专题3.2 图形的旋转【十大考点】-【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化讲与练

专题3.2图形的旋转【十大考点】-【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化讲与练1．（2021·海南模拟）如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是（）A． B． C． D．2．（2023九上·广阳月考）如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（）A．顺时针 B．逆时针C．顺时针或逆时针 D．不能确定3．（2026九上·金平期末）下列现象中属于旋转的有（填序号）①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．4．我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有.（填序号）5．（2024九上·越秀期中）如图，已知点A2,0，B0,4，C2,4，D6,6，连接AB，CD，将线段A．3,2 B．3,3 C．6,2 D．4,26．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1A．30° B．45° C．60° D．90°7．（2026九上·辉南期末）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A1B1C1，则旋转中心是点8．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'9．（2024九上·金湾期中）如图，在△ABC中，∠A=50°，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△BDE，点D恰好落在AC的延长线上，则旋转角的度数是（）A．90° B．80° C．70° D．60°10．（2024九上·叙永期末）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转24°得△A'B'CA．66° B．54° C．52° D．48°11．如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE，使点D落在BC上，AC与DE相交于点F．若∠C=40°，DE⊥AC，则∠DAC的大小为．12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=52°，点D在斜边AB上．如果△ABC经过旋转后与△EBD完全重合，则∠AED的度数是．13．（2025八下·雁塔期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转60°得到线段BD，连接CD、AD．若AC=4，则AD的长为（）A．2 B．3 C．23−2 14．（2025九上·淮北期末）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△A'B'C，点A'落在BC的延长线上．若AC=8，BC=6，点M，M'A．52 B．4 C．3 15．（2024九上·连江期中）如图，在△ABC中，∠BAC=150°，AB=2，BC=27，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，连接B16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD．（1）AD的长为；（2）BD的长为．17．（2025九上·鄞州期末）在平面直角坐标系中，将点A−4,2绕原点O顺时针旋转90°，则点A的对应点AA．2,4 B．4,2 C．−4,−2 D．−4,218．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(−1,3)，B(−3,0)，C(−2,−2)，将△ABC绕原点按顺时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，其中A．(1,3) B．(3,1) C．19．（2025九上·惠州期中）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，OB=AB=5，点A到x轴的距离为4，将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA'B'，则点20．（2024八上·温州月考）如图，正比例函数的图象经过A−1,−2，B2,m两点，现将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为21．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题：（1）如果将三角形ABC绕点D向逆时针方向旋转90°，使得点A、点B、点C的对应点分别为点E、点F、点G，请画出三角形EFG；（2）画出三角形ABC关于点D成中心对称的三角形A1（3）三角形EFG与三角形A1B1C1▲22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC三个顶点的坐标分别为A1,1，B4,2（1）AC的长等于．（2）请画出把△ABC向左平移2个单位得△A1B（3）请画出把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B23．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A，B，C的坐标分别为−2,1，1,2，2,1，将△ABC绕点P逆时针方向旋转得到△A'B'C'，点A的对应点A'的坐标为（1）点P的坐标是____；（填写正确的选项）A．−1,0 B．0,1 C．（2）画出旋转后的△A'B'C（3）线段BA的延长线与线段A'B'交于点M24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A3,−1（1）将△ABC以点B为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为3,3，画出平移后的△（3）若将△A2B25．（2023九上·卫滨期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到BF，连接CF，则CF长的最小值是（）A．2 B．2.5 C．5 D．526．（2021九上·温岭期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在△ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（）A．22 B．3 C．35-3 D．3227．（2024八下·英德期中）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转120°得到线段BA，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接DA、DC，则DA+DC的最小值为．28．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，CE=2BE，EF=2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为．29．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第2022次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）A．图① B．图② C．图③ D．图④30．（2023八下·顺德月考）如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（）A． B．C． D．31．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2019次后骰子朝下一面的点数是．32．如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走5m，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加10°．第一次直走5m后转动10°，第二次直走5m后转动20°，第三次直走5m后转动30°，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了米．33．（2024九上·武汉月考）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点A的坐标为1,3，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°A．1,3 B．−1,3 C．−2,0 34．（2024九上·袁州期中）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标(3,0)，点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点P的坐标为（）A．(6058,1) B．(6058,2) C．(6037,1) D．(6037,2)35．（2024九上·椒江月考）如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB顶点A的坐标为−2,0，将△AOB绕点O顺时针方向旋转60°，同时边扩大为原来的2倍，得到△A1OB1，再将△A136．如图，在△ABC中，顶点A在x轴的负半轴上，B0,2，C5,2，AB=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，每次旋转90°，则第6次旋转结束时点B37．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠A38．（2024八上·碧江期末）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，请判断线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出△PMN面积的最大值．39．如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=2−2，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α0°<α<360°，分别连接CE（1）如图2，当0°<α<90°时，求证：CE=BD；（2）如图3，当α=90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；（3）连接CD，在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．40．已知：如图1，△ABC中，AB=AC∠BAC=60°，D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE，不难发现BD、CE的关系．（1）将△ADE绕A点旋转到图2位置时，写出BD、CE的数量关系；（2）当∠BAC=90°时，将△ADE绕A点旋转到图3位置．①猜想BD与CE有什么数量关系和位置关系?请就图3的情形进行证明；②当点C，D，E在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数▲．

