第一轮复习自己绝对经典不等式-第一轮

不等式题型分类解析（2016版）

不等式的性质：

1.应用不等式(组)表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：a>b<=>b<a(2)传递性：a>b,b>c=>a>c

(3)力口法法贝(1：a>b=>a-^-c>b+c;。>"=a+c〉〃+”(同向可力口)

(4)乘法法则：a>b,c>0=>ac>be;a>b,c<O=>ac<be

a>b>(\c>d>0nac>bd(同向同正可乘)(5)倒数法贝［J:a>b,ab>0=>—<—

ab

(6)乘方法则：。>Ona">〃"(〃wN*且〃>1)

(7)开方法则：a>b>0=>y/a>ylh(neN*fi/z>1)

2.应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法(作差一一变形一一判断符号结论）

3.应用不等式性质证明不等式

例1：对于实数。，4C,中，给出'列命题：

①若a>b,Mac2>be2;②若ac?>be2，则a>Z?;

(3)若Q</?<0,则cJ>ab>h2;(4)若a<hv0,则l<’;

ab

⑤<b<OJPJ—>—;⑥若av〃v0,贝网>\t\;

ab

⑦若贝lj—>/?,—>-,则〃>(),/?<()

c-ac-bab

其中正确的命题是

例2:Qb>0,下列不等式一定成立的是。

A,1,1口cc「2a+b。八a+bt—r2ab

A.«a+->Z?+-B.-<-C.----->-D.---->\/ab>-------

ababa+2bb2a+h

例3:下列不等式一定成立的是()

A.lg(x2+—)>1gx(x>0)B.sinx+—!—N2(x手k兀，keZ)

4sinx

C.X2+1>2|X|(XG/?)D.>l(xGR)

x-+1

真题：

【2012湖南卷文】设c<(),给出下列三个结论：

①£>：；②"<加；③iog〃m-c)>iog*-c),

ab

其中所有的正确结论的序号是____________

例4:已知-U+yWl,则力-），的取值范围是__________o

例5:f（x）=ax2+bx（a^O）,已知函数满足1K7（7）42,2</（1）<5,则/（一3）的取值范围

不等式大小比较的常用方法：

1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

2.作商（常用于分数指数羯的代数式）；3.分析法；4.平方法；

5.分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；

7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

例6:设〃、〃都是正实数，比较（《丫+（生丫与&+血的大小

例7:设〃、〃都是正实数，且。工人，比较〃少与，父的大小

例8:设。>5,则L-3--4与&-4-夜-5的大小关系为

例9:设a,。是不相等的正数，A=冬，G=J茄，H=当,Q=J之七试比较力、G、H、

2a+bV2

。的大小.

真题：

,c=2；则()

【2012上海卷文】设a=log13,

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【2012四川卷文】设P=log23,Q=log32,R=log2(log32),则()

A.R<Q<PB,P<R<QC,QvRvPD.RvPvQ

=.不等式的解法

题型1：一元二次不等式解法及相关问题

一元二次不等式ax2+bx+c>0或6+bx+c<0（。*0）的解集:

设相应的一元二次方程♦+法+c=0（。w0）的两根为xPx2且2<x2,△=〃-4oc则不等式的解

的各种情况如下表：

二次函数

(。＞0)的图象

一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根

R

例1。：一元二次不等式ax、bx+2＞。的解集是Tf,则a+b的值是——

2

例11：关于X的不等式＞，=Iog2(-^+公+1)对所有实数ACR都成立，则a的取值范围

例12:若关于x的不等式一一如-〃二一3的解集不是空集，则实数。的取值范围是

真题：

[2012江苏】已知函数/(幻=/+依+b(a,bGR)的值域为[0,+⑹若关于x的不等式/(x)＜c的解集

为(〃7,〃2+6),贝”实数C的值为.

