2026新高二数学暑假专题：第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（3知识点+5大题型）（原卷版）

第04讲空间向量及其运算的坐标表示

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01空间向量中点的坐标表示与对称问题

题型02空间向量线性运算、数量积的坐标表示

题型03空间向量坐标中夹角、模长的运算

题型04空间向量坐标中平行、垂直、共面关系的运算

题型05空间向量坐标中投影向量的运算

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标

1.空间直角坐标系系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置,培养直观想象的核心素养.

2.空间向量运算的坐2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,提升数学抽象的核心素养.

标表示3.掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的

3.空间向量数量积运垂直问题,强化数学运算的核心素养.

算应用的坐标表示4.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式,提升逻辑推理的核

心素养

学习重点：学会建立合理的空间直角坐标系并求出点的坐标

学习难点：掌握空间向量的平行、垂直、数量积、模长、夹角的坐标运算

1/18

知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01空间向量的正交分解及其坐标表示

一、空间向量的正交分解及其坐标表示

1、空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以O为原点，分别以i,j,k的方向

为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建

立了一个空间直角坐标系Oxyz.

(2)相关概念：O叫做原点，i,j,k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy

平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．

2、空间向量的坐标表示

（1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向

量OA，且点A的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使

OAxiyjzk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)叫做点A在此空间

直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的

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竖坐标．

（2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OAa.由空间向量基本定理，存在

唯一的有序实数组(x,y,z)，使axiyjzk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的

坐标，上式可简记作a(x,y,z).

（3）右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方

向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建立的坐标系都

是右手直角坐标系．

二、特殊的的坐标及点的对称坐标

1、几类特殊位置的点的坐标

（1）x轴上的点的坐标为x,0,0

（2）y轴上的点的坐标为0,y,0

（3）z轴上的点的坐标为0,0,z

（4）Oxy平面内的点的坐标为x,y,0

（5）Ozx平面内的点的坐标为x,0,z

（6）Oyz平面内的点的坐标为0,y,z

2、空间中点的对称点的坐标：设点P(x,y,z)为空间直角坐标系中的点，则

（）与点关于原点对称的点是

1PP1(x,y,z)

（）与点关于轴对称的点是

2PxP2(x,y,z)

（）与点关于轴对称的点是

3PyP3(x,y,z)

（）与点关于轴对称的点是

4PzP4(x,y,z)

（）与点关于平面对称的点是

5POxyP5(x,y,z)

（）与点关于平面对称的点是

6POzxP6(x,y,z)

（）与点关于平面对称的点是

7POyzP7(x,y,z)

注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论．

三、空间中两点的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

（）

1ABOBOA(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)(x2x1,y2y1,z2z1)

即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

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2

（2）222，

|AB|AB(x2x1)(y2y1)(z2z1)

或222．

dA,B(x2x1)(y2y1)(z2z1)

即时即练

1．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面三角形ABC中，CACB1，

BCA90，AA12，N为A1A的中点，试建立恰当的空间直角坐标系．

(1)写出A，B，A1，N四点的坐标；

写出向量，，的坐标．

(2)BNBA1A1B

2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点M1,2,3关于平面yOz的对称点的坐标是（）

A．1,2,3B．1,2,3C．1,2,3D．1,2,3

【方法总结】

1、建系确定点的坐标的原则

(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:

①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.

②充分利用几何图形的对称性.

(2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射

影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.

2、空间中点的对称点的坐标：设点P(x,y,z)为空间直角坐标系中的点，则

（1）与点P关于原点对称的点是P1(x,y,z)

（2）与点P关于x轴对称的点是P2(x,y,z)

（3）与点P关于y轴对称的点是P3(x,y,z)

（4）与点P关于z轴对称的点是P4(x,y,z)

（5）与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x,y,z)

（6）与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x,y,z)

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（7）与点P关于Oyz平面对称的点是P7(x,y,z)

注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论．

知识点02空间向量运算的坐标表示

、设=，，,=，，，空间向量的坐标运算法则如下表所示：

1a(a1a2a3)b(b1b2b3)

运算坐标表示

加法=＋，＋，＋

ab(a1b1a2b2a3b3)

减法=－，－，－

ab(a1b1a2b2a3b3)

数乘＝，，,

a(a1a2a3)R

数量积＋＋

aba1b1a2b2a3b3

即时即练

1．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知a2,3,1,b2,0,3,c0,0,2，则a6b8c为（）

A．14,3,3B．14,3,7C．10,3,1D．10,3,3

2．（25-26高二上·广东河源·期末）已知a2,4,1，b2,2,m，且ab7，则m（）

A．-5B．1C．3D．5

【方法总结】

空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法

(1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算.

