2026年中考数学真题知识点专题 图形的相似(二)

年中考数学真题知识点分类汇编之图形的相似（二）一．解答题（共19小题）1．（2026•北京）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AC为⊙O的直径，过点B作AC的垂线，垂足为E，交⊙O于点D，连接OP，CD．（1）求证：∠ACD＝∠POA；（2）连接PC交BD于点F．若CE＝2，tan∠ACD=2，求BF2．（2026•广东）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝25，点D在AB上，且BD＝3AD，连接CD．过点A作CD的垂线交CD于点E，交BC于点F，连接BE，AE＝2．（1）求CE的长；（2）求证：BD2＝9DE•DC；（3）求S△BEF3．（2026•南京）已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，F、G为AC、BC边上的点，且DF⊥AB，EG⊥AB．（1）求证：△ADF∽△GEB；（2）∠B＝30°，AB＝6，DE＝2，△ADF∽△GCF，求AD的长．4．（2026•陕西）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达502km．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下：活动主题测量渭河某段河道的宽度活动方案方案一方案二测量示意图测量过程1．在河道一侧的岸边选取两个观测点B，C；2．测量∠ABC，∠ACB的度数；3．测量B，C两点之间的距离．1．在河道一侧的岸边选取两个观测点B，C，分别在AB，AC的延长线上选取点D，E，使得DE∥BC；2．测量B，C两点之间的距离，D，E两点之间的距离，BC与DE之间的距离h．测量数据∠ABC＝45°，∠ACB＝63.4°，BC＝120m．BC＝120m，DE＝150m，h＝20m．备注1．点A是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点；2．图中所有点均在同一平面内；3．参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00．请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点A到BC的距离）．5．（2026•湖北）在Rt△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△EDC，使得AD＝AE．（1）如图1，若AD∥CE，DE与AC交于点F，作AM⊥DE，垂足为M．①证明：△ADM∽△CED；②求EFDF③若AC＝3，直接写出AB的值．（2）如图2，若∠DAE＝90°，直接写出ABAC6．（2026•广元）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点E，F为半圆O上一点，连接BF交AC于点G，连接CF，且CF＝CB．（1）求证：CF为半圆O的切线；（2）连接EF，若tan∠AEF=12，AB＝10，求7．（2026•甘孜州）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形AFDE是平行四边形，CEAE=【初步感知】（1）如图1，连接BD，CD，则∠1+∠2+∠3＝度．【变化探寻】（2）如图2，AB＝10，AC＝15，固定点D，当k为何值时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B相等．【深入探究】（3）如图3，固定点D，若移动点B到点B′，则点C随之移动到点C′．①判断线段CC′与BB′的位置关系与数量关系，并说明理由；②在点B处安装一支描图针，在点C处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形L1描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形L2，求图形L2的面积．（用含k的代数式表示）8．（2026•陕西）问题探究（1）如图①，AD是△ABC的角平分线，若S△ABD：S△ACD＝3：2，则AB：AC的值为；（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D，E在边BC上．若BE•CD＝AB2，求∠DAE的度数；问题解决（3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道．如图③所示，四边形ABCD区域为农田，AQ，DP为小路，小路的出口P，Q分别在农田边界AB，BC上，AQ与DP相交于点M，点M为蓄水池，点B为水源接入口，BM为地下输水管道．根据种植需求，△ADP区域与△ABQ区域的面积之比为25：36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM最短．已知AD∥BC，AB⊥BC，AD＝400m，AB＝480m，BC＝720m，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积．（结果精确到1m2．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计）．9．（2026•巴中）四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，∠AEF＝90°．【教材重现•提出问题】（1）如图1，AB＝BC，G、E分别是AB、BC的中点，EF交矩形外角的平分线于点F．求证：△AGE≌△ECF．【模型建构•应用意识】（2）如图2，AB＝BC＝4，EF交矩形外角的平分线于点F，延长CF交AD的延长线于点H，求2BE+HF的值．【拓展推广•实践能力】（3）如图3，AB＝mBC，AE＝mEF（m为常数），求CFBE的值（用含m10．（2026•齐齐哈尔）综合与实践综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动．已知有公共顶点的矩形ABCD和矩形EBFG，BA＝2，BE＝1，BCBA=BFBE=k．先将矩形EBFG的边BE，BF分别落在矩形ABCD的边BA，BC上，再将矩形EBFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（1）【问题初探】如图1，当k＝1，0°＜α＜90°时，∠AEB与∠CFB的数量关系是，AE与CF的数量关系是；（2）【类比推理】如图2，当k=3，0°＜α＜90°时，试探究AE与CF（3）【深入探究】如图3，当k=3，0°＜α＜360°时，点M为边BC的中点，直线EG交线段BC于点N．若EN＝MN，则CF的长为（4）【拓展延伸】如图4，当k=3，0°＜α＜90°时，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，在线段BE上取点P，使BP=23EQ，连接AP．若△ABP的面积为S，则S11．（2026•广西）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度MN．如图2，MN所在直线垂直地面于点A．甲把光源放置于点B处，BC垂直地面于点C，点A，C在同一水平线上．乙沿CA方向移动平面镜，移到点D时，从点B发出的光线反射到点M处；移到点E时，从点B发出的光线反射到点N处．经测量：BC＝1.5米，AC＝12米，CD＝2米，DE＝2米．记点D，E处的法线分别为SD，TE，即SD⊥AC，TE⊥AC，根据光的反射定律，∠MDS＝∠BDS，∠NET＝∠BET．（1）求证：∠MDA＝∠BDC；（2）求此公益广告牌的高度MN．12．（2026•上海）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE交AC于点F．（1）若AF＝2CF，求证：点E是CD的中点；（2）若∠ABE的角平分线BH交AC于点G，交AD于点H，求证：CD•BG＝BH•BF．13．（2026•江西）如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长．14．（2026•眉山）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，对角线AC平分∠BAD交BD于点E，点F在AB的延长线上，且满足∠BCF＝∠BAC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若CE＝3，BE＝5，求⊙O的半径．15．（2026•湖南）【问题背景】如图1，给定平行四边形ABCD，点P是AD边上不与A，D重合的一动点．如图2，作△XYZ，使得XY＝AD，且当点P运动时，保持∠X＝∠ABP，∠Y＝∠DCP．