2

【2015.上海理171记方程①：4+4%+1=0,方程②：f+02兀+2=0,方程③：x+a3x+4=0f

其中为，明,小是正实数.当G，%,小成等比数列时，下列选项中，能推出方程⑤无实根的是

C)

A.万程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根

C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根

12()15高考四川，理9】如果函数/3=：(〃7-2*+(〃-8)%+1(〃亚()，〃训在区间2上单

调递减，则的最大值为()

OI

A.16B.18C.25D.—

2

题型2：高次不等式的解法

标根法：其步骤是：

(1)分解成若干个一次因式的积，并侵三；

(2)将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿

过偶弹回；

例13:若〃“且〃+c＞0,则不等式＞0的解集为.

x-a

例14:不等式二一即1°二幻。的解集是___________.

x-U-1)

【2015高考上海，文16】下列不等式中，与不等式z'：:2解集相同的是().

X2+2X+3

A.(x+8)(x2+2x+3)<2B.x+8<2(x2+2x+3)

-12x2+2x+31

C.-.......<----Dn.--------->—

r+2x+3x+8x+82

题型3:分式不等式的解法

分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式

中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正

或恒为负时可去分母。

例15:不等式乎的解集是___________.

2-x

例16：不等式二40的解集是________,不等式字L>。的解集是__________.

x+1x-4

题型4：绝对值不等式解法

例17:不等式|2x-1|-x<l的解集是

例18:设函数/(x)=|2x-l|+x+3,若/(x)W5,贝！Jx的取值范围是

例19:(选做)若存在实数"吏|工-。|+卜-1区3成立，则实数。的取值范围是__________.

题型5:指数不等式与对数不等式

例20：若关于x的方程4、+〃2+〃+1=0有实数解，求实数a的取值范圉。

例21:若不等式x2-log.xv0在(0,；)内恒成立,则a的取值范围是()

A.—<x<IB.—<a<IC.0<a<-D.0<a<一

16161616

真题：

【2013年安徽】已知一元二次不等式/(幻<0的解集为｛讣<-1或｝，则/(。)>。的解集为

题型6:含参不等式的解法

例22:已知集合4=卜|1-5/+4«()｝与8=卜|/一2ax+。+2<。｝,若BqA,求。的取值范围。

例23:解下列不等式：

1.ax2-(t/+l)x+l<02.(x-2)(ax-2)>0

例24:关于x的不等式>0的解集为求竺¥>0的解集。

x-2

真题：

【2014浙江理15］设函数/(x)=x22Ixl(x<0)若/(/(m)W2,则实数。的取值范围是_______.

-x2(x>0)

【2014安徽】设函数/(幻=斗11|+1,若/(/Q〃))《3,则实数〃?的取值范围是_____.

四.均值不等式相关题型

结论：(1)若。£凡则14120,520

(2)若。、beR+,Ma2+b2>2ab(^a2+b2>2\ab^lab)(当仅当a=b时取等号)

(3)如果a,b都是正数，那么疯工?.(当仅当a=b时取等号)一正、二定、三相

等.(4)若久江cwR+,则。+丁力欣(当仅当a=b=c时取等号)

(5)若。、凡则||〃|一|。归。±。区|。|+|加

常用不等式

(1)叵至2亨2，石2看(根据目标不等式左右的运算结构选用)；

~a+b

(2)a、b、CGR,a2+b2+c2>ab+be+ca(当且仅当々=/?=c时，取等号);

⑶若〃>。>0,加>0,贝〈处％(糖水的浓度问题)。

aa+m

题型1:一正、二定、三相等的应用

例25:下列各函数中，最小值为2的是。

11jr

A.y=x+—B.y=sinx+----,XG(0,—)

xsinx2

例26:已知国数)，=x+士(x<0),求函数的最大值。

x

真题：下列函数中，最小值为4的是()

44

A.y=x+—B.y=sinx+---(0<x<7v)

xsinx

C.y=e'+4e"D.y=log3x+4log,3

题型2：直接应用形式

例27:若x+2y=l,则2、+4「的最小值是______

【2015高考重庆，文14］设〃,8>0,。+〃=5,则疝^+而5的最大值为.