答案解析部分1．【答案】B【知识点】图形的旋转【解析】【解答】解：选项A、C顺时针旋转对角线是相交而不是重叠；选项D，顺时针旋转不重叠；只有选项符合题意.

故答案为：B.【分析】观察图形，根据图形的特征及旋转方向做出判定即可.2．【答案】B【知识点】生活中的旋转现象【解析】【解答】齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转，故选B．【分析】根据图示进行分析，A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转……即一顺一逆，交替转动，相邻相反，解答即可．3．【答案】②④⑤【知识点】生活中的平移现象；生活中的旋转现象【解析】【解答】解：根据平移、旋转的定义即可得：①火车在笔直行驶是平移，③地下水位下降是平移，②荡秋千运动，④钟摆的运动，⑤圆规画圆，属于旋转.故答案为：②④⑤．【分析】根据平移、旋转的定义对各个进行判断即可.4．【答案】②④⑥【知识点】生活中的旋转现象；图形旋转的三要素【解析】【解答】解：①拉抽屉，平移运动；②拧水龙头，旋转运动；③划小船，不是旋转运动；④调钟表，旋转运动；⑤推动推拉门，平移运动；⑥转动方向盘，旋转运动；⑦乘电梯，平移运动，故答案为②④⑥.【分析】旋转是指把一个图形绕某一点沿一定的方向转动一定的角度，它包括三要素，一是旋转中心，二是旋转角度，三是旋转方向．5．【答案】D【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转【解析】【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P4,2故答案为：D．

【分析】作出线段AB和线段CD的垂直平分线，他们的交点即是旋转中心.6．【答案】A【知识点】三角形外角的概念及性质；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余【解析】【解答】解：由题意得到，∠BAC=∠B则∠B=90°−∠BAC=60°，∵AB⊥A∴∠A∴∠BDC=∠A∴∠BCD=180°−∠BDC−∠B=60°，所以∠A即旋转角是30°．故答案为：A【分析】旋转角是指对应线段的夹角，即∠A1CA的度数，当AB⊥A17．【答案】P【知识点】旋转的性质；图形旋转的三要素【解析】【解答】解：如图所示，CC1,BB1故答案为：P．

【分析】根据旋转中心就是对应点所连线段的垂直平分线的交点，故利用方格纸的特点，找出C1C与B1B的垂直平分线的交点即可.8．【答案】150°【知识点】旋转的性质【解析】【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A∴BC与B'∴旋转角∠BCB故答案为：150°．【分析】旋转前后对应线段的夹角即旋转角，即求∠B'CB的度数，由旋转的性质结合邻补角的概念即可得∠BCB9．【答案】B【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质【解析】【解答】解：由旋转可知∶AB=BD．

