2026新高二数学暑假专题：立体几何解答题专练（解析版）

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暑假作业13立体几何解答题专练

【知识点1空间几何体的基本公式】

1．空间几何体的表面积与体积公式

名称

表面积体积

几何体

柱体

S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h

(棱柱和圆柱)

锥体1

S表面积＝S侧＋S底V＝S底h

(棱锥和圆锥)3

台体1

S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋S上S下)h

(棱台和圆台)3

4

球S＝4πR2V＝πR3

3

2.组合几何体求解方法

（1）分割法

体积：V总=V1+V2+…

表面积：总表面积=各部分表面积之和−2×重合面面积

（2）补形法

体积：V原=V补全图形−V多余部分

3.等体积法：单个三棱锥（四面体）

3V

求点面距离：设三棱锥体积为V，目标面面积为S，点到平面距离为d，则d=

S

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原理：同一棱锥，更换底面与顶点，体积保持不变

【知识点2直线、平面平行的判定与性质】

1.线面平行判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果平面外一条直线与此平面

a⊄α，b⊂α，a∥b

判定定理内的一条直线平行，那么该直线

⇒a∥α

与此平面平行

一条直线和一个平面平行，如果a∥α，a⊂β，

性质定理过该直线的平面与此平面相交，α∩β＝b

那么该直线与交线平行⇒a∥b

2.面面平行判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面内的两

条相交直线与另一个a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，

判定定理

平面平行，那么这两a∥α，b∥α⇒α∥β

个平面平行

两个平面平行，则其

性质中一个平面内的直线α∥β，a⊂α⇒a∥β

平行于另一个平面

两个平面平行，如果

另一个平面与这两个α∥β，α∩γ＝a，β∩γ

性质定理

平面相交，那么两条＝b⇒a∥b

交线平行

【知识点3直线、平面垂直的判定与性质】

1.线面垂直判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

，⊂

一条直线与一个平面内的abα

判定a∩b＝O

两条相交直线都垂直，则⇒l⊥α

定理l⊥a

该直线与此平面垂直

l⊥b

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性质垂直于同一个平面的两条a⊥α

⇒a∥b

定理直线平行b⊥α

2.面面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定一个平面过另一个平面的l⊥α

⇒α⊥β

定理垂线，则这两个平面垂直l⊂β

⊥

两个平面垂直，则一个平αβ

性质l⊂β

面内垂直于交线的直线与⇒l⊥α

定理α∩β＝a

另一个平面垂直

l⊥a

【知识点4空间角】

1.异面直线所成的角

(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异

面直线a与b所成的角(或夹角).

π

0，

(2)范围：2.

(3)平移法求异面直线所成角的步骤：

平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段

平移

的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移

证明证明所作的角是异面直线所成的角或其补角

在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，利用边角关系（如余弦定理、正弦

寻找

定理）求解角度。

因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的

取舍

补角作为异面直线所成的角

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直

于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.

π

0，

(2)范围：2.

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(3)几何法求线面角：

过平面外一点B做BB平面，交平面于点B'；连接AB，则BAB即为直线AB与平面的夹角．接

BBh

下来在Rt△ABB中解三角形．即sinBAB（其中h即点B到面的距离，可以采用等体积

AB斜线长

法求h，斜线长即为线段AB的长度）；

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.

(3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.

(4)定义法求二面角

如果能直接过棱l上一点，找到与棱l垂直的两条线，则直接找到了二面角。

目标：找与棱l垂直的两条线

（5）射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公

S射S

式（cos=A'B'C'，如图2）求出二面角的大小；

S斜SABC

(6)三垂线法求二面角

三垂线法：当无法直接找到与棱l垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面α找一点

P点，过P点作平面β的垂线PA（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面β垂直的平面，在平面上作垂

线），然后过A或者P作棱的垂线交于B点，连接成直角三角形PAB，即可求二面角的平面角。

(7)垂面法求二面角

垂面法:若题目条件中能找到棱l垂直的平面，则找出该平面与α，β的交线即可。若题目中有与棱l垂直的

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直线，如图如果AP与棱l垂直，则可以构造出与棱l垂直的平面，即可求出二面角的平面角。

【知识点5空间距离】

1.点到平面的距离

求点面距的常用方法：

(1)直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．

(2)如果条件中具有中点（等分点）条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一点到

平面的距离．

(3)等体积法：换角度、切割、补齐等，将点面距转化成求几何体的高

2.直线到平面的距离

要区分直线与平面的位置关系，当直线与平面相交或在平面内时，距离为0；只有当直线与平面平行时，线

面距才有意义.因为直线平行于平面，其上所有点到平面的距离相等,因此线面距可以转化为点面距求解.