【2014?福建】若2、+2）'=1,则x+y的取值范围是

题型3:配凑项与系数

例28:已知工<:，则函数）,=4..2+，的最大值

44x-5

例29:当时，则丁=%（8-2元）的最大值

例30:已知x,y为正实数，且r+=1,求x的最大值.

例31:已知a>0,b>0,1+b=b则2W的最小值

题型4:已知@，求dx+ey的最小值问题

xy

例32屈数），=log”（x+3）-1（。>0."1）的图象恒过定点A,若点A在直线nvc+〃_y+1=0上，其中mn>0,

则,+2的最小值为

mn

iQ

例33：设x、yeR'且一+—=2,则2xl3y的最小值为________

xy

真题：

【15年福建文科】若直线2+上=1（。>0/>0）过点（1,1）,则。+人的最小值等于（）

ab

A.2B.3C.4D.5

【2013年江西】若正数x,y满足x+3y=5孙，则3x+4y的最小值是_________

【12年浙江文科】直线ax+by+c-FO（b、c>0）经过图x?+y2-2y-5=0的圆心，则的最小值

bc

是

【2014开封模拟】设m,neR,若直线（〃计l）x+5+l）y-2=0与圆（%T）2+（y-1户1相切,则〃?+〃

的取值范围是_______.

题型5:双勾函数及其变形

2

例34:函数丁=^上V二4-5的最小值为________

Vx2+4

2

例35:函数y="V+7r4-10一>-1）的最小值为________

x+\

题型6:利用换元法可以化为一元二次函数型

例36:函数y=2x+Vx+I的值域是______________

例37:函数;1+4工+3,则函数的最小值为

题型7：参数方程方法求最值问题（型如依2+法2=。的形式）

例38:如果X2+/=1,贝（]3x-4），的最大值是______________

例39:已知2/+_/=2,则_x+2y的取值范围_______，+2_/的取值范围___________

题型8:型如机〃+流=必，求必取值范围问题（整体思想的运用）

例40:已知a,b为正实数，2a+3b+4ab=\0t求函数y=ab的范围_________

例41：已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,则p的最小值为________

例42:若x2+xy+y~l且x、y^R,贝UHx'y?的取值范围是____________

例43:若x,yC@+8）,x+2y+xy=30.⑴求xy的取值范围；⑵求x+2y的取值范围.

例44：若正实数x,y满足=5，则x+y的最大值是

xy

（2011浙江】设x,y为实数，若4xz+9y2+xy=l,则2x+3y的最大值为_____.

12012重庆】已知x,y>0,x+2y+xy=8,则x+2y的最小值为______

【2014上海】若实数x,y满足*丫=1贝」1+2），2的最小值为.

【2015高考湖南，文7】若实数满足,+?=疝，则泌的最小值为（）

ah

A、OB、2C、2&D、4

题型9:同）时平方法

例44:已知x,y为实数，3x+2y=10,贝蜗数卬=V^+向^的最值为

例45:函数y=J2x-1+J5-2》,（g〈xv：的最值__________

题型10：对偶式（所有字母互换之后式子不会变化，当字田全部相等时取最值）

例46:若实数满足a+b=2,则3。+3》的最小值是.

11

例47:若log/+log4y=2,则一+一的最小值是.

xy

例48:已知a、b、cwR',且〃+Z?+c=l,则：一1[g-1）的最小值为.

例49:若实数a,b,c满足a?+b2+c2=8,则a+b+c的最大值为

真题：

12011北京卷文】设4>0的>0,。+〃=1,则L+4+4的最小值为.[〃+，丫6+1]的最小值

abah(。人b)

为.a+—+["+')的最小值为.

