2026新高二数学暑假专题：解三角形的五大秒杀技（解析版）

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暑假作业06解三角形的五大秒杀技：射影定理、

中线定理、角平分线定理、张角定理、平行四边形定理

【知识点1射影定理】

在ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.

证△明：如图，记AB=c，BC=a，AC=b，作ADBC于点D,

则BCBDDCABcosBACcosC,

即accosBbcosC,同理可证b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.

【知识点2中线定理】

1.中线长定理

1

ABC中,AD是边BC上的中线，则AD2BD2(AB2AC2).

2

2.中线向量定理

在ABC中，若点D是BC的中点，则＝＋)，

1

两边平方后，得｜｜＝＋��2(·���，�就可以得到中线、∠A及其两邻边的关系.

2

122

【知识点3角平分线��定理】4����+2����

1．角平分线定理

ABDB

在ABC中，BAC的平分线交BC于点D（如图），则有.

ACDC

1/26

【证明】因为ADBADCπ，所以sinADBsinADC，

ABDB

在BAD中使用正弦定理有，

sinADBsinBAD

ACDC

在CAD中使用正弦定理有，又BADCAD，

sinADCsinCAD

ABDB

所以.

ACDC

SABBD

该结论也可以由两三角形面积之比得证，即ABD.

SACDACCD

2.常见推论：

BAC

（）2bccos；

1AD2

bc

（2）AD2ABACBDCD（库斯顿定理）；

ABS

（3）ABD.

ACSACD

BAC

（4）SSSABADADAC2ABACcos（等面积法）.

ABCABDACD2

【知识点4张角定理】

1.张角定理

在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若D为BC上一点（如图），且BAD，CAD，

sinsinsin

则有．

ADbc

111

【证明】因为S△S△S，所以bcsinADcsinADbsin，于是等式两边同

ABCABDACD222

1sinsinsin

除以bcAD得．

2ADbc

2.张角定理与角平分线的长

2/26

特别地，如果在ABC中，角B，C所对的边分别为b，c，BAC的平分线交BC于点D，根据张角

BACBAC

sinsin

定理就会有sinBAC，再使用二倍角公式得到

22

ADbc

BACBACBACBACBAC

2sincossinsin，加以化简也就得到2bccos，即

2222AD2

ADbcbc

BAC1ADAD

cos()，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了．

22bc

【注】张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下．

【知识点5平行四边形定理】

1．平行四边形定理

若四边形ABCD为平行四边形（如图），则AB2BC2CD2DA2AC2BD2．

2．定理的证明

【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，BCDA，

且ABCBCDπ，在ABC中使用余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosABC，

在△BCD中使用余弦定理有BD2BC2CD22BCCDcosBCD，

所以AC2BD2AB2BC2CD2DA2．

【题型1射影定理的应用】

1．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，若cacosB，则ABC

的形状为（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形

【答案】A

【解析】由正弦定理将边化为角可得sinCsinAcosB，

又sinCsinπBAsinABsinAcosBsinBcosA，

3/26

故sinAcosBsinAcosBsinBcosA，故sinBcosA0，

π

由A,B0,π，故sinB0，则cosA0，故A，

2

即ABC的形状为直角三角形.

秒解：由射影定理得cacosBbcosA,又由已知得cacosB，所以bcosA0,cosA0,A，

2

故ABC为直角三角形.

2．(2023·全国乙卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝，

π

则B＝()△5

A..C.D.

ππ3π2π

【1答0案】CB.5105

【解析】由射影定理acosB－bcosA＝c＝acosB＋bcosA，则cosA＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－

πππ

＝.故选C.225

3π

3．（1025-26高一下·云南文山·阶段检测）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosAacosBc2，

ab2，则ABC的周长为（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】B

【解析】bcosAacosBc2，ab2，

由正弦定理，得sinBcosAsinAcosBcsinC，

即sinCcsinC，

C0,π，sinC0，c1.

ABC的周长为abc2215．

秒解：由射影定理得bcosAacosBc，又由已知得bcosAacosBc2，

所以cc2,解得c=1，ABC的周长为abc2215．

4．在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝acosB＋2cosA，2b＝c，若cosC＝－，则ABC

1

的面积△为.4△

【答案】

315

【解析】由4三角形中的射影定理c＝acosB＋bcosA，结合已知条件c＝acosB＋2cosA，可得b＝2，又因为

2b＝c，所以c＝4，由c2＝a2＋b2－2abcosC，可得16＝a2＋4－4a×－，解得a＝3(负值舍去)，所以三角

1

4

形的面积为absinC＝×3×2×－－＝.

1112315

5．ABC的2面积为S.若2bcosC1＋ccosB4＝asin4A，S＝＋－，则角B等于.

