-广东省广州市越秀区铁一中学2020-2021学年九年级下学期月考数学试卷3月份-解析版

2020-2021学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选摔题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．数1，0，﹣，﹣2中最大的是（）A．1 B．0 C．﹣ D．﹣22．如图所示，该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．3．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≠﹣1 C．x＞﹣1 D．x＞14．将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3 C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣35．下列运算正确的是（）A．（x2）2＝x5 B．（x﹣y）2＝x2+y2 C．﹣x2y3•2xy2＝﹣2x3y5 D．﹣（3x+y）＝﹣3x+y6．△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（）A． B． C． D．27．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（）A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm8．如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1 C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞19．2021年新年期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两名同学都互相发一次．小明统计全组共互发了72次微信，设数学兴趣小组的人数为x，则可列方程为（）A．x（x﹣1）＝72 B．x（x﹣1）＝2×72 C．x（x﹣1）＝72 D．x（x+1）＝7210．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．分解因式a3﹣4a的结果是．12．如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝度．13．化简：（﹣1）÷＝．14．已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为8cm，它的侧面积为cm2．15．如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．16．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是（填序号）．①∠MAC＝∠PBC，②△ABC是等边三角形，③PC＝PA+PB，④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）17．（4分）解方程组．18．（4分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．19．（6分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．20．（6分）学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛．现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：甲班：等级成绩（S）频数A90＜S≤100xB80＜S≤9015C70＜S≤8010DS≤703合计30根据上面提供的信息回答下列问题（1）表中x＝，甲班学生成绩的中位数落在等级中，扇形统计图中等级D部分的扇形圆心角n＝．（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛．求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．21．（8分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2017年底全市汽车拥有为75万辆，而截止到2019年底，全市的汽车拥有量已达108万辆．（1）求2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2020年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2020年底全市汽车拥有量不超过110.2万辆；另据估计，该市2020年报废的汽车数量是2019年底汽车拥有量的10%．请你计算出该市2020年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．22．（10分）如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．23．（10分）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）24．（12分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你直接写出AE与DF的关系．（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，AC，当△ACE为等腰三角形时，求CE：CD的值．（3）如图3，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，求线段CP的最小值．25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．

2020-2021学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选摔题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．数1，0，﹣，﹣2中最大的是（）A．1 B．0 C．﹣ D．﹣2【分析】根据有理数大小比较的方法即可得出答案．【解答】解：﹣2＜﹣＜0＜1，所以最大的是1．故选：A．2．如图所示，该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看是一个正方形，正方形的左下角是一个小正方形，故B正确；故选：B．3．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≠﹣1 C．x＞﹣1 D．x＞1【分析】二次根式的被开方数应为非负数，分母不等于0，列式即可求得自变量的取值．【解答】解：根据题意得：x+1＞0，解得x＞﹣1，故选：C．4．将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3 C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝3x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+3．故选：A．5．下列运算正确的是（）A．（x2）2＝x5 B．（x﹣y）2＝x2+y2 C．﹣x2y3•2xy2＝﹣2x3y5 D．﹣（3x+y）＝﹣3x+y【分析】根据幂的乘方、完全平方公式、单项式的乘法和去括号法则逐项进行分析可得答案．【解答】解：A．（x2）2＝x4，故运算错误，不合题意；B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故运算错误，不合题意；C．﹣x2y3•2xy2＝﹣2x3y5，故运算正确，符合题意；D．﹣（3x+y）＝﹣3x﹣y，故运算错误，不合题意．故选：C．6．△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（）A． B． C． D．2【分析】在直角△ABD中，利用勾股定理即可求得AB的长，然后根据余弦函数的定义即可求解．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，在直角△ABD中，BD＝2，AD＝4，则AB＝＝＝2，则cosB＝＝＝，故选：A．7．