【动手操作】将△XYZ拼接于平行四边形ABCD的上方：操作一：如图3，使点X与A重合，点Y与D重合，将此时的Z点记为Q，作QS∥AB交AD于点S；操作二：如图4，使点X与D重合，点Y与A重合，将此时的Z点记为R，连接RP．【问题解决】（1）如图1，当∠BPC＝80°时，∠APB+∠DPC＝°；（2）如图3，从结论①，②中选一个给出证明：①△ASQ∽△BAP，②△DSQ∽△CDP；（3）如图3，在点P运动过程中，探究线段AP与线段DS的数量关系，并说明理由；（4）如图4，设AD＝4，AB＝3，当点P运动时，求PR+PD的最大值．16．（2026•烟台）【尝试发现】（1）如图1，△ABC∽△ADE，ABAC=23．当点D，E分别在边AB和AC上时，【变式探究】（2）如图2，将（1）中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE，BD，AC与BD交于点O，CE与BD的延长线交于点F．①求BDCE②写出∠BAC和∠BFC的数量关系并证明．【联系拓广】（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在边BC上且BE＝2，连接AE．F是直线BC上的动点，作△AFG∽△ABE，连接CG，EG．①当点F在线段CB的延长线上，且EG＝EA时，求EF的长；②当CG的长度最小时，直接写出此时BF的长．17．（2026•南充）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AP＝AB．【初步感知】（1）如图1，点P在线段AC上，若OP＝2CP，AC＝6，求AB的长．【深入探究】（2）如图2，点P在线段CD上，若CP＝DP，设AB长为x，AC长为y，求y与x之间的函数关系式．【拓展运用】（3）如图3，点P在线段CD上，将△ADP沿直线AP折叠，若点D落在BC边上，求DPDC18．（2026•安徽）如图1，在▱ABCD中，CD＝2AD，边CD的中点为M，连接AM．（1）求证：∠C＝2∠AMD；（2）如图2，MN⊥BC，垂足为N．点P在线段AM上，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E、F．（i）求证：PF﹣PE＝MN；（ii）若PF＝4PE，求APPM19．（2026•遂宁）综合与实践——探索五角星的奥秘节日前夕，有时需要制作许多五角星．我们用折纸的方法，探索五角星的制作过程．（1）如图1，先将一张正方形的纸片沿MN对折，再找到MN的中点O，将平角∠MON五等分，得到图2，接着沿图中的虚线依次对折，得到图3，然后过点N作NQ⊥OP于点Q，得到图4，最后沿NQ把图4中的阴影部分剪掉，将余下部分展开，就得到图5所示的一个正五边形．请直接写出正五边形的内角和为．（2）连结图5中正五边形的对角线，得到图6．请根据图6，完成下列问题：①求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数；②求CDAD（3）把图4剪掉阴影部分后，得到图7，然后沿NR把图7中的阴影部分剪掉，展开余下部分，将得到一个五角星．例如，当∠RNQ＝25°时，得到的五角星如图8所示；若使展开后的五角星如图6所示，则∠RNQ的度数为．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之图形的相似（二）参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．（2026•北京）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AC为⊙O的直径，过点B作AC的垂线，垂足为E，交⊙O于点D，连接OP，CD．（1）求证：∠ACD＝∠POA；（2）连接PC交BD于点F．若CE＝2，tan∠ACD=2，求BF【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】证明：（1）∵PA、PB是圆O的切线，∴PA＝PB．又∵OA＝OB，OP＝OP，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠AOP=∠BOP=1∵AC是直径，BD⊥AC，∴弧AB＝弧AD，∴∠AOB＝∠AOD．∴∠ACD=1∴∠ACD＝∠POA；（2）2．【分析】（1）通过连接OB利用SSS证明三角形全等，得出OP平分圆心角∠AOB；再结合直径垂直于弦所对的弧相等（弧AB＝弧AD），利用“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”这一性质进行等量代换，从而完成证明；（2）先在Rt△CDE中利用正切值求出半弦长DE（即BE），再通过相似比或三角函数关系求出大直角三角形PAC中∠PCA的正切值；最后将视角转移到小直角三角形CEF中算出EF的长，利用线段的和差关系（BF＝BE﹣EF）即可求得最终结果．【解答】证明：（1）连接OB，如图，∵PA、PB是圆O的切线，∴PA＝PB．又∵OA＝OB，OP＝OP，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠AOP=∠BOP=1∵AC是直径，BD⊥AC，∴弧AB＝弧AD，∴∠AOB＝∠AOD．∴∠ACD=1∴∠ACD＝∠POA；解：（2）在Rt△CED中，∠CED＝90°，CE＝2，tan∠ACD=2∴DE＝CE•tan∠ACD=22∵AC⊥BD，∴BE=DE=22∵PA是圆O的切线，∴PA⊥AC，即∠PAC＝90°．在Rt△OAD中，tan∠AOP=PA∵∠ACD＝∠AOP，∴PAOA即PA=2设OA＝R，则AC＝2R，PA=2R在Rt△PAC中，tan∠PCA=PA在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，∴EF=CE⋅tan∠PCA=2×2∴BF=BE−EF=22答：BF的长为2．【点评】本题考查圆的切线性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形．重难点在于：利用切线长定理和垂径定理推导角的关系．2．（2026•广东）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝25，点D在AB上，且BD＝3AD，连接CD．过点A作CD的垂线交CD于点E，交BC于点F，连接BE，AE＝2．（1）求CE的长；（2）求证：BD2＝9DE•DC；（3）求S△BEF【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】三角形．【答案】（1）4；（2）∵∠BAC＝90°，AE⊥CD，∴∠AED＝∠CAD＝90°，∠DAE＝∠ACD＝90°﹣∠ADC，∵∠ADE＝∠CDA，∴△ADE∽△CDA，∴ADCD∴AD2＝DE•DC，∵BD＝3AD，∴BD2＝9AD2，∴BD2＝9DE•DC；（3）2．【分析】（1）直接由勾股定理求解即可；（2）证明△ADE∽△CDA，得到AD2＝DE•DC，再由BD＝3AD代入求证即可；（3）先证明点F为BC的中点，然后求出AF，EF，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可．【解答】（1）解：∵AC=25，AE＝2，AE⊥CD∴CE=A（2）证明：∵∠BAC＝90°，AE⊥CD，∴∠AED＝∠CAD＝90°，∠DAE＝∠ACD＝90°﹣∠ADC，∵∠ADE＝∠CDA，∴△ADE∽△CDA，∴ADCD∴AD2＝DE•DC，∵BD＝3AD，∴BD2＝9AD2，∴BD2＝9DE•DC；（3）解：由（2）知∠DAE＝∠ACD，∵AE⊥CD，∴∠AED＝∠CEA＝90°，∴△AED∽△CEA，∴AECE∴24∴DE=1，AD=5∴BD=3AD=35∴AB=AD+BD=45∴AD×AB=5∴AC∴AC2＝AD×AB，∴ADAC∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠DAE＝∠ACD，∴∠DAE＝∠ABC，∴FA＝FB，∵∠BAC＝90°，∴∠DAE+∠FAC＝∠ABC+∠FCA＝90°，∴∠FAC＝∠FCA，∴FC＝FA，∴FB＝FC，∵∠BAC＝90°，∴FA=1∴EF＝AF﹣AE＝3，设S△ADE＝S，∵BD＝3AD，∴S△BDE＝3S，∴S△ABE＝S△ADE+S△BDE＝4S，∵AEEF∴S△ABE∴S△BEF＝6S，∴S△BEF【点评】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．3．（2026•南京）已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，F、G为AC、BC边上的点，且DF⊥AB，EG⊥AB．（1）求证：△ADF∽△GEB；（2）∠B＝30°，AB＝6，DE＝2，△ADF∽△GCF，求AD的长．