专题1.2 等边三角形【九大考点】-【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化讲与练

专题1.2等边三角形【九大考点】-【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化讲与练1．（2025八上·霍邱期末）如图，等边△ABC的顶点A、B分别在直线a，b上，且a∥b，若∠1=20°，则∠2的度数为（）A．80° B．70° C．60° D．100°2．如图，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CDA．30° B．60° C．90° D．45°3．（2025八上·武安期中）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E在边AC上，且AE=AD，则∠EDC的大小为度．4．（2024八上·松原期末）如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠CDE=．5．（2023八下·渠县月考）如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP=CQ时，PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．13 B．12 C．26．（2025八上·大名期末）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE=CD，若DE=43，则AB=A．43 B．6 C．8 D．7．如图，点D是等边△ABC中边AB上一点，延长BC至点E，使CE=AD，连接DE，与AC相交于点F，过点D作DH⊥AC，垂足为点H，若AB8．（2025八上·柳州期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°，BD=2，则AD的长度是．9．（2024八上·房山期末）如图，△ABC与△ADE是等边三角形．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）延长CE交BD于点F，判断∠BFC的大小并证明．10．（2024九上·池州期末）如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．（1）求证：△ABE≌△ADC；（2）求∠EFC的度数；（3）求证：AF平分∠DFE．11．如图，△ABC是等边三角形．AB=6，AD是边BC上的高，点E在边AD上，连接BE，以BE为边在其下方作等边△BEF（1）当△BDE是等腰三角形时，∠ABF=（2）求证：△ABE（3）当△CDF是等腰三角形时，求∠BDF（4）直接写出DF的最小值．12．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．（1）如图①，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE，与△ADB（2）如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°（3）如图③，在△ABC中，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE、CD交于点P，请直接写出线段BE和CD的数量关系及13．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ（1）求证：△ADC（2）若PQ=5，PE=2，求14．（2024八上·宜都期中）已知：在等边三角形ABC中，点D为边AB上一点，E为CB延长线上一点，AD=BE．（1）如图1，求证：DE=DC；（2）如图2，延长ED交AC于点F，若点D为AB中点，且CF+BE=10，求AF的长．15．如图，在等边三角形ABC中，AB=4，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=BA（1）如图1，求证：①∠DAC=∠DBC；②（2）如图2，若EC∥AD，求出16．如图，△ABC中AB=AC，△ABD和△ACE分别为等边三角形，BE与CD（1）求证：BE=（2）求证：G为BC的中点；（3）已知∠BAC=α，求∠BDC的大小（用含17．如图，已知∠O=60°，点C在OB上，OC=8，点D、E在OA上，且CD=CE．若A．6 B．4 C．3 D．218．（2024八上·吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD=8，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．519．如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=BC，AD=CD．连接AC，过点D作DE∥AB分别交BC，AC于点E，F．若AB20．（2024八上·岚皋期中）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC，点F在BC的延长线上，且EB=EF，若BD=6，BF=12，则线段DE的长为．21．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，点E落在BC边上，EF与AC交于点（1）求证：△ABE（2）若∠ACB=26°，求∠FGC22．（2024八上·抚顺期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC交BC于点G，且AD=AB，∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若GD=3，DE=5，求四边形AEDF的周长．23．（2024八上·徐汇期中）如图1，△ABC和△ADE都是顶角为120°的等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE=120°，点D在BC上．

（1）求证：BD=EC；（2）求证：如图2，当点E在BA的延长线上，△EDC为等边三角形．24．（2024八上·锡山月考）如图，已知△ABC，AB=AC，∠B=50°，点D在线段BC上，点E在线段AC上，设∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如果α=20°，β=10°，那么△ADE是等边三角形？请说明理由；（2）若AD=AE，试求α与β之间的关系．25．（2024九上·昭阳期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，点E落在BC边上，EF与AC交于点G．（1）求证：△ABE是等边三角形；（2）若∠ACB=26°，求∠FGC的度数．26．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC交BC于点G，且AD=AB，∠EDF=60°（1）求证：△ABD（2）若GD=3，DE=5，求四边形27．如图1，△ABC和△ADE都是顶角为120°的等腰三角形，其中∠BAC=（1）求证：BD=（2）求证：如图2，当点E在BA的延长线上，△EDC28．如图，已知△ABC，AB=AC，∠B=50°，点D在线段BC上，点E在线段AC上，设（1）如果α=20°，β=10°，那么（2）若AD=AE，试求α与29．已知：△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连接AD，在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP=30°，作点A关于射线DP的对称点E，连接DE，（1）当点D在线段BC上运动时，①依题意将图1补全；②请用等式表示线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB，CE，CD之间的数量关系，不需证明．30．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠A=60°，点E为AD上一点，连接BD，CE（1）判断△DEF（2）若AD=13，CE=9，则CF的长为31．如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，CF平分∠ACB（1）如图1，求证：△AEF（2）如图1，若BC=8，则CD的长为（3）取AE的中点为G，连接FG，如图2，求证：△EFG32．如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是射线BA，CB，AC上的点，且AD=BE=CF，连结DE（1）求证：DE=（2）试判断△DEF33．如图：△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点．由点A向点C运动（P与点A、C不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ（1）若设AP的长为x，则PC=，QC=（2）当∠BQD=30°时，求BD（3）点P，Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段34．（2024八下·上高期末）如图所示，菱形ABCD边长为1，∠DAB=60°，连接AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，∠FAC=60°，连接AE，以AE为边作第三个菱形AEGH，∠HAE=60°，…，按这个规律所作的第2024个菱形的边长是．35．（2021八下·正定期中）如图，等边三角形ABC的边长为4，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1，过点A1作A1B1//OA，交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC36．在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A37．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED//AB，EF//AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1；作E1D1//FB，E1F

