15.1.2 线段的垂直平分线 教学课件八年级上册

第十五章轴对称15.1.2线段的垂直平分线

能用尺规作已知线段的垂直平分线．进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．复习旧知1.轴对称的性质是什么？2.线段垂直平分线的性质？3.如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？∙A∙B如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线.由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点.根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点.∙CDB∙A作法：如图所示：（1）分别以点A和点B为圆心，大于

AB的长为半径作弧，两弧线相交于C，D两点；（2）作直线CD，

CD就是线段AB的垂直平分线.可以用这种方法确定线段的中点以小于AB的长为半径，两弧无交点；以等于AB的长为半径，不易操作.【思考】为什么以大于AB的长为半径作弧？通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质.如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上．求证PA=PB．ABPCl证明：当点P与点C不重合时，∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．当点P与点C重合时，显然成立.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.ABPCl符号语言：如图，∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上，∴PA=PB.通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质.如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上．求证PA=PB．ABPCl证明：当点P与点C不重合时，∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．当点P与点C重合时，显然成立.把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？思考(2)(课本P67练习第1题)如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？解

∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE，∴AB＝AC＝CE.∵AB＝CE，BD＝DC，∴AB＋BD＝CE＋DC，即AB＋BD＝DE.如图，已知点P为△ABC边AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线：(1)如图①，作一条直线l，使得点B

关于l的对称点为P．(2)如图②，作一条过点C的直线m，

使得点P关于m的对称点落在BC上．（保留作图痕迹，不写作法）（2）解

如图②，作∠ACB的平分线，则∠ACB的平分线所在的直线m即为所求．1、如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)ONMAB练一练提示点P在线段AB的垂直平分线上.理由：如图，过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C.则∠PCA＝∠PCB＝90°.在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).∴AC＝BC.又∵PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.知识梳理1.与线段两个端点距离

的点在这条线段的垂直平分线上.2.符号语言：如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.相等C当堂小练1.下面是“作线段的垂直平分线”的尺规作图过程.请依据作法填空并完成作图.已知：线段AB（如图）.求作：线段AB的垂直平分线.作法：(1)分别以

和

为圆心，大于

⁠的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；点A点B

解：如图所示，直线CD即为所求作的直线.(2)作直线

⁠.

即为所求作的直线.CD

CD

例2

如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于O.求证：点O在BC的垂直平分线上．证明：连接OA，OB，OC，如图.∵

点O在AB的垂直平分线l1上，∴

OA＝OB.同理，OA＝OC.∴

OB＝OC.∴

点O在BC的垂直平分线上.BACOl1分析：根据线段垂直平分线的定理及逆定理证明即可.三角形三条边的垂直平分线交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等.总结l2经典例题例3

AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为

E，F，连接EF，EF与AD交于点G.求证：AD是EF的垂直平分线.分析：要利用线段垂直平分线的判定定理证AD是EF的垂直平分线，只需要证明点A，D到