2026新高二数学暑假专题：奔驰定理遇上了三角形四心的向量表示（解析版）

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暑假作业04重难专题02:“奔驰定理”遇上了“三角形四心

的向量表示”

【知识点1三角形“四心”的概念】

1.重心：中线的交点，重心将中线长度分成21.

2.内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平∶分线上的任意点到角两边的距离相等.

3.外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.

4.垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

【知识点2重心的向量表示】

设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：

1.＋＋＝0.

2.��＝��＋��＋).

1

3.�若�＝3(λ��(�＋��)�，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心.

4.若��＝λ����＋，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心.

｜｜｜｜

����

����sin���sin�

【知识点3内心的向量表示】

设P是ABC的内心，则有以下结论：

1.｜｜△＋｜｜＋｜｜＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是ABC的三边BC，

AC，�A�B的��长.��������������△

＝＋，，＋，则的轨迹一定经过三角形的内心

2.λ｜｜｜｜λ[0∞)P.

����

����∈

【知��识点4外心的向量表示】

设O是ABC的外心，则有以下结论：

1.｜｜△＝｜｜＝｜｜＝＝.

222

������⇔������

1/44

2.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0.

动�点��满�足��＝��＋�＋�����＋����，，＋，则的轨迹一定经过的外心

3.Pλ｜｜｜｜λ(0∞)PABC.

��������

��2��cos���cos�∈△

【知识点5垂心的向量表示】

设O是ABC的垂心，则有以下结论：

1.·△＝·＝·.

2.�｜���｜2＋��｜��｜�2＝�｜��｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2.

若动��点满足��＝��＋��，��，＋�，�则的轨迹一定经过的垂心

3.Pλ｜｜｜｜λ(0∞)PABC.

����

����cos���cos�∈△

【知识点6奔驰定理】

1.奔驰定理

如图，已知为内一点，则有

PABCS△PBCOAS△PACOBS△PABOC0.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.

2.奔驰定理的证明

如图：延长OA与BC边相交于点D

BDSSSSS

则ABDBODABDBODAOB

DCSACDSCODSACDSCODSAOC

DCBD

ODOBOC

BCBC

SS

AOCOBAOBOC

SAOCSAOBSAOCSAOB

ODSSSSS

BODCODBODCODBOC

OASBOASCOASBOASCOASAOCSAOB

S

ODBOCOA

SAOCSAOB

2/44

SSS

BOCOAAOCOBAOBOC

SAOCSAOBSAOCSAOBSAOCSAOB

SBOCOASAOCOBSAOBOC0

3.奔驰定理的推论

推论1：O是ABC内的一点,且xOAyOBzOC0,则

（）

1SBOC:SCOA:SAOB；

�:�:�

S△BOC|x|SCOA|y|SAOB|y|

（2）,,.

S△ABC|xyz|SABC|xyz|SABC|xyz|

【知识点7奔驰定理与“四心”联系（“四心”在三角形内部）】

奔驰定理是三角形“四心”向量式的完美统一，借助奔驰定理可以推导及证明三角形“四心”与向量的关

系.

是的重心

(1)OABCSBOC:SCOA:SAOB1:1:1OAOBOC0

：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得

证明S△BOC:S△COA:S△A0B1:1:1OAOBOC0

是的内心

(2)OABCSBOC:SCOA:SAOBa:b:caOAbOBcOC0

111

证明：Sar，Sbr，Scr（r为ABC内切圆的半径），所以

BOC2COA2AOB2

，再由奔驰定理可得

SBOC:SCOA:SAOBa:b:caOAbOBcOC0.

