2026新高二数学暑假专题：几何法破解空间角问题（解析版）

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暑假作业15重难专题05：几何法破解空间角问题

【知识点1异面直线所成的角（夹角）】

1．定义：已知两条异面直线a,b经过空间任意一点O作直线a//a,b//b,我们把a与b所成的锐角（或

直角）叫作异面直线a与b所成的角，也叫作异面直线a与b的夹角.

2．范围：(0,].

2

3．求法：

(1)直接平移法:①平移：选择适当的点（如线段的中点或端点），平移异面直线中的一条或两条成为

相交直线．

②证明：证明所作的角是异面直线所成的角．

③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．

(2)找等分点平移法:当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时，利用

该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点.

(3)补形法:即通过补形构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.若平移后所得直线落在几何体的外部，

则常沿着这条新直线将几何体补出适当的部分，以便构造三角形求角，此策略即为补形.

【知识点02直线与平面所成角（或夹角）】

1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角，也叫作

直线与平面的夹角；

当直线与平面平行或在平面内时，规定此时直线与平面所成的角为0.

2范围：[0,]

2

3．找线面角的方法

（1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可

求.���|��||��|

1/66

(2)体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信

息，通过体积求出点到平面的高�度，则�线面角的正�弦可求.

��ℎ

(3)三角余弦公式法：（见知识点05）

【知识点03二面角与两平面的夹角】

1．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，

以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角.

2．两平面的夹角的定义：两个平面相交所成的锐二面角或直二面角叫作两平面的夹角，当两平面平行

或重合时，规定它们的夹角为0.

3．范围：二面角的范围为[0,]，两平面的夹角范围为[0,].

2

4．求法：

（1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角.目标：找与棱

垂直的两条线���

（2）三垂线法（详见知识点04）：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二

面角.首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意�在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直

的平面，在平面上�作垂线�），然后�过或者作�棱的垂�线�交于点，连接成直角三角形，即可求二面�角的

平面角.������

2/66

（3）垂面法:若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与，的交线即可.若题目中有与棱

垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可�以构造出与棱垂直的平面，即�可�求出二面角的平面角.�

����

（4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平

'''

S

面角大小为，则co=�△����△�����

△�'�'�'

射影面积�法跟补形s法�都�△适���用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，

可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形.

（5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的

交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线.

【知识点04三垂线定理及逆定理（拓展）】

1.三垂线定理及逆定理：

⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜

线垂直.

(2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条

斜线在平面内的射影垂直.

【知识点05最小角定理和三角余弦公式（拓展）】

1．三角余弦公式：

如图所示，其中∠，∠，∠，

=OAC1=OAB2=BAC

3/66

则有

coscos1cos2.

由于、、∈[0，]，因此cos、cos、cos均属于[0，1]，所以cos＜cos，由余弦函

122121

数在[0，]上是单调递减，得＜.由此我们得到下面的最小角定理..

21

2.最小角定理

斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.如图中的∠OAB为

斜线OA与平面所成的角，∠OAC为斜线OA与平面内的任意一条直线AC所成的角，∠OAB＜∠OAC.

【题型1定义法、等分点平移法求异面直线所成的角】

1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在长方体ABCDEFGH中，AB23，AD2，则异面直

线AB和EG所成角的大小是（）

ππππ

A．B．C．D．

6432

【答案】A

【解析】因为AB//EF，所以FEG是异面直线AB和EG所成角或其补角，

FG23π

所以在RtEFG中，tanFEG，所以FEG，

EF2336

π

即异面直线AB和EG所成角的大小是.

6

，，

2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3BC2CC14，点E,F

，

分别为CC1AD的中点，则异面直线EF和AD1所成角的余弦值为（）

4/66

1470314214

A．B．C．D．

14141414

【答案】B

【解析】如图所示，取BC的中点M，连接BC1，EM，FM，

在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD1//BC1，因为E，M分别是C1C，BC，所以EM//BC1，所以EM//AD1，

，，

所以直线EF和AD1所成角是锐角FEM，因为AB3BC2CC14，所以

1

BCBC2CC241625，所以EMBC5，

1121

因为F为AD的中点，所以DF1，所以FCFD2DC210，所以EFFC2EC210414，

FM3，

EF2EM2FM2145970

在FEM中，由余弦定理得cosFEM，

2EFEM214514

70

所以异面直线EF和AD1所成角的余弦值为.