【考点】相似三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）∵DF⊥AB，EG⊥AB，∴∠ADF＝∠BEG＝90°，∵C＝90°，∴∠A+∠B＝∠BGE+∠B＝90°，∴∠A＝∠BGE，∴△ADF∽△GEB；（2）12【分析】（1）由垂直的定义得到∠ADF＝∠BEG＝90°，由余角的性质推出∠A＝∠BGE，即可证明△ADF∽△GEB；（2）过F作FH⊥GE于H，设AD＝x，由tanA=DFAD=3，得到DF=3x，由tan∠B=EGEB=33，得到EG=33（4﹣x），判定四边形DEHF是矩形，得到EH＝DF=3x，FH＝DE＝2，求出GH=433（1﹣x），由相似三角形的性质推出∠【解答】（1）证明：∵DF⊥AB，EG⊥AB，∴∠ADF＝∠BEG＝90°，∵C＝90°，∴∠A+∠B＝∠BGE+∠B＝90°，∴∠A＝∠BGE，∴△ADF∽△GEB；（2）解：过F作FH⊥GE于H，设AD＝x，∵AB＝6，DE＝2，∴BE＝4﹣x，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，∵tanA＝tan60°=DF∴DF=3x∵tan∠B＝tan30°=EG∴EG=33（4﹣∵∠FDE＝∠DEH＝∠EHF＝90°，∴四边形DEHF是矩形，∴EH＝DF=3x，FH＝DE∴GH＝EG﹣EH=433∵△ADF∽△GCF，∴∠CGF＝∠A＝60°，∵∠BGE＝90°﹣∠B＝60°，∴∠FGH＝180°﹣∠CGF﹣∠BGE＝60°，∵tan∠FGH＝tan60°=FH∴3GH＝FH，∴4（1﹣x）＝2，∴x=1∴AD=1【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的判定方法，由锐角的正切定义得到关于x的方程．4．（2026•陕西）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达502km．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下：活动主题测量渭河某段河道的宽度活动方案方案一方案二测量示意图测量过程1．在河道一侧的岸边选取两个观测点B，C；2．测量∠ABC，∠ACB的度数；3．测量B，C两点之间的距离．1．在河道一侧的岸边选取两个观测点B，C，分别在AB，AC的延长线上选取点D，E，使得DE∥BC；2．测量B，C两点之间的距离，D，E两点之间的距离，BC与DE之间的距离h．测量数据∠ABC＝45°，∠ACB＝63.4°，BC＝120m．BC＝120m，DE＝150m，h＝20m．备注1．点A是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点；2．图中所有点均在同一平面内；3．参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00．请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点A到BC的距离）．【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用；平行线之间的距离．【专题】解直角三角形及其应用．【答案】这段河道的宽度为80m．【分析】方案一：过点A作AH⊥BC于点H，解Rt△ABH和Rt△ACH求解即可；方案二：过点A作AG⊥DE于点G，交BC于点H，可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比等于对应高之比求解即可．【解答】解：方案一：过点A作AH⊥BC于点H，∵∠ABC＝45°，∠ACB＝63.4°，∴在Rt△ABH中，AH＝BH×tan∠ABC＝BH，在Rt△ACH中，CH=AH∵BH+CH＝BC，BC＝120m，∴AH+12AH=120，解得AH∴这段河道的宽度为80m；方案二：过点A作AG⊥DE于点G，交BC于点H，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，AH⊥BC，∴BCDE∵BC＝120m，DE＝150m，h＝HG＝20m，∴120150=AG−20AG，解得∴AH＝100﹣20＝80m，答：这段河道的宽度为80m．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，平行线之间的距离，解直角三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．5．（2026•湖北）在Rt△ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△EDC，使得AD＝AE．（1）如图1，若AD∥CE，DE与AC交于点F，作AM⊥DE，垂足为M．①证明：△ADM∽△CED；②求EFDF③若AC＝3，直接写出AB的值．（2）如图2，若∠DAE＝90°，直接写出ABAC【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；几何直观；应用意识．【答案】（1）①证明：∵CE∥AD，∴∠DEC＝∠ADM，∵AM⊥DE，∴∠AMD＝90°，由旋转得，∠EDC＝∠B＝90°，∴∠AMD＝∠EDC＝90°．∴△ADM∽△CED；②EFDF③AB的值为310（2）ABAC的值为2【分析】（1）先判断出∠DEC＝∠ADM，由旋转得，∠EDC＝∠B＝90°，进而得出∠AMD＝∠EDC＝90°，即可得出结论；②先判断出DM=12DE，进而得出CEAD=③设DE＝6x，由②知，DM=12DE=3x，由①知，△ADM∽△CED，得出CD＝2AM，再判断出△AFM∽△CFD，得出DF＝2FM，CF＝2AF，进而得出FM＝x，DF＝2x，AF＝1，CF（2）过点A作AM⊥DE于M，设AM＝a，CD＝b，得出DE＝2AM＝2a，EM＝a，延长DE至G，使EG＝CD＝b，判断出△ADC≌△AEG（SAS），得出AG＝AC，在Rt△AMG中，AC2＝2a2+2ab+b2，在Rt△BCD中，AC2＝（2a）2+b2＝4a2+b2，进而判断出a＝b，利用勾股定理表示出AC，即可得出答案．【解答】（1）①证明：∵CE∥AD，∴∠DEC＝∠ADM，∵AM⊥DE，∴∠AMD＝90°，由旋转得，∠EDC＝∠B＝90°，∴∠AMD＝∠EDC＝90°．∴△ADM∽△CED；②∵AD＝AE，AM⊥DE，∴DM=1由①知，△ADM∽△CED，∴CEAD∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴EFDF即EFDF③设DE＝6x，由②知，DM=12DE=由①知，△ADM∽△CED，∴AMCD∴CD＝2AM，∵AM⊥DE，∴∠AMD＝90°＝∠CDE，∵∠AFM＝∠CFD，∴△AFM∽△CFD，∴AFCF∴DF＝2FM，CF＝2AF，∵DF+FM＝DM＝3x，AF+CF＝AC＝3，∴FM＝x，DF＝2x，AF＝1，CF＝2，由旋转知，DE＝AB＝6x，CE＝AC＝3，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，∴CD2+（6x）2＝32，∴CD2+36x2＝9（Ⅰ），在Rt△CDF中，CD2+DF2＝CF2，∴CD2+（2x）2＝22，∴CD2+4x2＝4（Ⅱ），（Ⅰ）﹣（Ⅱ）得，32x2＝5，∴x=10∴AB＝6x＝6×10即AB的值为310（2）过点A作AM⊥DE于M，设AM＝a，CD＝b，∵AD＝AE，∴DM＝EM，∴AM=12∴DE＝2AM＝2a，EM＝a，延长DE至G，使EG＝CD＝b，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∵∠CDE＝90°，∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝135°，∵∠AEG＝180°﹣∠AED＝135°，∴∠ADC＝∠AEG，∴△ADC≌△AEG（SAS），∴AG＝AC，在Rt△AMG中，AM2+MG2＝AG2，∴a2+（a+b）2＝AC2，∴AC2＝2a2+2ab+b2，在Rt△BCD中，CE2＝DE2+CD2，∴AC2＝（2a）2+b2＝4a2+b2，∴2a2+2ab+b2＝4a2+b2，∴a＝b，∴DE＝2a，CD＝a，由旋转知，AB＝DE＝2a，BC＝CD＝a，根据勾股定理得，AC=AB∴ABAC即ABAC的值为2【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，构造成全等三角形是解（2）的关键．6．（2026•广元）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点E，F为半圆O上一点，连接BF交AC于点G，连接CF，且CF＝CB．