是的外心

(3)OABCSBOC:SCOA:SAOBsin2A:sin2B:sin2C

sin2AOAsin2BOBsin2COC0；

1

证明：SOBOCsinCOB，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得COB2A，所以

BOC2

11212

SOBOCsin2ARsin2A（R为ABC外接圆的半径），同理可得SRsin2B，

BOC22COA2

12

SRsin2C，所以S:S:Ssin2A:sin2B:sin2C，再由奔驰定理可得

AOB2BOCCOAAOB

sin2AOAsin2BOBsin2COC0

（4）P是△ABC的垂心：

SBPC:SCPA:SAPBtanA:tanB:tanCtanAPAtanBPBtanCPC0

3/44

PDPD

证明：如图P为△ABC的垂心，则有tanA，tanB，所以BD:ADtanA:tanB，所以

ADBD

11

S:SCPBD:CPADBD:ADtanA:tanB，同理可得

BPCAPC22

，所以，再由奔驰定理可得

SAPC:SAPBtanB:tanCSBPC:SAPC:SAPBtanA:tanB:tanC

SBPC:SCPA:SAPBtanA:tanB:tanCtanAPAtanBPBtanCPC0.

【题型1重心的向量表示】

1．（25-26高一下·全国·单元测试）O为平面上一动点，A、B、C是平面上不共线的三点，且满足

OAOBOC0R，则O点的轨迹必过ABC的（）

A．垂心B．外心C．内心D．重心

【答案】D

【解析】如图，设D为AB边的中点，OAOB2OD，

2ODOC，

O、C、D共线，

即点O在ABC底边AB的中线上．

故选：D．

π

2．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知D是ABC的重心，AB3，AC2，BAC，则AD在AB上

3

的投影向量为（）

4112

A．ABB．ABC．ABD．AB

9323

【答案】A

11

【解析】因为D是ABC的重心，所以ADABAC，

33

ππ

又AB3，AC2，BAC，所以ABACABACcosBAC32cos3，

33

4/44

121

ABABAC93

ADAB4

则在上的投影向量为33．

ADAB2AB2ABABAB

ABAB99

3．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知ABC所在平面内的动点M满足AMxACyAB，且实数x，

1

y形成的向量ax,y与b1,2向量共线，则动点M的轨迹必经过ABC的（）

2

A．垂心B．内心C．外心D．重心

【答案】D

11

【解析】ax,y与b1,2向量共线，故2xy0，

22

即2xy1，解得y12x，

将y12x代入AMxACyAB，得到AMxAC12xAB，

即AMABxAC2AB，所以BMxBCABxBCBA，

取AC的中点E，则有BCBA2BE，

故BM2xBE，所以动点M的轨迹必经过ABC的重心.

故选：D.

4．（2025高三·全国·专题练习）O为ABC平面内一定点，该平面内一动点P满足

M{P|OPOA(|AB|sinBAB|AC|sinCAC),0}，则ABC的（）一定属于集合M.

A．重心B．垂心C．外心D．内心

【答案】A

【解析】

ABC中，根据正弦定理，

ACAB

，即ABsinBACsinC.

sinBsinC

设tABsinBACsinC，t0，

5/44

所以OPOAtABAC，

OPOAAP，

APtABAC，

1

设D为BC中点，则ADABAC，故AP2tAD，

2

所以A,P,D共线，

点P的轨迹为射线AD（不含端点A）.

ABC的重心一定属于集合M.

故选：A.

2

5．（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）已知G为ABC的重心，AGBC2，则ABAC__________.

3

27

【答案】

4

【解析】如图，延长AG交BC于点D，则D为BC的中点，

23

AGBC2,AD3,BDCD

32

ABADDB,ACADDCADDB

22927

ABACADDBADDBADDB9.

44

6．（25-26高一下·福建宁德·期中）在ABC中，G是重心，过G的直线交AB于D，交AC于E，设

11

ADAB，AEAC，且m1，n1，则mn的值为________.

mn

【答案】3

uuur1uuur1uuur

【解析】因为三角形重心是三条中线的交点，所以有AGABAC，

33

11

又因为ADAB，AEAC，所以ABmAD，ACnAE.

mn

mn

于是可得AGADAE，

33

mn

又因为D,E,G三点共线，所以有1，得mn3.