答案解析部分1．【答案】A【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；两直线平行，同位角相等【解析】【解答】解：如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∴∠3=∠C+∠1=60°+20°=80°，∵a∥b，∴∠2=∠3=80°；故选：A【分析】

根据等边三角形的性质，再结合三角形外角的定义与性质，可以推出∠3=80°，最后借助平行线的性质就可以得到最终答案.2．【答案】B【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型【解析】【解答】解：如图，过点A作AG⊥BE∵△ABD和△∴AD=∴∠DAB+即∠DAC=∴△ABE∴∠ADC=∠ABE，∵180°−∠ADC∴∠DOB=∴∠DOE=120°∵△ABE∴S△∴12∴AH=∴OA是∠DOE的平分线，∴∠AOE=∵∠AOE=∴∠OAB+故答案为：B．【分析】本题以等边三角形为背景，综合考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等面积法以及角平分线的判定。过点A作AG⊥BE、AH⊥CD，先证明⊥，得BE=CD且∠ABE=∠ADC，通过三角形内角和外角关系推出∠DOB=∠DAB=60°，从而∠DOE=120°；利用全等三角形面积相等得AG=AH，根据角平分线判定定理得OA平分∠DOE，所以∠AOE=60°；在△AOE中，由外角性质得∠AOE=∠OAB+∠OBA=60°。3．【答案】15【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，∵AD⊥BC，∴∠DAE=1∵AE=AD，∴∠AED=1∵∠AED=∠EDC+∠C，∴∠EDC+60°=75°，∴∠EDC=15°，故答案为：15．

【分析】根据等边三角形的性质（三线合一）可得∠DAE=12∠BAC=30°，根据根据等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和为180°可得∠AED=4．【答案】30°【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；角平分线的概念【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD是等边△ABC的边AC上的中线，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC=1∵BD=ED，∴∠DEC=∠CBD=30°，∴∠CDE=∠ACB−∠DEC=60°−30°=30°故答案为：30°

【分析】先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，BD平分∠ABC，再根据角平分线的定义得到∠DBC的度数，根据等腰三角形的性质得到∠DEC=∠CBD=30°，进而进行角的运算即可求解。5．【答案】B【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS【解析】【解答】解：如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，

∵△ABC是等边三角形，∠B=∠ACB=60°，

∵PF∥BC，

∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，

∴∠AFP=∠APF=60°，

∴△APF是等边三角形，

∴AP=AF=PF，

∵PE⊥AC，

∴AE=EF，

∵AP=PF，AP=CQ，

∴PF=CQ，

在△PFD与△QCD中，

∵∠PFD=∠QCD，∠PDF=∠QDC，PF=CQ，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD=CD，

∴EF+FD=AE+CD，

∴DE=AE+CD=12AC=12.

故答案为：B.

6．【答案】C【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理【解析】【解答】解：∵在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，∴BD⊥AC，∠DBC=∠ABD=1∴AB=2AD；∵CE=CD，∴∠E=∠CDE，∵∠E+∠CDE=∠DCB=60°，∴∠E=30°=∠DBE，∴BD=DE=43由勾股定理得：AB∴4AD∴AD=3∴AB=2AD=8．故选：C．【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理。等边ΔABC中，BD是AC中线，根据等边三角形“三线合一”，BD⊥AC，∠DBC=30°，∠DCB=60°；由CE=CD，可知ΔCDE是等腰三角形，∠E=∠CDE，又∠E+∠CDE=∠DCB=60°，因此∠E=30°，与7．【答案】6【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS【解析】【解答】解：过D作DG∥BC交AC于点∵DG∥∴∠ADG=∠B，∠AGD∵△ABC∴AB=AC∴∠A∴△ADG∴AD∵AD∴DG在△DFG和△∠DFG=∠EFC∠FDG=∠E∴△DFG∴GF∵DH∴AH∴HF故答案为：6【分析】本题以等边三角形为背景，综合考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形“三线合一”的应用。过点D作DG∥BC交AC于点G，可得△ADG为等边三角形，从而AD=DG；由CE=AD得DG=CE，结合平行线性质证明△DFG≌△EFC，得到GF=FC=12GC；在等边△ADG中，由DH⊥AC得AH=HG=12AG；则HF=HG+GF=12AG+8．【答案】6【知识点】含30°角的直角三角形；余角【解析】【解答】解：如图，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠A，