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（）A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴△AED∽△ACB∴，设屏幕上的小树高是x，则，解得x＝18cm．故选：C．8．如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1 C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1【分析】根据图象的交点坐标及函数的大小关系，直接解答．要充分利用函数图象所给的信息解答．【解答】解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时x＜﹣1；在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时0＜x＜1．故选：C．9．2021年新年期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两名同学都互相发一次．小明统计全组共互发了72次微信，设数学兴趣小组的人数为x，则可列方程为（）A．x（x﹣1）＝72 B．x（x﹣1）＝2×72 C．x（x﹣1）＝72 D．x（x+1）＝72【分析】根据每两名同学都互相发一次，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，x（x﹣1）＝72，故选：A．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断；由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对②进行判断；由ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根得到抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m没有公共点，加上二次函数的最大值为2，则m＞2，于是可对③进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故②正确；∵ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，即抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m没有公共点，∵二次函数的最大值为2，∴m＞2，故③正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．分解因式a3﹣4a的结果是a（a+2）（a﹣2）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）．12．如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝44度．【分析】已知了∠B的度数，即可由圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠AOC的度数，再根据平行线的内错角相等可得出∠A的度数．【解答】解：∵BA∥CO，∴∠A＝∠AOC；∵∠B＝22°，∴∠AOC＝2∠B＝44°，∴∠A＝44°．13．化简：（﹣1）÷＝．【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．【解答】解：（﹣1）÷＝＝＝，故答案为：．14．已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为8cm，它的侧面积为48πcm2．【分析】根据圆锥的侧面积等于展开以后扇形的面积以及扇形的面积公式计算即可．【解答】解：圆锥母线长＝8cm，底面半径r＝6cm，则圆锥的侧面积为S＝πrl＝π×6×8＝48πcm2．故答案为：48π．15．如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．【分析】分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．【解答】解：∵AO＝OB＝2，∴当BP＝2时，∠APB＝90°，当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，∴BP＝＝2，当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB•tan∠1＝2，故答案为：2或2或2．16．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是①②③④（填序号）．①∠MAC＝∠PBC，②△ABC是等边三角形，③PC＝PA+PB，④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．【分析】根据圆内接四边形的性质和平角的定义即可得到∠MAC＝∠PBC；故①正确；根据圆周角定理得到∠ABC＝∠BAC＝60°，推出△ABC是等边三角形，故②正确；根据圆内接四边形的性质得到∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；根据平行线的性质得到∠M+∠APB＝180°，求得∠M＝∠ACB；根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，求得∠M＝∠BPC；根据全等三角形的性质得到PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；根据等边三角形的性质得到PC＝PA+PB，故③正确；根据全等三角形的性质得到AM＝PB＝2，求得PM＝PA+AM＝1+2＝3，由三角形的面积公式得到△PCM的面积＝CM2＝，故④正确．【解答】解：∵A、P、B、C是⊙O上的四点，∴∠PBC+∠PAC＝180°，∵∠PAC+∠MAC＝180°，∴∠MAC＝∠PBC；故①正确；∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，故②正确；∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；∵CM∥BP，∴∠M+∠APB＝180°，∴∠M＝∠ACB；又∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，∴∠M＝∠BPC；在△ACM与△BCP中，，∴△ACM≌△BCP（AAS）．∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，∴△MPC为等边三角形，∴PC＝PM，∴PC＝PA+PB，故③正确；∵△ACM≌△BCP，∴AM＝PB＝2，∴PM＝PA+AM＝1+2＝3，∵△PCM是等边三角形，∴△PCM的面积＝CM2＝，故④正确，故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）17．（4分）解方程组．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝9，即x＝3，把x＝3代入①得：y＝﹣2，则方程组的解为．18．（4分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【分析】由SAS证明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．19．（6分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据题意得到∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，由题意，得：∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，∴BD＝AB＝40，在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝40，∴BC＝BD＝40，答：BC的距离是40海里．20．（6分）学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛．现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：甲班：等级成绩（S）频数A90＜S≤100xB80＜S≤9015C70＜S≤8010DS≤703合计30根据上面提供的信息回答下列问题（1）表中x＝2，甲班学生成绩的中位数落在等级B中，扇形统计图中等级D部分的扇形圆心角n＝36°．