小学四年级数学下册《构建最值模型 优化解题策略》教学设计

小学四年级数学下册《构建最值模型优化解题策略》教学设计一、教材与学情分析（一）教材地位与作用【基础】【重要】本课是西师大版四年级下册第二单元“乘除法的关系和乘法运算律”中的第8课时，隶属于“问题解决”板块。本单元的核心是引导学生从感性认识上升到理性认识，理解乘除法各部分间的关系，并运用乘法运算律进行简便计算。而例3——“票房收入问题”，则是将本单元的知识（乘法意义、数量关系、运算律的简便思想）与生活实际紧密联系的综合运用。它不仅仅是一道应用题，更是一类数学模型——在总价（总收入）固定的情况下，探讨数量（人数）与单价（票价）之间的极值关系。这类问题承前启后，既是对整数乘除法意义的深化，又为后续学习小数、分数中的最优方案、分段计费等复杂问题奠定了思维基础，是培养学生模型意识和应用意识的重要载体。（二）学情分析四年级学生已经具备了初步的分析问题和解决问题的能力，能够熟练进行多位数乘除法的计算。然而，他们的思维仍以具体形象思维为主，逻辑抽象思维正处于起步阶段。对于“票房收入2300元，求观众最少有多少人”这类问题，学生容易直接套用“总价÷单价=数量”的单一模式，陷入思维定势，难以自发地理解“人数最少”背后所隐含的“贵票尽量多卖”的优化思想。因此，本课的教学难点在于如何引导学生透过“问题”的表象，抓住“最值”的本质，将生活经验（想省钱就买便宜的，想少人就买贵的）转化为数学思维（在总价固定时，数量与单价成反比关系），并能够清晰、有条理地表达自己的思考过程。二、教学目标与核心素养（一）教学目标1.【知识与技能】结合具体情境，掌握“已知总收入及两种不同单价，求最少（或最多）人数”这类问题的结构特征和解题方法。能熟练、准确地列式解答，并对结果的合理性进行检验。2.【过程与方法】经历“阅读理解—分析解答—回顾反思”的问题解决全过程。通过独立思考、小组合作、对比辨析，学会从问题中的关键词（如“最少”“最多”）出发，运用“逆推”和“优化”的策略寻找解题突破口，构建“总价固定情况下的最值模型”。3.【情感态度与价值观】在解决实际问题的过程中，体会数学与生活的紧密联系，感受数学思维的严谨性与逻辑美。通过挑战性问题激发探究欲望，培养面对复杂问题时理性分析、有序思考的良好品质，增强学好数学的自信心。（二）核心素养落点本课重点发展学生的以下核心素养：1.【模型意识】引导学生从具体的票房问题中抽象出“总价一定，单价与数量成反比”的数学模型。2.【应用意识】鼓励学生运用所建立的模型去解释和解决生活中的类似问题，如购物方案、租车方案等。3.【推理能力】通过对“最少”“最多”含义的层层剖析，培养学生由果索因的逆向推理能力和严谨的逻辑思维能力。三、教学重难点（一）教学重点掌握“已知总收入及两种单价，求最少（或最多）数量”问题的解题策略：抓住关键词，确定优先选择的商品（票价高的或低的），然后进行计算和调整。（二）教学难点【难点】【高频考点】理解“人数最少”就是要优先考虑单价高的甲票卖得最多；“人数最多”就是要优先考虑单价低的乙票卖得最多。能清晰地解释每一步计算的实际意义，特别是为什么要先用总收入减去优先票种的总收入，再除以另一种票的单价。四、教学准备多媒体课件（包含例3情境图、变式练习题、拓展题）、学习任务单（包含核心问题、解题思路引导、验算过程）。五、教学实施过程（一）情境导入，激活经验（预计5分钟）1.生活引入：同学们，你们平时和家人去看过电影吗？买票时，你们会关心什么？（票价、座位）那如果你们是电影院的经理，你们最关心什么？（票房收入、观众人数）非常好！经理既关心收入，也关心人气。今天我们就来帮经理解决一个有关票房收入的数学难题。2.铺垫孕伏：我们先来做一个快速反应的思维游戏。请看题（PPT出示）：1.3.王阿姨和李阿姨都带了同样多的钱去买牛奶。王阿姨买了5盒，李阿姨却买了8盒。这可能是什么原因？（预设：李阿姨买的牛奶便宜，单价低；王阿姨买的贵，单价高。）