∵点D在AC的延长线上，

∴∠A=∠BDA．

∵∠A=50°，

∴∠BDA=∠A=50°，

∴∠ABD=180°−2×50°=80°，即旋转角的度数为80°．

故答案为：B．

【分析】首先根据旋转的性质得出AB=BD，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得∠ABD的度数，即为旋转角的度数。10．【答案】A【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转24°得△A∴∠BCB'=∠AC∵A∴∠A∴∠A=∠A故答案为：A．

【分析】根据旋转得到∠BCB'=∠AC11．【答案】25°【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE，∴∠BAC=∠DAE,∠E=∠C=40°，AB=AD，∵DE⊥AC，∴∠CAE=90°−∠E=50°，∵∠BAD=∠BAC−∠DAC,∠CAE=∠DAE−∠DAC，∴∠BAD=∠CAE=50°，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABC=180°−∠BAD∵∠ADB=∠C+∠DAC，∴65°=40°+∠DAC，解得：∠DAC=25°．故答案为：25°．【分析】由旋转的性质结合直角三角形两锐角互余可得∠BAD=∠CAE=50°，再由等边对等角结合三角形内角和定理可得∠ADB=65°，再由三角形外角的性质可得∠DAC=∠ADB−∠C即可．12．【答案】19°【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【解答】解：由题意可知，将△ABC顺时针旋转得到△EBD，点D落在斜边AB上，∴EB=AB，∠BDE=∠C=90°，∠BED=∠BAC=52°，∴∠ABE=90°−∠BED=38°∴∠AEB=∠EAB=1∴∠AED=∠AEB−∠BED=71°−52°=19°，故答案为：19°．【分析】先由旋转的性质可得BA＝BE、∠DEB=∠BAC=52°，再由直角三角形两锐角互余可得∠ABE=38°，再由等边对等角结合三角形内角和定理可得∠AEB=71°，再利用角的和差关系即可．13．【答案】C【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，∵∠ABC=90°，AB=BC，AC=4，∴∠BCA=∠BAC=45°，AB2+B∴AB=BC=22由旋转可得：BC=BD，∠CBD=60°，∴△BCD是等边三角形，AB=BD，∠ABD=∠ABC−∠CBD=90°−60°=30°，∴CD=BC=22，∠BDA=∠BAD=∴∠DAE=∠BAD−∠BAC=75°−45°=30°，∵DE⊥AC，∴AD=2DE，设DE=x，则AD=2x，AE=3∵AC=4，∴CE=AC−AE=4−3在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+C解得：x=3∴AD=23故选：C．【分析】过点D作DE⊥AC于点E，由∠ABC=90°，AB=BC，AC=4，可得△ABC是等腰直角三角形，可得∠BCA=∠BAC=45°，根据勾股定理得AB=BC=22，由旋转的性质可得：BC=BD，∠CBD=60°，推出△BCD是等边三角形，AB=BD，根据角的和差得∠ABD=30°，进而得到CD=BC=22，∠BDA=∠BAD=75°，推出∠DAE=30°，可得AD=2DE，设DE=x，则AD=2x，AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理DE14．【答案】A【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）【解析】【解答】连接CM，CM∵AC=8，BC=6，∴AB=A∵M是AB的中点，点M'是A∴CM=1∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C，点M∴∠又∵CM=C∴△CMM∴M故选：A．【分析】先利用勾股定理求出AB=AC2+BC2=10，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出CM=12AB，然后连接CM、CM'，再根据Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A'15．【答案】4【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）【解析】【解答】解：如图所示，连接CC'，延长BA交CC'于点根据旋转可得∠BAB'=∠CA∴△ACC'是等边三角形，∴AD⊥CC'，在Rt△ACD中，AC=2CD设CD=x，则AC=2x，∴AD=A∴BD=AD+AB=3在Rt△BCD中，BC=2∴BC2=C解得，x1=3∴CD=3∴AC=23∵∠CAB∴在Rt△CAB'故答案为：4．【分析】如图所示，连接CC'，延长BA交CC'于点D，则∠DAC=30°，根据旋转的性质可得∠BAB'=∠CAC'=60°，AB=AB'=2,AC=AC'，根据有一个角是60°的等腰三角形，证明△ACC'是等边三角形，则有AD⊥CC'，AD是中线，是角平分线，在Rt16．【答案】（1）10（2）4【知识点】勾股定理；旋转的性质【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=A由旋转的性质可知，AD=AB=10，AE=AC=6，DE=BC=8，∠AED=∠ACB=90°，∴BE=AB−AE=4，∠BED=90°，∴BD=B故答案为：10，45【分析】（1）先利用勾股定理可得AB＝10，再由旋转的性质可得AD＝AB即可；