∵∠A=30°，

∴∠BCD=∠A=30°，∵BD=2，∴BC=2BD=4，

∴AB=2BC=2×4=8，∴AD=AB−BD=8−2=6．故答案为：6．【分析】根据∠ACB=90°，CD⊥AB，得∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，即可得∠BCD=∠A，进一步得∠BCD=∠A=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得BC=2BD=4，进一步得AB=2BC=2×4=8，即可得AD=AB−BD=8−2=6.9．【答案】（1）证明：∵△ABC与△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，∵∠DPF=∠APE，∵∠PFD=180°−∠ADB−∠DPF，∠DAE=180°−∠AEC−∠APE，∴∠PFD=∠DAE=60°，∴∠BFC=180°−∠PFD=120°．【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系【解析】【分析】（1）我们可以结合等边三角形三边相等、三个内角都为60°的性质，通过“SAS”判定定理，证得两个三角形全等；

（2）根据全等三角形对应角相等的性质，可得∠ADB=∠AEC，进一步推导即可得到∠PFD=∠DAE=60°，由此就可以计算出∠BFC的度数.（1）证明：∵△ABC与△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，∵∠DPF=∠APE，∵∠PFD=180°−∠ADB−∠DPF，∠DAE=180°−∠AEC−∠APE，∴∠PFD=∠DAE=60°，∴∠BFC=180°−∠PFD=120°．10．【答案】（1）证明：∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴DA=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，∴△ABE≌△ADCSAS（2）解：∵△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEF+∠ECF=∠AEC+∠ACE=120°，∴∠EFC=60°；（3）证明：如图，作AH⊥DC于点H，∵△ABE≌△ADC，∴DC=BE，△ABE和△ADC的面积相等，∴AH=AN，∵AH⊥DC，∴AF平分∠DFE．【知识点】等边三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系【解析】【分析】（1）已知△ABD和△ACE都是等边三角形，我们很容易推导出∠DAC=∠BAE，由此就可以证明△ABE≌△ADC；

（2）根据△ABE≌△ADC的全等性质，可以得到∠AEB=∠ACD，进一步整理后可以推出∠CEF+∠ECF=∠AEC+∠ACE，最后结合三角形内角和定理即可得到对应结论；

（3）过点A作AH⊥DC，垂足为点H，再作AN⊥BE，垂足为点N，先证明AH=AN，再结合AH⊥DC（1）证明：∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴DA=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，∴△ABE≌△ADCSAS（2）解：∵△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEF+∠ECF=∠AEC+∠ACE=120°，∴∠EFC=60°；（3）证明：如图，作AH⊥DC于点H，∵△ABE≌△ADC，∴DC=BE，△ABE和△ADC的面积相等，∴AH=AN，∵AH⊥DC，∴AF平分∠DFE．11．【答案】（1）75°（2）证明：∵△ABC∴AB=BC，∵△BEF∴BE=BF，∴∠ABE=在△ABE和△CBF，∴△ABE（3）解：当△CDF若FD=∵∠BCF=30°∴∠CDF=∴∠BDF=180°−若CD=则∠CDF=∴∠BDF=180°−若DC=则∠CFD=∴∠BDF=故∠BDF的大小为150°或105°或60°．（4）解：最小值为DF=【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS【解析】【解答】解：（1）解：∵△ABC和△∴∠ABC=∵AD⊥∴∠BDE=90°∵△BDE∴DB=∴∠EBD=∴∠ABF=（4）解：∵△ABC∴AB=BC=6∵AD⊥∴CD=12∵△ABE∴∠BCF=∴当DF⊥CF时，最小值为DF=【分析】本题以等边三角形及动态等边三角形为背景，综合考查等边三角形的性质、等腰三角形的分类讨论、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短求最值。

