奥数三元方程题目及答案

奥数三元方程题目及答案考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：五年级/奥数班

奥数三元方程题目及答案

一、选择题

1.已知方程组3x+2y-z=5,x-y+2z=1,2x+y+z=4，则z的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

2.若方程组ax+by=c,dx+ey=f的解为(1,2)，则方程组2ax+2by=2c,2dx+2ey=2f的解为

A.(1,2)

B.(2,4)

C.(4,8)

D.(0,0)

3.方程x^2+y^2=z^2的正整数解中，满足x+y+z≤100的有多少组

A.12

B.13

C.14

D.15

4.已知方程组x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=14,xy+xz+yz=11，则x+y+z的平方为

A.16

B.18

C.20

D.22

5.若方程组ax+by=c,cx+dy=e的解为(1,1)，且a+c=5,b+d=4，则方程组2ax+2by=2c,2cx+2dy=2e的解为

A.(1,1)

B.(2,2)

C.(3,3)

D.(4,4)

6.已知方程组3x+2y-z=7,x-y+2z=3,2x+y+z=5，则2x-y+3z的值为

A.5

B.7

C.9

D.11

7.若方程组x+y=a,y+z=b,z+x=c的解为(1,2,3)，则a+b+c的值为

A.6

B.7

C.8

D.9

8.方程x^2+y^2=z^2的正整数解中，满足x+y+z=20的有多少组

A.3

B.4

C.5

D.6

9.已知方程组x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=14,xy+xz+yz=11，则x^2+y^2+z^2的值为

A.14

B.16

C.18

D.20

10.若方程组ax+by=c,dx+ey=f的解为(1,2)，则方程组3ax+3by=3c,3dx+3ey=3f的解为

A.(1,2)

B.(2,4)

C.(3,6)

D.(0,0)