3.两个平行平面间的距离

面面距仅在两平面平行时有定义（否则相交，距离为0）.其求解的核心思路是转化为点到平面的距离.

【知识点6立体几何解答题常用二级结论（拓展）】

1.外接球问题秒杀求法

模型适用几何体解题流程公式

长方体模型长方体的顶点构先补成长方体，再找长(2R)²=a²+b²+c²

成的几何体模型方体的长宽高

对棱相等的三棱先补成长方体，再找长

对棱相等

锥(也是特殊的长方体的三对面对角线

模型

方体模型)x,y,z

圆锥、顶点在地

斗笠模型面的射影是底面找底面外接圆半径

外心的正棱锥r,找高h

圆柱，直棱柱，一

汉堡模型条侧棱垂直底面找底面外接圆半径

的棱锥r,找高h

找两个垂面的外接圆

切瓜模型存在一组邻面垂半径r1,r₂,两个面

直的几何体的交线l

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找等腰三角形的高

怀表模型两个全等等腰三H,找外接圆半径r,

角形折叠式棱锥找二面角θ

夹角问题终找两相邻面的截面外接

极公式圆，圆心到交线的距离

m,n，找二面角θ,找两个

任意普通情况面的交线l

2.内切球半径求法

（1）棱锥内切球半径

(1)等体积法：由球心到各面距离相等，多面体体积可表示为

,所以；

(2)相似法求解正棱锥内切球半径：(以下以正三棱锥为例)

如图，由正三棱锥内切球球心O在高线上，则球与侧面的切点E在侧面的高线PD上，与底面的切点H为

高线垂足，易知△POE∽△PDH,故利用,可解出内切球半径R.

3.旋转体内切球半径：(可按照轴截面的内切圆半径计算，外接球同理)

如图，已知圆锥高为h,底面半径为r,利用两个直角三角形△ABD和△AOE相似可得

故·,所以

注：圆柱、圆台同样以轴截面的方式处理.

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4.常见几何体内切球、外接球半径

棱长为α的正方体：内切球半径,外接球半径

棱长为a的正四面体;内切球半径外接球半径

柱体侧棱长a,底面外接圆半径r:柱体可能不存在内切球，柱体中最大的球的半径

【题型1空间几何体表面积与体积计算】

1．（2026高一·陕西咸阳·期中）一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直

径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形．

(1)求该圆锥体石膏的体积；

(2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离；

(3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值．

643

【答案】(1)π

3

(2)45

64

(3)π

3

【分析】（1）根据题目条件求得圆锥底面圆半径和高，进而根据圆锥体积公式进行求解；

（2）通过展开圆锥侧面，得到B到C的最短距离为线段BC的长度，结合弧长的公式进行求解；

（3）将圆锥内切球的半径等价为圆锥轴截面三角形内切圆的半径，结合球体的表面积公式进行求解.

【详解】（1）设r为底面圆的半径，h为圆锥的高，

因为△SAB是边长为8的等边三角形，

7/97

1

所以rAB4，h824243，

2

1π643

因此圆锥体石膏的体积Vπr2h4243π.

333

（2）圆锥底面圆的周长C2πr8π，圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，

设扇形圆心角为，扇形的半径就是圆锥的母线长为8，

所以8π=2π8，解得180，即侧面展开图为半圆，如下图所示，

360

1

，SCSA4，SB8，CSB90，

2

所以B到C的最短距离BCSB2SC2824245，

即昆虫爬行的最短距离为45.

（3）圆锥内可打磨出的最大球体就是圆锥的内切球，此时球的半径最大，表面积也最大，

因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以等边三角形的内切圆半径就是圆锥内切球的半径，

143

设圆锥内切球的半径为R，Rh，

max33

2

4364

此时球的表面积2

Smax4πR4ππ.

33

2．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正三棱柱ABCA1B1C1内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且

底面直径与母线长相等.