（1）由AD⊥BC得∠BDE=90°，结合△BDE为等腰三角形得∠EBD=45°，通过角度加减求∠ABF；

（2）利用等边三角形边角关系直接证明△ABE≌△CBF；

（3）分FD=FC、CD=CF、DC=DF三种情况讨论，分别求∠BDF；

（4）由全等得∠BCF=30°12．【答案】（1）△AEC；（2）解：BD=CE且理由如下：∵∠DAE=∴∠DAE+∴∠DAB=在△DAB和△AD=AE∠DAB=∠EAC∴△DAB∴BD=CE，∵∠ECA+∴∠DBA+∴∠DBC+∴∠BPC=180°−(∴BD⊥综上所述：BD=CE且（3）解：BE=CD，∵△ABD和△∴AD=AB，AC=∴∠BAD+∴∠CAD=在△ACD和△AD=AB∠CAD=∠EAB∴△ACD∴CD=BE，∴∠BPD=180°−=180°−=180°−=180°−=60°，∴∠PBC+【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型【解析】【解答】解：（1）解：∵∠DAE=∴∠DAE+∴∠DAB=在△DAB和△AD=AE∠DAB=∠EAC∴△DAB∴BD=故答案为：△AEC，BD【分析】本题以“共顶点等顶角等腰三角形”模型为背景，综合考查全等三角形的判定（SAS）、等腰三角形的性质、直角三角形的角度关系以及等边三角形的外角性质。

（1）由∠BAC=∠DAE得∠DAB=∠EAC，结合AB=AC、AD=AE证△DAB≌△EAC，得BD=CE；

（2）同样证全等得BD=CE，再通过角度代换（八字形或四边形内角和）推出BD⊥CE；

（3）由等边三角形得AD=AB、AE=AC、∠DAB=∠EAC=60°，证△13．【答案】（1）证明：∵△ABC∴AB=CA在△ADC与△CA=AB∠C=∠BAE∴△ADC（2）解：由（1）知，△AEB≌△CDA∴∠BAD∴∠BPQ∵BQ∴∠PBQ∴PQ∴BP又∵PE=2∴BE∵△ADC∴AD=【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS【解析】【分析】本题以等边三角形为背景，综合考查等边三角形的性质、全等三角形的判定（SAS）、三角形外角性质以及含30°角的直角三角形的边角关系。

（1）利用等边三角形AB=CA、∠BAE=∠C=60°，结合已知AE=CD，直接证△ADC≌△BEA；

（2）由全等得∠ABE=∠CAD，通过外角性质得∠BPQ=∠BAD+∠ABE=∠BAC=60°，在Rt△14．【答案】（1）证明：如图所示，过点D作DM∥BC，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC，∵DM∥BC，∴∠ADM=∠ABC=60°,∠AMD=∠ACB=60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD=DM=AM，∴AB−AD=AC−AM，即BD=CM，∵AD=BE，∴DM=BE，∵∠ABC=∠AMD=60°，∴∠DBE=∠DMC=180°−60°=120°，在△DMC和△EBD中，DM=EB∴△DMC≌△EBDSAS∴DE=DC；（2）解：如图所示，过点D作DN∥BC，由（1）的证明可得，△ADN是等边三角形，∵点D为AB中点，∴AD=BD=1∵AD=BE，∴BE=BD，∴△BDE是等腰三角形，则∠E=∠BDE，∵∠ABC=∠E+∠BDE=60°，∴∠E=∠BDE=30°，∴∠ADF=∠BDE=30°，在△ADF中，∠A=60°，∴∠AFD=180°−∠ADF−∠A=180°−30°−60°=90°，∴AD=2AF=BD=BE，∵∠ADN=60°,∠ADF=30°，∴∠FDN=30°，且∠DFN=90°，∴DN=2NF=AD，∴AF=FN，由（1）可得BD=CN，∴CN=2NF=2AF，∴CF=CN+NF=2AF+AF=3AF，∵CF+BE=10，∴3AF+2AF=10，解得，AF=2．​​​​​​​【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系【解析】【分析】（1）过点D作DM∥BC，由此可以得到△ADM是等边三角形，同时满足BD=CM，DM=BE，∠DBE=∠DMC，据此可证明△DMC≌△EBDSAS（2）过点D作DN∥BC，结合（1）的推导过程可知，△ADN是等边三角形，且BD=CN。结合等边三角形的性质、三角形外角性质与对顶角相等的结论，可推得∠ADF=∠BDE=30°，进而得到关系AD=2AF，又结合已知条件可得AD=BD=BE，同时DN=2NF=AD。因此我们可以整理得到CF=CN+NF=2AF+AF=3AF，再结合题目给出的条件CF+BE=10，代入后得到方程3AF+2AF=10，解这个方程就可以得到最终结果.（1）证明：如图所示，过点D作DM∥BC，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC，∵DM∥BC，∴∠ADM=∠ABC=60°,∠AMD=∠ACB=60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD=DM=AM，∴AB−AD=AC−AM，即BD=CM，∵AD=BE，∴DM=BE，∵∠ABC=∠AMD=60°，∴∠DBE=∠DMC=180°−60°=120°，在△DMC和△EBD中，DM=EB∴△DMC≌△EBDSAS∴DE=DC；（2）解：如图所示，过点D作DN∥BC，由（1）的证明可得，△ADN是等边三角形，∵点D为AB中点，∴AD=BD=1∵AD=BE，∴BE=BD，∴△BDE是等腰三角形，则∠E=∠BDE，∵∠ABC=∠E+∠BDE=60°，∴∠E=∠BDE=30°，∴∠ADF=∠BDE=30°，在△ADF中，∠A=60°，∴∠AFD=180°−∠ADF−∠A=180°−30°−60°=90°，∴AD=2AF=BD=BE，∵∠ADN=60°,∠ADF=30°，∴∠FDN=30°，且∠DFN=90°，∴DN=2NF=AD，∴AF=FN，由（1）可得BD=CN，∴CN=2NF=2AF，∴CF=CN+NF=2AF+AF=3AF，∵CF+BE=10，∴3AF+2AF=10，解得，AF=2．15．【答案】（1）证明：①如图1，连接DC，

∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC∵DB=DA∴△ACD∴∠BCD=∠ACD②∵BE∴BE∵∠EBD=∠CBD∴△BED∴∠DEB（2）解：如图2，设BE与AC交于点N，连接DC，∵AD∥∴∠DAC∵∠DBE=∠DBC∴设∠ECA=x°∵BE∴BE∴∠BCE在△BEC中，有∴2解得：x=15∴∠CBE∴∠ABE∴BE是△ABC的角平分线，也是∵BC=BE∴BE边上的高为CN∴S【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【分析】本题以等边三角形内的点与全等三角形为背景，综合考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质（SSS、SAS）、等腰三角形的性质、平行线的性质以及含30°角的直角三角形的面积计算。

（1）①由DA=DB、CA=CB、公共边CD证△ACD≌△BCD，得∠DAC=∠DBC；

②利用BE=BA=BC、∠EBD=∠CBD、公共边BD证△BED≌△BCD，结合等边三角形角度推导∠DEB=30°；

（2）由EC∥AD结合第（1）①结论导角得∠CBE=3016．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

∵△ABD和△ACE为等边三角形，

∴∠ABD=∠ACE=60°，DB=AB=AC=EC，

∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+（2）证明：由（1）得△ECB≌△DBC，

∴∠BCD=∠CBE，

∴BF=CF，

∵AB=AC，

∴（3）解：由（2）可知，AG是BC的垂直平分线，∵AB=AC，∠BAC=α，

∴∠BAG=∠CAG=12∠BAC=12α，

∵△ABD和△ACE为等边三角形，

∴∠ADB=∠DAB【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型【解析】【分析】本题以等腰三角形和等边三角形为背景，综合考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质（SAS）、线段垂直平分线的判定以及角度计算。

（1）由AB=AC、△ABD和△ACE为等边三角形得DB=AB=AC=EC，且∠ABD=∠ACE=60°，通过等角关系证△ECB≌△DBC，得BE=CD；

（2）由全等得∠BCD=∠CBE，结合AB=AC可证AF所在直线为BC的垂直平分线，从而G为BC中点；

（3）在△ABD中利用内角和及等腰三角形性质，结合等边三角形角度推导∠17．【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：如图，过点C作CH\perpOA于点H。

