2027届高中数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第七节利用导数研究函数的零点教学课件

第七节利用导数研究函数的零点01.多元视角·拓展教材视角一确定函数零点的个数例1已知函数f(x)＝cos

x＋xsinx＋a.(1)若a＝0，求函数f(x)在x＝π处的切线方程；(2)讨论函数f(x)在(0，π)上零点的个数．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝cos

x＋xsinx，求导得f′(x)＝－sinx＋sinx＋x

cos

x＝x

cos

x，则f′(π)＝－π，而f(π)＝－1，所以所求切线方程为y＋1＝－π(x－π)，即y＝－πx＋π2－1.

学霸笔记：函数的零点的个数即函数图象与x轴交点的个数，借助数形结合思想，可通过函数图象判断函数的零点的个数．(1)利用导数研究函数f(x)的单调性、极值及最值情况，并结合函数值的正负情况及变化趋势，作出函数f(x)的大致图象，然后根据图象判断零点的个数．(2)若函数f(x)的图象不易直接作出，可根据函数与方程思想将函数零点转化为方程的根，再将方程进行变形，转化为两个函数的图象交点问题，从而判断函数的零点的个数．

视角二由函数的零点的个数求参数例2已知函数f(x)＝ln

x－mx2＋(2－m)x.(1)若函数f(x)的极值点在(2，3)内，求m的取值范围；(2)若f(x)有两个零点，求正实数m的取值范围．

学霸笔记：(1)分离参数法：从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数的取值范围；(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围．跟踪训练

(2026·临沂一模)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－kx在(－∞，0)上恰有两个零点，求k的取值范围．

视角三隐零点问题例3已知函数f(x)＝ex－a－ln

x＋x.(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≤0时，证明：f(x)>x＋2.

学霸笔记：(1)已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则有：①关系式f′(x0)＝0成立；②注意确定x0的合适范围．(2)已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；②注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关．跟踪训练设函数f(x)＝ex＋bsinx，x∈(－π，＋∞)．若函数f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为2.(1)求实数b的值；(2)求证：f(x)存在唯一的极小值点x0，且f(x0)>－1.解析：(1)∵f(x)＝ex＋bsinx，∴f′(x)＝ex＋b

cos

x，由导数的几何意义知，f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝e0＋b

cos0＝1＋b，由已知k＝1＋b＝2，解得b＝1.(2)证明：由(1)得f(x)＝ex＋sinx，x∈(－π，＋∞)，∴f′(x)＝ex＋cos

x，令g(x)＝ex＋cos

x，x∈(－π，＋∞)，则g′(x)＝ex－sinx，当x∈(－π，0]时，ex>0，sinx≤0，g′(x)＝ex－sinx>0，当x∈(0，＋∞)时，ex>1，sinx≤1，g′(x)＝ex－sinx>0，

02.课时作业21

x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增

3．(15分)已知函数f(x)＝x＋1－(2x＋1)ln