(2)熟练应用有关的公式:

①(a+b)2=a2+2a·b+b2;

②(a-b)2=a2-2a·b+b2;

③(a+b)·(a-b)=a2-b2.

(3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算2a·(-b),既可以利用运算律把

它化成-2(a·b),也可以先求出2a,-b,再求数量积.

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知识点03空间向量平行、垂直、数量积运算应用的坐标运算

1、两个向量的平行与垂直

=，，,=，，

a(a1a2a3)b(b1b2b3)

a1b1

平行（）

abab(b0)aba2b2R

a3b3

垂直（）（均为非零向量）

ababab0a1b1a2b2a3b30a,b

a1b1

特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才

ab(b0)a2b2Rb

a3b3

aaaa

能写成123例如，若与坐标平面平行，则，这样3就没有意义了

.bxOyb30.

b1b2b3b3

2、向量长度的坐标计算公式

2

若a=(a，a，a)，则2222，即222

123|a||a|aa1a2a3|a|a1a2a3

空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的

体对角线的长度

3、两个向量夹角的坐标计算公式

aba1b1a2b2a3b3

设=，，,=，，，则

a(a1a2a3)b(b1b2b3)cosa,b222222

|a||b|a1a2a3b1b2b3

即时即练

1．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）已知ax,4,1,b2,y,1,c3,2,z，a//b,bc，求：

(1)a,b,c；

(2)向量ac与bc夹角的余弦值.

2．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知向量a2,1,2,b1,1,4.求：

(1)2a3b

(2)a,b

3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量a2,0,1,b1,1,0,c0,,1，若a,b,c共面，则

（）

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A．2B．1C．2D．1

4．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量a2,2,0在向量b3,0,4上的投影长为（）

652

A．B．32C．D．

5263

【方法总结】

(1)判断向量是否平行、垂直,可根据向量平行、垂直的坐标表示转化为判断代数等式是否成立.

(2)根据向量的平行、垂直求参数,可转化为解关于参数的方程(组).

(3)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,

则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解.

(4)利用向量证明直线平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂

直的充要条件证明.

(5)通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,以便写点的坐标时更便捷.建

立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算

求解夹角和距离问题

题型01空间向量中点的坐标表示与对称问题

1．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知点B是点A1,2,5在坐标平面Oxz内的投影，则点B的坐标为（）

A．0,2,0B．1,2,0C．1,0,5D．0,2,5

2．（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A3,1,0，若向量AB2,5,3，

则（）

A．B5,4,3B．B1,6,3C．B1,6,3D．B2,5,3

3．（25-26高二上·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点M(3,2,1)关于平面Oxz对称的点为M1，

点M2与点M1关于y轴对称，则点M2的坐标为（）

A．(3,2,1)B．(3,2,1)

C．(3,2,1)D．(3,2,1)

4．（25-26高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，对空间中任意一点Px,y,z，则下

列叙述错误的是（）

A．点P关于x轴的对称点是P1x,y,zB．点P关于平面yOz的对称点是P2x,y,z

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C．点P关于y轴的对称点是P3x,y,zD．点P关于原点的对称点是P4x,y,z

5．如图长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD4,AA12,M,N分别是A1C1,CD1的中点，如图所示建系，则

M,N中点的坐标为（）

3

A．2,3,3B．2,3,

2

1

C．0,1,D．0,1,1

2

6．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知空间向量p2a3b3c，q3abc，则pq以a,b,c为单

位正交基底时的坐标为（）

A．5,3,4B．5,2,4C．2,3,3D．3,1,1

7．（25-26高二上·广西玉林·期末）已知点A1,2,2，B1,3,4，若AP2AB，则点P的坐标是______.

8．（23-24高二上·河南新乡·期中）一束光线自点P1,2,3发出，被Oxy平面反射后到达点Q4,4,4被吸收，

则该光线所走的路程是______．

π

9．（24-25高二上·全国·课后作业）在直三棱柱ABOABO中，AOB，AO4，BO2，AA4，

11121

111

D为A1B1的中点，以OA,OB,OO1为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求DO，AB

4241

的坐标．

【技巧归纳】

1、建系确定点的坐标的原则

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(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:

①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.

②充分利用几何图形的对称性.

(2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射

影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.

