湘教版高中数学必修第二册第3章复数3.3复数的几何表示教学课件

3.3复数的几何表示

第3章复数学习目标1.通过实例了解复数与复平面内的点的一一对应关系，理解复数与平面向量一一对应关系，并能用复数的概念和几何表示解决相关问题，发展学生的逻辑推理、数学抽象和直观想象素养.2.掌握复数模的计算公式，理解共轭复数的概念，发展学生的数学运算素养.新知形成

知识梳理Z(a，b)2.复数的几何意义点拨(1)复平面内点的坐标与复数的实部和虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示；(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数；(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.知识点二

复数的模与共轭复数名称定义表示(记法)备注复数的模复数z＝a＋bi的模记为________________共轭复数对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，如果保持它的实部a不变，将虚部b变成它的相反数－b，得到的复数a－bi称为原复数z的共轭复数模｜z｜或｜a＋bi｜

点拨(1)｜z｜＝1表示复平面上的单位圆.(2)复平面上两点P，Q关于x轴对称⇔它们所对应的复数相互共轭.

1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)原点是实轴和虚轴的交点. (

)(2)实轴和虚轴的单位都是1. (

)(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数. (

)(4)复数与复平面内的无数多个向量对应. (

)自主检测√××√

√

3.若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)√

返回合作探究探究点一

复数与复平面内点的关系在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；解：复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.由题意得，m2－2m－8＝0.解得m＝－2或4.典例1(2)在第二、四象限；解：复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.由题意得，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)＜0.所以2＜m＜4或－5＜m＜－2，即m∈(－5，－2)∪(2，4).

利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤1.找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据；2.列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.规律方法对点练1.在复平面内，复数z＝(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是A.(1，2) B.(0，1)C.(－∞，2)∪(4，＋∞) D.(2，4)√

典例2√

√

复数与平面向量的对应关系1.根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.2.解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为依据，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.规律方法

5

典例3

求解复数的模的思路

关于复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解.规律方法

√

√

典例4

关于共轭复数及其应用型问题，通常抓住共轭复数的代数特征，建立方程进行求解.规律方法

典例5

规律方法

√

返回随堂评价1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√因为z＝i＋2i2＝－2＋i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.

√

√

4.实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；解：若复数z对应的点在x轴上方，则虚部m2－2m－15＞0，得m＜－3或m＞5，所以当m＜－3或m＞5时，复数z对应的点在x轴上方.

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√

2.在复平面内，若复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是A.(0，3) B.(－∞，－2)C.(－2，0) D.(3，4)√

3.设复数z满足｜z－i｜＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A.(x＋1)2＋y2＝4 B.x2＋(y＋1)2＝2C.(x－1)2＋y2＝4 D.x2＋(y－1)2＝4√z在复平面内对应的点为(x，y)，则复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则｜z－i｜＝｜x＋(y－1)i｜＝2，由复数的模长公式可得x2＋(y－1)2＝4，故选D.

√

√√√

13π

3＋4i

(2)位于第一、三象限.解：由(m2－8m＋15)(m2－5m－14)＞0，可得(m－3)(m－5)(m＋2)(m－7)＞0，所以m＜－2或3＜m＜5或m＞7.即实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(3，5)∪(7，＋∞).

(2)若z1是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值，并求出方程x2－px＋q＝0的另一个复数根.解：由题意知(2－i)2－p(2－i)＋q＝0，化简得(3－2p＋q)＋(p－4)i＝0，所以3－2p＋q＝0且p－4＝0，解得p＝4，q＝5，所以方程为x2－4x＋5＝0，即(x－2)2＝－1＝i2，解得另一个复数根为x