33

6/44

7．（25-26高一下·天津红桥·阶段检测）点G是ABC的重心，用AB和AC表示AG，则AG__________．

11

【答案】ABAC

33

【解析】

1

如图，AD,BE,CF是ABC的三条中线，则ADABAC，

2

2

因为G是重心，所以AGAD，

3

2111

所以AGABACABAC．

3233

【题型2内心的向量表示】

ABAC

1.（25-26高一下·上海·期末）已知ABC，若点P满足AP，其中R，则点P的轨迹

|AB||AC|

一定通过ABC的（）

A．外心B．内心C．垂心D．重心

【答案】B

ABAC

【解析】指向角A的平分线方向，

ABAC

ABACABAC

而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向，

ABACABAC

所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上，

所以点P的轨迹会经过内心.

故选：B.

2．（2025高三·全国·专题练习）已知ABC，角A,B,C的对边分别为a,b,c，P为三角形所在平面上的一点，

且点P满足aPAbPBcPC0，则P为三角形的（）．

A．外心B．内心C．重心D．垂心

7/44

【答案】B

【解析】因为aPAbPBcPC0，

aPAbPAABcPAAC0，

abcPAbABcAC0

1bcABAC

APbABcAC，

abcabc

ABAC

所以点P在BAC的角平分线上.

同理可得：点P在ABC的角平分线上.

所以点P为ABC的内心.

故选：B

ACABBCBA

3．（25-26高三下·广西崇左·期中）点O为ABC所在平面内一点，若OAOB0，

ACABBCBA

则点O为ABC的（）

A．内心B．重心C．垂心D．外心

【答案】A

ACAB

【解析】如图，向量，分别表示在边AC和AB上取同方向的单位向量AC和，

ACABAB

ACAB

则ACABBC，

ACAB

ACAB

由OAOABC0可得OABC，

ACAB

因ABAC，则OA平分BAC，

BCBA

同理由OB0，可知OB平分ABC，

BCBA

故O为ABC的内心.

4．（2025高三·全国·专题练习）设G为ABC的内心，AB2，AC4，CB3，AGxAByBC，则

xy______.

8/44

8

【答案】

9

【解析】插入分点G，得AGxAByBCxAGxGByBGyGC，

即x1AGyxBGyCG0，

x1yxy22

又3AG4BG2CG0，从而有，得x,y，

34239

8

所以xy，

9

8

故答案为：.

9

【题型3外心的向量表示】

222

1．（2026高三·全国·专题练习）已知O是ABC所在平面上一点，若OAOBOC，则O是ABC的

（）

A．重心B．外心C．内心D．垂心

【答案】B

222

【解析】因为OAOBOC，则OAOBOC，

所以O是ABC的外心.

AB

2．（2026·浙江·三模）已知O为ABC的外心，且满足AOAB2AC，则的值为（）

AC

A．2B．5C．6D．7

【答案】C

【解析】因为O为ABC外心，（外心为三角形各边垂直平分线的交点，所以外心在各边的投影为各边中

点），

11

即AO在AB上的投影为AB，AO在AC上的投影为AC，

22

1212

所以AOABAB，AOACAC，

22

又AOAB2AC，

两边点乘AB得：ABAOABAB2AC，

122

即ABAB2ABAC，

2

1

整理得：ABAC∣AB∣2，（1）

4

两边点乘AC得：ACAOACAB2AC,

9/44

122

即ACABAC2AC，

2

32

整理得：ABACAC，（2）

2

1232

联立（1）（2），消去ABAC得：ABAC，

42

2

AB∣∣

化简得：，即AB

266.

AC∣AC∣

3．（25-26高一下·浙江绍兴·期末）在△ABC中，O为BC的中点，若MOBC0，则动点M的轨迹必通

过△ABC的（）

A．内心B．外心C．重心D．垂心

【答案】B

22

【解析】2AMBCACABACABACABACABBC，

ACAB2AMBC0，

MCMBMCMB0，

2222

MCMB0，即MCMB，即MCMB，

M在边BC的垂直平分线上，

由三角形外心的定义知，M点的轨迹过ABC的外心.