2.4.追问：在总钱数相同的情况下，要想买到尽可能多的盒数，应该怎么买？要想买的盒数尽可能少，又该怎么买？（预设：买得多就买便宜的，买得少就买贵的。）3.5.【基础】这个简单的道理就是我们今天解题的关键钥匙。（二）合作探究，建构模型（预计20分钟）1.【第一步】阅读与理解——提取信息，明确问题1.2.（PPT出示例3情境图：小剧院，甲票30元/人，乙票10元/人，甲票座位50个，乙票座位100个。文字信息：本场票房收入为2300元。）2.3.请同学们自由读题，同桌互相说说，你读懂了什么？3.4.预设学生汇报：1.4.5.已知条件：剧院有两种票，甲票30元一张，有50个座位；乙票10元一张，有100个座位。这一场总共卖了2300元钱。2.5.6.要解决的问题：本场观众最少有多少人？6.7.【重要】聚焦关键词：请大家齐读问题，你认为这个问题中哪个词语最关键？（“最少”）在“最少”下面画个重重的点。带着这个问题，我们再来看一个隐藏信息：如果票全部卖完，能收入多少钱？请大家算一算。（预设：50×30+100×10=1500+1000=2500元。）实际收入2300元，比2500元少，说明了什么？（预设：说明票没有全部卖完，有空座位。）这为后面的思考做好了铺垫。8.【第二步】分析与解答——剖析“最少”，探寻思路1.9.独立思考：请大家结合刚才“买牛奶”的经验，静静地想一想：“观众最少”是什么意思？在总票房收入固定为2300元的情况下，怎样才能使人数最少？把你的想法简单地写在任务单的“我的思路”一栏。2.10.小组交流：把你的想法在四人小组里说一说。听的同学要思考，他的想法有道理吗？你还有什么补充？3.11.全班汇报，碰撞思维（这是突破难点的关键环节）：1.4.12.小组1代表：我们觉得，要想人少，就得让买贵票的人尽可能多。因为一张甲票30元，顶三张乙票，卖一张甲票比卖三张乙票能更快地凑够2300元，而且用的人还少。2.5.13.小组2代表：我们同意。票价高的票卖得越多，总人数就会越少。所以应该先把50张甲票全部卖光。6.14.教师引导，画龙点睛【非常重要】：1.7.15.大家的分析非常到位！的确，因为在总价（2300元）固定的前提下，要想总人数最少，唯一的办法就是让单价最高的那种票卖出去尽可能多，也就是把50张甲票全部卖完。（板书核心策略：人数最少→高价票（甲票）尽量多卖）2.8.16.现在，思路清晰了，我们该如何列式计算呢？9.17.尝试列式，汇报交流：1.10.18.请学生在任务单上独立列式解答。2.11.19.教师巡视，选取典型解法进行展示。3.12.20.解法一（常规思路）：1.4.13.21.50×30=150050\times30=150050×30=1500（元）（先算出50张甲票卖完的收入）2.5.14.22.2300−1500=800=8002300−1500=800（元）（剩下的钱就是卖乙票得到的）3.6.15.23.800÷10=80800\div10=80800÷10=80（张）（乙票卖了80张）4.7.16.24.80+50=13080+50=13080+50=130（人）（总人数=甲票人数+乙票人数）8.17.25.请板演的学生说一说每一步求的是什么。教师追问：“为什么第一步就要算50张甲票的钱？”（呼应前面的思路：因为要人最少，必须先把甲票全卖完。）9.18.26.解法二（假设调整法，视学情而定，可作为拓展思维）：1.10.19.27.50×30+100×10=250050\times30+100\times10=250050×30+100×10=2500（元）（假设全卖完的总收入）2.11.20.28.2500−2300=200=2002500−2300=200（元）（实际比全卖完少了200元）3.12.21.29.为什么会少200元？说明有些座位空着。空一个甲票座位就少30元收入，空一个乙票座位就少10元收入。要想人最少，空着的座位应该是哪种票的？