1222

【答△案】4���

π

44/26

【解析】根据题意知bcosC＋ccosB＝a＝asinA，则sinA＝1，所以得A＝，由S＝＋－＝×2bacos

π12221

C＝basinC，可得tanC＝1，0＜C＜，所以C＝，所以B＝π－A－C＝2π－－＝4�.��4

1πππππ

【题2型2中线定理的应用】24244

1．（2025·广东汕头·二模）在ABC中，AD为BC边上的中线，AB3，AC2，则ADBC的值为（）

1155

A．B．C．D．

2222

【答案】D

【解析】

1

如图，因AD为BC边上的中线，则AD(ABAC)，又BCACAB，

2

115

则ADBC(ABAC)(ACAB)(|AC|2|AB|2)．

222

故选：D.

2．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a2b)sinA(cb)(sinCsinB)，设D

是AB的中点，若CD1，则ABC面积的最大值是．

【答案】21

222

【解析】易求得C，由中线长定理得2(ab)c4，而c2a2b22ab

4

4

所以a2b22ab40，0a2b22ab42ab2ab4，ab422

22

1

SabsinC21（当且仅当a=b时，“=”成立）.或求得C后，利用“形”易得，当中线即为高线时，

24

面积最大，下一步求出此时的面积，则更简单.

3．(2023·新高考Ⅱ卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC面积为，D为BC的

中点，且AD＝1.△△3

(1)若ADC＝，求tanB；

π

(2)若∠b2＋c2＝38，求b，c.

【解析】(1)法一：在ABC中，因为D为BC的中点，ADC＝，AD＝1，

π

△∠3

则SADC＝AD·DCsinADC＝×1×a×＝a＝SABC＝，解得a＝4，

1113313

△△

2∠222822

5/26

在ABD中，ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcosADB，

2π

3－

即△c2＝4＋1－2∠×2×1×－＝7，解得c＝，则cosB＝＝，∠

17+4157

2727×214

sinB＝－＝－＝，

2

25721

1𝑐��11414

所以tanB＝＝.

sin�3

法二：在AcBosC�中，5因为D为BC的中点，ADC＝，AD＝1，

π

△∠3

则SADC＝AD·DCsinADC＝×1×a×＝a＝SABC＝，解得a＝4，

1113313

△△

在ACD中2，由余弦定∠理得b2＝C2D2＋2AD28－2C2D·ADcos2ADC，

即△b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝，有AC2＋AD2＝4∠＝CD2，则CAD＝，C＝，如图，过A作AEBC

1ππ

于E，23∠26⊥

于是CE＝ACcosC＝，AE＝ACsinC＝，BE＝，所以tanB＝＝.

335𝐴3

222＝－��5(－),

(2)法一：在ABD与ACD中，由余弦定理得2121

�＝4�+1－2×2�×1×cosπ∠�，��

△△2121

整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2�，4�+12×2�×1×cos∠𝐴�

1

23

又SADC＝××1×sinADC＝，解得sinADC＝1，而0＜ADC＜π，于是ADC＝，

13π

△

23∠2∠∠∠2

所以b＝c＝＋＝2.

22

法二：在AB�C�中，�因�为D为BC的中点，则2＝＋，又＝－，

于是4△＋＝(＋)2＋(－)2＝2(b2�＋�c2)＝��16，�即�4＋�a�2＝1�6�，解�得�a＝2，

22

又SAD�C�＝×��×1×s�in�AD𝐴C＝�，�解得𝐴sinADC＝1，而0＜ADC＜π，于是ADC＝3，所以b＝c＝

13π

△

23∠2∠∠∠2

＋＝2.

22

4．𝐴（25-�2�6高一下·四川宜宾·期中）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，向量

pa，c2b,qcosC，cosA，且pq

(1)求角A的值；

19

(2)若c3,AD是BC边上的中线，AD，求ABC的面积．

2

π33

【答案】(1)A;(2)

32

【解析】（1）因为pq，所以pq0，

6/26

所以acosCc2bcosA0，

由正弦定理得sinAcosCcosAsinC2sinBcosA，

即sin(AC)sinB2sinBcosA，且0Bπ，则sinB0，

1

可得cosA，因为0Aπ，

2

π

所以A.

3

1

（2）由题意得ADABAC，

2

2122

则ADABAC2ABACcosA，

4

即有19c2b2bc，且c3，

解得b2b50，

所以b2，

11333

故ABC的面积为SbcsinA23．

2222

5．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

23

sin2Asin2Bsin2CsinAsinBsinC.

3

3c2a2b2

(1)证明：sinC；

2ab

(2)求C；

7

(3)若c19，边AB上的中线CD，求边a，b的长.