（1）求证：CF为半圆O的切线；（2）连接EF，若tan∠AEF=12，AB＝10，求【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）证明：连接OC交BF于H，连接OF，如图，在△OCF和△OCB中，OF=OBOC=OC∴△OCF≌△OCB（SSS），∴∠OFC＝∠OBC＝90°，∴OF⊥CF，∵OF为半径，∴CF为半圆O的切线；（2）102【分析】（1）证明△OCF≌△OCB得到∠OFC＝∠OBC＝90°，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）连接AF，如图，先根据圆周角定理得到∠AFB＝90°，∠ABF＝∠AEF，则在Rt△ABF中利用正切的定义得到tan∠ABF=AFBF=12，所以利用勾股定理可计算出AF＝25，BF＝45，再证明OC垂直平分BF得到FH＝BH＝25，所以OH=12AF=5，接着证明Rt△OBH∽Rt△OCB，利用相似比求出OC＝55，所以CH＝45，然后证明△AFG【解答】（1）证明：连接OC交BF于H，连接OF，如图，在△OCF和△OCB中，OF=OBOC=OC∴△OCF≌△OCB（SSS），∴∠OFC＝∠OBC＝90°，∴OF⊥CF，∵OF为半径，∴CF为半圆O的切线；（2）解：连接AF，如图，∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，∵∠ABF＝∠AEF，∴tan∠ABF＝tan∠AEF=1在Rt△ABF中，∵tan∠ABF=AF∴BF＝2AF，∵AF2+BF2＝AB2，∴AF2+4AF2＝102，解得AF＝25，∴BF＝45，∵OB＝OF，CF＝CB，∴点O、C在BF的垂直平分线上，即OC垂直平分BF，∴FH＝BH=12BF＝2∴OH=12AF∵∠BOH＝∠COB，∴Rt△OBH∽Rt△OCB，∴OB：OC＝OH：OB，即5：OC=5解得OC＝55，∴CH＝OC﹣OH＝45，∵∠AFG＝∠CHG，∠AGF＝∠CGH，∴△AFG∽△CGH，∴FGGH∴FGGH+FG∴FG=13FH在Rt△AFG中，AGFG【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了垂径定理、圆周角定理和切线的判定与性质．7．（2026•甘孜州）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形AFDE是平行四边形，CEAE=【初步感知】（1）如图1，连接BD，CD，则∠1+∠2+∠3＝180度．【变化探寻】（2）如图2，AB＝10，AC＝15，固定点D，当k为何值时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B相等．【深入探究】（3）如图3，固定点D，若移动点B到点B′，则点C随之移动到点C′．①判断线段CC′与BB′的位置关系与数量关系，并说明理由；②在点B处安装一支描图针，在点C处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形L1描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形L2，求图形L2的面积．（用含k的代数式表示）【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）180；（2）k=9（3）①BB'∥CC'，BB'=1如图，连接BC，B'C'，同（1）可得∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°，∴B、C、D，B'、D、C'三点共线，∵F'D∥A'C，∴△B'F'D∽△B'A'C'，∴B'DDC'∵FD∥AC，∴BDDC又∵∠BDB'＝∠CDC'，∴△BB′D∽△CC'D，∴∠DBB'＝∠DCC'，BB'CC'∴BB'∥CC'，BB'=1②2k2．【分析】（1）根据平行四边形的性质可得CEDE=DFBF，AC∥DF，AB∥DE，进而可得∠CED＝∠A＝∠DFB，根据已知可得CEDE=DF（2）设AE＝DF＝x，BF＝y，则CE＝kx，AF＝DE＝ky，证明△EDC∽△AEF，得出k=(xy)2，证明△BFD∽△（3）①连接B'C'，BC，证明△B'F'D∽△B'A'C，△BB'D∽ΔCC′D，根据相似三角形的性质，即可得出结论；②依题意，L1与L2是关于点D的位似图形，且位似比为k，则面积比为k2求得L1的面积，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形AFDE是平行四边形，∴AE＝DF，AF＝DE，AE∥DF，AF∥DE，∴△ABC∽△EDC，△ABC∽△FBD，∴DEAB=CE∴CEDE=AC∴CEDE=DFBF，AC∥DF，∴∠CED＝∠A＝∠DFB，∵CEAE=∴CEAF∴CE∴△CDE∽△DFB，∴∠1＝∠C，∵AC∥DF，∴∠C+∠2+∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°；故答案为：180；（2）∵四边形AFDE是平行四边形，∴AE＝DF，AF＝DE，FD∥AC，设AE＝DF＝x，BF＝y，则CE＝kx，AF＝DE＝ky，∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠B，∴∠AEF∽△ABC，∵DE∥AF，∴∠EDC＝∠B，∠DEC＝∠A，∴∠EDC＝∠AEF，∴△EDC∽△AEF，∴AEDE=AF∴k=(x∵FD∥AC，∴△BFD∽△BAC，∴ACAB∵AB＝10，AC＝15，∴xy∴k=(x∴当k=94时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠（3）①BB'∥CC'，BB'=1如图，连接BC，B'C'，同（1）可得∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°，∴B、C、D，B'、D、C'三点共线，∵F'D∥A'C，∴△B'F'D∽△B'A'C'，∴B'DDC'∵FD∥AC，∴BDDC又∵∠BDB'＝∠CDC'，∴△BB′D∽△CC'D，∴∠DBB'＝∠DCC'，BB'CC'∴BB'∥CC'，BB'=1②由①可得BB'=1依题意，L1与L2是关于点D的位似图形，且位似比为k，则面积比为k2，∵等腰直角三角形L1的边长为2，面积为12∴图形L2的面积为2k2．【点评】本题主要考查了位似图形、相似三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．8．（2026•陕西）问题探究（1）如图①，AD是△ABC的角平分线，若S△ABD：S△ACD＝3：2，则AB：AC的值为32（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D，E在边BC上．若BE•CD＝AB2，求∠DAE的度数；问题解决（3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道．如图③所示，四边形ABCD区域为农田，AQ，DP为小路，小路的出口P，Q分别在农田边界AB，BC上，AQ与DP相交于点M，点M为蓄水池，点B为水源接入口，BM为地下输水管道．根据种植需求，△ADP区域与△ABQ区域的面积之比为25：36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM最短．已知AD∥BC，AB⊥BC，AD＝400m，AB＝480m，BC＝720m，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积．（结果精确到1m2．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计）．【考点】相似形综合题．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）32（2）50°；（3）155077m2．