4．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知O为ABC的外心，AB6，AC4，则AO·BC__________．

【答案】-10

【解析】AOBCAOACABAOACAOAB，

1

取AC中点M，则OMAC，AO在AC方向上的投影为AMAC，

2

2

因此1AC，

AO·ACACAOcosAO,ACACAC

22

2

同理可得：AB，

AOAB

2

4262

所以AOBC81810.

22

10/44

5．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）在ABC中，已知AB4,AC3,A60，点O为三角形的外心，

则BCBO______．

13

【答案】/6.5

2

【解析】ABC中，AB4,AC3,A60，由余弦定理可得：

BC2AB2AC22ABACcosA4232243cos6013，BC13.

1

因为点O为三角形的外心，所以BO在BC上的投影为BC.

2

11213

BCBOBC(BC)BC.

222

【题型4垂心的向量表示】

1．（2025高三·全国·专题练习）已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足PAPCPAPBPBPC，

则P为三角形的（）．

A．外心B．内心C．重心D．垂心

【答案】D

【解析】由PAPCPAPB，所以PAPCPAPBPAPCPBPABC0，

则PABC，同理可证PBAC,PCAB，

所以P为三角形的垂心.

故选：D.

2.（25-26高三下·甘肃·期末）设O是ABC的外心，点P满足OAOBOCOP，则P是ABC的（）

A．内心B．任意一点C．垂心D．重心

【答案】C

【详解】由题可得OAOBOPOCCP，

由于O是ABC的外心，设D为线段AB的中点，

11/44

故OAOB2OD且ODAB，即CP2OD，

所以CPAB，同理BPAC，APBC，故P是ABC的垂心．

故选：C.

3．（2025高一·全国·专题练习）已知O为ABC所在平面内一点，动点H满足：

ABAC

OHOA，其中0,，则动点的轨迹一定通过的（）．

22HABC

ABsin2BACsin2C

A．外心B．内心C．重心D．垂心

【答案】D

【分析】根据已知结合数量积运算律计算数量积为0即可判断选项.

2222

【解析】ABsin2B2sinBcosBAB，ACsin2C2sinCcosCAC，

ABAC

由正弦定理得，则ABsinBACsinC

sinCsinB

令ABsinBACsinCk，

ABAC

因为OHOA，

22

ABsin2BACsin2C

ABAC

所以OHOA

22

2sinBcosBAB2sinCcosCAC

ABAC

所以AH，

2k

ABcosBACcosC

ABBCACBC

等式两边点乘BC得AHBCBCBC0，

2k2k

ABcosBACcosC

所以点H的轨迹一定过ABC的垂心，

故选：D．

4．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足

12/44

ABAC

OPOA，0,，则P点的轨迹一定通过ABC的（）

ABcosBACcosC

A．重心B．垂心C．外心D．内心

【答案】B

ABBCACBCABBCcosBACBCcosC

【解析】由OPBCOABCOABC

ABcosBACcosCABcosBACcosC

OABCBCBCOABC，

则OPBCOABC0，即APBC0，

故APBC，即点P的轨迹经过ABC的垂心.

故选：B

【题型5“四心“的综合问题】

1（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知G,O,H在ABC所在平面内，满足

GAGBGC0,OAOBOC，HAHBHBHCHCHA，则点G,O,H依次是ABC的（）

A．重心，内心，外心B．重心，外心，垂心

C．垂心，内心，重心D．外心，重心，内心

【答案】B

【解析】因为GAGBGC0，所以GAGBGC，

设AB中点为D，则GAGB2GD，所以GC2GD，

所以C,G,D三点共线，即G为ABC的中线CD上的点，且GC2GD，

所以G为ABC的重心；

因为OAOBOC，所以OAOBOC，所以O是ABC的外心；

13/44

因为HAHBHBHCHCHA，所以HBHAHC0，即HBCA0，

所以HBAC，同理可得HABC，HCAB，所以H是ABC的垂心.

