2026新高二数学暑假专题：第01讲 空间向量及其线性运算（3知识点+4大题型）（原卷版）

第01讲空间向量及其线性运算

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01空间向量的相关概念辨析

题型02空间向量的加减、数乘运算

题型03空间向量共线及其参数问题

题型04空间向量共面及其参数问题

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念,提升数学抽

1.空间向量的概念象的核心素养.

2.空间向量的线性运2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程,培养逻辑推理的

算核心素养.

3.掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养.

学习重点：理解空间向量中的基本概念

学习难点：空间向量的共线、共面问题

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知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01空间向量的有关概念

1、空间向量的有关概念

（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；

如空间中的位移速度、力等．

（2）几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a

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相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

2、空间向量的表示

表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：

（1）几何表示法：用有向线段AB来表示，A叫向量的起点，B叫向量的终点；

（2）字母表示法：用a,b,c表示．向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为a

或AB.

即时即练

1．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（）

A．共线的单位向量都相等

B．不相等的两个空间向量的模必不相等

C．相反向量指方向相反的两个向量

D．任意两个空间向量一定共面

【方法总结】

处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系

(1)两个要素.

判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可.

(2)两个关系.

①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的

模相等是两个向量相等的必要不充分条件.

②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量

的模是可以比较大小的.

知识点02空间向量的加法、减法、数乘运算

1、空间向量的加减法

空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）．

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2、空间向量加减法运算律

交换律：abba结合律：(ab)ca(bc)

小结：空间向量加法的运算的小技巧

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，

即：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，

即：A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10；

3、空间向量的数乘运算

（1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

（2）数乘向量a与向量a的关系

的范围a的方向a的模

0a与向量a的方向相同

0a0，其方向是任意的|a||||a|

0a与向量a的方向相反

（3）对数乘向量a与向量a的关系的进一步理解：

①可以把向量a的模扩大（当||1时），也可缩小（当||1时）；可以不改变向量a的方向（当0

时），也可以改变向量a的方向（当0时）．

②实数与向量的积的特殊情况：当0时，a0；当0时，若a0，则a0．

③实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，a，a没有意义，无法运算．

即时即练

1．已知平行六面体ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

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(1)ABADAA；

(2)DDABBC；

1

(3)ABADDDBC.

2

【方法总结】

(1)空间向量的线性运算技巧.

①巧用相反向量:向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使

向量间首尾相接.

②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的

方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.

(2)化简空间向量的常用思路.

①分组:合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简.

②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其

转化为首尾相接的向量求和.

③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).

(3)与空间向量的线性运算相关的结论.

→→→→

①在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC1=AB+AD+AA1.

→→→

②若G为△ABC的重心,则AG+BG+CG=0.

③若O为空间中任意一点,则

→1→→

a.点P是线段AB中点的充要条件是OP=(OA+OB).

2

→1→→→

b.若G为△ABC的重心,则OG=(OA+OB+OC).

3

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知识点03共线向量与共面向量

一、共线向量

3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线

二、共面向量

2、共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实

数对(x,y)，使pxayb

3、空间共面向量的表示

如图空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，

使APxAByAC．

或者等价于：对空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内（P,A,B,C四点共面）的充要条件是存在

有序实数对(x,y)，使OPOAxAByAC，该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任

意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．

4、拓展

对于空间任意一点O，四点P,C,A,B共面（其中C,A,B不共线）的充要条件是OPxOCyOAzOB（其

中xyz1）．

即时即练

1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB2e1ke2，BCe13e2，

DC2e1e2，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（）

A．2B．4C．6D．8

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2．下列命题正确的是（）

A．若p2x3y，则p与x，y共面

B．若MP2MA3MB，则M,P,A,B共面

C．若OAOBOCOD0，则A,B,C,D共面

151

D．若OPOAOBOC，则P,A,B,C共面

263

【方法总结】

(1)判断或证明a,b共线,即找实数x,使得b=xa(a≠0),在这里要充分运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化

简转化为a,b的关系式,得到b=xa(a≠0)的形式,从而得到b∥a.

→→→→

(2)证明(或判断)A,B,C三点共线时,只需证明存在实数λ(或μ),使AB=λBC(或AB=μAC)即可.也可用“对空间任

→→→

意一点O,有OB=tOA+(1-t)OC,t∈R”来证明三点共线.