2、空间中点的对称点的坐标：设点P(x,y,z)为空间直角坐标系中的点，则

（1）与点P关于原点对称的点是P1(x,y,z)

（2）与点P关于x轴对称的点是P2(x,y,z)

（3）与点P关于y轴对称的点是P3(x,y,z)

（4）与点P关于z轴对称的点是P4(x,y,z)

（5）与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x,y,z)

（6）与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x,y,z)

（7）与点P关于Oyz平面对称的点是P7(x,y,z)

注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论．

题型02空间向量线性运算、数量积的坐标表示

1．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知a3,2,5，b1,5,2，则abab（）

A．21B．8C．68D．-3

2．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点A1,0,2，B2,3,1，C3,4,2，则BC3AC（）

A．1,3,1B．1,3,1C．5,11,1D．5,11,1

1

3．（25-26高二上·全国·单元测试）在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，已知正方体的棱长为2，PRPQ，

3

则点R的坐标为（）

9/18

241144

A．,2,B．,2,C．1,2,1D．,2,

333333

4．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知A1,0,2，B1,3,1，M是z轴上一点，若MAMB，则M点的

坐标为（）

A．0,1,0B．0,0,1C．0,0,3D．0,0,3

5．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知a,b,c满足2ab0,5,10,c1,2,2，ac5则bc的值

为（）

A．18B．18C．20D．20

6．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，

M为AB的中点，N为PD的中点．若PA4，AB2，则MNPC（）

A．0B．-4C．-8D．8

【技巧归纳】

空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法

(1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算.

(2)熟练应用有关的公式:

①(a+b)2=a2+2a·b+b2;

②(a-b)2=a2-2a·b+b2;

③(a+b)·(a-b)=a2-b2.

(3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算2a·(-b),既可以利用运算律把

它化成-2(a·b),也可以先求出2a,-b,再求数量积.

题型03空间向量坐标中夹角、模长的运算

1．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知向量AB1,2,2，CD2,1,2，则cosAB,CD（）

42312

A．B．C．D．

9933

10/18

2．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量ax,0,3，b0,1,2，若ab3，则x的取值为（）

A．±1B．7C．1D．7

3．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知a1,1,0,b0,1,1,c1,0,1,pab,qa2bc，则

cosp，q的值为（）

55

A．B．

1010

55

C．D．

55

4．（25-26高二上·山东淄博·期中）已知空间向量a1,k,2，b2,1,3．若abab，则实数k的

值为（）

A．4B．6C．8D．10

4

5．（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量a1,2,，b2,2,1，若cosa,b，则正实数的值为

9

（）

A．1B．2C．3D．4

6．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点，则

直线EF与直线CG所成角的余弦值为（）

15153030

A．B．C．D．

15153030

7．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量a2,1,1，bm,3,3，若a与b的夹角是锐角，则m

的取值范围是（）

A．,66,3B．,3

C．3,66,D．3,

8．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形ABCD中，若向量AB3,5,2,CD7,1,4，点E,F

分别为线段BC,AD的中点，则EF（）

2230

A．B．C．22D．30

22

9．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间内三点A1,1,2,B3,0,5,C0,2,4，则以AB，AC为

邻边的平行四边形的面积为（）

737

A．73B．C．7D．

22

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【技巧归纳】

通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,以便写点的坐标时更便捷.建立

坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求

解夹角和距离问题

题型04空间向量坐标中平行、垂直、共面关系的运算

1．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点A2,1,1,B1,1,2,Cm,1,3共线，则m（）

A．2B．0C．1D．-1

2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设a1,2,1，b2,3,2，若kab//a3b，则k的值是

（）

11

A．B．C．3D．3

33

3．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知空间四点A1,0,0，B0,1,0，C0,0,2，D3,3,，若A，B，

C，D四点共面，则实数（）

A．－1B．1C．2D．3

4．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，yR，向量ax,1,1，b1,y,1，c2,2,2，且ac，b//c，

则ab（）

A．22B．3C．5D．4

5．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知空间向量PA1,5,0,PB0,2,3,PCk,1,3，若点C在平面PAB

内，则k（）

11

A．B．C．1D．0

55

6．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体ABCDA1B1C1D1中，分别过A1,D1作直线AC1的垂线，垂足分

别为M，N，则MN（）

1112

A．ACB．ACC．ACD．AC

41312131

2

7．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知m3,0,2,nx,0,4，若n//m，则x______.

8．（25-26高二上·广东·期末）设空间向量a1,1,3，bt,0,1，若aba，则t的值为_____________．

9．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若AB1,2,2，则与AB共线反向的单位向量a=___________.