五.证明不等式的方法

比较法、分析法、综合法、反证法和放缩法(比较法的步骤是：作差(商)后通过分解因式、配方、

通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

常用的放缩技巧有：--一二二」一<4<—1—=——--

nn+\〃(〃+1)nn(n-\)n-\n

例50:已知求证：a2h-}-b2c+c2a>ab2+bc2+ca2

例51:求证：1+*+/+…+’<2

23

例52:已知〃“二^j-,证明q+%+….+a„<-

3—12

13

例53：已知〃”=,证明卬+。2+♦•…•+<-

J-ZZ

六：不等式的恒成立,能成立，恰成立等问题

不等式恒成立问题的常规处理方式(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值题，也可

抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法)

1.恒成立问题

若不等式/⑴>A在区间。上恒成立,则等价于在区间D±/(x)mm>A

若不等式/(x)<3在区间。上恒成立,则等价于在区间D±/(x)nm<B

例54:设实数满足/+(),一1)2=1,当x+y+cNO时，c的取值范围是______

例55:设函数f[x)=2x3+3加十3碗+8c在x=1及x=2时取得极值

(1)求*〃的值；(2)若对于任意的xe[0,3],都有/㈤成立，求c的取值范围

例56:设函数=

(1)证明：/(x)的导数/'(x)22;(2)若对所有xNO都有/*)之依，求E的取值范围

例57:当x>l时，不等式x+错误！未找到引用源。〉@恒成立，则实数a的取值范围是____________

2.能成立问题(存在性成立问题)

若在区间。上存在实数不使不等式f(x)>A成立,则等价于在区间。上/(可…>A；

若在区间。上存在实数X使不等式/（6<8成立，则等价于在区间。上的<B.

七：二元一次不等式组与简单线性规划问题

1.二元一次不等式表示的平面区域：直线7:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：

（1）直线）上的点（x,y）的坐标满足ax+by+c=0

（2）直线/一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足ax+by+c>0

（3）直线/另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足ax+by+c〈O

所以，只需在直线/的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（xo,y°），从为x+b°y+c值的正负，即可

判断不等式表示的平面区域。

2.线性规划：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或

最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件,像汶样的问题叫车二元线性规

划回题。其中，满足约束条件的解（x,y）称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可在墩，使目

标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优匿。

3.线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先写出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；（2）作

出相应的可行域；（3）确定最优解

题型1：求线性目标函数的取值范围：“截距”型：Z=AY+8V;

x<2

例58:若x、y满足约束条件上42,则z=x-2y的取值范围是

x+y>2

2x+j-12<0,

例59:若工、y满足条件.3x-2y+IONO,求z=x+2y的最大值和最小值__________

x-4j+10<0.

题型2:带参数类型

（1）目标函数含参

x-y>0

例60：已知X,），满足约束条件，,若目标函数z=ox+y（a为常数）仅在点（；,g）取得

0<y<l/2

最大值，则实数a的取值范围是（）

A.（-2,2）B.（0,1）C.（-1,1）D.（-1,0）

3.r-y-6<0

例61:设满足约束条件,'若目标函数2=依+外,（。>0,〃>0）的最大值为6,则

x>0

y>0

的最小值为_________

ab

x+y>5

例62:已知x、y满足以下约束条件)，+5W0,使z=x+ay(a>0)取得最小值得解

x<3

有无数多个，则a的值为.