【分析】（1）过点D作DE⊥AB，DG⊥AC，垂足为点E，G，根据角平分线性质定理得到DE＝DG，再由三角形面积公式求解即可；（2）证明△ABE∽△DCA，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；（3）先证明△DAP∽△ABQ，得到∠AMD＝90°，取AD的中点E，连接ME，BE，则AE=12AD=200，则点M的轨迹为以E为圆心，AD为直径的一段圆弧，EM＝AE＝200，故当点B，M，E三点共线时，BM取得最小值，过点M作MF⊥AD交AD，BC于点F，G，然后由△AEM∽△QBM，求出QB＝320，MF=240013，再证明四边形AQCD是平行四边形，最后由S四边形MQCD＝S▱AQCD【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB，DG⊥AC，垂足为点E，G，∵AD是△ABC的角平分线，∴DE＝DG，∴S△ABD∴ABAC故答案为：32（2）∵∠BAC＝80°，AB＝AC，∴∠B=∠C=180°−∠BAC∵BE•CD＝AB2，∴BE•CD＝AB•AC，∴BEAC∴△ABE∽△DCA，∴∠BEA＝∠CAD，∴∠BEA﹣∠EAC＝∠CAD﹣∠EAC，∴∠C＝∠DAE＝50°；（3）∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝90°，∴S△ADP∴APBQ∵ADAB∴APBQ∵∠DAP＝∠ABQ＝90°，∴△DAP∽△ABQ，∴∠ADP＝∠BAQ，∴∠ADP+∠MAD＝∠BAQ+∠MAD＝∠BAD＝90°，∴∠AMD＝90°，取AD的中点E，连接ME，BE，则AE=1∴点M的轨迹为以E为圆心，AD为直径的一段圆弧，EM＝AE＝200，∵BM+ME≥BE，∴BM≥BE﹣ME，∴当点B，M，E三点共线时，BM取得最小值，如图：过点M作MF⊥AD交AD，BC于点F，G，∵∠BAD＝90°，∴BE=A∴此时BM＝BE﹣EM＝520﹣200＝320，∵AD∥BC，MF⊥AD，∴MG⊥BQ，∴四边形ABGF是矩形，∴FG＝AB＝480，∵AD∥BC，∴△AEM∽△QBM，∴AEQB∴200QB∴QB＝320，MF=2400∴CQ＝BC﹣QB＝720﹣320＝400＝AD，∵AD∥BC，∴四边形AQCD是平行四边形，∴S四边形MQCD＝S▱AQCD﹣S△AMD=400×480−1答：当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积为155077m2．【点评】本题考查了相似三角形的性质及判定，四边形的性质等，掌握综合知识是解题的关键．9．（2026•巴中）四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，∠AEF＝90°．【教材重现•提出问题】（1）如图1，AB＝BC，G、E分别是AB、BC的中点，EF交矩形外角的平分线于点F．求证：△AGE≌△ECF．【模型建构•应用意识】（2）如图2，AB＝BC＝4，EF交矩形外角的平分线于点F，延长CF交AD的延长线于点H，求2BE+HF的值．【拓展推广•实践能力】（3）如图3，AB＝mBC，AE＝mEF（m为常数），求CFBE的值（用含m【考点】相似形综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝90°＝∠DCM，∵AB＝BC，G、E分别是AB、BC的中点，∴AG＝BG＝BE＝EC，∴∠BGE＝45°，∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝135°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠EAG＝∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠EAG＝∠FEC，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF=1∴∠ECF＝90°+∠DCF＝135°＝∠AGE，∴△AGE≌△ECF（ASA）；（2）42（3）m2【分析】（1）由题意易得∠B＝∠BCD＝90°＝∠DCM，AG＝BG＝BE＝EC，然后可得∠EAG＝∠FEC，∠ECF＝90°+∠DCF＝135°＝∠AGE，进而问题可求证；（2）在AB上截取一点P，使得BP＝BE，由题意易得∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°＝∠DCN＝∠CDH，AB＝CD＝4，然后可得△APE≌△ECF（ASA），则有PE=CF=2（3）连接AC，AF，由题意易得ABAE=BCEF，则有△ABC∽△AEF，然后可得ABAE=ACAF，∠【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝90°＝∠DCM，∵AB＝BC，G、E分别是AB、BC的中点，∴AG＝BG＝BE＝EC，∴∠BGE＝45°，∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝135°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠EAG＝∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠EAG＝∠FEC，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF=1∴∠ECF＝90°+∠DCF＝135°＝∠AGE，∴△AGE≌△ECF（ASA）；（2）解：在AB上截取一点P，使得BP＝BE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°＝∠DCN＝∠CDH，AB＝CD＝4，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠EAP＝∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠EAP＝∠FEC，∵AB＝BC，BP＝BE，∴AP＝EC，∵∠B＝90°，BP＝BE，∴∠BPE＝45°，PE=2∴∠APE＝180°﹣∠BPE＝135°，∵CF平分∠DCN，∴∠DCF=1∴∠ECF＝90°+∠DCF＝135°＝∠APE，∴△APE≌△ECF（ASA），∴PE=CF=2∵∠CDH＝90°，∠DCH＝45°，∴△DCH是等腰直角三角形，∴CH=2∵CH=CF+FH=2∴2BE+HF=4（3）解：连接AC，AF，如图所示：∵AB＝mBC，AE＝mEF，∴ABBC∴ABAE∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∴△ABC∽△AEF，∴ABAE=ACAF，∠∴ABAC=AEAF，∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC，∠CAF＝∠∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴ABAC∵AB＝mBC，∠B＝90°，∴AC=A∴BECF∴CFBE【点评】本题考查了全等三角形的性质及判定，矩形的性质等，掌握综合知识是解题的关键．10．（2026•齐齐哈尔）综合与实践综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动．已知有公共顶点的矩形ABCD和矩形EBFG，BA＝2，BE＝1，BCBA=BFBE=k．先将矩形EBFG的边BE，BF分别落在矩形ABCD的边BA，BC上，再将矩形EBFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（1）【问题初探】如图1，当k＝1，0°＜α＜90°时，∠AEB与∠CFB的数量关系是∠AEB＝∠CFB，AE与CF的数量关系是AE＝CF；（2）【类比推理】如图2，当k=3，0°＜α＜90°时，试探究AE与CF（3）【深入探究】如图3，当k=3，0°＜α＜360°时，点M为边BC的中点，直线EG交线段BC于点N．若EN＝MN，则CF的长为3或21（4）【拓展延伸】如图4，当k=3，0°＜α＜90°时，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，在线段BE上取点P，使BP=23EQ，连接AP．若△ABP的面积为S，则S的取值范围是【考点】相似形综合题．