2026新高二数学暑假专题：第02讲 空间向量的数量积运算（2知识点+6大题型）（原卷版）

第02讲空间向量的数量积运算

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01空间向量的数量积运算

题型02空间向量的夹角运算

题型03空间向量模长的运算

题型04投影向量的运算

题型05空间向量中的垂直关系的运算

题型06空间向量中的最值（范围）问题

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.掌握空间向量的数量积,增强数学抽象的核心素养.

1.空间向量的数量积

2.了解空间投影向量的概念以及投影向量的意义,增强数学抽象和直观想象的

2.投影向量

核心素养.

3.向量垂直、夹角、模

3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题,提升逻辑推理与数

长问题

学运算的核心素养.

学习重点：空间向量的数量积运算

学习难点：空间向量数量积的运算性质及其应用

1/14

知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01空间向量的数量积

一、空间两个向量的夹角

1、定义：如图已知两个非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则么AOB叫做向量a,b

的夹角，记a,b.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）

2、范围：a,b0,．

特别地，（1）如果a,b，那么向量a,b互相垂直，记作ab．

2

(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故a,b0(或

a,b)a//b(a,b为非零向量)．

(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共线的，即0a．两非零向量的夹角是

2/14

唯一确定的．

3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）

若两个向量a,b所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，

(1)向量夹角的范围是0<<a,b><，异面直线的夹角的范围是0<<，

2

(2)当两向量的夹角为锐角时，a,b；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为

2

钝角时，a,b.

二、空间向量的数量积

1、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cosa,b叫做a，b的数量积，记作ab；即

ab|a||b|cosa,b．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;

2、空间向量数量积的应用

(1)利用公式|a|aa可以解决空间中有关距离或长度的问题;

ab

(2)利用公式cosa,b可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;

|a||b|

3、数量积的运算：

（1）(a)b(ab)，R.

（2）abba(交换律)．

（3）a(bc)abac(分配律).

4、空间向量数量积的性质

设a，b是非零向量，e是单位向量，则

①aeeaacosa,e；②abab0；

2ab

③aaa或aaa；④cosa,b；

ab

⑤abab

即时即练

1．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体ABCDABCD的棱长为1，若ABa，ADb，AAc，

则abbc（）

A．0B．2C．1D．4

3/14

2．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体ABCD所有棱长均为4，则ABADBC（）

A．43B．26C．25D．23

3．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量a，b，c的长度均为2，且ab0，cacb2，则c与ab

的夹角为（）

ππππ

A．B．C．D．

6432

．（高二全国暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向

425-26··ababe1e2ab

量，且m2e13e2，nke14e2，mn，则实数k的值为（）

A．6B．6C．3D．3

【方法总结】

(1)空间向量数量积运算的两种方法

①利用定义:利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算.

②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行

运算.

(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤

①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.

③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.

知识点02投影向量

1、向量a的投影

（1）如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面

内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，

4/14

b

c|a|cosa,b向量c称为向量a在向量b上的投影向量．

|b|

类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．

（2）如图(3)，向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，

B，得到AB，向量AB称为向量a在平面上的投影向量．这时，向量a，AB的夹角就是向量a所

在直线与平面所成的角．

2、空间向量数量积的几何意义：向量a，b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影

|b|cosa,b的乘积或等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosa,b的乘积.

即时即练

1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CC1上任意一点，则AM

在平面ABCD上的投影向量为（）

A．ACB．ABC．AC1D．AD

2．若向量a,b满足a5,b2，则向量a在向量b上的投影向量可能为（）

A．2bB．4bC．3bD．23b

【方法总结】

b

c|a|cosa,b向量c称为向量a在向量b上的投影向量

|b|

题型01空间向量的数量积运算

1．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，ABDC1（）

A．42B．4C．22D．2

5/14

2．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2,BB13，则AB1AC（）

A．2B．3C．4D．6

3．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体ABCD的棱长都为1，点M,N分别是AD,BC的中点，则

ABMN（）

113

A．0B．C．D．

422

4．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥PABCD的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，

11

且POPAPBPCR，则POPB（）

32

5734

A．B．C．D．

121243

5．（多选题）（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间向量a,b,c，则下列说法正确的是（）

A．abba

B．若abac，则bc

C．abcabc

D．若向量a,b同向共线，则abab

6．（多选题）（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是AB,AD

的中点，则下列计算结果正确的是（）

11

A．EFBAB．EFBD

42

11

C．EFDCD．ABCD

47

【技巧归纳】

求空间向量数量积的步骤：

第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；

第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；

第三步：根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；

6/14

第四步：代入ababcosa,b求解．

题型02空间向量的夹角运算

1．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量a，b，c的长度均为2，且ab0，cacb2，则c与ab

的夹角为（）

ππππ

A．B．C．D．

6432

2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别是AB，CD的

中点，直线BN与DM夹角的余弦值为（）

32312

A．B．C．D．

3333

3．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACABAA12，BC2AE2，

则向量与的夹角的余弦值是（）

AEA1C

123

A．B．C．D．0

222

1

4．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图，在三棱锥PABC中，PBPC1,APC90,ABPC，

2

则BPC___________．

π

5．（23-24高二上·浙江温州·期中）把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD

3

7/14

的中点，O是原正方形ABCD的中心，则EOF的余弦值为_________．

【技巧归纳】

求两个非零向量夹角的两种途径

(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.