14

3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，P是平面ABC外的一点，PA4，BC6，D，E分别

为PC，AB的中点，且DE19．则异面直线PA与BC所成的角的大小为（）

5/66

A．45B．60C．90D．120

【答案】B

【解析】取AC的中点F，连接DF，EF，

在PAC中，D是PC的中点，F是AC的中点，\DF//PA．

同理可得EF//BC．

DFE为异面直线PA与BC所成的角（或其补角）．

11

在DEF中，DE19，又DF=PA=2，EFBC3，

22

DF2+EF2-DE24+9-191

\cosÐDFE===-，

2创DFFE2创232

DFE120，即异面直线PA与BC所成的角为60．

4．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）如图，在直二面角AB中，E，F两点都在直线AB上，C，

D两点分别在两个半平面内，AEDAFC60，则异面直线DE与CF所成角的余弦值为（）

3211

A．B．C．D．

4334

【答案】D

【解析】如下图，若取CFDE2，作HE//CF且HECF，

所以异面直线DE与CF所成角的平面角为DEH，

6/66

过H作HGAB于点G，连接DG,DH，

因HEDE,AEDAFCAEH60,易得HGE≌DGE，则DGAB，

故AB的平面角为HGD90，

其中HGDG2sin603，则DHHG2DG26，

HE2DE2DH24461

在DEH中，由余弦定理，cosDEH，

2HEDE2224

1

所以异面直线DE与CF所成角的余弦值为.

4

【题型2补形法求异面直线所成的角】

1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，设AB1和BC1所成的角为，

则cos的值为（）

3121

A．B．C．D．

4334

【答案】D

【解析】将正三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，

使正三棱柱ADCA1D1C1与正三棱柱ABCA1B1C1全等，

则由直棱柱性质可知DC1//AB1，AB1与BC1所成角为DC1B（或其补角）；

因为DC1C1B22，DCB120，

7/66

221

所以DB2222223，

2

222

222223

所以1.

cosDC1B

222224

2．平面过直三棱柱ABCA1B1C1的顶点B1，平面//平面ABC1，平面平面BB1C1ClAA1ABBC，

ABBC，则A1B与l所成角的正弦值为（）

3213

A．B．C．D．

2223

【答案】A

【解析】如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1向上补一个全等的直三棱柱A1B1C1A2B2C2，

则B1C2//BC1，A1B1//AB，

因为B1C2平面ABC1，BC1平面ABC1，且A1B1平面ABC1，AB平面ABC1，

所以B1C2//平面ABC1，且A1B1//平面ABC1，

I

又因为B1C2A1B1B1，且B1C2,A1B1平面A1B1C2，

所以平面A1B1C2//平面ABC1，且B1平面A1B1C2，故平面A1B1C2即为平面，

所以交线l即为直线B1C2，

因为B1C2//BC1，则A1B与l所成角为A1BC1，

设AA1ABBC1，则ACA1C12，BC1BA12，可得A1C1BC1BA1，

3

所以A1BC1为等边三角形，所以A1BC160，所以sinABC

112

3

即A1B与l所成角的正弦值为.

2

故选：A.

3．正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为．

8/66

【答案】15

15

【解析】在正方体ABCDA1B1C1D1右侧作出一个全等的正方体BCEFB1C1E1F1，

连接CF1,MF1，如图，

易知B1F1//CD,B1F1CD，所以四边形B1F1CD是平行四边形，则DB1//CF1，

所以MCF1是DB1与CM所成角的平面角或补角，

不妨设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2a，

则在正方体BCEFB1C1E1F1中，CF132a23a，

2

在RtMBC中，MCa22a5a，

在RtMFF中，22，

1MF12a3a13a

222222

MCCF1MF15a12a13a15

所以在MCF1中，cosMCF1，

2MCCF125a23a15

15

所以DB1与CM所成角的余弦值为.