（2）由旋转的性质知AE＝AC、DE＝BC，则由线段的和差关系可得BE＝4，再在直角三角形DBE中应用勾股定理即可．17．【答案】A【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴于点B，A'C⊥x轴于点由旋转的性质可知，∠AOA'=90°∴∠AOB+∠A∵AB⊥x轴，A'∴∠ABO=∠A∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A=∠A在△AOB和△OA∠A=∠A∴△AOB≌△OA∴AB=OC，OB=A∵A−4,2∴OB=4，AB=2，∴OC=2，A'∴A故选：A．【分析】本题考查了图形旋转的性质和全等三角形的判定和性质，通过作辅助线构造△AOB≌△OA18．【答案】B【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；同侧一线三垂直全等模型【解析】【解答】解：作AM⊥x轴于M，作A'N⊥x轴于根据题意，如图：A(−∴AM=3，OM=1；将△ABC绕原点按顺时针方向旋转90°，在直角△AOM和直角△A'∴△AOM≌△O∴AM=ON=3，OM=AA'的坐标为故答案为：B．【分析】如图作AM⊥x轴于M，作A'N⊥x轴于N，由旋转的性质可借助一线三垂直全等模型可得△AOM≌△OA19．【答案】−4,8【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—三边关系（勾股定理）【解析】【解答】解：如图，过点A作AN⊥x轴于点N，过点A'作A'M⊥y∴∠A∵OB=AB=5，点A到x轴的距离为4，∴BN=A∴ON=OB+BN=8，∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA∴∠AOA'=90°∴∠AOA∴∠AOB∠A∴△NOA≌△MOA∴OM=ON=8，A'∴A故答案为：−4,8．【分析】过点A作AN⊥x轴于点N，过点A'作A'M⊥y轴于点M，先求出BN=AB2−AN2=3，20．【答案】−4,6【知识点】三角形全等的判定；坐标与图形变化﹣旋转；全等三角形中对应边的关系；正比例函数的性质【解析】【解答】解：∵设正比例函数的解析式为y=kx，∴−2=−k，解得k=2，∴正比例函数的解析式为y=2x，∵正比例函数的图象经过B2,m∴m=2×2=4，∴B2,4过点B作x轴的直线DE，过点A和C作直线DE的垂线，垂足分别为D和E，如图，∴AD=2+1=3，BD=4+2=6，∵将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，∴∠D=∠E=∠ABC=90°，AB=BC，∵∠ABD=90°−∠CBE=∠BCE，∴△ABD≌△BCE，∴BE=AD=3，CE=BD=6，∴CF=6−2=4，EG=2+6−2=6，∴C−4,6故答案为：−4,6．【分析】利用待定系数法求得正比例函数的解析式y=2x，求得B2,4，过点B作x轴的直线DE，过点A和C作直线DE的垂线，垂足分别为D和E，通过旋转的性质和等角的余角相等证明△ABD≌△BCE，求得对应边相等BE=AD=3，CE=BD=621．【答案】（1）解：如图所示，三角形EFG即为所求；（2）解：如图所示，三角形A1（3）解：否；三角形EFG与三角形A1B1C1不是关于某个点成中心对称，可把三角形EFG绕点D【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；同侧一线三垂直全等模型；作图﹣中心对称【解析】【解答】解：（3）解：三角形EFG与三角形A1B1C1不是关于某个点成中心对称，可把三角形EFG绕点D故答案为：否．【分析】（1）如图分别取格点E、F、G，再顺次连接E、F、G三点，则由一线三垂直全等模型可得∠ADE=∠BDF=∠CDG=90°、AD＝ED、BD＝FD、CD＝GD，即△EFG即为所求作；（2）由中心对称的性质可分别连接AD、BD、CD并延长，使AD＝A1D、BD＝B1D、CD＝C1D，再顺次连接A1、B1、C1即可；（3）由于成中心对称的两个图形对应点的连接经过同一点即对称中心，显然△EFG与△A1B1C1不可能成中心对称；但由中心对称的性质可得△A22．【答案】（1）13（2）解：如图所示，△A∴A1（3）解：如图所示，△A∴C【知识点】勾股定理；作图﹣平移；作图﹣旋转【解析】【解答】解：（1）∵A1,1，∴AC=2【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；（2）把A、B、C三点分别没水平方向向左移动2个单位长度即可得到点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；（3）直接作点A、B、C关于原点O的对应点A2、B2、23．【答案】（1）A（2）解：如图，△A'B'C'即为所求作，（3）∠BMA'=90°【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；三角形全等的判定-SAS；同侧一线三垂直全等模型【解析】解答】解：（1）解：如图，旋转中心P的坐标为−1,0故答案为：A．（2）解：如图，△A'B'C故答案为：−2,3；