(1)求圆柱的底面半径；

(2)求三棱柱ABCA1B1C1的体积与表面积.

【答案】(1)3

813，1353

(2)VS

ABCA1B1C12ABCA1B1C12

【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径；

8/97

（2）根据三棱柱的体积和表面积公式求解即可.

【详解】（1）设圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R.

由题意πR22R54πR3.

即圆柱的底面半径为3.

（2）因为ABC为等边三角形，且其外接圆半径为3，

AB32273

由正弦定理。23，解得，则，

AB33SABC33

sin6044

又三棱柱的高即圆柱的高为，所以273813；

6V6

ABCA1B1C142

2731353

则三棱柱ABCA1B1C1的表面积为23336.

42

3．（2026高一·山东济宁·期中）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为x，y，2且xy，xy2.

(1)当底面ABCD为正方形时，

（i）求长方体ABCDA1B1C1D1的表面积；

（ii）求三棱锥A1BC1D体积和外接球体积；

(2)取DC1、BC1的中点分别为M、N，求三棱锥DAMN的体积的最大值.

2

【答案】(1)（i）10（ii）；6π

3

1

(2)

12

【分析】（1）（i）易得xy1，再根据长方体的表面积公式求解即可；

（）根据VVVVVV即可求出三棱锥ABCD的体积，易得

iiA1BC1DABCDA1B1C1D1A1ABDC1BCDBA1B1C1DA1C1D111

三棱锥A1BC1D的外接球即长方体ABCDA1B1C1D1的外接球，求出半径，再根据球的体积公式求解即可；

1111

（2）由题意可得SSS，从而可得VVVV，再结合基本不

DMN2DC1N4DC1BDAMNADMN4ADC1B4C1ABD

等式求解即可.

【详解】（1）（i）因为底面ABCD为正方形，所以xy1，

则长方体ABCDA1B1C1D1的表面积为21141210；

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（）由图和已知，VVVVVV

iiA1BC1DABCDA1B1C1D1A1ABDC1BCDBA1B1C1DA1C1D1

1122

2xyxy24xy，

3233

2

故三棱锥ABCD体积为，

113

由题可知，三棱锥A1BC1D的外接球即长方体ABCDA1B1C1D1的外接球，

设该外接球的半径为R，则2Rx2y246，

3

446

因此三棱锥ABCD外接球体积3；

11VπRπ6π

332

（2）因为M、N分别为DC1、BC1的中点，

11

所以SSS，

DMN2DC1N4DC1B

11111

则VVVVxy2

DAMNADMN4ADC1B4C1ABD432

2

11xy1

xy，

1212212

1

当且仅当xy1时，等号成立，即三棱锥DAMN的体积的最大值为.

12

4．（2026高一·吉林四平·期中）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，

EF//BC,ADBC,EHBC,FGBC，垂足分别是D，H，G，将ABC绕AD所在直线旋转180．

(1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V；

(2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S．

53

【答案】(1)π

3

10/97

(2)(1223)π

【分析】（1）本题中所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱的组合体，VV圆锥V圆柱计算即可；

（2）结合特殊几何体的结构特征计算阴影部分不规则几何体的表面积即可.

【详解】（1）阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23，圆柱

的底面半径为1，高为3．

183，，

V圆锥π423πV圆柱π133π

33

53

因此阴影部分形成的几何体的体积为VV圆锥V圆柱π．

3

（2）圆锥侧面积S1π248π，

圆柱的侧面积S22π1323π，

2

底面面积S3π24π，

表面积为SS1S2S3(1223)π．

5．（2026高一·新疆·阶段检测）如图，正四棱锥PABCD的底面积为3，O为正方形ABCD的中心．

3

(1)若正四棱锥PABCD的高为，求它的表面积．

2

82

(2)若正四棱锥PABCD的外接球的体积为π，求正四棱锥PABCD的体积．

3

【答案】(1)9

232

(2)或

22

【分析】（1）过点O作OFCD交CD于点F，由勾股定理求得PF，进而求得表面积；

（2）由题，正四棱锥外接球的球心O在直线PO上，由外接球的体积，可求得外接球的R2，利用球的

截面性质求出棱锥高h的值，再根据体积公式求解即可.

【详解】（1）由题意知PO平面ABCD，过点O作OFCD交CD于点F，连结PF.