15

【题型3定义法求线面角】

1．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，则直线BD1与

平面ABB1A1所成角的正弦值为（）

131011

A．B．C．D．

361011

【答案】D

9/66

【解析】在长方体ABCDA1B1C1D1中，D1A1平面ABB1A1，则直线BD1与平面ABB1A1所成的角为D1BA1，

且D1A1A1B，

DA11

因为ADAA1，，所以222，则11．

1AB3BD113111sinD1BA1

BD111

2．（25-26高二下·四川泸州·期中）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面BB1D1D所成

角的正弦值为（）

1236

A．B．C．D．

2222

【答案】A

【解析】如图所示，连接A1C1，交B1D1于O点，连接BO.

因为正方体底面A1B1C1D1是正方形，所以C1OB1D1；

又BB1平面A1B1C1D1，C1O平面A1B1C1D1，故BB1C1O，

又因B1D1BB1B1,B1D1,BB1平面BB1D1D,故C1O平面BB1D1D.

C1BO就是直线BC1与平面BB1D1D所成的角.

122

正方体棱长为2，则C1OA1C12，BC2222.

21

C1O21

在Rt△C1OB中：sinC1BO.

BC1222

1

因此直线BC与平面BBDD所成角的正弦值为.

1112

3．（2026·陕西渭南·三模）在棱长为2的正方体ABCDABCD中，M,N,P,Q分别是AD,CD,BC,BD

的中点，则直线BP与平面QMN所成的角为（）

A．0B．30C．60D．90

10/66

【答案】A

【解析】在棱长为2的正方体ABCDABCD中，连接BD,PN，

由DD//BB,DDBB，得四边形BDDB为平行四边形，则BD//BD,BDBD，

1

由N,P,Q分别是CD,BC,BD的中点，得PN//BD//BQ,PNBDBQ，

2

则四边形BPNQ是平行四边形，BP//QN，而BP平面QMN，QN平面QMN，

因此BP//平面QMN，所以直线BP与平面QMN所成的角为0.

4．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB2A1B142，若侧棱与底面的夹

角为45，则该四棱台的体积为（）

112562

A．B．112C．562D．

33

【答案】A

【解析】如图，S,O分别为上底面和下底面的中心，连接OS，

则OS底面ABCD，过点A1作A1TAO于点T，则A1T底面ABCD，

则A1AT即侧棱AA1与底面ABCD的夹角,即A1AT45，

22

因为AB2A1B142，所以ASAB2,AOAB4，

12112

故TOA1S2，所以A1TATAOTO422，

12222112

故该正四棱台的体积为224222422.

33

5．（2026·上海嘉定·一模）如图，在四面体VABC中，ACBC，从顶点V作平面ABC的垂线，垂足O

恰好落在ABC的中线CD上.

11/66

(1)如果DVDA2，直线VD与平面ABC所成的角为，求直线VA与平面ABC所成角的大小；

4

(2)证明：平面VCD平面VAB.

π

【答案】(1)；(2)证明详见解析

6

【解析】（1）连接AO，如图.

由题可知，VO平面ABC，AB平面ABC,则VOAB，

且VDO即为直线VD与平面ABC所成角，

π

即VDO.由ACBC，CD为AB边的中线，

4

可得ABCD.而DVDA2，可得OVOD2，AOAD2OD26.

π

而VAO即为直线VA与平面ABC所成角，且VAO0,,

2

23π

则tanVAO，可得直线VA与平面ABC所成角为.

636

（2）由VOAB，ABCD，CDVOO，CD,VO平面VCD,故AB平面VCD，

而AB平面VAB，则平面VCD平面VAB.

【题型4等体积法、三角余弦公式法求线面角】

-

1．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ACBC1，AB2，D，E分别是A1B1，CC1的中点，

则直线BC与平面A1BE所成角的正弦值为（）

12/66

2536

A．B．C．D．

3546

【答案】D

11

【解析】由题设，SCEBC且A1到平面BCE的距离为A1C11.