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【技巧归纳】

(1)判断向量是否平行、垂直,可根据向量平行、垂直的坐标表示转化为判断代数等式是否成立.

(2)根据向量的平行、垂直求参数,可转化为解关于参数的方程(组).

(3)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,

则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解.

(4)利用向量证明直线平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂

直的充要条件证明.

题型05空间向量坐标中投影向量的运算

1．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知空间向量m3,4,5，则向量m在坐标平面Oxy上的投影向量是（）

A．3,4,0B．3,0,5C．0,4,5D．0,4,0

2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）向量a(2,2,0)在向量b(2,0,2)上的投影向量为（）

A．(2,0,2)B．(2,2,0)C．1,0,1D．1,1,0

3．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量a2,1,1,b1,x,1,c1,2,1，当ab时，向量b在向量c

上的投影向量为（）

A．6B．6C．6cD．c

2

4．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知AB2,3,23，AC在AB的投影向量为AB，且BC5，

5

则cosAB,AC（）

52543

A．B．C．D．

5555

5．（25-26高二下·福建漳州·期中）在标准正交基底i,j,k下，已知向量m3i4j5k，n2ij3k，

则向量2mn在j上的投影长为________．

1π

6．（25-26高二上·福建福州·期中）空间向量a(1,,1)，向量b与a夹角为，且|b|2，若b在a上的

23

投影向量为a，则等于________．

7．如图，在空间直角坐标系Oxyz中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，顶点A位于坐标原点，若E是

棱B1C1的中点，F是侧面CDD1C1的中心．

13/18

(1)求点E，F的坐标及EF；

求向量在方向上的投影向量．

(2)EFDC1

1．（25-26高二上·福建福州·期中）已知点A3,1,4，B7,1,0，则线段AB的中点M关于平面Oxz对称

的点的坐标为（）

A．(2,1,2)B．(2,1,2)C．(2,1,2)D．(2,1,2)

2．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知a3,1,0，b2,0,0，则a,b是（）

A．30B．60

C．150D．120

3．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点A0,0,0，B1,2,2，C0,3,2，则ABBC2AC

（）

A．7B．7C．9D．9

2

4．（25-26高二上·湖南·期中）已知A3,4,5、B0,2,1、O0,0,0，若OCAB，则C的坐标是（）

5

648648

A．,,B．,,

555555

648648

C．,,D．,,

555555

5．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知AB1,2,3,ACa,b,b3．若点A,B,C共线，则BC（）

A．14B．214C．314D．914

6．（25-26高二上·广东·期末）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，AB1BC1的值为（）

A．1B．1C．2D．2

14/18

7．已知向量a2,1,5，2a3b2,1,13，则ab（）

A．2B．0C．2D．10

8．（2025高二·全国·专题练习）已知点A3,3,6关于x轴的对称点为Q，一束光线自点P1,1,1出发，被

xOy平面反射后到达点Q被吸收，那么光所走的路程是（）

A．37B．33C．47D．57

9．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知空间中三点A2,0,1,B2,2,0,C0,2,1,则下列说法不正

确的是（）

255

A．与AB方向相同的单位向量的坐标是0,,

55

B．AB在AC上的投影向量的坐标是1,1,0

1

C．AB与BC夹角的余弦值是

5

D．A､B两点间距离为5

10．（24-25高二上·北京·期中）已知向量OA1,2,3，OB1,2,1，点C为线段AB中点，则OC（）

A．1B．2C．3D．5

11．（24-25高二上·四川达州·期末）已知向量a2,0,3，b3,1,x，c1,1,1，ab，则a在b2c

方向上的投影向量为（）

A．1,1,0B．22,0,32

2232

C．2,2,0D．,0,

1313

12．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点A1,0,1，B0,1,3，C0,0,1，P1,x,2在平面ABC内，

则x值为（）

11

A．B．C．1D．1

22

13．向量a2,1,1，bx1,x,0x1，且b13，若mabb，则实数m的值为（）

131313131313

A．B．C．或D．或

787878

14．（25-26高二上·北京延庆·期中）若ABCD是平行四边形，且A2,5,1、B2,2,4、C1,4,1，则顶

点D的坐标为（）

A．1,7,2B．1,1,4

C．1,2,3D．1,6,1

15/18

7

15．（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知a1,2,4,b3,6,22，则是a与b

8

夹角为锐角的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

16．（23-24高二上·河北·期中）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，且PD3DC，

则BD在AC方向上的投影向量为（）