则点F为CD的中点，所以PFCD，

3

因为底面积为3，可得AD3，则OF.

2

11/97

2

32

因为四棱锥的高为，所以33

PF3.

222

1

所以正四棱锥的表面积S33439.

2

482

（2）设外接球半径为R，由外接球体积πR3π，可得R2.

33

底面正方形对角线长BD2AD6，

BD6

所以底面正方形外接圆半径r.

22

由题，正四棱锥外接球的球心O在PO上，

32

设球心O到底面距离为d，由R2d2r2，可得dR2r22，

22

22

当顶点P与球心O在底面ABCD异侧时，正四棱锥的高hRd2；

22

232

当顶点P与球心O在底面ABCD同侧时，正四棱锥的高hRd2.

22

2122

当h时，V3；

2322

3213232

当h时，V3.

2322

232

综上所述，正四棱锥PABCD的体积为或.

22

【题型2空间点线面位置关系、共点、共线、共面证明】

1．（25-26高二上·北京·月考）如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是AD,AB的中点，G,H分别在BC,CD

上，且BG:GC＝DH:HC＝1:2．

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(1)求证：E,F,G,H四点共面；

(2)设FG与HE交于点P，求证：P,A,C三点共线．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】（1）证明：在ABD中，∵E,F为AD,AB的中点，∴EF//BD．

在CBD中，∵BG:GCDH:HC1:2，

∴GH//BD，∴EF//HG，

∴E,F,G,H四点共面．

（2）∵FGHE＝P，PFG，PHE，

∴P平面ABC，P平面ADC，

又平面ABC平面ADC＝AC，

∴P直线AC．∴P,A,C三点共线．

2．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）如图，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H分别为棱A1B1，B1C1，

AB，BC的中点．

(1)判断直线FG与EH的位置关系，并说明理由；

(2)证明GE，FH，BB1相交于一点．

【答案】(1)相交，理由见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用中位线和棱台的结构特征，证明EF//GH，可得以E，F，G，H四点共面，进而得出EFHG

为梯形，则FG与EH必相交；

（2）由EFHG为梯形，则EG与FH必相交，证明交点在BB1上即可．

【详解】（1）证明：连接AC，A1C1，如图所示，

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因为ABCDA1B1C1D1为正四棱台，所以A1C1//AC，

又E，F，G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点，所以EF//A1C1，GH//AC，

则EF//GH，所以E，F，G，H四点共面，因为A1C1AC，所以EFGH，

所以EFHG为梯形，则FG与EH必相交．

（2）因为EFHG为梯形，则FH与GE必相交．

设GEFHP，因为GE平面AA1B1B，所以P平面AA1B1B，

因为FH平面BB1C1C，所以P平面BB1C1C，

Ç

又平面AA1B1B平面BB1C1CBB1，

所以PBB1，则GE，FH，BB1交于一点．

3．（24-25高一下·湖北·期末）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱BB1，

BC，CD，DD1的中点.

(1)求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必

说明画法和理由）；

(2)求证：A1E，DF，AB三线共点.

【答案】(1)

如图①，连接BD，EH，FG，

因为E，H分别是棱BB1，DD1的中点，所以EH//BD，

又F，G分别是棱BC，CD的中点，所以FG//BD，

故EH//FG，

所以E，F，G，H四点共面.

平面与该正方体各面的交线如图①（多边形EFGHIJ）所示.

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(2)

如图②，易知EF//B1C//A1D，且EFA1D，所以A1E与DF必相交，设交点为P，

又由PDF，DF平面ABCD，得P平面ABCD，

同理P平面A1B1BA，

又因为平面A1B1BA∩平面ABCDAB，所以PAB，

所以A1E，DF，AB三线共点.

【分析】（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行，通过证明EH与FG都平行于正方体中的某条棱，进

而证明EH//FG，E，F，G，H四点共面；

（2）通过分别找出A1E与AB延长线的交点，DF与AB延长线的交点，证明这两个交点重合.

【详解】（1）略

（2）略

4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，观察正方体ABCDA1B1C1D1，证明直线A1B与B1C,AB与B1C为

异面直线．

【答案】证明见解析

【分析】根据给定条件，利用异面直线的判定，结合正方体的结构特征推理得证.

