超过3小时.

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量3求4的分布列与均值a

方差Q©.

解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0.40,80元，甲、乙两人2小

—

2—

时以上且不超过3小时离开的概率分别为1—1―5=不----

6-36

两人都付0元的概率为Pi=1x1=^,

]21

两人都付40元的概率为P2=2><3=3»

两人都付80元的概率为尸3="义:=古，

则两人所付费用相同的概率为

P=P1+22+23=古+:+==卷

(2片的所有可能取值为0,40,80,120,160,

则PG=0)=聂弓,

p(^=40)=lxj+lxl=l

W=80)=1x|+^x|+1x1=^,

P(^=120)=1x1+|x|=1,

P(f=160)=|x|=^.

所以4的分布列为

(04080120160

1\511

P

24412424

E©=0X：+40X1+80X^+120XJ+160X==80.

D((J)=(0-80)2X^-+(40-80)2x1+(80-80)2X-^+(120-80)2X1+(160-

III乙I

角度2决策问题

例4某投资公司在2023年年初准备将100()万元投资到“低碳”项目上，现有

两个项目供选择：

项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%,也

72

可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为§和全

项目二：通信设备.据方场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%,可能

31I

损失30%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为寻咕.

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.

解若按“项目一”投资，设获利为X万元，%的所有可能取值为300,-15().

则必的分布列为

Xi300-15()

7

P9

72

.,・君(X)=300*§+(—150)X§=200(万元).

若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500,—300,0.则

X2的分布列为：

X2500-3000

31

p

53L5

311

工E(Xi)=500X5+(—300)X-+0X石=200(万元).

7?

D(X\)=(300—200)2Xg+(—150—200)2义§=35000,

311

D(%2)=(500-200)2X(-300-200)2X-+(0-200)2X—=140000.

所以E(Xi)=E(X?),D(XI)<D(X2),

这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥.

综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.

感悟提升求离散型随机变量4的均值与方差的步骤

(1)理解4的意义，写出4可能的全部值.

⑵求〈取每个值的概率.

(3)写出(的分布列.

(4)由均值的定义求E©.

⑸由方差的定义求。(J).

训练32022年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在

一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完

全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将

纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1

个节目，摸到黑球不用表演节目.

(1)求。同学摸球三次后停止摸球的概率；

(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、

方差.

解(1)设同学摸球三次后停止摸球”为事件邑

则P(0=^=/故。同学摸球三次后停止摸球的概率为".

⑵随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.

171]11

P(X=0)=不P(X=l)=^=d，P(X=2)=次+m=4,P(X=3)=^=d，P(X

=4)=Aj=4-

所以随机变量X的分布列为

X01234

11

p46664

期望E(X)=OX；+1X、+2x\+3X*+4X；=2,

方差O(X)=(0—2)2><1+(1—2)2x1+(2—2>><1—(3—2)2x1+(4—2)2><\=,

口分层训练,巩固提升

A级基础巩固

1.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为

蜃则“。25”表示的试验结果是()

A.第一枚6点，第二枚2点

B.第一枚5点，第二枚1点

C.第一枚1点，第二枚6点

D.第一枚6点，第二枚1点

答案D

解析第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5,即只能等于5.故选D.

2.已知随机变量的分布列如下，且七(。=6.3,则。的值为()

4a9

p().5().1b

A.5B.6C.7D.8

答案c

解析由概率分布列性质，知().5+().l+b=l,所以b=().4,所以风第=4X0.5

+〃X0.1+9X0.4=6.3,所以4=7.

3.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1

个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为。，则表示“放回5个红球”

事件的是()

A.f=4B.<=5C.<f=6D./W5

答案c

解析“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故4=6.

4.(2022・沈阳模拟)设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak

+儿若X的均值为E(X)=3,则。一人等于()

AK)B.OC.一京D.|

答案A

解析由题意知(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,又X的

均值E(X)=3,则(〃+与+2(24+份+3(3。+/?)+4(4〃+6)=3,即30〃+10/7=3,

**•67=|0,b=6,ci—Z?=]0.

5.(多选)(2022・泰安期末)设离散型随机变量X的分布列为

X01234

Pq0.4().10.20.2

若离散型随机变量y满足y=2x+i,则下列结果正确的有()

A.g=0.1

B.E(X)=2,D(X)=1.4

C.E(X)=2,D(X)=1.8

D.E(y)=5,D(F)=7.2

答案ACD

解析因为^+04+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确；又E(X)=0X0.1

+1X0.44-2X0.1+3X0.2+4X0.2=2,

O(X)=(0—2)2X0.1+(l—2)2X0.4+(2—2)2义0.1+(3—2)2X0.2+(4—2)2X02=

1.8,故C正确；因为Y=2X+1,所以E(r)=2E(X)+l=5,Q(r)=4Q(X)=7.2,

故D正确.故选ACD.

6.(多选)(2021・杭州质检)已知随机变量£的分布列如下:

g012

pb-aba

则当。在(0,宫内增大时()

A.4。增大

B.E©减小

C.O(②先增大后减小

D.O©先减小后增大

答案AC

解析由随机变量4的分布列得

cW1,

OWT,

<

0«1,

、b—a+b+a=1,

解得〃=0.5,0WaW0.5,

・・・E(9=0.5+2a,0WaW0.5.

故〃在(0,，内增大时，£(J增大.

D(Q)=(一2〃一().5)2(().5—〃)+(0.5-2a)2X().5+(1.5-2a)2a=-4标+2〃+；=—

/、2

GT)+今

所以当4G(0,0时，。(①为单调递增，当0时，。(0单调递减，故选

AC.