真题：

x-y>0

【2015高考山东，理6】已知用)，满足约束条件r+y«2,若z=or+y的最大值为4,贝()

y>0

A.3B.2c.-2D.-3

(2)约束条件含参数

x+y>0

例63:在平面直角坐标系中，不等式组--)，+420(a是常数)所表示的区域的面积是9,那么

x<a

实数a的值为()

A.3向2B.-30+2C.-5D.1

x>0

例64：已知变量X,)，满足的不等式组y>2x表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实

区-y+120

数k=()

A.--B.-!-C.0D.--•>»)

222

x+y>0

[15年福建文科】变量满足约束条件<x-2y+2>0,若z=2x—y的最大值为2,则实数〃?等于()

ntx-y<0

A.—2B.—1C.1D.2

题型3:与直线的斜率有关的最值问题

z=二呈表示定点P(x0,y。)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.如若目标国数是z=占或

A-XoX

z=^¥，你知道其几何意义吗？

X+1

x—y—2W0,

例65:设实数x,)，满足卜+2卜420,,贝！]z=:的最大值是__________.

2y—3W0,

j>0

例66：已知实数满足，x-y>0,记1=^―J•的最大值为叱最小值为n,则m-n=

2x-y-2<0

x<i

例67：已知变量满足约束条件y<\,则z=0的取值范围________

x+y

x+y>\'

x—1»0,

【15年新课标1理科】若x,y满足约束条件x-y<0,则工的最大值为.

%+y-4<0,4

题型4：与距离有关的最值问题

Z=J*—%)2+()，一No)或二(X—/J+(丁一或Z=f+与+AY+为+C(配方)的结构表示定点

Q(xc,y0)到可行域内的动点N(x,y)的距离的平方或距离

例68:已知x+y-520,x+j-10<0.求尸+),2的最大、最小值__________

x-y+220,

例69:已知<x+y-420,求z=f-10丁+25的最小值__________

2元一》一5《0,

题型5:求可行域的面积

2x+y-6>0

例70:不等式组<x+y-3W0表示的平面区域的面积为

)，《2

x<3,

例71:不等式组卜+”0,表示的平面区域的面积等于.

x-y+2>0

x2+y2-4.v-6v+4<0,_

例72:在直角坐标平面上，满足不等式组|x-2|+|y>3|>3面积是

x+y-2<0

x+2y-220,表示的平面区域为三角形，且其面积等于;

12()15高考重庆，文10】若不等式组

x-y+2m>0

则m的值为.

题型6:求可行域中整点个数

例73:满足|x|+|y|<2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有

2x-3y>0,

例74:在直角坐标系中，由不等式组所确定的平面区域内整点有________.

3A:-5y-15<0,

>'<0

题型7:特殊题型

例75:已知|2x-y+m|v3表示的平面区域包含点(0,0)和(-1,1),则m的

取值范围是.

例76：定义在R上的函数是减函数，且对任意的。£心都有/(-。)+/(。)=0。若xy满足不

等式/(/_2x)+/(2y-y2)WO,则当1C44时，2x-y的最大值为()

A.IB.10C.5D.8

x+3y-7<0

例77：已知实数乂)，满足约束条件x>l,则|y-.i|的最大值为()

y>l

A.3B.4C.D.2后

2

2x+y<\0

【2015高考四川，文9】设实数匕)，满足卜+2)，勺4,贝Jxy的最大值为()

x+y>6

2549

(A)—(B)—(C)I2(D)14

22

【15年陕西，文科】某企业生产甲乙两种产品均需用4B两种原料，已知生产1吨每种产品需原

料及空天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企

业每天可获得最大利润为()

A.12万元从16万元C.17万元Q.18万元

A：不等式的实际应用

例78：某工厂要制造/种电子装置45台，〃电子装置55台，为了给每台装配一个外壳，要从两种

不同的薄钢板上截取，已知甲种薄钢板每张面积为2平方米，可作力的外壳3个和£的外壳5个；

乙种薄钢板每张面积3平方米，可作力和6的外壳各6个，用这两种薄钢板各多少张，才能使总的

用料面积最小？

例79：某居地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区ABCD

(阻影部分)和环公园人行道组成。已知休闲区ABCD的面积为4000平方米，人行道的宽分别为

4米和10米。

(1)若设休闲区的长4片=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；

(2)要使公园所占面积最小，休闲区