【详解】在正方体ABCDA1B1C1D1中，BC//B1C1//A1D1，

直线A1B平面A1BCD1，点C平面A1BCD1，点C直线A1B，而点B1平面A1BCD1，

因此直线A1B与直线B1C是异面直线；

直线AB平面ABCD，点C平面ABCD，点C直线AB，而点B1平面ABCD，

因此直线AB与直线B1C是异面直线.

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【题型3空间中平行关系的证明】

1

1（.2026高一·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，BC//AD，BCAD，

2

面PBC面PADl，E是PD的中点.

(1)求证：CE//平面PAB；

(2)求证：l//AD；

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）取PA中点F，连BF、EF，证明四边形BCEF为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证

明；

（2）先通过线面平行的判定证得BC//面PAD，再利用线面平行的性质证得l//AD.

【详解】（1）在四棱锥PABCD中，取PA中点F，连BF、EF

11

EFAD,EF//AD，又BCAD,BC//AD，

22

EFBC,EF//BC，

四边形BCEF为平行四边形，

CE//BF，又CE平面PAB，BF平面PAB，

CE//平面PAB；

（2）在梯形ABCD中，BC//AD，

又BC平面PAD，AD平面PAD，

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BC//平面PAD，

BC平面PBC，平面PBC平面PADl，

BC//l，BC//AD，l//AD.

2．（25-26高一下·浙江舟山·期中）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，SA13，C，D为底面圆

O上的点，CD//AB，AB2CD10，E是母线SB的中点.

(1)求证：OC//AD

(2)求证：CE//平面SAD

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

【分析】（1）应用平行四边形证明线线平行；

（2）先应用平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可；

【详解】（1）连接OC，因为CD//AB，AB2CD10，

所以CD//OA且CDOA，所以四边形CDAO是平行四边形，

所以OC//AD；

1

（2）取SA中点T，连接DT,TE，因为T,E分别是SA,SB中点，所以TE//AB,TEAB，

2

所以TE//CD,TECD，所以四边形TECD是平行四边形，

所以CE//DT，DT平面SAD，CE平面SAD，

所以CE//平面SAD；

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3．（25-26高一下·海南·阶段检测）正方体ABCDABCD的棱长为2，E为棱DD的中点．

(1)求证：BD//平面ACE

(2)设平面ACE平面ABCDl，求证：BD//l；

(3)求三棱锥DACE的体积．

【答案】(1)在正方体ABCDABCD中，连接DB，令DBACO，连接EO，

由四边形ABCD为正方形，得O是BD的中点，又E是DD的中点，

则BD//EO，又BD平面ACE，EO平面ACE，

所以BD//平面ACE.

(2)

由（1）知：BD//平面ACE，又BD平面ABCD且平面ACE平面ABCDl，

所以BD//l.

2

(3)

3

【分析】（1）连接BDACO，利用线面平行的判定推理得证.

（2）由（1）的结论，利用线面平行的性质推理得证.

（3）利用等体积法求解.

【详解】（1）略

（2）略

1

（3）在正方体ABCDABCD中，DEDD1，AD2，

2

11

S△DEAD121，而点C到平面AED的距离为正方体棱长2，

AED22

18/97

112

所以三棱锥DACE的体积VVS212．

DACECAED3AED33

4．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形DBPQ所在平面互相垂

直，平面PBA平面ABCD，M是线段PQ上的一点，且DM//平面ACP．求证：

(1)平面ADQ//平面BCP；

(2)M是线段PQ的中点．

【答案】(1)在正方形ABCD中BC//AD，在平行四边形DBPQ中BP//QD，

∵AD平面ADQ，DQ平面ADQ，且BC平面ADQ，BP平面ADQ，

∴BC//平面ADQ，BP//平面ADQ，

又∵BC平面BCP，BP平面BCP，且BCBPB，

∴平面ADQ//平面BCP.

1

(2)取BD与AC交点为O，则ODBD，连接PO.

2

∴平面PAC平面DBPQOP，

∵DM//平面ACP，且DM平面DBPQ，

∴DM//OP，在平行四边形DBPQ中DB//PQ，

11

∴四边形DOPM为平行四边形，∴PMODBDPQ，

22

∴M是线段PQ的中点.

【分析】（1）由线线平行得到线面平行，从而证明面面平行；

（2）由线面平行的性质得到线线平行，借助平行四边形的性质即可得证.