(2)利用数量积求异面直线夹角的余弦值.

题型03空间向量模长的运算

1．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知i,j,k是空间两两垂直的单位向量，空间向量ai2j2k，则向

量a的模为（）

A．1B．3C．9D．1,2,2

2．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥ABCD中，

ABACAD2,BAC90,BADCAD60,M,N分别为BC,AD的中点，则|MN|（）

A．22B．2C．2D．1

8/14

3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角l的大小为，点A，B分别在半平面，内，ACl

3

于点C，BDl于点D．若AC5，BD6，CD52，则AB（）

A．141B．7C．8D．9

4．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知a,b,c是两两垂直的单位向量，则a2b2c________________．

5．（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若A1ABBADA1AD60，

ABBC2，AC117，则AA1______.

【技巧归纳】

利用向量方法求长度或距离的基本方法

(1)将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模.

(2)因为a·a=|a|2,所以|a|=a·a,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为

|a±b|=(a±b)2=a2±2a·b+b2.

(3)可用|a·e|=|a||cosθ|(e为单位向量,θ为a,e的夹角)来求一个向量在另一个向量上的投影向量的大小.

题型04投影向量的运算

3π

1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知a2，空间向量e为单位向量，a,e，则空间向量a在向量

4

e方向上的投影向量为（）

A．2eB．eC．2eD．e

．（高二上四川阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（）

225-26··ABCDA1B1C1D1AB1AC

111

A．ACB．ACC．ACD．AC

234

3．（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体ABCDABCD中，点E是CC的中点，AB2.设AE在AD

上的投影向量为a,DCb，则ab（）

3233

A．B．2C．D．3

22

4．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交

9/14

点，为的中点，则在上的投影向量的模为；在平面内的投影向量的模为

GCC1A1OAC________DGABCD

________．

5．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量a，b满足a3b3，且a2b在ab上的投影向量为

1

ab，则ab=______．

2

【技巧归纳】

b

c|a|cosa,b向量c称为向量a在向量b上的投影向量

|b|

题型05空间向量中的垂直关系的运算

．（高二全国暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向

125-26··ababe1e2ab

量，且m2e13e2，nke14e2，mn，则实数k的值为（）

A．6B．6C．3D．3

π

2．在三棱锥PABC中，PAPB2，PC3，APB，PABC，则cosAPC（）

4

6321

A．B．C．D．

3333

3．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OAOBOC.则OAOB

和CA的夹角为（）

A．30B．45C．60D．90°

4．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形ABCD中，已知ABBD,BDDC，且3AC2BD，

则BD在AC上的投影向量为（）

113

A．ACB．ACC．ACD．AC

434

10/14

【技巧归纳】

利用向量方法证明垂直问题的思路

(1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0(a,b是非零向量)可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的非零向量,

只要证明这两个非零向量的数量积为0即可.

(2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然

后利用向量法证明线线垂直即可.

题型06空间向量中的最值（范围）问题

1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体PABC，棱长23，Q为空间中一点，PQ1，求QAQB

的最大值是（）

A．10B．11C．12D．13

1

2．在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，AMAC，且AC33，N是棱AA1上的一点，且满足NMNC0，

31

则AA1的最小值为（）

A．33B．6C．3D．63

3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上

运动，则DCAP的最大值是_________．

4．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥ABCD的棱长均为4，点P满足PBPC2，则PAPD

的取值范围为______．

5．（25-26高二下·上海·期中）在三棱锥DABC中，已知ADa，CBb，DCc，AB3，ACBD，

c29

则的最小值为______.

ab

1．（25-26高一下·上海·期中）下面给出的关系式中

（1）0a0；

22

（2）(ab)(ab)ab；

22

（3）a|a|；

（4）(ab)ca(bc)；

11/14

（5）若abac，且a0，则bc．

正确的个数是（）.

A．1B．2C．3D．4

2．（25-26高二上·河北·阶段检测）在棱长为a的正四面体ABCD中，若ABACBCBD1，则a

（）

1

A．2B．2C．1D．

2

1

3．（25-26高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥PABC中，PAPBPAPB,E,F分别是PA,PB的中点，

2

则EF,BP（）

5ππ2ππ

A．B．C．D．

6633

4．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体ABCDABCD中，底面ABCD是正方形，

AA2AB，M是CD中点，AABAAD120，则直线AC与BM所成角的正弦值为（）

9515321

A．B．C．1D．

10514

5．（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O是A1D1的中点，ABBC2，

AA13，则向量A1C1在向量AO上的投影向量为（）

2111

A．AOB．AOC．AOD．AO

3324

6．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量e1、e2满足e13e2e22，则e2在e1方向上投影向

量的长度的最小值是（