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）∠AEB＝∠CFB，AE＝CF；（2）CF=3∵四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形，∴∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBF，∵BCBA∴△CBF∽△ABE，∴CFAE∴CF=3（3）3或21；（4）0＜S≤1【分析】（1）证明△ABE≌△CBF（SAS），即可得到∠AEB＝∠CFB，AE＝CF；（2）证明△CBF∽△ABE，得到CFAE=BC（3）分两种情况：点E在BC上方和点E在BC下方，分别画出示意图，讨论求解即可；（4）过点P作PM⊥AB于点M，证明△MPB∽△QBE，推出PM=23EQ⋅BQ，根据（BQ﹣EQ）2≥0，推出2EQ•BQ≤BQ2+EQ2；由勾股定理得BQ2+EQ2＝BE2＝12＝1，则可证明EQ⋅BQ≤【解答】解：（1）当k＝1时，则BCBA∴BC＝BA，BF＝BE，∵四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形，∴∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠AEB＝∠CFB，AE＝CF，故答案为：∠AEB＝∠CFB，AE＝CF；（2）CF=3∵四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形，∴∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBF，∵BCBA∴△CBF∽△ABE，∴CFAE∴CF=3（3）如图所示，当点E在BC上方时，连接AN，过点B作BT⊥AN于点T，∵BCBA∴BC=3∵点M为BC的中点，∴BM=CM=1∵四边形EBFG是矩形，∴∠BEG＝∠EGF＝90°，设EN＝MN＝x，则BN=BM−MN=3在Rt△EBN中，由勾股定理得BN2＝EN2+BE2，∴(3∴x=3∴BN=233∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AN=A∵BT⊥AN，∴S△ABN∴12∴BT＝1，∴TN=B∵BN＝BN，BE＝BT＝1，EN=TN=3∴△BEN≌△BTN（SSS），∴∠BNE＝∠BNT，∴E、N、T三点共线，即点E与点T重合；∴AE=AN−EN=3由（2）得CF=3如图所示，当点E在BC下方时，∵四边形EBFG是矩形，∴∠BEG＝∠EBF＝90°，∴∠BEN＝180°﹣∠BEG＝90°，同理可得EN=3∴tan∠EBN=EN∴∠EBN＝30°；如图所示，过点E作ET⊥AB交AB的延长线于点T，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠EBT＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴BT=BE⋅cos∠EBT=12，∴AT=AB+BT=5∴AE=A∵∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABC+∠EBC＝∠EBF+∠EBC，∴∠ABE＝∠CBF，又∵BCBA∴△ABE∽△CBF，∴CFAE∴CF=3综上所述，CF的长为3或21，故答案为：3或21；（4）如图所示，过点P作PM⊥AB于点M，∵PM⊥AB，EQ⊥BC，∴∠PMB＝∠BQE＝90°，∴∠MBP+∠MPB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠MBP+∠QBE＝90°，∴∠MPB＝∠QBE，∴△MPB∽△QBE，∴PMBQ∴PM=BP⋅BQ∵PB=2∴PM=2∵（BQ﹣EQ）2≥0，∴BQ2+EQ2﹣2EQ•BQ≥0，∴2EQ•BQ≤BQ2+EQ2；在Rt△EBQ中，由勾股定理得BQ2+EQ2＝BE2＝12＝1，∴2EQ•BQ≤BQ2+EQ2＝1，∴EQ⋅BQ≤1∵S=1∴S≤2又∵S＞0，∴0＜S≤1故答案为：0＜S≤1【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．11．（2026•广西）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度MN．如图2，MN所在直线垂直地面于点A．甲把光源放置于点B处，BC垂直地面于点C，点A，C在同一水平线上．乙沿CA方向移动平面镜，移到点D时，从点B发出的光线反射到点M处；移到点E时，从点B发出的光线反射到点N处．经测量：BC＝1.5米，AC＝12米，CD＝2米，DE＝2米．记点D，E处的法线分别为SD，TE，即SD⊥AC，TE⊥AC，根据光的反射定律，∠MDS＝∠BDS，∠NET＝∠BET．（1）求证：∠MDA＝∠BDC；（2）求此公益广告牌的高度MN．【考点】相似三角形的应用；矩形的性质．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】（1）证明：∵SD⊥AC，∴∠SDA＝∠EDC＝90°，∴∠SDM+∠MDA＝∠SDB+∠BDC＝90°，∵∠MDS＝∠BDS，∴∠MDA＝∠BDC；（2）此公益广告牌的高度MN约为4.5m．【分析】（1）根据等角的余角相等，即可解答；（2）证明△BCE∽△NAE，△BCD∽△MAD，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵SD⊥AC，∴∠SDA＝∠EDC＝90°，∴∠SDM+∠MDA＝∠SDB+∠BDC＝90°，∵∠MDS＝∠BDS，∴∠MDA＝∠BDC；（2）解：∵TE⊥AC，∴∠TEA＝∠TEC＝90°，∴∠TEN+∠NEA＝∠TEB+∠BEC＝90°，∵∠NET＝∠BET，∴∠BEC＝∠NEA，∵BC⊥AC，MA⊥AC，∴∠BCA＝∠MAC＝90°，∴△BCE∽△NAE，∴BCCE∴1.54解得：NA＝3，∵∠MDA＝∠BDC，∴△BCD∽△MAD，∴BCCD∴1.52解得：MA＝7.5，∴MN＝MA﹣AN＝7.5﹣3＝4.5（m），∴此公益广告牌的高度MN约为4.5m．【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．12．（2026•上海）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE交AC于点F．（1）若AF＝2CF，求证：点E是CD的中点；（2）若∠ABE的角平分线BH交AC于点G，交AD于点H，求证：CD•BG＝BH•BF．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵CE∥AB，∴△CEF∽△ABF，∴CEAB∴CE=12AB=∴点E是CD的中点；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB，∵∠EBC＝∠CAB，∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC，∵∠AFB＝∠EBC+∠ACB，∠BAH＝∠CAB+∠HAG，∴∠BAH＝∠AFB，∵BH平分∠ABE，∴∠ABH＝∠FBG，∴△ABH∽△FBG，∴AB：BF＝BH：BG，∴AB•BG＝BH•BF．∵AB＝CD，∴CD•BG＝BH•BF．【分析】（1）先根据菱形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△CEF∽△ABF，接着利用相似三角形的性质得到CE=12AB，所以CE=（2）先根据菱形的性质得∠CAB＝∠HAG＝∠ACB，再利用∠EBC＝∠CAB得到∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC，接着证明∠BAH＝∠AFB，由于BH平分∠ABE，所以∠ABH＝∠FBG，于是可判断△ABH∽△FBG，然后根据相似三角形的性质得到AB•BG＝BH•BF．于是利用AB＝CD得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵CE∥AB，∴△CEF∽△ABF，∴CEAB∴CE=12AB=∴点E是CD的中点；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB，∵∠EBC＝∠CAB，∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC，∵∠AFB＝∠EBC+∠ACB，∠BAH＝∠CAB+∠HAG，∴∠BAH＝∠AFB，∵BH平分∠ABE，∴∠ABH＝∠FBG，∴△ABH∽△FBG，∴AB：BF＝BH：BG，∴AB•BG＝BH•BF．∵AB＝CD，∴CD•BG＝BH•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质．13．（2026•江西）如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】BC=25【分析】根据DE∥BC，证明△ABC∽△ADE，进而得出ABAD【解答】解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE，∴ABAD根据题意AD＝3，AB＝5，DE＝5，代入得53∴BC=25【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．14．（2026•眉山）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，对角线AC平分∠BAD交BD于点E，点F在AB的延长线上，且满足∠BCF＝∠BAC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若CE＝3，BE＝5，求⊙O的半径．