5．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图已知四棱锥SABCD，底面ABCD为梯形，AD//BC，

SAABBC2，AD3，P、Q为侧棱SD上的点，且DP:PQ:QS3:2:4，点M为SA上的点，且

3AMAS．

19/97

(1)求证：CP//平面SAB；

(2)求证：平面BMQ//平面ACP．

【答案】(1)证明：连接MP，

SM2SP2

在SAD中，因为==，所以MP//AD，且MPAD2．

SA3SD3

又AD//BC，BC2，所以MP//BC且MPBC，

所以四边形MPCB为平行四边形，所以CP//BM．

又BM平面SAB，CPË平面SAB，所以CP//平面SAB．

(2)证明：由（1）得CP//BM，又BM平面BMQ，CPË平面BMQ，

所以CP//平面BMQ.

SQ2SM

在SAD中，因为DP:PQ:QS3:2:4，所以==，所以MQ//AP．

SP3SA

又MQÌ平面BMQ，AP平面BMQ，所以AP//平面BMQ．

又因APCPP且AP，CP平面ACP，

所以平面ACP∥平面BMQ．

【分析】（1）连接MP，证明四边形MPCB为平行四边形，即得CP//BM，再由线线平行证明线面平行即可；

（2）由（1）得CP//BM，证得CP//平面BMQ，再证MQ//AP，即可证AP//平面BMQ，最后由线面平

行推出面面平行.

【详解】（1）略

（2）略

20/97

【题型4空间中垂直关系的证明】

1．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，G为AD的中点，

四边形ABCD是DAB60且边长为a的菱形，△PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD．求证：

(1)BG平面PAD；

(2)ADPB．

【答案】(1)如图，连接PG，BD，∵四边形ABCD是菱形且DAB60，

ABD是正三角形，G为AD的中点，BGAD．

又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，

BG平面ABCD，BG平面PAD．

(2)由（1）可知BGAD，PAD为正三角形，G为AD的中点，

PGAD，又PGBGG，PG，BG平面PBG，

AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB．

【详解】（1）略

（2）略

2．（25-26高一下·北京·期末）如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，AB//DC，DCAC．

(1)求证：DC平面PAC；

(2)求证：平面PAB平面PAC；

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PF

(3)设点E为AB的中点，过点C，E的平面与棱PB交于点F，且PA//平面CEF，求的值．

PB

【答案】(1)PC面ABCD，DC平面ABCD，

PCDC，

DCAC，PCACC，PC、AC平面PAC，

DC平面PAC．

(2)AB//DC，DCAC，

ABAC．

又PC面ABCD，AB面ABCD，

PCAB，

PCACC，PC,AC平面PAC，

AB平面PAC，

AB平面PAB，

平面PAC平面PAB．

PF1

(3)

PB2

【分析】（1）由PCDC，DCAC，即可证明；

（2）由条件确定AB平面PAC，即可证明；

（3）通过PA//平面CEF，得到EF//PA，进而可求解.

【详解】（1）略

（2）略

（3）PA//平面CEF，平面PAB平面CEFEF，PA平面PAB，

EF//PA，

在PAB中，点E为AB中点，

点F为PB中点，

PF1

．

PB2

3．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同

于A,B的一动点.

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(1)证明：BC平面PAC；

(2)证明：平面PAC平面PBC；

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【详解】（1）因为AB是O的直径，C是圆周上不同于A,B的一动点，

所以BCAC，又因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，

又因为PAACA,PA,AC平面PAC，

所以BC平面PAC.

（2）因为BC平面PAC，BC平面PBC，

所以平面PBC平面PAC.

4．（25-26高一下·广西百色·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，ABBC，

ABBC1，AD2，CD2，PA2，PA平面ABCD.

(1)求证：AB平面PAD；

(2)求证：平面PCD平面PAC；

【答案】(1)证明：因为AD//BC，ABBC，所以ABAD，

又PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB，

又PAADA，所以AB平面PAD.

(2)证明：因为ABBC,ABBC1，所以AC2，

又CD2,AD2，所以在ACD中，AC2CD2AD2，所以ACCD，

又PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD，

又PAACA，所以CD平面PAC，又CD平面PCD，

所以平面PCD平面PAC.