7.某射击选手射击环数的分布列为

X78910

P().3().3ab

若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为.

答案40%

解析由分布列的性质得。+8=1-0.3—0.3=0.4,故射击一次的优秀率为40%.

8.已知随机变量^的分布列为

c123

p0.5Xy

15

若仇？=则。©=

8，

55

答案

64

解析由分布列性质，得犬+y=0.5.

又,得2x+3y=石~，

222

gX—(2—号)X〃+(3—SX(=g.

9.一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为I,2,3,4的四个盒

子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫

做放错了.设放对的个数为则4的期望值为.

答案1

解析将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A3种不同的放法,

放对的个数^可取的值为0,1,2,4.

93C1X21

P(J=0)=石=0,P^=\)=~^-=y

尸4=2)=昱=/P(4=4)=*

3]11

所以E©=0X1+lX§+2Xw+4X正=1.

10.甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先

投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为京乙每次投

中的概率为g,求：

(1)乙投篮次数不超过1的概率；

(2)记甲、乙两人投篮次数总和为。，求J的分布列和期望.

解(1)记“甲投篮投中”为事件4,“乙投篮投中”为事件B

“乙投篮次数不超过1”包括三种情况：第一种是甲第1次投篮投中，第二种是

甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，第三种是甲、乙第1次投篮均未投中

而甲第2次投篮投中.

故所求的概率P=P(A+4B+4BA)

13139

=P(A)+P(AB)+尸(ABA)=P(A)+P(A)•户(8)+PG4)P(B)P(A)=z+wXy+jXy

(2)甲、乙投篮次数总和4的值为1,2,3,4,PC=1)=P(A)=/

%=2)=尸(48)=祸=*

3211

Pe=3)=P(4BA)=wXgXw=w；

233

-X---

P(〈=4)=P(4BA)=]34

8-

所以甲、乙投篮次数总和4的分布列为

g1234

1113

p4488

111321

砥)=因十2乂/3＞火+4*1=9.

11.(2022・长沙调研)某高校机器人社团决定从大一新生中招聘一批新成员.招聘分

笔试、面试这两个环节.笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取.现有

甲、乙、丙三名大一新生报名参加了机器人社团招聘.假设甲通过笔试、面试的

概率分别为1*f?;乙通过笔试、面试的概率分别为2东;3，丙通过各环节的概率与

甲相同.

(1)求甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率；

(3)为鼓励大一新生积极报名参加机器人社团招聘，该机器人社团决定给参加应

聘的大一新生赠送一定的手机话费，赠送标准如下表：

参与环节笔试面试

手机话费/元203()

记甲、乙、丙三人获徨的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望.

解(1)设事件A表示“甲被机器人社团录取为新成员”，事件B表示“乙被机

器人社团录取为新成员”，事件。表示“丙被机器人社团录取为新成员”.

2231

----

3342

所以甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率〃=P(A5C+

A8C+A8C)=P(A)P(8)P(C)+P(A)P(8)P(0+P(A)P(8)P(C)=2X(1—

(2)设事件。表示“甲、乙、丙三人都被机器人社团录取”，

则尸(0=尸(A8C)=P(A)P(B)P(C)=(X：X；=t，

所以甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率〃=1—P(Q)

-=1.-±1=8-1118,

(3)X的所有可能取值为60,90,120,150.

P(X=60)=5XQXT=VZ,

4J4]乙

P(X=90)=2X

乙乙」J乙，14J

P(X=120)=2X；XJX,+JXU=R,

乙乙D乙乙O1乙

p(x=150)=5x5XQ=],=大

所以X的分布列为

X6090120150

1i51

P

123126

所以E(X)=60XA+90X1+120义得+150X：=U0.

1LJ1乙v7

B级能力提升

12.(多选)(2021・广州质检)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每

人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是

()

A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为得

1O

B.四人去了同一餐厅就餐的概率为高

C.四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为毛会

2

D.四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为彳

答案ACD

解析四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情

S

况有A2种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为*一式，故A正确；

同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为亲=木，故B错误；

四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为一^=云，故C正确；

设四人中去第一餐厅就餐的人数为副

则4=0,1,2,3,4.

则尸（。=0）=0，尸（。=1）=下一，尸4=2）=飞厂，

C1X51

P（J=3）=~^,P（4=4）=0,

由四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为

01234

54cFC452C1X51

P不646464不

则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值E©=OX3+1X等-+2X*+

C；X512

3X—不~+4X彳=g,故D正确.

13.（多选）（2022•北京海淀区调研）开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时

间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种.已知小明同学每天中午都会在

食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面

食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%

的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第〃天选择米

饭套餐的概率为p“，贝J以下论述正确的是（）

A.小明同学第二天一定选择面食套餐

B.〃3=0.68

C.p〃=().2p〃_】+().8(1—p〃i)(〃22,N)

D.前〃天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为会+得一款一§

答案BCD

解析在A中，第1天小明选择了米饭套餐，则小明第二天有80%的可能选择

面食套餐，故A错误；

在B中，•・,第1天小明选择了米饭套餐，・・・0=O.8XO.8+O.2XO.2=O.68,故B

正确；

在C中，・・,小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类

型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第〃天选择米饭套餐的概率为外,

pn=0.2/7,1-1+0.8(1—pn-1)(n2,〃£N),故C正确;

在D中，当〃=1时，前〃天小明午餐花费的总费用的数学期望为

当〃=2时，前〃天小明午餐花费的总费用的数学期望为

252525(3)2

x-

15+15X0.2+10X0.8=v2X2+7loZ-