（3）解：由旋转的性质可得，∠APA'=∠BPB'=90°，AP=A'P，BP=B'P∴△APB≌△A'PB（2）由于旋转角是90度，可借助一线三垂直全等模型可取点C`，再利用全等的性质结合坐标与图形性质即可；（3）由旋转的性质可得△APB≌△A'PB'，再利用全等的性质结合直角三角形两锐角互余可得∠B'MA=∠BPA=90°．​​​​​​​24．【答案】（1）解：如图，△A（2）解：∵A的对应点A2的坐标为3,3故将△ABC沿着y轴，向上平移4个单位得到△A如图，△A（3）解：如图，点P即为旋转中心坐标为：0,−1．【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转【解析】【分析】（1）由旋转的性质知旋转角为180度时，旋转前后两三角形关于点B成中心对称，即分别倍长AB、CB到点A1和C1，再顺次连接A1、C1、B即可；（2）由点A与A2的坐标可知，△A2B2C2是把△ABC沿竖直方向向上平移4个单位长度得到的，则点B、C的对应点坐标可得，再顺次连接A（3）由旋转的性质可得旋转中心是线段A1A2、B1B2、C1C2垂直平分线的交点，再结合坐标与图形性质即可．25．【答案】B【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，∴∠AHD=90°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，∴AB=2BC=10,∠ABC=90°−∠A=60°，∵点D是AB的中点，∴AD=BD=1∴DH=1由旋转得：BE=BF，∠EBF=60°，∴∠EBF=∠ABC=60°，∴∠EBF−∠EBC=∠ABC−∠EBC，∴∠ABE=∠CBF，∵BD=BC=5，∴△BDE≌△BCFSAS∴DE=CF，当DE⊥AC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为2.5，∴CF长的最小值是2.5，故选：B．【分析】取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，在Rt△ABC中，在含30度角的直角三角形中，先利用其性质求AB的长与∠ABC度数；再根据中点定义得到线段间的等量关系AD=BD=12AB=5，DH=12AD=2.5，结合旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等BE=BF，∠EBF=60°，通过等式变形推导出∠ABE=∠CBF，进而利用26．【答案】D【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP'，连接PP'则AP'=PC，BP=BP'，∠PBP'=90°，∠AP'B=∠CPB故△PP'B是等腰直角三角形∴∠PP'B=45°∵∠BAP=∠CBP∴∠BAP=∠ABP'∴BP'∥AP∴∠APB=90°当P'、P、C在同一直线上，且AP'⊥P'C时，AP'最短∴∠AP'B=90°+45°=135°∴∠PAP'=180°-∠AP'B=45°∴△APP'是等腰直角三角形∴AP=2AP'=6∴PC=AP'=32故答案为：D.【分析】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP'，连接PP'，由旋转的性质易得△PP´B是等腰直角三角形，结合已知可得∠APB=90°，于是当P'、P、C在同一直线上，且AP'⊥P'C时，AP'最短，再根据△APP'是等腰直角三角形可求解.27．【答案】5【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS【解析】【解答】解：如图，把BD绕点B顺时针旋转120°，交DC的延长线于点D'，过点B作BE⊥DD'，则∠DBD'=∠ABC=120°∵∠ABD+∠DBC=∠DBC+CBD∴∠ABD=∠CBD又∵AB=CB，DB=D∴△ABD≌△CBD∴AD=CD∴AD+CD的最小值为DD∵BE⊥DD∴∠DBE=12∠DB∴∠BDE=30°，∵BD=5，∴BE=1∴DE=5∴DD故答案为：53【分析】把BD绕点B顺时针旋转120°，交DC的延长线于点D'，过点B作BE⊥DD'，则∠DBD'=∠ABC=120°，DB=D'B=5，利用等量代换可得∠ABD=∠CBD'，从而证得△ABD≌△CBD'SAS28．