2026新高二数学暑假专题：第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系（2知识点+4大题型）（原卷版）

第05讲用空间向量研究直线、平面的位置关系

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01空间中直线的方向向量

题型02平面的法向量

题型03利用空间向量解决平行及其探索性问题

题型04利用空间向量解决垂直及其探索性问题

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.理解直线的方向向量与平面的法向量,培养数学抽象的核心素养.

1.直线的方向向量

2.掌握利用空间向量研究空间中直线与平面的位置关系,提升逻辑推理的核

2.平面的法向量

心素养.

3.用空间向量研究直

3.培养作图能力和空间想象能力,增强应用数学的意识,强化直观想象的核心

线、平面的位置关系

素养.

学习重点：会求直线的方向向量平面的法向量

学习难点：能用空间向量解决直线、平面的位置关系

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知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01直线的方向向量、平面的法向量

一、用向量表示点、直线、平面的位置

1、用向量表示点的位置：

在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量OP表示.我们把向量OP称为点

P的位置向量.如图.

2、直线的方向向量

如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取ABa,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要

条件是存在实数t,使得APta，即APtAB

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3、空间直线的向量表示式

如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OPOAta①

或OPOAtAB②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确

定.

4、用向量表示空间平面的位置

如图（1），设两条直线相交于点o，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，由平面向量

基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使得OPxayb．这样，点o与向量a和b不仅可以确

定平面，还可以具体表示出内的任意一点．

进一步地，如图（2），取定空间任意一点o，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在

实数x,y，使OPOAxAByAC（*）.我们把（*）式称为空间平面ABC的向量表示式．

二、平面的法向量

1、平面法向量的定义

如图，若直线l，取直线l的方向向量a，称a为平面的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确

定，可以表示为集合PaAP0．

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2、平面法向量的性质

（1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量；

（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．

3、求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:

（1）设向量：设平面的法向量为n(x,y,z)

（2）选向量：选取两不共线向量AB,AC

nAB0

（3）列方程组：由列出方程组

nAC0

nAB0

（4）解方程组：解方程组

nAC0

（5）赋非零值：取其中一个为非零值（常取)

（6）得结论：得到平面的一个法向量.

即时即练

1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若A1,0,1，B2,1,2在直线l上，则直线l的一个方向向量是______

2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中OA1，OB4，

OC2．则平面ABC的一个法向量是（）

A．4,2,1B．1,2,4C．12,4D．1,2,4

【方法总结】

1、直线的方向向量

(1)直线的方向向量为非零向量.

(2)直线的方向向量有无数个,如果a是直线的方向向量,则λa(λ≠0)必是直线的方向向量.求一条直线的方向向

→

量,可以在直线上取两点a,b,则AB即为直线的一个方向向量.

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2、平面的法向量的求解方法

(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).

(2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).

n·a=0,

(3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组

n·b=0.

(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最

简单的作为平面的法向量.

知识点02空间向量在直线、平面的平行与垂直中的应用

1、空间中直线、平面的平行

设直线的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则

l1,l2abnm

线线平行⇔⇔

l1l2abab(R)

线面平行⇔⇔

l1anan0

面面平行⇔nm⇔nm

2、空间中直线、平面的垂直

设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，

l1a(a1,b1,c1)l2b(a2,b2,c2)n(x1,y1,z1)

平面的法向量为，则

m(x2,y2,z2)

线线垂直⇔⇔

l1l2ab0a1a2b1b2c1c20

a1x1

线面垂直⇔⇔⇔

l1ananb1y1

c1z1

面面垂直⇔⇔⇔

nmnm0x1x2y1y2z1z20

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1．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平

面ABCD，且PAAB1，点E是PD的中点，求证：直线PB//平面AEC；

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2．如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，

侧面PBC底面ABCD．

(1)证明：PABD；

(2)证明：平面PAD平面PAB．

【方法总结】

1、用向量法证明线线平行的思路

要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可.具体方法有如下两种.

(1)坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线.

(2)基向量法:取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量,证明它们共线.

2、利用空间向量证明线面平行的三种方法

(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示.

(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证.

(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

3、用向量法证明面面平行的三种思路

(1)证明两个平面的法向量共线.

(2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线.

(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.

4、用向量法证明线线垂直的方法

用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明

a·b=0即可,具体方法有以下两种.

(1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向

量,计算出两向量的数量积为0.

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(2)基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,利用数量积

运算说明两向量的数量积为0.

5、用向量法证明线面垂直的两种方法

(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线.

(2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直.

6、用向量法证明面面垂直的两种思路

(1)证明两个平面的法向量垂直.

(2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面.

题型01空间中直线的方向向量

1．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）若点A1,0,2，B2,1,1在直线l上，则直线l的一个方向向量

为（）

A．3,1,3B．(1,3,2)C．(3,1,3)D．3,1,3

2．（25-26高二上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系Oxyz中，设直线l1的方向向量为a1,2,2，直线l2

的方向向量为b2,3,m，若l1l2，则m（）

1

A．1B．2C．D．3

2

2

3．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量a(4,2,6),b4,2x,6x都是直线l的方向向量，则x

的值是（）

A．1或1B．1C．3D．1

4．（24-25高二上·吉林松原·阶段检测）已知Ax,1,2,B3,y,0，若直线l的方向向量v1,2,2与直线

AB的方向向量平行，则xy（）

A．2B．3C．4D．5

5．（24-25高二上·河南濮阳·期中）在空间直角坐标系中，直线l过点A1,0,1且以3,2,4为方向向量，

Mx,y,z为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是（）

x1yz1x1yz1

A．B．

234324

x1yz1x1yz1

C．D．

324243

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【技巧归纳】

直线的方向向量

(1)直线的方向向量为非零向量.