BCE24

526

又EABE，BA13，故E到BA1上高为，所以S.

122A1BE4

11

设到平面ABE的距离为d，由VV得：，解得6，

C1CA1BEA1BCEdSABEA1C1SBCEd

3136

d6

故直线BC与平面A1BE所成角的正弦值为.

BC6

2.（25-26高一下·天津南开·期中）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC，CC1的中点，

则直线CD与平面DEF所成角的正切值为______．

【答案】2

4

【解析】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，

所以CFCE1，所以DFDE22125，

EFCF2CE22，

设EF的中点为H，连接DH，

12

所以HFEF，

22

132

所以DHDF2HF25，

22

13/66

11323

所以SEFDH2，

DEF2222

设点C到平面DEF的距离为d，

所以VCDEFVFDCE，

111311

所以SdSCF，所以d211，

3DEF3DCE3232

2

解得d，

3

设直线CD与平面DEF所成角为，

2

π22

所以d31，又0,，所以cos1sin2，

sin2

DC233

1

sin312

所以tan.

cos22224

3

1

3．如图所示，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，O是AC的中点，且OP底面ABC，

2

则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.

【答案】210

30

【解析】解法一：如图所示，设D是PC的中点，连接OD，

则OD∥PA，故OD,PA与平面PBC所成的角相等，

设F为BC的中点，连接OF，则OF//AB，

因为ABBC，所以OFBC，

14/66

因为OP平面ABC，BC平面ABC，

所以OPBC，

又OFBC，OPBC，OF,OP平面OPF，且OFOPO，

所以BC平面OPF，又BC平面PBC

所以平面PBC平面OPF，

因为平面PBC平面OPFAF，

所以点O在平面PBC上的射影GPF，

过点O作OGPF于点G，

因为OGPF，平面PBC平面OPFAF，OG平面OPF，

所以OG平面PBC，则ODG即为OD与平面PBC所成的角．

设PA4，则ABBC2，由此可得AC22，PO14，则OD2，

由OP平面ABC，OF平面ABC，所以OPOF，

22

在Rt△POF中，PFOPOF14115，

OPOF14

则由等面积法得，OG，

PF15

OG210210

故sinODG，即直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．

OD3030

解法二：如图所示，过点A作AE平面PBC，垂足为E，连接PE，

则APE为AP与平面PBC所成的角．

设ABBCa，则PA2a，则AC2a，

15/66

214

AOa，POa，PB2a，

22

11

因为ABBC，所以SABBCa2，

ABC22

15

由解法一得，Sa2，

△PBC4

1114

由VPABCVAPBC可得SABCPOSPBCAE，代入数据得AEa，

3315

AE210

故sinAPE．

AP30

ππ

4．已知四面体SABC，若ASBASC，BSC，则直线SA与平面SBC所成角为．

32

π

【答案】

4

【解析】由ASBASC得直线AS在平面BSC上的投影SD为BSC的角平分线且ASD为直线SA与平

面SBC所成的角，因为平面ASD平面DSC，所以由三余弦定理cosASCcosASDcosDSC得

π

cos

cosASC2π

cosASD3，故直线SA与平面SBC所成角为．

π

cosDSCcos24

4

．如图，在正方体中，与平面所成的角为

5AC1A1BBB1D1D.