在Rt△OCH中，∠O=60°，则∠OCH=30°。

由含30°角的直角三角形性质，得OH=12OC=12×8=4。

因为CD=CE，且CH⊥DE，所以H为DE的中点（等腰三角形底边上的高也是中线）。

已知DE=4，故EH=12DE=2。

点D、E均在OA上，且H在线段OA上，由图可知OE=OH-EH=4-2=2。

故答案为：D．

18．【答案】C【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD=BD=8，∴∠B=∠BAD=15°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°，又∵∠C=90°，∴AC=1故选C．【分析】先根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，得出AD=BD=8；再结合等边对等角和三角形外角的性质，推得∠ADC=30°，最后根据含30°角的直角三角形的性质得AC=119．【答案】6【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，∵AB=BC，∴BD是AC的垂直平分线，∴AO=OC，∵∠ABC=60°，AB∴△ABC∴AC=AB=8∵DE∥∴∠FEC=∠ABC=60°∴∠FEC=∴△FCE设FE=∵DE=6∴DF=6−∴AO=∴OF=4−∵∠OFD=∴∠ODF=30°在Rt△ODF中，DF∴6−x解得：x=2∴AF=故答案为：6．【分析】本题以四边形及平行线为背景，综合考查等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质以及含30°角的直角三角形的边角关系。连接BD交AC于点O，由AB=BC、AD=CD得BD垂直平分AC，结合∠B=60°、AB=BC得△ABC为等边三角形；由DE∥AB可证△FCE为等边三角形，设FE=FC=x，则DF=6-x；利用角度关系推出∠ODF=30°，在Rt\△ODF中由DF=2OF列方程求出x，进而得AF=AC-CF。20．【答案】3【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】如图，过点E作EH⊥BF，垂足为H，则∠EHC=90°，设DE=x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=DE=x，∠ACB=60°，∴AB−AD=AC−AE，∴CE=BD=6，AB=BC=AC=6+x，∵∠ACB=60°，∠EHC=90°，∴∠HEC=90°−∠ACB=90°−60°=30°，∴CH=1∴BH=BC−CH=6+x−3=3+x，∵BE=EF，EH⊥BF，∴BH=FH=1∴3+x=6，解得x=3，∴DE=3，故答案为：3．【分析】过点E作EH⊥BF，垂足为H，设DE=x。首先根据等边三角形的性质可以得到∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，证明△ADE是等边三角形，由此推导出CE=BD=6，AB=BC=AC=6+x。之后利用含30°角的直角三角形的性质，得到CH=12CE=321．【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△∴AB=AE∴△ABE（2）解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△∴∠BAE=∠CAF∵∠FGC是△∴∠FGC【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定；旋转的性质【解析】【分析】本题以三角形旋转为背景，综合考查旋转的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等）、等边三角形的判定定理以及三角形外角定理。

（1）由旋转得AB=AE，∠BAE=60°，直接根据“有一角为60°的等腰三角形是等边三角形”证得△ABE为等边三角形；

（2）由旋转得∠CAF=60°，∠AFE=∠ACB=26°，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”计算∠FGC=∠CAF+∠AFE。22．【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=1又∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形．（2）解：∵△ABD是等边三角形，∴∠ADB=∠ABD=60°，∵∠EDF=60°，∴∠ADE+∠BDE=∠ADE+∠ADF=60°，∴∠BDE=∠ADF，在△BDE和△ADF中，∠DBE=DAF=60°BD=AD∴△BDE≌△ADFASA∴BE=AF,DE=DF=5，∵AD⊥BC交BC于点G，△ABD是等边三角形，∴AG=DG=3，即AB=AD=6∴四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=AE+DE+DF+BE==AB+DE+DF=6+5+5=16．【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一【解析】【分析】

（1）根据等腰三角形三线合一的性质，可以推出∠BAD=∠DAC=12∠BAC=60°，再结合条件AD=AB，即可证得题目结论；

（2）根据等边三角形的性质，能够得到∠ADB=∠ABD=60°，结合已知条件∠EDF=60°，可以推导出∠BDE=∠ADF，进一步可以证明△BDE≌△ADF，由全等三角形的性质得到BE=AF,DE=DF=5；再根据等边三角形的性质得到AG=DG=3（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=1又∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形．（2）解：∵△ABD是等边三角形，∴∠ADB=∠ABD=60°，∵∠EDF=60°，∴∠ADE+∠BDE=∠ADE+∠ADF=60°，∴∠BDE=∠ADF，在△BDE和△ADF中，∠DBE=DAF=60°BD=AD∴△BDE≌△ADFASA∴BE=AF,DE=DF=5，∵AD⊥BC交BC于点G，△ABD是等边三角形，∴AG=DG=3，即AB=AD=6∴四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=AE+DE+DF+BE==AB+DE+DF=6+5+5=16．23．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是顶角为120°的等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=EC；（2）证明：当点E在BA的延长线上时∠EAC=180°−∠BAC=60°，∴∠DAC=∠DAE−∠EAC=120°−60°=60°=∠EAC，∵AD=AE，AC=AC，∴△CAD≌△CAESAS∴CD=CE，∠ACE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=120°，∴∠B=∠ACB=30°，∴∠B=∠ACE=30°，∴∠ACE=∠ACD=30°，∴∠ECD=60°，∴△EDC为等边三角形．【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS【解析】【分析】（1）先根据已知条件证明△BAD≌△CAESAS，再利用全等三角形对应边相等的性质，即可推出BD=EC；