【答案】34【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型【解析】【解答】解：如图，连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，∴AF=AP,∠PAF=90°，∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90∴∠FAE=∠PAG．又∵AG=AE，∴△AEF≌△AGP(SAS)，∴PG=EF=2．∵BC=3,CE=2BE，∴BE=1．∴在Rt△ABE中，AE=A∵AG=AE,∠GAE=90°，∴GE=2∵PE≥GE−PG，且当点G，P，E三点共线时取等号，∴PE的最小值为GE−PG=34故答案为：34−2【分析】连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，则由勾股定理可得GE的长，再由旋转全等模型可得△AEF≌△AGP，则PG=EF=2，则由三角形三边关系可得PE⩾EG−PG．29．【答案】B【知识点】旋转的性质；探索规律-图形的循环规律【解析】【解答】解：观察图形可知每4次循环一次，2022÷4=505⋯2，∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同，故答案为：B．【分析】由题意知每旋转4次一个循环，且每次的旋转角为45度，则用2022除以4取余即可得结果对应的图形序号．30．【答案】A【知识点】图形的旋转；探索规律-图形的循环规律【解析】【解答】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，∵2021÷4＝505...1，即第2021次与第1次的图案相同．故选：A．【分析】观察图形变化确定每次旋转角度，结合阴影位置变化规律，即可选出正确答案.31．【答案】5【知识点】旋转的性质；探索规律-图形的循环规律【解析】【解答】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环，∵2019÷4=504…3，∴滚动第2019次后与第三次相同，∴朝下的数字是2的对面5，故答案为：5．【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，则可用2019除以4取余即可得正面朝上的数字，则底面数字也可得．32．【答案】45【知识点】旋转的性质；探索规律-图形的递变加循环规律【解析】【解答】解：设第n次直走结束时机器人面向西方，即第二次面向西方时一共转了360°+90°=450°，10°+20°+30°⋯+n×10°=450°当n=9时第二次面向西方，一共走了9×5=45（米）；故答案为：45．【分析】由题意知，第n次直走结束时一共转动的角度为5nn+1°，即一共转动了33．【答案】C【知识点】含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-图形的循环规律【解析】【解答】解：如图，∵A1,3，∴OB=1，AB=3∵∠A=30°，∴OA=2OB=2，∵将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，∴第一次旋转后的坐标为−1,3第二次旋转后的坐标为−2,0，第三次旋转后的坐标为−1,−3第四次旋转后的坐标为1,−3第五次旋转后的坐标为2,0，第六次旋转后的坐标为1,3⋯，6次一个循环，∵2024÷6=337⋯2，∴第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为−2,0，故选：C．【分析】根据旋转的规律，每次旋转60∘，相当于在极坐标系中对点A进行旋转操作，可知6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可．34．【答案】A【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的递变加循环规律【解析】【解答】解：如图所示：∵点A3,0，点P∴OC=1,PC=2,OA=3，则AC=OA−OC=2，由旋转的性质可得AD=AC=2,DP∴第一次P1如图所示：∵P∴P1E=2,EF=OF−OE=6−5=1∴第二次P2如图所示：∵P∴P2H=1,HI=OI−OH=9−8=1∴第三次P3如图所示：∵P∴P3K=1,KL=OL−OK=12−10=2∴第四次P4…数形结合，发现点P的位置4次一个循环，每循环一次横坐标增加12，∵2019÷4=504⋯3，P2019的纵坐标与P3相同为2，横坐标为∴P2019故选：A．