(3)利用向量法解决向量共面问题,关键是熟练地进行向量的表示,恰当应用向量共面的充要条件.向量共面的

充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量.

题型01空间向量的相关概念辨析

1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（）

A．单位向量都相等

B．若ab，则a,b的长度相等而方向相同或相反

C．若向量AB，CD满足|AB||CD|，则ABCD

D．相等向量其方向必相同

2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点，则

与向量EF相反的向量为（）

1111

A．CDB．BAC．DCD．BD

2212121

3．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（）

A．零向量与任意向量不平行

B．不相等的两个空间向量的模必不相等

C．任意两个空间向量都共面

D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

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4．（多选题）（25-26高二·全国·暑假作业）下列命题为真命题的是（）

A．若空间向量a，b满足ab，则ab

B．在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有ACA1C1

C．若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp

D．空间中任意两个单位向量必相等

5．（多选题）（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（）

A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B．ab是向量ab的必要不充分条件；

C．与实数类似，对于两个向量a、b，有ab、ab、ab三种大小关系

D．若两个非零向量AB与CD满足ABCD0，则AB与CD共线

【技巧归纳】

处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系

(1)两个要素.

判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可.

(2)两个关系.

①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的

模相等是两个向量相等的必要不充分条件.

②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量

的模是可以比较大小的.

题型02空间向量的加减、数乘运算

1．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式的运算结果不为向量AC1的是（）

A．ABBCCC1B．AA1A1D1D1C1

C．BABCCC1D．AA1A1B1B1C1

2．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，

1

则AB(BDBC)等于（）

2

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1

A．AGB．CGC．BCD．BC

2

3．点O在平行四边形ABCD所在平面外，AC与BD交于点M，则2OAOB2OCOD（）

A．3OMB．OMC．4OMD．2OM

4．（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若

，，则等于（）

ABa,ADbAA1cMD1

1111

A．abcB．abc

2222

1111

C．abcD．abc

2222

5．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体OABC中，BG3GC，设OAa，OBb，OCc，则AG

（）

1312

A．abcB．abc

4443

1112

C．abcD．abc

4333

6．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知点A,B,C,D是空间中四点，点M,N分别为AB,CD的中点，则（）

A．对任意点A,B,C,D恒有ADBCMN

B．当且仅当点A,B,C,D共面时ADBCMN

C．对任意点A,B,C,D恒有ADBC2MN

D．当且仅当点A,B,C,D共面时ADBC2MN

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【技巧归纳】

(1)空间向量的线性运算技巧.

①巧用相反向量:向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使

向量间首尾相接.

②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的

方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.

(2)化简空间向量的常用思路.

①分组:合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简.

②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其

转化为首尾相接的向量求和.

③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).

(3)与空间向量的线性运算相关的结论.

→→→→

①在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC1=AB+AD+AA1.

→→→

②若G为△ABC的重心,则AG+BG+CG=0.

③若O为空间中任意一点,则

→1→→

a.点P是线段AB中点的充要条件是OP=(OA+OB).

2

→1→→→

b.若G为△ABC的重心,则OG=(OA+OB+OC).

3

题型03空间向量共线及其参数问题

1．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（）

A．ABBCACB．ABBCACC．AB2BCD．ABBC

．（高二上新疆喀什期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，

225-26··e1e2AB2e1ke2BCe13e2

DC2e1e2，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（）

A．2B．4C．6D．8

221

3．平行六面体ABCDABCD中，AMMC，AMABADAA，则实数的值为（）

111113331

1

A．1B．C．2D．3

2

4．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知A,B,C三点共线，O为空间任一点，则①OA2OBOC；

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②存在三个不为0的实数,m,n，使OAmOBnOC0，那么使①②成立的与mn的值分别为（）

A．1，1B．1，0C．0，1D．1，0

5．（多选题）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，P为空间一点，且满足BPBCBB1，,0,1，则

（）

A．当1时，点P在棱BB1上B．当1时，点P在棱B1C1上

C．当1时，点P在线段B1C上D．当时，点P在线段BC1上

【技巧归纳】

(1)判断或证明a,b共线,即找实数x,使得b=xa(a≠0),在这里要充分运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化

简转化为a,b的关系式,得到b=xa(a≠0)的形式,从而得到b∥a.