（2）首先由已证的△BAD≌△CAESAS，可得对应角相等，即∠B=∠ACE=30°；当点E落在BA的延长线上时，可推得∠DAC=60°=∠EAC，据此即可证明△CAD≌△CAESAS，再由全等三角形的性质得到CD=CE，∠ACE=∠ACD=30°（1）证明：∵△ABC和△ADE都是顶角为120°的等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=EC；（2）证明：当点E在BA的延长线上时∠EAC=180°−∠BAC=60°，∴∠DAC=∠DAE−∠EAC=120°−60°=60°=∠EAC，∵AD=AE，AC=AC，∴△CAD≌△CAESAS∴CD=CE，∠ACE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=120°，∴∠B=∠ACB=30°，∴∠B=∠ACE=30°，∴∠ACE=∠ACD=30°，∴∠ECD=60°，∴△EDC为等边三角形．24．【答案】（1）解：△ADE是等边三角形，理由如下：理由：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=80°，∴∠DAE=∠BAC−∠BAD=80°−α=80°−20°=60°，∵β=10°，∴∠DEA=∠C+β=60°，∴∠ADE=180°−∠DAE−∠DEA=60°，∴△ADE是等边三角形；（2）解：若AD=AE时，则α=2β，证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∴∠ADE+β=∠B+α，∴∠ADE=∠B+α−β，∵∠AED=∠C+∠CDE=∠B+β，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+α−β=∠B+β∴α=2β．​​​​​​​【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定【解析】【分析】（1）由已知条件可推出△ABC是等腰三角形，因此可得∠C=∠B=50°，进一步计算可以得到∠DAE=60°；再结合三角形外角的性质可得∠AED=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠ADE=60°，即可证明结论；

（2）先根据等腰三角形两底角相等的性质得到∠B=∠C，再结合三角形外角的性质进行推导计算，即可得出结论.（1）解：△ADE是等边三角形，理由如下：理由：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=80°，∴∠DAE=∠BAC−∠BAD=80°−α=80°−20°=60°，∵β=10°，∴∠DEA=∠C+β=60°，∴∠ADE=180°−∠DAE−∠DEA=60°，∴△ADE是等边三角形；（2）若AD=AE时，则α=2β，证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∴∠ADE+β=∠B+α，∴∠ADE=∠B+α−β，∵∠AED=∠C+∠CDE=∠B+β，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+α−β=∠B+β∴α=2β．25．【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴△ABE是等边三角形；（2）解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，∴∠BAE=∠CAF=60°，∠ACB=∠AFE=26°，∵∠FGC是△AGF的外角，∴∠FGC=∠CAF+∠AFE=26°+60°=86°．​​​​​​​【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定；旋转的性质【解析】【分析】（1）结合旋转的性质，依据等边三角形的判定定理完成证明；

（2）先利用旋转得到对应边与对应角的关系，再结合三角形外角的性质计算，即可得到结果.（1）证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴△ABE是等边三角形；（2）解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，∴∠BAE=∠CAF=60°，∠ACB=∠AFE=26°，∵∠FGC是△AGF的外角，∴∠FGC=∠CAF+∠AFE=26°+60°=86°．26．【答案】（1）证明：∵AB=∴∠BAD=又∵AD=∴△ABD（2）解：∵△ABD∴∠ADB=∵∠EDF=60°∴∠ADE+∴∠BDE=在△BDE和△∠DBE=DAF=60°BD=AD∴△BDE∴BE=∵AD⊥BC交BC于点G，∴AG=DG∴四边形AEDF的周长为AE====6+5+5=16．【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-ASA【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形“三线合一”的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质。

（1）由AB=AC，AD⊥BC得AD平分∠BAC，故∠BAD=60°，结合AD=AB证△ABD为等边三角形；

（2）由等边三角形得∠ADB=∠ABD=60°，结合∠EDF=60°导出∠BDE=∠ADF，可证△BDE≌△ADF，得BE=AF，DE=DF=5；由AD⊥27．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是顶角为∴AD=AE，∵∠BAC=∴∠BAC−∴∠BAD=∴△BAD∴BD=（2）证明：当点E在BA的延长线上时∠EAC=180°−∴∠DAC=∵AD=AE，∴△CAD∴CD=CE，∵AB=AC，∴∠B=∴∠B=∴∠ACE=∴∠ECD=60°∴△EDC【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型【解析】【分析】本题以顶角为120°的等腰三角形为背景，综合考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定（SAS）、角度推导以及等边三角形的判定定理。

（1）由AB=AC、AD=AE、∠BAC=∠DAE=120°，通过等式两边减去公共角∠DAC得∠BAD=∠CAE，证△BAD≌△CAE，得BD=EC；

（2）当点E在BA延长线上时，由平角关系得∠EAC=60°，进而∠DAC=60°，证△CAD≌△CAE，得CD=CE且∠ACD=∠ACE=3028．【答案】（1）解：△ADE理由：∵AB=AC∴∠C∴∠BAC∴∠DAE∵β∴∠DEA∴∠ADE∴△ADE（2）解：若AD=AE时，则证明：∵AB∴∠B∵∠ADC∴∠ADE∴∠ADE∴∠ADE∵∠AED∵AD∴∠ADE∴∴α【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定【解析】【分析】本题以等腰三角形为背景，综合考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质以及等边三角形的判定。