【答案】30。

【解析】方法一连结与交于，连结，

:A1C1B1D1OOB

D1

DDAC，BDAC，AO平面BBDD，C1

1111111111O

A

∵是与平面∴所成的角，1B

A1BOA1BBB1D1D1

∴1

在中，，．

RtA1BOA1OA1BA1BO30

2D

∴C

即与平面所成的角为。

A1BBB1D1D30

AB

方法二：由法一得是与平面所成的角，

A1BOA1BBB1D1D

2BB6

又cosABBcos45，cosBBO1，

1121BO3

∵

2

cosABB3

112，．

cosA1BOA1BO30

cosB1BO62

∴3∴

即与平面所成的角为。

A1BBB1D1D30

16/66

【题型5求线面角的取值范围】

1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若P在ABC内（包括边界）运

动，则直线D1P与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为（）

36263632

A．,B．,C．,D．,

44233342

【答案】C

【解析】连接DP,D1P，

在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，

对于平面ABC，DD1为垂线，D1P为斜线，DP为射影，

所以DPD1即为直线D1P与平面ABCD所成角，

设ACBDO，则ACBD，

因为P是ABC内（包括边界）的动点，

DD11

sinDPD1

2,

D1P1DP

DB2

当P与O重合时，DP最小，

22

DD16

sinDPD1

1DP23

此时12最大，

12

2

当P与B重合时，DPDB2最大，

DD13

sinDPD1

此时1DP23最小，

1122

36

所以sinDPD1,.

33

2．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，M是棱AB的中点，

N是侧面ACC1A1内任意一点(包含边界)，则直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值的取值范围是

（）

17/66

111521

A．,1B．,1C．,1D．,1

421014

【答案】D

【解析】如图，正三棱柱ABCA1B1C1棱长均为2，取AC的中点为O，

则BO平面ACC1A1，

当点N是靠近点A的四等分点时，MN//BO，则MN平面ACC1A1，

此时直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值最大为1；

当点N与C1重合时，此时MN最长，

2

即222，

MC1MCCC1327

因为正三棱柱ABCA1B1C1中，M是棱AB的中点，

BO3

所以点M到平面ACC1A1的距离为，

22

3

此时直线即MC与平面ACCA所成角的正弦值最小，为21，

MN(1)112

714

21

所以直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值取值范围是,1.

14

故选：D.

2

3．（2026高一·全国·专题练习）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，且PAPBAB，记直

2

线PC与底面ABCD所成的角为，则sin的最大值为_____.

【答案】102

4

【解析】分别取AB、CD中点E、F，因为PAPB，则PEAB，

在正方形ABCD中，AB//CD且ABCD，

因为E、F分别为AB、CD的中点，所以BE//CF且BECF，

故四边形BCFE为平行四边形，故EF//BC，

因为BCAB，所以EFAB，

18/66

因为PEEFE，PE、EF平面PEF，所以AB平面PEF，

过点P在平面PEF内作POEF，垂足为点O，连接OC，

因为AB平面PEF，PO平面PEF，所以ABPO，

又因为POEF，ABEFE，AB、EF平面ABCD，所以PO平面ABCD，

所以直线PC与平面ABCD所成角为PCO，

设AB2，OEt，

2

因为PAPBAB2，所以PA2PB2AB2，故PAPB，

2

1

又因为E为AB的中点，所以PEAB1，tOE0,1

2

2

则POPE2OE21t2，OCOF2CF22t1，

PCPO2OC2232t，

PO1t211t2

所以sin，

PC232t232t

15151102

令m32t1,3，所以sin6m625，

22m22224

35102

当且仅当m5，即t时，sin的最大值为.

24

【题型6定义法求面面角】

1．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，在三VABC中，VAVBBCACAB2，二面角VABC

5

的余弦值为，则VC的长为（）

6

1

A．1B．2C．3D．

2

19/66

【答案】A

【解析】如图所示，取AB的中点M，连接VM，CM．

VAVB，ACBCVMAB，CMAB

VMC为二面角VABC的平面角，

根据已知条件可得AM1，CM3，VM3．

VM2MC2VC25

在VMC中，由余弦定理cosVMC，

2VMMC6

2225

VC233231，

6

VC1．

2．（2026·广东广州·三模）正四面体PABC中，二面角PABC的余弦值为（）

1231

A．B．C．D．

3332

【答案】A

【解析】取AB的中点O，连接PO,CO，

因为四面体PABC是正四面体，所以ABC和PAB都是等边三角形，

所以POAB，COAB，

因为PO平面PAB，CO平面ABC，平面PAB平面ABCAB，

所以POC即为二面角PAB