二、填空题

1.已知方程组2x+3y-z=7,x-2y+3z=4,3x+y+2z=8，则z的值为______。

2.若方程组x+y=5,y+z=7,z+x=9的解为(a,b,c)，则a+b+c的值为______。

3.方程x^2+y^2=z^2的正整数解中，满足x+y+z=30的有______组。

4.已知方程组x+y+z=10,x^2+y^2+z^2=30,xy+xz+yz=19，则x+y+z的平方为______。

5.若方程组2x+y-z=5,x-y+2z=3,3x+y+z=7的解为(a,b,c)，则a+2b-c的值为______。

6.方程x^2+y^2=z^2的正整数解中，满足x+y+z=40的有______组。

7.已知方程组x+y+z=8,x^2+y^2+z^2=24,xy+xz+yz=17，则x^2+y^2+z^2的值为______。

8.若方程组ax+by=c,dx+ey=f的解为(1,2)，则方程组4ax+4by=4c,4dx+4ey=4f的解为______。

9.方程x^2+y^2=z^2的正整数解中，满足x+y+z=50的有______组。

10.已知方程组x+y+z=12,x^2+y^2+z^2=42,xy+xz+yz=27，则x+y+z的平方为______。

三、多选题

1.已知方程组3x+2y-z=6,x-y+2z=2,2x+y+z=4，则下列说法正确的有

A.x=1

B.y=2

C.z=3

D.x+y+z=6

2.若方程组x+y=a,y+z=b,z+x=c的解为(1,2,3)，则下列说法正确的有

A.a=3

B.b=5

C.c=4

D.a+b+c=12

3.方程x^2+y^2=z^2的正整数解中，满足x+y+z≤50的有

A.9组

B.10组

C.11组

D.12组

4.已知方程组x+y+z=8,x^2+y^2+z^2=24,xy+xz+yz=17，则下列说法正确的有

A.x=1

B.y=3

C.z=4

D.x+y+z=8

5.若方程组2x+y-z=7,x-y+2z=1,3x+y+z=9的解为(a,b,c)，则下列说法正确的有

A.a=2

B.b=3

C.c=1

D.a+2b-c=7

6.方程x^2+y^2=z^2的正整数解中，满足x+y+z=60的有

A.13组

B.14组

C.15组

D.16组

7.已知方程组x+y+z=10,x^2+y^2+z^2=30,xy+xz+yz=19，则下列说法正确的有

A.x=1

B.y=3

C.z=6

D.x+y+z=10

8.若方程组ax+by=c,dx+ey=f的解为(1,2)，则下列说法正确的有

A.a=1

B.b=2

C.d=1

D.e=2

9.方程x^2+y^2=z^2的正整数解中，满足x+y+z=70的有

A.16组

B.17组

C.18组

D.19组

10.已知方程组x+y+z=14,x^2+y^2+z^2=54,xy+xz+yz=35，则下列说法正确的有

A.x=2

B.y=4

C.z=8

D.x+y+z=14

四、判断题

1.方程组x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=14,xy+xz+yz=11的解唯一。

2.若方程组ax+by=c,dx+ey=f的解为(1,2)，则方程组2ax+2by=2c,2dx+2ey=2f的解为(2,4)。

3.方程x^2+y^2=z^2的正整数解中，满足x+y+z=100的有13组。

4.已知方程组x+y+z=10,x^2+y^2+z^2=30,xy+xz+yz=19，则x+y+z的平方为40。

5.若方程组2x+y-z=5,x-y+2z=3,3x+y+z=7的解为(a,b,c)，则a+2b-c的值为7。

6.方程x^2+y^2=z^2的正整数解中，满足x+y+z=50的有12组。

7.已知方程组x+y+z=8,x^2+y^2+z^2=24,xy+xz+yz=17，则x^2+y^2+z^2的值为24。

8.若方程组ax+by=c,dx+ey=f的解为(1,2)，则方程组3ax+3by=3c,3dx+3ey=3f的解为(1,2)。

9.方程x^2+y^2=z^2的正整数解中，满足x+y+z=60的有15组。

10.已知方程组x+y+z=12,x^2+y^2+z^2=42,xy+xz+yz=27，则x+y+z的平方为36。

五、问答题

1.已知方程组x+y+z=9,x^2+y^2+z^2=35,xy+xz+yz=21，求x,y,z的值。

2.若方程组ax+by=c,dx+ey=f的解为(1,2)，且a+d=5,b+e=7，求方程组2ax+2by=2c,2dx+2ey=2f的解。

3.方程x^2+y^2=z^2的正整数解中，满足x+y+z≤100的有多少组，请列出所有满足条件的解。

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：将三个方程相加得6x+4y+z=16，再减去第一个方程得5x+3y=11，解得y=(11-5x)/3。将y代入第一个方程得3x+2(11-5x)/3-z=5，化简得z=x-1。将z代入第二个方程得x-(11-5x)/3+2(x-1)=1，化简得x=1，进而得y=2，z=0。但z=0不满足原方程组，故重新检查计算，发现应为z=1，x=1，y=2，故z=1。

2.A

解析：方程组乘以2得到的新方程组与原方程组同解，故解仍为(1,2)。

3.B

解析：列举满足条件的勾股数，(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(12,35,37),(14,48,50),(20,21,29),(28,45,53),(33,56,65),(36,77,85),(39,80,81)，共13组。

4.C

解析：由(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)得(x+y+z)^2=14+2*11=36，故x+y+z=6。

5.A

解析：方程组乘以2得到的新方程组与原方程组同解，故解仍为(1,1)。

6.B

解析：将三个方程相加得6x+3y=15，解得y=5-2x。将y代入第一个方程得3x+2(5-2x)-z=7，化简得z=x-1。将y和z代入第二个方程得x-(5-2x)+2(x-1)=3，化简得x=2，进而得y=1，z=1。故2x-y+3z=2*2-1+3*1=7。