（1）由AB=AC、∠B=50°得∠C=50°、∠BAC=80°，代入α=20°得∠DAE=60°；利用外角性质∠AED=∠C+β=60°，再由三角形内角和得∠ADE=60°，三个角均为60°证△ADE为等边三角形；

（2）由AD=AE得∠ADE=∠AED，结合三角形内角和及外角性质，推导出α与β的关系为α=2β。29．【答案】（1）解：①补全图1如下：②AB=∵点A关于射线DP的对称点为E，∴DP垂直平分AE∴AD又∵∠ADP∴∠ADE∴△ADE∴AD=AE又∵△ABC∴AB=BC∴∠BAC−∠DAC在△BAD和△AB=AC∴△BAD∴BD∴AB即AB=（2）解：AB=CE+CD或【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS【解析】【解答】（2）证明：①当点D在线段BC上时，AB=②当点D在点B的左侧时，AB=由（1）得，△ADE∴AD=AE又∵△ABC∴AB=BC∴∠BAC−∠BAE在△BAD和△AB=AC∴△BAD∴BD∴AB即AB=③当点D在点C右侧时，AB=由（1）得，△ADE∴AD=AE又∵△ABC∴AB=BC∴∠BAC+∠CAD在△BAD和△AB=AC∴△BAD∴BD∴AB=BC=BD−CD=CE−CD．

【分析】本题以等边三角形与轴对称变换为背景，综合考查等边三角形的判定与性质、轴对称的性质（垂直平分线）、全等三角形的判定与性质（SAS）以及动点问题中的分类讨论思想。30．【答案】（1）解：△DEF∵AB=AD，∴△ABD∴∠ADB=60°，∠ABD∵CE∥∴∠DEF=∴△DEF（2）5【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质【解析】【解答】解：（2）连接AC交BD于点O，∵AB=AD，∴AC垂直平分BD，∴AO⊥∴∠BAO=∵CE∥∴∠ACE=∴AE=∴DE=∵△DEF∴EF=∴CF=故答案为：5．【分析】本题以四边形与平行线为背景，综合考查等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质。

（1）由AB=AD、∠A=60°得△ABD为等边三角形，从而∠ADB=∠ABD=60°；结合CE∥AB得∠DEF=∠A=60°、∠EFD=∠ABD=60°，故△DEF为等边三角形；

（2）连接AC交BD于O，由AB=AD、CB=CD得AC垂直平分BD，结合CE∥AB及等边三角形性质推导CE=AE，求出DE，再根据等边三角形边长相等得EF=DE，最后CF=CE-EF。31．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°,∴∠ACB=60°∵CF平分∠ABC，∴∠ACF∵AD∴∠ADC∴∠DAB∴∠AFE∴∠AEF∴∠DAB∴△AEF（2）2（3）证明：由（1）得△AEF是等边三角形，且G为AE∴GF⊥AE，∠DAB∴∠EGF∵CF平分∠ABC，∴∠ACF∴∠CAD∴∠ACF∴AE=在△EFG和△∠EGF=∠EDC∠FEG=∠CED△EFG【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；角平分线的概念【解析】【解答】解：（2）解：Rt△∵∠BAC∴AC由（1）可得∠ACB=60°,∴∠CAD∴CD【分析】本题以含30°角的直角三角形为背景，综合考查直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定（AAS）。

（1）由∠B=30°、∠BAC=90°得∠ACB=60°，结合CF平分∠ACB得∠ACF=∠BCF=30°，利用外角或互余关系得∠AFE=60°，再证∠AEF=60°得△AEF为等边三角形；

（2）在Rt△ABC中由30°角对边关系得AC=4，同理在Rt△ADC中得CD=2；

（3）由等边三角形及中点得GF⊥AE，结合角度关系证AE=CE，再通过AAS证△EFG≅△ECD。32．【答案】（1）证明：∵△ABC∴AB=BC=∴∠DAF=∵AD=∴BD=在△DEB与△BD=CE∠EBD=∠FCE∴△DEB∴DE=（2）解：△DEF理由：在△ADF与△AF=CE∠DAF=∠FCE∴△ADF∴FD=∵DE=∴DE=∴△DEF【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS【解析】【分析】本题以等边三角形为背景，综合考查等边三角形的性质、邻补角定义、全等三角形的判定（SAS）以及等边三角形的判定。

（1）由等边三角形得AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，推出其外角∠EBD=∠FCE=120°；结合AD=BE=CF得BD=CE=AF，证△DEB