故选：B

2．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内

一点，下列说法正确的有（）

A．若O为ABC的外心，且3OA4OB5OC0，则OAOB

5

B．若O为ABC的内心，ABAC5,BC8,AOmABnBC(m,nR)，则mn

6

3

C．若O为ABC的重心，aOAbOBcOC0，则角A60

3

D．若O为ABC的外心，且O到a，b，c三边距离分别为k,m,n,则k:m:nsinA:sinB:sinC

【答案】AB

【解析】对于A，设ABC外接圆半径为R，因为3OA4OB5OC0，

所以3OA4OB5OC，则(3OA4OB)2(5OC)225R2，

也即25R224OAOB25R2，所以OAOB0，则OAOB，故选项A正确；

对于B，取BC的中点D，连接AD，作OEAB，垂足为E，

因为ABAC，所以AD为BAC的角平分线，所以OÎAD，

144

又AB5，BDBC4，所以sinBAD，则tanBAD；

253

11

因为ABC的周长L55818，面积SBCAD8524212，

22

14/44

2S244r

所以ABC内切圆半径rOE，所以AE1，

L183tanBAD

55

又OA1r2，所以AOAD，

39

1555

因为ADABBDABBC，所以AOADABBC，

29918

55555

则m，n，所以mn，故选项B正确；

9189186

对于C，因为点O为ABC的重心，所以OAOBOC0，

3

又因为aOAbOBcOC0，令at，则bt,c3t(t0)，

3

b2c2a2t23t2t23

在ABC中，由余弦定理可得，cosA，

2bc2t3t2

π

因为A(0,π)，则A，故选项C错误；

6

对于D，设ABC外接圆半径为R，

1111

因为SakR2sin2AR2sinAcosA，SbmR2sin2BR2sinBcosB，

OBC22OAC22

SOBCaksinAcosAacosAkcosA

所以，从而得到，

SOACbmsinBcosBbcosBmcosB

mcosB

同理可得，

ncosC

所以k:m:ncosA:cosB:cosC，故选项D错误.

3．（多选）（25-26高一下·安徽安庆·期中）在ABC中，ABAC13,BC10,P为ABC内一点，若

APxAByAC(x,yR)，则下列命题正确的是（）

2

A．若点P为ABC的重心，则xyB．若点P为ABC的外心，则PCCB50

3

11913

C．若点P为ABC的垂心，则xyD．若点P为ABC的内心，则xy

28818

【答案】ABD

1

【解析】设BC边的中点为D，则ADABAC，

2

因为ABAC，所以ADBC，且ABC的重心、外心、垂心、内心均在线段AD上，

22111

选项A：因为点P为ABC的重心，所以APADABACABAC，

33233

12

则xy，所以xy，故A正确；

33

选项B：若点P为ABC的外心，且ADBC，

15/44

11

则PCCBCPCBCPCBcosPCBCBCB10250，故B正确；

22

选项C：若点P为ABC的垂心，则BPAC，即BPAC0，

AB2AC2BC2132132102119

在ABC，由余弦定理得cosBAC，

2ABAC21313169

ttt

设APtADABAC，则BPBAAP1ABAC，

222

tttt2

所以BPAC1ABACAC1ABACAC

2222

2

ttt119t2

1ABACcosBACAC1131313

2221692

144t1190，

119t119

解得t，则xy，所以xyt，故C错误；

1442144

选项D：若点P为ABC的内心，则DP为内切圆的半径，且设为r，

11

则SBCADABACBCr，

ABC22

2

22210

又ADACCD1312，

2

1110

所以1012(131310)r，解得r，

223

26

1026

所以APADDP12，即AP313

33

AD1218

13131313

则APADABAC，即xy，所以xy，故D正确.

18363618

4．（多选）（25-26高一下·安徽芜湖·期中）点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

ABAC

A．若AOR，则动点O的轨迹一定通过ABC的重心

ABsinBACsinC

B．若2OAOB3OC0，SAOC，SABC分别表示△AOC，ABC的面积，则S△AOC:S△ABC1:4