（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛．求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．【分析】（1）利用总人数30减去其它各组的人数就是x的值，根据中位数的定义求得中位数的值，利用360°乘以对应的比例就可求得圆心角的度数；（2）甲班的人用甲表示，乙班的人用乙表示，利用列举法即可求得概率．【解答】解：（1）x＝30﹣15﹣10﹣3＝2；中位数落在B组；等级D部分的扇形圆心角n＝360°×＝36°；故答案是：2，B，36°；（2）乙班A等级的人数是：30×10%＝3，则甲班的二个人用甲表示，乙班的三个人用乙表示．，共有20种情况，则抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率是：＝．21．（8分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2017年底全市汽车拥有为75万辆，而截止到2019年底，全市的汽车拥有量已达108万辆．（1）求2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2020年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2020年底全市汽车拥有量不超过110.2万辆；另据估计，该市2020年报废的汽车数量是2019年底汽车拥有量的10%．请你计算出该市2020年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．【分析】（1）设2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据2017年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2019年底，该市的汽车拥有量已达108万辆可列方程求解．（2）设从2020年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据要求到2020年底全市汽车拥有量不超过110.2万辆；另据统计，从2020年初起，该市每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，可列出不等式求解．【解答】解：（1）设2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据题意得，75（1+x）2＝108，1+x＝±1.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），答：2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%．（2）设该市2020年新增汽车数量最多不能超过x万辆，由题意得：108×0.9+y≤110.2，解得y≤13，答：该市2020年新增汽车数量最多不能超过13万辆．22．（10分）如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把y＝2代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式；（2）设Q（a，b），代入反比例解析式得到b＝，分两种情况考虑：当△QCH∽△BAO时；当△QCH∽△ABO时，由相似得比例求出a的值，进而确定出b的值，即可得出Q坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax+1中，求得a＝，∴y＝x+1，由PC＝2，把y＝2代入y＝x+1中，得x＝2，即P（2，2），把P代入y＝得：k＝4，则双曲线解析式为y＝；（2）设Q（m，n），∵Q（m，n）在y＝上，∴n＝，当△QCH∽△BAO时，可得＝，即＝，∴m﹣2＝2n，即m﹣2＝，整理得：m2﹣2m﹣8＝0，解得：m＝4或m＝﹣2（舍去），∴Q（4，1）；当△QCH∽△ABO时，可得＝，即＝，整理得：2m﹣4＝，解得：m＝1+或m＝1﹣（舍），∴Q（1+，2﹣2）．综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．23．（10分）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）【分析】（1）如图1中，延长AM交CN于点H．想办法证明△ABM≌△CBN（ASA）即可．（2）①如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．利用全等三角形的性质证明CH＝BM，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．②如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．想办法求出CN，PN（用m，n表示），即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．∵AM⊥CN，∴∠AHC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，∵∠AMB＝∠CMH，∴∠BAM＝∠BCN，∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM＝BN．（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．∵BP⊥AM，∴∠BPM＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，∴∠BAM＝∠CBH，∵CH∥AB，∴∠HCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠BCH＝90°，∵AB＝BC，∴△ABM≌△BCH（ASA），∴BM＝CH，∵CH∥BQ，∴＝＝．②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．则BM＝CM＝m，CH＝，BH＝，AM＝m，∵•AM•BP＝•AB•BM，∴PB＝，∵•BH•CN＝•CH•BC，∴CN＝，∵CN⊥BH，PM⊥BH，∴MP∥CN，∵CM＝BM，∴PN＝BP＝，∵∠BPQ＝∠CPN，∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝＝＝．方法二：易证：＝＝＝，∵PN＝PB，tan∠BPQ＝＝＝＝．解法二：证明△MBP∽△MAB，推出MB2＝MP•MA，因为MB＝MC，推出MC2＝MP•MA，推出△CMP∽△AMC，推出∠ACM＝∠CPM，推出∠BPQ＝∠CAB，由此可得结论．24．（12分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你直接写出AE与DF的关系．（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，AC，当△ACE为等腰三角形时，求CE：CD的值．（3）如图3，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，求线段CP的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，求出DE＝CF，根据SAS推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出AE＝DF，∠DAE＝∠FDC即可；（2）有两种情况：①当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC＝CE＝a即可；②当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC＝AE＝a，根据正方形的性质∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质得出DE＝CD＝a即可；（3）由于点P在运动中保持∠APD＝90°，所以点P的路径以AD中点为圆心，AD的一半为半径的弧DG，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．【解答】解：（1）AE＝DF，AE⊥DF；理由是：∵四边形ABCD是正方