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BCF＝∠BAC，∴∠BCF＝∠OCA，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°，又∵点C在⊙O上，∴CF是⊙O的切线；（2）103【分析】（1）连接OC，由OA＝OC，得到∠OAC＝∠OCA，然后由圆周角定理得到∠ACB＝90°，再结合已知条件进行等量代换证明∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°即可；（2）先由勾股定理求解BC，然后根据圆周角定理得到CD＝CB＝4，再由△DEC∽△AEB求出AB，即可求解半径．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BCF＝∠BAC，∴∠BCF＝∠OCA，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°，又∵点C在⊙O上，∴CF是⊙O的切线；（2）解：由（1）得∠ACB＝90°，∵CE＝3，BE＝5，∴BC=B∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAB，∴CD=∴CD＝CB＝4，∵∠BAC＝∠BDC，∠ABD＝∠ACD，∴△DEC∽△AEB，∴DCAB∴4AB∴AB=20∴OA=1∴⊙O的半径为103【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．15．（2026•湖南）【问题背景】如图1，给定平行四边形ABCD，点P是AD边上不与A，D重合的一动点．如图2，作△XYZ，使得XY＝AD，且当点P运动时，保持∠X＝∠ABP，∠Y＝∠DCP．【动手操作】将△XYZ拼接于平行四边形ABCD的上方：操作一：如图3，使点X与A重合，点Y与D重合，将此时的Z点记为Q，作QS∥AB交AD于点S；操作二：如图4，使点X与D重合，点Y与A重合，将此时的Z点记为R，连接RP．【问题解决】（1）如图1，当∠BPC＝80°时，∠APB+∠DPC＝100°；（2）如图3，从结论①，②中选一个给出证明：①△ASQ∽△BAP，②△DSQ∽△CDP；（3）如图3，在点P运动过程中，探究线段AP与线段DS的数量关系，并说明理由；（4）如图4，设AD＝4，AB＝3，当点P运动时，求PR+PD的最大值．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题．【答案】（1）100；（2）选择①△ASQ∽△BAP，证明：∵QS∥AB，∴∠ASQ＝∠BAP，又∵∠QAS＝∠ABP，∴△ASQ∽△BAP；选择②△DSQ∽△CDP，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，又∵QS∥AB，∴QS∥CD，∴∠QSD＝∠PDC，又∵∠QDS＝∠DCP，∴△DSQ∽△CDP；（3）AP＝DS，理由：∵△ASQ∽△BAP，△DSQ∽△CDP，∴SQAP=ASAB∵AB＝CD，∴SQDP=由①得AB•SQ＝AP•AS，由②得AB•SQ＝DP•DS，∴AP•AS＝DP•DS，∴AP•（AD﹣SD）＝（AD﹣AP）•DS，∴AP•AD﹣AP•SD＝AD•DS﹣AP•DS，∴AP•AD＝AD•DS，∴AP＝DS；（4）4912【分析】（1）根据平角定义求解即可；（2）选择①：根据平行线的性质得出∠ASQ＝∠BAP，结合∠QAS＝∠ABP即可得证；选择②：根据平行四边形的性质和平行线的传递性得出QS∥CD，根据平行线的性质得出∠QSD＝∠PDC，结合∠QDS＝∠DCP即可得证；（3）根据（2）中：△ASQ∽△BAP，△DSQ∽△CDP，可得出AB•SQ＝AP•AS，AB•SQ＝DP•DS，则AP•AS＝DP•DS，变形为AP•（AD﹣SD）＝（AD﹣AP）•DS，则AP•AD﹣AP•SD＝AD•DS﹣AP•DS，得出AP•AD＝AD•DS，然后根据等式的性质即可得出结论；（4）根据题意，得图3中△ADQ和图4中△DAR全等，得出DQ＝AR，由图3中△DSQ﹣△CDP，得出QDPC=DSCD，结合AP＝DS，得出ARPC=APCD，则可证明△ARP∽△CPD，设PD＝x，则【解答】解：（1）∵∠BPC＝80°，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠BPC＝100°，故答案为：100；（2）选择①△ASQ∽△BAP，证明：∵QS∥AB，∴∠ASQ＝∠BAP，又∵∠QAS＝∠ABP，∴△ASQ∽△BAP；选择②△DSQ∽△CDP，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，又∵QS∥AB，∴QS∥CD，∴∠QSD＝∠PDC，又∵∠QDS＝∠DCP，∴△DSQ∽△CDP；（3）AP＝DS，理由：∵△ASQ∽△BAP，△DSQ∽△CDP，∴SQAP=ASAB∵AB＝CD，∴SQDP=由①得AB•SQ＝AP•AS，由②得AB•SQ＝DP•DS，∴AP•AS＝DP•DS，∴AP•（AD﹣SD）＝（AD﹣AP）•DS，∴AP•AD﹣AP•SD＝AD•DS﹣AP•DS，∴AP•AD＝AD•DS，∴AP＝DS；（4）根据题意，得图3中△ADQ和图4中△DAR全等，∴DQ＝AR，∵图3中△DSQ∽△CDP，∴QDPC由（3）知：AP＝DS，∴ARPC又∵∠RAP＝∠DCP，∴△ARP∽△CPD，∴ARPC设PD＝x，则AP＝4﹣x，∴4−x3解得PR=4x−∴PR+PD==−1=−1∴当x=72时，PR+PD取最大值为【点评】本题主要考查了平角定义，平行线的性质，平行四边形的性质，平行线的传递性，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．16．（2026•烟台）【尝试发现】（1）如图1，△ABC∽△ADE，ABAC=23．当点D，E分别在边AB和AC上时，BDCE【变式探究】（2）如图2，将（1）中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE，BD，AC与BD交于点O，CE与BD的延长线交于点F．①求BDCE②写出∠BAC和∠BFC的数量关系并证明．【联系拓广】（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在边BC上且BE＝2，连接AE．F是直线BC上的动点，作△AFG∽△ABE，连接CG，EG．①当点F在线段CB的延长线上，且EG＝EA时，求EF的长；②当CG的长度最小时，直接写出此时BF的长．【考点】相似形综合题．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）23（2）①23②∠BAC＝∠BFC，证明如下：连接AF，由①得△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，即∠ABF＝∠ACF，∴点A、B、C、F四点共圆，∴∠BAC＝∠BFC；（3）①5；②3613【分析】（1）由相似三角形的性质可得ADAE=ABAC=23，从而可得AD=23AE，AB=23AC（2）①由相似三角形的性质可得ABAD=ACAE，∠BAC＝∠DAE，从而得出ABAC=ADAE=②连接AF，由①得△BAD∽△CAE，由相似三角形的性质得出∠ABF＝∠ACF，即点A、B、C、F四点共圆，最后再由圆周角定理即可得证；（3）①由矩形的性质得∠ABC＝90°，由勾股定理得AE=13，由相似三角形的性质得∠AFG＝∠ABC＝90°，∠FAG＝∠BAE，∠AGF＝∠AEB，证明点A、F、G、E四点共圆，求出∠AEG＝90°，从而可得AG=26，由正切的定义得出tan∠FAG=FGAF=23，设FG＝2x，则AF②由主动点F在直线BC上，得出点G在直线EG上运动，当CG1⊥EG时，CG的长度最小，为CG1，此时点F在F1处，由①得∠AEG＝90°，结合正切的定义得出CG1EG1=23，设CG1EG1=23，则EG1＝3a，由勾股定理求得EG1=3a=121313，CG【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE，∴ADAE∴AD=23AE∵点D，E分别在边AB和AC上，∴BD＝AB﹣AD，CE＝AC﹣AE，∴BDCE故答案为：23（2）①∵△ABC∽△ADE，∴ABAD=ACAE，∠∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，ABAC∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴BDCE②∠BAC＝∠BFC，证明如下：连接AF，由①得△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，即∠ABF＝∠ACF，∴点A、B、C、F四点共圆，∴∠BAC＝∠BFC；（3）①∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