(2)直线的方向向量有无数个,如果a是直线的方向向量,则λa(λ≠0)必是直线的方向向量.求一条直线的方向向

→

量,可以在直线上取两点a,b,则AB即为直线的一个方向向量.

题型02平面的法向量

1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点A1,0,0,B2,1,0,C1,1,1，则平面ABC

的一个法向量可以是（）

A．1,1,1B．1,1,1C．1,1,1D．1,1,1

2．如图，四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形，E为BC上的点，F为PC的中点，PD底面

ABCD,PD2,CE1，则以下向量可以作平面DEF的法向量的是（）

A．4,2,1B．4,1,2C．4,1,2D．4,2,1

3．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知点P02,1,1在平面内，向量n1,1,2为平面的一个法向量，

则下列各点不在平面内的是（）

A．1,0,1B．0,1,1C．1,2,2D．1,2,0

4．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知平面的一个法向量为m1,1,2，点A1,2,3,Bt,1,2均

在平面内，则t__________.

5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，

E为PD的中点，ABAP1，AD3，试建立恰当的空间直角坐标系，求：

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(1)平面ACE的一个法向量;

(2)直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．

6．（25-26高二上·全国·课后作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑

ABCD中，AB平面BCD，BDC90，BDABCD．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面ACD

的一个法向量．

【技巧归纳】

平面的法向量的求解方法

(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).

(2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).

n·a=0,

(3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组

n·b=0.

(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最

简单的作为平面的法向量.

题型03利用空间向量解决平行及其探索性问题

1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量m2,1,1是直线l的一个方向向量，向量n2,k1,1是

平面的一个法向量，若l//，则k（）

A．0B．2C．4D．3

2．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面、的法向量分别为a1,2,2，b2,4,m，若//，

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则m（）

A．4B．4C．5D．5

3．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知v是空间中直线l的方向向量，n是平面的一个法向量，那么“vn”

是“直线l与平面平行”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平

面ABCD，且PAAB1，点E是PD的中点，求证：直线PB//平面AEC；

5．在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB4，BCCD2，AA12，

F是棱AB的中点．试用向量的方法证明：平面AA1D1D//平面FCC1．

【技巧归纳】

1、用向量法证明线线平行的思路

要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可.具体方法有如下两种.

(1)坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线.

(2)基向量法:取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量,证明它们共线.

2、利用空间向量证明线面平行的三种方法

(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示.

(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证.

(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

3、用向量法证明面面平行的三种思路

(1)证明两个平面的法向量共线.

(2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线.

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(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.

题型04利用空间向量解决垂直及其探索性问题

1．（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线l的方向向量为ux,2,1，平面的法向量为n2,y,2，

若l，则xy（）

A．5B．4C．3D．2

2．（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为n2,1,1，平面平面，则平面

的法向量的坐标可以是（）

A．4,2,2B．1,1,1C．4,2,2D．2,1,1

3．（24-25高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的

直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵ABCA1B1C1中，ACBCCC1，M，N分别是线段A1C，BC1上的点，

且A1M2MC，BN2NC1，则下列说法正确的是（）

A．A1CABB．A1BMNC．A1CMND．A1CBC1

4．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACAB，AB1，

PAAC2，D是棱AC上一点，且AC3AD，M为棱PC的中点．证明：PC平面ABM；

【技巧归纳】

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1、用向量法证明线线垂直的方法

用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明

a·b=0即可,具体方法有以下两种.

(1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向

量,计算出两向量的数量积为0.

(2)基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,利用数量积

运算说明两向量的数量积为0.

2、用向量法证明线面垂直的两种方法

(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线.

(2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直.

3、用向量法证明面面垂直的两种思路

(1)证明两个平面的法向量垂直.

(2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面.

1．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点A(2,3,2)，B(1,0,5)，下列向量不是该直线的方

向向量的为（）

A．a(1,1,1)B．a(1,1,1)C．a(3,3,3)D．a(1,1,1)

2．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量m2,1,1是直线l的一个方向向量，向量n2,k1,1是

平面的一个法向量，若l//，则k（）

A．0B．2C．4D．3

3．（25-26高二上·北京·期中）已知直线l的一个方向向量为v1,2,2，平面的一个法向量为nx,1,1，

且l，则x的值为（）

11

A．B．C．4D．4

22

4．（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知n1,2,2是平面的一个法向量，点A6,3,3，Bk,2k,0均

在平面内，则k（）

A．0B．1C．2D．3

5．（24-25高二上·湖南·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线l过点A1,0,1且以2,3,4为方向向量，

Mx,y,z为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是（）

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x1yz1x1yz1

A．B．

234234

x1yz1x1yz1

C．D．

324243

6．（多选题）（25-26高二上·广东东莞·期末）直的l一个方向向量为a2,1,0，若l，则平面的

法向量可以是（）

A．n4,2,0B．n2,4,0C．n2,1,0D．n1,2,0

7．（多选题）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，称各面正方形的对角线为面对角线，称AC1,A1C,BD1,B1D

为体对角线．设P,M,N分别为AB,BB1,DD1的中点，则（）

A．存在面对角线与平面PMN平行B．存在体对角线与平面PMN平行

C．存在面对角线与平面PMN垂直D．存在体对角线与平面