福建省泉州市第六中学2025-2026学年高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省泉州市第六中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知f（x）=x2（x-k）的一个极值点为2，则实数k=（）A.2 B.3 C.4 D.52.有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P（X≤1）=（）A. B. C. D.3.若，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A.32 B.33 C.1 D.-314.已知随机事件A，B，若，，，则P（B）=（）A. B. C. D.5.甲、乙等6人站成一排，若甲，乙不相邻，且甲不站在最左边，则不同的站法共有（）A.240种 B.384种 C.480种 D.568种6.某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（）A. B. C. D.7.已知随机变量X～B（3，p），若，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.设函数f（x）=（ex-a）ln（x+b），若f（x）≥0恒成立，则a+b的最小值为（）A.-1 B.1 C.2 D.3二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则下列结果正确的是（）X01P0.6mA.E（X）=0.4 B.E（Y）=1.8 C.D（X）=0.24 D.D（Y）=0.4810.某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字0或是1作为代码，且每次只发送一个数字.由于随机因素的干扰，发出的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收成0或1的概率分别为0.94和0.06；发送信号1时，接收成1或0的概率分别为0.96和0.04.假设发送信号0或1的概率是等可能的，则（）A.已知两次发送的信号均为1，则接收到的信号均为1的概率为（0.5）2•（0.96）2

B.在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49

C.在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.96

D.在发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率为11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（）A.第10行所有数字的和等于1024

B.第10行所有数字的平方和等于

C.若第n行的第i个数记为ai，则

D.记每一行的第k（k∈N*）个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2026行（含第2026行）中第k斜列各项之和为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f（x）=x3-3x2-mx在（0，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是

.13.甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有

种.14.抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件A，抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为Pn，则P3=

，P2026=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f（x）=-xlnx+2x+1.

（1）求函数f（x）的单调区间以及极值；

（2）求函数f（x）在[1，e2]上的最值.16.(本小题15分)

在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.

（1）求n的值；

（2）求的展开式中的常数项；

（3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项？17.(本小题15分)

甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜.在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为.已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为X.

（1）求第2局比赛甲胜的概率；

（2）在X=3的条件下，求甲胜的概率；

（3）求比赛结束时甲胜的概率.18.(本小题17分)

2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立.

方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.

方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.

（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；

（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？19.(本小题17分)

已知f（x）=x2-2alnx，a∈R．

（1）讨论y=f（x）的单调性；

（2）若y=f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2）．

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）x0是y=f（x）的极值点，求证：x1+3x2＞4x0．

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ABC

10.【答案】BD

11.【答案】ABC

12.【答案】（-∞，-3]

13.【答案】36

14.【答案】

15.【答案】（1）单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；极大值为e+1，无极小值

（2）f（x）max=e+1，f（x）min=1

16.【答案】解：（1）依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，

即，即，解得n=9．

（2）二项式展开式的通项公式为，

令，解得r=3，

故常数项为．

（3）设第k+1项的系数的绝对值最大，

则，即，解得且k∈Z，则k=6，

所以系数的绝对值最大值的项为第7项．

17.【答案】

18.【答案】

该顾客选择第二种抽奖方案更合算

19.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），

，

①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，

②a＞0时，，

令f′（x）＞0，解得：，令f′（x）＜0，解得：，

故f（x）在递减，在递增，

综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，

a＞0时，f（x）在递减，在递增；

（2）（i）由（1）知要使y=f（x）有两个零点，则a＞0，

此时f（x）在上单调递减，在单调递增，

依题意需，

此时1＜lna，故a＞e，

而f（1）=1-2aln1=1＞0，f（a）=a2-2alna=a（a-2lna），

当a＞e时，令g（a）=a-2lna，

则，故g（a）＞g（e）=e-2＞0，

∴f（a）＞0，∴，

由零点存在定理知，f（x）在与上分别存在唯一零点；

证明