∴AE=A∵△AFG∽△ABE，∴∠AFG＝∠ABC＝90°，∠FAG＝∠BAE，∠AGF＝∠AEB，∵点F在线段CB的延长线上，∴∠AGF＝∠AEF，∴点A、F、G、E四点共圆，∴∠AFG+∠AEG＝180°，∴∠AEG＝90°，∵EG=EA=13∴AG=A∵∠FAG＝∠BAE，∴tan∠FAG=tan∠BAE=BE∴tan∠FAG=FG设FG＝2x，则AF＝3x，由勾股定理得AF2+FG2＝AG2，∴(3x)∴x=2∴AF=3x=32∴BF=A∴EF＝BF+BE＝5；解法2：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∴AE=A∵△AFG∽△ABE，∴∠AFG＝∠ABC＝90°，∠FAG＝∠BAE，∠AGF＝∠AEB，∵点F在线段CB的延长线上，∴∠AGF＝∠AEF，∴点A、F、G、E四点共圆，∴∠AFE＝∠AGE，∵AG为直径，∴∠AEG＝90°，当AE＝GE时，∠AGE＝∠AFE＝45°，∵FB＝AB＝3，∴FE＝FB+BE＝5；②∵主动点F在直线BC上，∴从动点G必须在某一直线上，∵当点F在点B时，点G在点E的位置，∴点G在直线EG上运动，当CG1⊥EG时，CG的长度最小，为CG1，此时点F在F1处，由①得∠AEG＝90°，∴∠AEB+∠BEG＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BEG＝∠BAE，∵∠BEG＝∠CEG1，∴∠BAE＝∠CEG1，∴tan∠CEG∴CG设CG1EG1=由勾股定理得CG∴（2a）2+（3a）2＝（6﹣2）2，解得a=4∴EG1=3a=作G1M⊥BC于M，∵S△C∴G1∴CM=C∴BM=BC−CM=62∵ΔAF1G1∽△ABE，∴∠AF1G1＝∠ABE＝90°，∴∠G1ME＝∠ABE＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠G1EM＝90°，∴∠BAE＝∠G1EM，∴△ABF1∽△F1MG1，∴ABB∴3B∴3B∴BF1=3613或BF1综上所述，当CG的长度最小时，此时BF的长为3613【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的性质及判定，掌握综合知识是解题的关键．17．（2026•南充）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AP＝AB．【初步感知】（1）如图1，点P在线段AC上，若OP＝2CP，AC＝6，求AB的长．【深入探究】（2）如图2，点P在线段CD上，若CP＝DP，设AB长为x，AC长为y，求y与x之间的函数关系式．【拓展运用】（3）如图3，点P在线段CD上，将△ADP沿直线AP折叠，若点D落在BC边上，求DPDC【考点】相似形综合题．【专题】综合题；几何直观；推理能力．【答案】（1）AB的长为5；（2）y与x之间的函数关系式为y=62x（3）DPDC【分析】（1）先根据菱形的性质求出OC＝OA＝3，进而求出OP＝2，最后用线段的和求出AP，即可得出答案；（2）过点P作PE⊥AC于点E，根据菱形的性质表示出CP=12x，OC=12y，CE=14y，进而表示出AE=AC−CE=34（3）设AP交BD于点F，将△ADP沿直线AP折叠，使点D落在BC边上的D′，连接PD′，AD′得出AD＝AD′＝AP＝AB，∠D′AP＝∠DAP，进而得出∠DAP＝∠D′AP＝∠BAD′，由AB∥CD，得出∠APD＝∠PAB＝2∠DAP，再根据三角形的内角和定理求出∠DAP＝36°，∠APD＝∠ADP＝72°，判断出∠PDF＝∠DAP＝∠ADF，进而得出DF＝AF＝PD，再判断出△PDF∽△PAD，得出DP2＝AP•FP，设DP＝m，DC＝n，则AP＝n，FP＝n﹣m，得出m2＝n（n﹣m）即m2+mn﹣n2＝0，最后求解即可得出mn【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴OC＝OA＝3，∵OP＝2CP，∴OP＝2，∴AB＝AP＝OP+OA＝5；（2）过点P作PE⊥AC于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴PE∥BD，∵CP＝DP，AB＝x，AC＝y，∴CP=12x，OC=∴AE=AC−CE=3在Rt△PCE中，PE在Rt△PAE中，PE即(x整理得y2即y=62x∴y与x之间的函数关系式为y=62x（3）如图，设AP交BD于点F，将△ADP沿直线AP折叠，使点D落在BC边上的D′，连接PD′，AD′，则AD＝AD′＝AP＝AB，∠D′AP＝∠DAP，又∠ABD′＝∠ADP，∴∠ADP＝∠APD＝∠APD′＝∠AD′P＝∠AD′B＝∠ABD′，∴∠DAP＝∠D′AP＝∠BAD′，∵AB∥CD，∴∠APD＝∠PAB＝2∠DAP．∵∠PDA+∠APD+∠DAP＝180°，∴5∠DAP＝180°，∴∠DAP＝36°，∠APD＝∠ADP＝72°，∴∠ADF=∠PDF=1∴∠PDF＝∠DAP＝∠ADF，∴∠DPF＝∠DFP＝72°，∴DF＝AF＝PD．又∠DPF＝∠APD，∴△PDF∽△PAD．∴DPAP∴DP2＝AP•FP，设DP＝m，DC＝n，则AP＝n，FP＝n﹣m，∴m2＝n（n﹣m），∴m2+mn﹣n2＝0，即(m∴mn=5∴DPDC【点评】此题是相似形综合题，主要考查菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出正确的辅助线．18．（2026•安徽）如图1，在▱ABCD中，CD＝2AD，边CD的中点为M，连接AM．（1）求证：∠C＝2∠AMD；（2）如图2，MN⊥BC，垂足为N．点P在线段AM上，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E、F．（i）求证：PF﹣PE＝MN；（ii）若PF＝4PE，求APPM【考点】相似形综合题．【答案】（1）∵在▱ABCD中，∴CD∥AB，∠C＝∠DAB，∴∠DMA＝∠MAB，∵CD＝2AD，边CD的中点为M，∴DM=1∴∠DMA＝∠DAM，∴∠DAB＝∠DAM+∠MAB＝2∠AMD，∴∠C＝2∠AMD；（2）（ⅰ）作MG⊥PF于G，∵MN⊥BC，PF⊥BC，∴∠MNF＝∠NFP＝∠MGF＝90°，∴四边形MNFG为矩形，∴MN＝GF，∠GMN＝90°，∴∠NMC+∠C＝90°，∠NMC+∠EMG＝90°，∴∠C＝∠EMG，∴∠EMG＝2∠EMA，∴∠EMA＝∠GMA，∵PE⊥CD，∴∠MEP＝∠MGP＝90°，∵MP＝MP，∴△MEP≌△MGP（AAS），∴PE＝PG，∵PF﹣PG＝GF，∴PF﹣PE＝MN；（ⅱ）2．【分析】（1）由题意，AD＝DM，AB∥CD，则可证∠DMA＝∠DAM＝∠MAB，则∠C＝∠DAB＝2∠AMD；（2）（i）作MG⊥PF于G，可证∠EMA＝∠GMA，则可证明△MEP≌△MGP，所以PE＝PG，通过证明四边形MNFG为矩形，得MN＝GF，则题目可证；（ⅱ）作MG⊥PF于G并延长交AB于Q，过A作AH⊥MG交MG于H，因为PF＝4PE，设PE＝a，则PG＝a，PF＝4a，FG＝MN＝3a，，可证明△AHQ≌△MNC，所以AH＝MN＝3a，且可证PG∥AH，则所以△MPG∽△MAH，所以MPMA【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，∴CD∥AB，∠C＝∠DAB，∴∠DMA＝∠MAB，∵CD＝2AD，边CD的中点为M，∴DM=1∴∠DMA＝∠DAM，∴∠DAB＝∠DAM+∠MAB＝2∠AMD，∴∠C＝2∠AMD；（2）（i）证明：作MG⊥PF于G，∵MN⊥BC，PF⊥BC，∴∠MNF＝∠NFP＝∠MGF＝90°，∴四边形MNFG为矩形，∴MN＝GF，∠GMN＝90°，∴∠NMC+∠C＝90°，∠NMC+∠EMG＝90°，∴∠C＝∠EMG，∴∠EMG＝2∠EMA，∴∠EMA＝∠GMA，∵PE⊥CD，∴∠MEP＝∠MGP＝90°，∵MP＝MP，∴△MEP≌△MGP（AAS），∴PE＝PG，∵PF﹣PG＝GF，∴PF﹣PE＝MN；（i）解：作MG⊥PF于G并延长交AB于Q，过A作AH⊥MG交MG于H，由（i）知，MG∥NF，∵在▱ABCD中，∴AD∥BC，AB∥CD，∠C＝∠DAB，∴MQ∥AD，∴∠DAB＝∠AQH，∴∠C＝∠AQH，∵MQ∥AD，AB∥CD，∴四边形AQMD为平行四边形，∴AQ＝DM，∵M为边CD的中点，∴CM＝DM＝AQ，又∠H＝∠MNC＝90°，∴△AHQ≌△MNC（AAS），∴AH＝MN，∵PF＝4PE，设PE＝a，则PF＝4a，PG＝a，FG＝MN＝3a，∴MN＝AH＝3a，∵MH⊥PF，MH⊥AH，∴PG∥AH，∴△MPG∽△MAH，∴MPMA∴MPPA即APPM【点评】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．19．（2026•遂宁）综合与实践——探索五角星的奥秘节日前夕，有时需要