【分析】按照题意，连接右下角x轴上的点与P，如图所示，由旋转性质逐步求出各个位置时点P的坐标P15,2，P28,1，35．【答案】2【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的递变加循环规律【解析】【解答】解：∵点A的坐标为−2,0，∴OA=2，∵每次旋转角度为60°，∴6次旋转360°，∵2025=6×337+3，点A3位于x∴第2025次旋转后，点A2025位于x由题意可知，第1次旋转后，OA第2次旋转后，OA第3次旋转后，OA归纳类推得：第n次旋转后，OAn=∴第2025次旋转后，OA∴点A2025的坐标为2故答案为：22026【分析】先根据旋转的性质归纳类推得：第n次旋转后，OAn=2n+1（n为正整数），确定第2025次旋转后，点A36．【答案】−2,−2【知识点】旋转的性质；中心对称及中心对称图形；探索规律-图形的循环规律【解析】【解答】解：设点A的坐标为m,0，∴AB∵AB=BC，∴m2∴m=−1（正值舍去），∴A−1，0∵将△ABC绕点A逆时针旋转，每次旋转90°，∴每4次为一个循环，点B回到起始位置，∵6÷4=1…2，∴第6次旋转结束时点B的坐标与第2次旋转点B的位置相同，即相当于把点B绕点A逆时针旋转180°，∴此时点B的对应点与点0,2关于A−1，0∴此时点B的对应点坐标为−2,−2，故答案为：−2,−2．【分析】由于一个周角是360度，则由旋转角知每旋转4次点B回到原来位置，则第6次旋转结束时点B绕点A逆时针旋转了180度，即点B与对应点关于点A中心对称，此时可利用两点距离公式结合已知求出点A的坐标（注意点A在x轴的负半轴上，即点A的横坐标为负），再利用中点坐标公式即可．37．【答案】（1）解：①当A，D，M三点在同一直线上时，若点M在AD的延长线上，则AM=DM+AD=10+30=40，若点M在AD上，则AM=AD−DM=30−10=20，综上所述AM的长为40或20；②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，若AD为直角边，则AM=A若AD为斜边，AM=A综上所述当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，AM的长为1010或（2）解：如图所示，连接D1∵∠D1A∴D1D∵∠AD∴∠D在Rt△D1D∵∠BAC=∠D∴∠BAC−∠D∴∠BAD在△ABD2和△ACD∴△ABD∴B【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系【解析】【分析】本题以实验室摆动装置为背景，考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定以及分类讨论思想。

（1）需分两种情况：当A、D、M共线时，点M可能在AD上或延长线上；当三点为直角三角形顶点时，需区分AD为直角边或斜边，分别用勾股定理求AM。

（2）通过旋转90°构造等腰直角三角形，结合给定角度证明全等，进而求得BD38．【答案】（1）解：PM=PN，PM⊥PN．理由：∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∴∠DPN=∠ADC，∵PM∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，PM⊥PN故答案为：PM=PN，PM⊥PN．（2）解：△PMN是等腰直角三角形．理由如下：由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=1∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）解：25【知识点】三角形的面积；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：（3）把△ADE绕点A旋转到如图的位置由（2）可知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=12BD∴PM最大时，△PMN面积最大，又∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=7+3=10，∴PM