→→→→

(2)证明(或判断)A,B,C三点共线时,只需证明存在实数λ(或μ),使AB=λBC(或AB=μAC)即可.也可用“对空间任

→→→

意一点O,有OB=tOA+(1-t)OC,t∈R”来证明三点共线.

题型04空间向量共面及其参数问题

1．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，且

11

OPOAOBOC，若P，A，B，C四点共面，则（）

43

5171

A．B．C．D．

1212123

2．向量a、b不平行，则存在两个非零常数、，使cab是a、b、c共面的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

3．（多选题）（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点P,M,A,B共面的条件是（）

111

A．MPMAMBB．OPOAOBOM

236

C．PMABD．PM//AB

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4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量a，b，c不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（）

A．bc，b，bcB．ab，c，abc

C．ab，ac，cD．ab，bc，ac

5．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB2a3b，ACac，

AD2bc.若A，B，C，D四点共面，则（）

3344

A．B．C．D．

4433

6．（25-26高二上·青海海东·期末）已知A，B，C，D四点共面于，且其中任意三点均不共线.设H为

空间中任意一点且H，若aHAbHBcHC2HD0，则abc（）

A．0B．1C．2D．1

7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外

41

一点，且OMxOAyOBOCx0,y0，若M,A,B,C四点共面，则的最小值为（）

xy

95

A．B．C．9D．4

22

8．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥PABCD中，PB2PE，PD3PF.若平面AEF与直线

PC相交于点Q，且PCPQR，则的值为（）

53

A．4B．5C．D．

25

【技巧归纳】

1、利用向量法解决向量共面问题,关键是熟练地进行向量的表示,恰当应用向量共面的充要条件.向量共面的

充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量.

2、共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实

数对(x,y)，使pxayb

3、拓展

对于空间任意一点O，四点P,C,A,B共面（其中C,A,B不共线）的充要条件是OPxOCyOAzOB（其

中xyz1）．

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1．（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点O,A,B,P满足OPmOAnOB，其中mn1，则（）

A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上

C．点P不一定在直线AB上D．以上答案都不对

2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，则下列各结论中正确的是

（）

A．OAOD与OB1OC1是一对相反向量

B．OBOC与OA1OD1是一对相反向量

C．OAOBOCOD与OA1OB1OC1OD1是一对相反向量

D．OA1OA与OC1OC是一对相反向量

3．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式运算结果不为BD1的是（）

A．A1D1A1AABB．BCBB1D1C1

．．

CDD1ABADDB1D1A1ADD1

4．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，

设ABa，ADb，AA1c，下列向量中与C1M相等的向量是（）

11111111

A．abcB．abcC．abcD．abc

22222222

．设向量，，不共面，已知，，，若，，

5e1e2e3ABe1e2e3BCe1e2e3CD4e18e24e3ACD

三点共线，则（）

A．1B．2C．3D．4

6．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）在三棱锥PABC中，M是平面ABC内一点，且

13/16

14PM8PAtPB5PC，则t（）

1

A．B．1C．2D．3

2

7．已知MA,MB是空间两个不共线的向量，MC5MA3MB，那么必有（）

A．MA,MC共线B．MB,MC共线

C．MA,MB,MC共面D．MA,MB,MC不共面

8．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥OABC中，设OAa，OBb，OCc，若ANNB，

BM2MC，则MN（）

111112111112

A．abcB．abcC．abcD．abc

263263263263

9．（25-26高二上·广东茂名·阶段检测）已知A,B,C,D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，

满足BD4PB2PAPC，则（）

A．5B．2C．1D．2

10．（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体OABC中，设OAa,OBb,OCc，G为OAB的重

心，H为AC的中点，则GH（）

111211

A．abcB．abc

632333

111211

C．abcD．abc

633332

11．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥OABCD中，点M是棱AB的中点，点N在线段OM上，

2

点P在线段CN上，点Q在平面ABCD内，且MN3ON，CPCN，OQOP，则的值为（）

5

14/16

5105

A．B．C．2D．

374