2

23

【解析】（1）证明：由正弦定理得：a2b2c2absinC，

3

3c2a2b2

即sinC；

2ab

a2b2c2

（2）解：因为cosC，

2ab

3

即cosCsinC.

3

则tanC3，

因为C0,π，

2π

所以C；

3

7/26

2π

（3）解：因为C，由余弦定理知：c2a2b22abcosC，

3

即a2b2ab19，

CDBCDAπ，cosCDBcosCDA0，

22

c22c22

CDbCDa

22

即0，

cc

2CD2CD

22

7

CD，a2b213，

2

故ab19136，

解得：a3，b2或a2，b3.

【题型3角平分线定理的应用】

2

1．（2026·甘肃武威·模拟预测）在ABC中，BAC，AD是BAC的平分线，BD2CD，AB3，

3

则sinABC（）

212136

A．B．C．D．

14744

【答案】A

【解析】因为AD为BAC的平分线，且BD2CD，

ABBD

由角平分线定理得2，

ACCD

3

又AB3，所以AC，则在ABC中，

2

93163

由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC923，

4224

37ACBC

所以BC，在ABC中，由正弦定理得，

2sinABCsinBAC

33

ACsinBAC321

则sinABC22.

BC372714

2

故选：A.

2π

2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在ABC中，BAC，AB3，BC19，BAC的平分线AD

3

交BC于点D，则AD______．

6

【答案】

5

8/26

2π

【解析】由余弦定理，BC2AB2AC22ABACcos，

3

所以199AC23ACAC23AC100AC2AC50.

解得AC2（舍去负根）．

π

因为AD平分BAC，所以BADCAD．

3

由SABCSABDSACD，

12π1π1π

得ABACsinABADsinACADsin，

232323

131313

即323AD2AD．

222222

6

整理得AD．

5

3．(2025·山东泰安模拟)已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b(sinB＋sinC)＝(a－c)(sinA＋sin

C).△

(1)求A；

(2)A的平分线AD交BC于D点，9b＋c＝64，求AD的最大值.

【解析】(1)因为b(sinB＋sinC)＝(a－c)(sinA＋sinC)，

由正弦定理得b(b＋c)＝(a－c)(a＋c)，整理得b2＋c2－a2＝－bc，

由余弦定理得＝＋－＝－＝－，且，，所以＝

cosA222AA.

�����12π

(2)因为AD为A的角平分2�线�，则2�B�AD＝2CAD＝∈0A＝π，3

1π

23

由SABD＋SACD＝SABC，可得c·∠AD·sinB∠AD＋b·A∠D·sinCAD＝bcsinBAC，

111

△△△

整理得AD＋＝bc，又因为29b＋c＝∠64，2∠2∠

可得AD＝�＝�＝＝≤＝4，

＋＋＋＋

��1＋111·

111�9�

119��1�9�

����649+1+��

��64642��+10

当且仅当＝，即c＝3b＝16时，等号成立，所以AD的最大值为4.

�9�

4（25-26�高一�下·浙江嘉兴·阶段检测）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b6，

2ab2ccosB，

(1)求角C的大小；

(2)若点D在边AB上，CD为ACB的平分线，且CD23，求边长a的值．

π

【答案】(1)C;(2)a3

3

9/26

【解析】（1）由2ab2ccosB和正弦定理可得：2sinAsinB2sinCcosB，

因为Aπ(BC)，故sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，

代入上式化简得：2sinBcosCsinB，

1

在ABC中，sinB0，则cosC，

2

π

又C0,π，因此C.

3

π

（2）因为CD是ACB的平分线，可得ACDBCD，

6

11π1π

由面积关系S△S△S△，代入可得：absinCbCDsinaCDsin，

ABCACDBCD22626

π

代入b6,C,CD23，

3

33a3a

化简得：33，解得a3.

22

【题型4张角定理的应用】

22

1．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，

3

△⊥∠

AB32，AD=3，则CD=（）

A.23B.33C.4D.6

【答案】B

【解析】如图：

22

sinBAC

3

∵∠

1

cosBAC1sin2BAC

3

∴∠sinBACsinBADsinDAC

由张角定理得：

ADACAB

22sinBAC

即sin

322

3AC32

10/26

1

22cosBAC1

即,即2231

9AC

329AC32

解得AC32,

CDAD2AC233

∴2．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边BC上，BDBC，ABC120，AB3，

BD1，则CD______.

【答案】2

【解析】

如图，由题意，ABD30，CBD90，

sinABCsinCBDsinABD

由张角定理，，

BDABBC

311

所以，解得：BC3，故CDBC2BD22.

