湘教版高中数学必修第二册第4章立体几何初步章末综合提升教学课件

章末综合提升

第4章立体几何初步体系构建返回分层探究素养一

直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.在本章中，主要表现在利用几何图形探究线面位置关系中.题型一

空间中点、线、面的位置关系(1)(多选)已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法不正确的是A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，m⊥n，则n∥αC.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α典例1√√√如图，在正方体ABCDA'B'C'D'中，令底面A'B'C'D'＝α.对于A，令m＝AB，n＝BC，满足m∥α，n∥α，但m∥n不成立，故错误；对于B，令m＝AA'，n＝A'B'，满足m⊥α，m⊥n，但n∥α不成立，故错误；对于D，令m＝AB，n＝AD，满足m∥α，m⊥n，但n⊥α不成立，故错误.故选ABD.

√

素养二

逻辑推理逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.在本章中，主要表现在线面位置关系的证明中.题型二

空间中的证明问题如图所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.E、F分别在线段BC和AD上，AB∥EF，将矩形ABEF沿EF折起.记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.(1)求证：NC∥平面MFD；典例2证明：因为四边形MNEF，ECDF都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN＝EF＝CD，所以四边形MNCD是平行四边形，所以NC∥MD，因为NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，所以NC∥平面MFD；(2)若EC＝3，求证：ND⊥FC.证明：连接ED，设ED∩FC＝O，因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，所以NE⊥平面ECDF，所以NE⊥FC，又EC＝AB＝3，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED，因为NE∩ED＝E，所以FC⊥平面NED，又ND⊂平面NED，所以ND⊥FC.

典例3√

(2)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB＝PC，∠ABC＝45°.①求证：AB⊥PC；证明：作PO⊥AB于O，连接OC，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OC，因为PB＝PC，所以△POB≌△POC，所以OB＝OC，又因为∠ABC＝45°，所以OC⊥AB，又PO∩CO＝O，得AB⊥平面POC，又PC⊂平面POC，所以AB⊥PC.

典例4(2)求证：平面PDC⊥平面ABCD；证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD.又因为AD⊥PD，CD∩PD＝D，所以AD⊥平面PDC.又AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.

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真题1√

真题2√

溯源：(湘教必修第二册习题4.3P170T14)如图，AB是☉O的直径，C为该圆上的一点，∠AOC＝120°，SA⊥☉O所在的平面，且SA＝AB，求SC与☉O所在的平面所成的角的正切值.点评：高考试题与教材习题都是考查直线与平面所成的角的正切值的计算，解题方法基本一致.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体真题3√√√

真题4

(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______.真题528

溯源：(湘教必修第二册P188例2)右图是一个正四棱台形的石墩.已知它的上底面边长为30cm，下底面边长为40cm，侧面梯形的高h'为30cm.在不计下底面所占面积的情况下，试计算这个石墩的表面积(结果单位为m2).点评：以上高考试题都是考查台体的体积计算，教材例题考查台体的表面积计算，题型基本一致.

真题6√√

真题7√

(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则A.V3＝2V2

B.V3＝V1C.V3＝V1＋V2

D.2V3＝3V1真题8√√

真题9

溯源：

(人教A必修第二册P171T14)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点.(1)求证：AM⊥平面PCD；(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.点评：这两题考查相同的知识点，都是以锥体为载体考查二面角的求解，高考题更考查综合应用所学知识解决问题的能力.返回单元检测卷1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是A.①是棱台

B.②是圆台C.③是四面体

D.④不是棱柱√图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是四面体；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱.故选C.2.直线l与平面α不平行，则A.l与α相交 B.l⊂αC.l与α相交或l⊂α D.以上结论都不对√直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交.因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l⊂α.3.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直.其中正确的个数是A.0 B.1 C.2 D.3√①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，若这三条直线都是平行线，则这条直线和这个平面不一定垂直，故①错误；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这个角必为直角，故这条直线和这个平面垂直，故②正确；③若一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面，满足直线与平面垂直的定义，故③正确.故选C.4.若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.8∶3√

5.如图一，矩形ABCD中，BC＝2AB，AM⊥BD交对角线BD于点O，交BC于点M.现将△ABD沿BD翻折至△A'BD的位置，如图二，点N为棱A'D的中点，则下列判断一定成立的是A.BD⊥CN

B.A'O⊥平面BCDC.CN∥平面A'OM

D.平面A'OM⊥平面BCD√

因为BD⊥OM，CE∥OM，则BD⊥CE，若BD⊥CN，且CE∩CN＝C，则BD⊥平面CNE，因为NE⊂平面CNE，则BD⊥NE，由于A'O、NE⊂平面A'BD，且BD⊥A'O，故A'O∥NE，由于N为A'D的中点，则E为OD的中点，与上述条件矛盾，A选项不成立；对于C选项，由A选项可知，因为CE∥OM，CE⊄平面A'OM，OM⊂平面A'OM，所以CE∥平面A'OM，若CN∥平面A'OM，CN∩CE＝C，则平面CNE∥平面A'OM，因为平面A'BD∩平面A'OM＝A'O，平面A'BD∩平面CNE＝NE，则A'O∥NE，由于N为A'D的中点，则E为OD的中点，与上述条件矛盾，C选项不成立.故选D.

√

√

√

9.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是A.PC⊥BCB.AC⊥平面PBCC.平面PAB⊥平面PBCD.平面PAC⊥平面PBC√√

√√√

11.如图，E为正方形ABCD边CD上异于C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△ASE，在翻折过程中，下列说法正确的是A.存在点E和某一翻折位置，使得SB⊥SEB.存在点E和某一翻折位置，使得AE∥平面SBCC.存在点E和某一翻折位置，使得直线SB与平面ABC所成的角为45°D.存在点E和某一翻折位置，使得二面角S-AB-C的大小为60°√√√

(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.证明：因为△ACD为等边三角形，F为CD的中点，所以AF⊥CD，因为DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，所以DE⊥AF，又CD∩DE＝D，所以AF⊥平面CDE，又AF∥BG，所以BG⊥平面CDE，又因为BG⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.

(2)求证：PD⊥平面PBC；证明：因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.又因为AD∥BC，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC.

18.(本小题满分17分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ＝λQC(λ＞0).(1)当λ＝1时，求证：平面BEF∥平面A1DQ；证明：当λ＝1时，Q为BC的中点，因为E是AD的中点，所以ED＝BQ，ED∥BQ，则四边形BEDQ是平行四边形，所以BE∥QD