7.A

解析：将三个方程相加得2(a+b+c)=18，故a+b+c=9。

8.C

解析：列举满足条件的勾股数，(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(12,35,37)，共5组。

9.A

解析：由(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)得(x+y+z)^2=14+2*11=36，故x^2+y^2+z^2=14。

10.A

解析：方程组乘以3得到的新方程组与原方程组同解，故解仍为(1,2)。

二、填空题

1.1

解析：将三个方程相加得6x+4y+3z=19，再减去第一个方程得5x+3y+2z=12，解得y=(12-5x-2z)/3。将y代入第一个方程得2x+3(12-5x-2z)/3-z=7，化简得z=x-1。将z代入第二个方程得x-(12-5x-2(x-1))/3+3z=4，化简得x=1，进而得y=2，z=0。但z=0不满足原方程组，故重新检查计算，发现应为z=1，x=1，y=2，故z=1。

2.12

解析：将三个方程相加得2(a+b+c)=22，故a+b+c=11。将三个方程相减得a-b+c=-2，将三个方程相加得2(a+b+c)=22，故a+b+c=11。将三个方程相减得a-b+c=-2，解得a=4,b=7,c=1，故a+b+c=12。

3.14

解析：列举满足条件的勾股数，(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(12,35,37),(14,48,50),(20,21,29),(28,45,53),(33,56,65),(36,77,85),(39,80,81)，共14组。

4.36

解析：由(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)得(x+y+z)^2=30+2*19=68，故x+y+z=8。

5.7

解析：将三个方程相加得6x+3y+4z=15，解得y=(15-6x-4z)/3。将y代入第一个方程得2x+3(15-6x-4z)/3-z=5，化简得z=x-2。将z代入第二个方程得x-(15-6x-4(x-2))/3+2z=3，化简得x=3，进而得y=2，z=1。故a+2b-c=3+2*2-1=7。

6.15

解析：列举满足条件的勾股数，(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(12,35,37),(14,48,50),(20,21,29),(28,45,53),(33,56,65),(36,77,85),(39,80,81),(48,55,73),(65,72,97),(60,63,77)，共15组。

7.24

解析：由(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)得(x+y+z)^2=24+2*17=58，故x^2+y^2+z^2=24。

8.(1,2)

解析：方程组乘以4得到的新方程组与原方程组同解，故解仍为(1,2)。

9.18

解析：列举满足条件的勾股数，(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(12,35,37),(14,48,50),(20,21,29),(28,45,53),(33,56,65),(36,77,85),(39,80,81),(48,55,73),(65,72,97),(60,63,77)，共18组。

10.36

解析：由(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)得(x+y+z)^2=42+2*27=96，故x+y+z=12。

四、判断题

1.正确

解析：方程组中的三个方程均为三元一次方程，联立求解可以得到唯一的解。

2.正确

解析：方程组乘以2得到的新方程组与原方程组同解，故解仍为(1,2)。

3.正确

解析：列举满足条件的勾股数，(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(12,35,37),(14,48,50),(20,21,29),(28,45,53),(33,56,65),(36,77,85),(39,80,81),(48,55,73),(65,72,97),(60,63,77)，共13组。

4.正确

解析：由(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)得(x+y+z)^2=30+2*19=68，故x+y+z=10。

5.正确

解析：将三个方程相加得6x+3y+4z=15，解得y=(15-6x-4z)/3。将y代入第一个方程得2x+3(15-6x-4z)/3-z=5，化简得z=x-2。将z代入第二个方程得x-(15-6x-4(x-2))/3+2z=3，化简得x=3，进而得y=2，z=1。故a+2b-c=3+2*2-1=7。

6.正确

解析：列举满足条件的勾股数，(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(12,35,37),(14,48,50),(20,21,29),(28,45,53),(33,56,65),(36,77,85),(39,80,81),(48,55,73),(65,72,97),(60,63,77)，共15组。

7.正确

解析：由(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)得(x+y+z)^2=24+2*17=58，故x^2+y