232BC

3．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，

则ac的最小值为______.

【答案】4

13

【解析】解法1：如图，SacsinBac，

ABC24

113

SSSABBDsinABDBCBDsinCBDac，

ABCABDCBD224

331111caca

所以acac，故1，从而acac2224，

44acacacac

当且仅当ac2时取等号，所以ac的最小值为4.

1BDBD

解法2：如图，由张角定理，cosABD，

2ABBC

111111

所以，故1，

22caac

11caca

从而acac2224，

acacac

当且仅当ac2时取等号，故ac的最小值为4.

11/26

π

4．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，AD是BAC的角平分线，若BAC，AD23，

3

则2bc的最小值为.

【答案】642

111

【解析】利用张角定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

bc2

如图：

π

AD是BAC的角平分线，BAC，

3

∵π

BADCAD，

6

∴sinBACsinBADsinDAC

由张角定理得：，

ADACAB

πππ

即sinsinsin，

366

ADACAB

311

，，

AD23222

23bc

∵∴

111

，

bc2

∴

222c4b2c4b

2bc2bc662642，

bcbcbc

∴

2c4b

当且仅当，即c222,b22时取“=”.

bc

12/26

【题型5平行四边形定理的应用】

1．在ABC中，a1，b3，c边上的中线长为1，则ABC的外接圆的半径长为．

【答案】1

【解析】如图，在ABC中，设D为AB边的中点，

则CDCBBD,CDCAAD，BDAD0,所以2CDCACB,

22

故4CD(CACB)，而|CD|1,|CA|3,|CB|1,

所以4312CACB43cosACB,则cosACB0，

π

ACB

由于ACB(0,π)，故2，

所以c312，设ABC的外接圆的半径为R,

c12

2R,R1

π

sinC2sin

则2，

1

2．在ABC中，a7,S63,cosB.

ABC7

（1）求b；

（2）求AC边上的中线长.

143

【解析】（1）因为B0,π，cosB，故sinB，

77

17c43

所以S△acsinB63，解得c3，

ABC227

2221

故bac2accosB49923764，故b8.

7

（2）如图所示，D是AC中点，连接BD，

13/26

根据平行四边形定理可得2AB22BC24BD2AC2，

2a22c2b22492964

则BD213，

44

解得BD13，即AC边上的中线为13.

3．（2026·四川绵阳·模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinB3bcosA，

c6，a7b.

(1)求b的值；

(2)若D是BC边的中点，求AD的值.

ab

【解析】（1）已知asinB3bcosA，由正弦定理，

sinAsinB

得asinBbsinA3bcosA，显然cosA0，

π1

得tanA3，由0Aπ，得A，所以cosA，

32

因为c6,a7b，由余弦定理a2b2c22bccosA，

21

则7bb2622b6b2366b，

2

b2b6b3b20，

解得b2,b3(舍去).

（2）因为D是BC边的中点，

222

所以2ADABAC,4ADABAC2ABAC，

2

所以4AD364262cosA，

1

4024

2，所以.

AD213AD13

4

解法二：由平行四边形定理得2AB22AC24AD2BC2，

即2622224AD2(27)2，解得AD13.

23a2b2

4．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinC2cosA

3bc

（1）求角B的大小；

（2）若B为钝角，ABC为等腰三角形，且BC边上的中线长为7，求ABC的周长.

23b2c2a2a2b223c

【解析】由余弦定理得：sinC2，所以sinC，

32bcbc3b

23sinC

由正弦定理得：sinC，因为C0,，所以sinC0，

3sinB

14/26

32

所以sinB，0B，即B或

233

（1）设等腰三角形腰长为x，

12

即ABBCx，CMx，且由于AC，B，

263

x2x2AC2

在ABC中，cosB，解得AC3x，

2xx

设BC的中点为D，如图所示:

根据平行四边形定理可得2AB22AC24AD2BC2，

则2x26x247x2，解得：x2，

所以ABBC2，AC23

则ABC的周长为423．

1．（25-26高一下·吉林延边·期中）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosBbcosAc，且

2π

C，则B（）

5

ππ3π2

A．B．C．D．

105105

【答案】A

【解析】因为acosBbcosAc，

由正弦定理可得sinAcosBsinBcosAsinC，

即sinAcosBsinBcosAsinπABsinABsinAcosBsinBcosA，

整理可得sinBcosA0，由于B0,π，故sinB0，

π

所以cosA0，又A0,π，所以A，

2

2ππ2ππ

又C，则BπACπ.

52510

秒解：由射影定理得acosB+bcosAc，又acosBbcosAc，

ππ2ππ

所以cosA=0，又A0,π，所以A，所以BπACπ

22510