（预设：应该空便宜票的座位，因为空一个乙票座位少10元，同样少200元收入，需要空20个乙票座位，只损失了20个人；如果空甲票座位，空7个少210元太多了，不行）4.13.22.30.200÷10=20200\div10=20200÷10=20（个）（空20个乙票座位）5.14.23.31.50+100−20=13050+10020=13050+100−20=130（人）（总座位数减去空座）15.24.32.通过两种方法的对比，让学生进一步明确，无论哪种方法，核心思想都是“尽量多卖贵的，不卖或少卖便宜的”。33.【第三步】回顾与反思——检验成果，拓展变式1.34.检验：我们的答案“130人”正确吗？可以怎样检验？1.2.35.预设：用人数反过来算总钱数。50×30+80×10=1500+800=230050\times30+80\times10=1500+800=230050×30+80×10=1500+800=2300（元），与题目相符。而且130人没有超过总座位150人，空20个座位，合理。3.36.变式训练【热点】：1.4.37.教师：刚才我们解决了“最少有多少人”的问题。现在，我们把问题改一下（PPT出示）：如果还是这个小剧院，本场票房收入还是2300元，那么，本场观众最多有多少人？2.5.38.学生独立思考，然后小组内快速交流思路。3.6.39.汇报：人数最多，就要让便宜票（乙票）尽量多卖，也就是把100张乙票全部卖完。列式：1.4.7.40.100×10=1000100\times10=1000100×10=1000（元）2.5.8.41.2300−1000=1300=13002300−1000=1300（元）（剩下的钱卖甲票）3.6.9.42.1300÷30=431300\div30=431300÷30=43（张）……10（元）（重点讨论余数）7.10.43.【难点】【高频考点】引导学生讨论：有余数怎么办？1300÷30=431300\div30=431300÷30=43（张）余10元，这10元能再买一张甲票吗？（不能，甲票30元一张）。那这10元是怎么回事？说明在卖完100张乙票后，剩下的1300元不够再卖44张甲票，只能卖43张甲票，还剩10元。这10元说明什么？说明我们刚才“把100张乙票全卖完”的假设导致总收入比2300元少了10元？不对，我们算的是剩下的钱，应该是卖完100张乙票得了1000元，目标2300元，还需要1300元，这1300元全卖甲票，能卖43张，用去1290元。这样总共卖了100张乙票和43张甲票，总收入1000+1290=22901000+1290=22901000+1290=2290元，离2300元还差10元。这10元怎么办？是不是我们的思路有问题？8.11.44.再次引导学生思考：要想人数最多，必须让便宜的乙票尽量多卖，是不是非得先把100张乙票全部卖光？我们能不能调整一下？如果少卖1张乙票（即卖99张乙票），就多出10元的“预算”和1个“座位”，把这10元和刚才剩下的10元凑在一起（20元），再加上调整出的1个乙票座位，也买不起一张甲票（还需10元）。继续调整？这个过程有些复杂，但我们要抓住本质：人数最多，就是在不超过总座位数的前提下，尽可能地多卖便宜的票。这道题经过精确计算，最多人数应为100+43=143100+43=143100+43=143人。空余的10元和空余的7个甲票座位（50−43=75043=750−43=7）以及1个乙票座位（如果调整）构成了复杂的关系。但此题的核心是让学生初步感知“最多”与“最少”是对立的策略。教师在此处要点到为止，重点对比两个问题的解题方向：求最少，先考虑贵的；求最多，先考虑便宜的。对于有余数的复杂情况，可以布置为课后思考题。（三）巩固练习，内化模型（预计10分钟）1.【基础练习】（仿例练习）1.2.题目：阳光小学组织学生去春游。大客车每辆可坐45人，租金500元；面包车每辆可坐9人，租金100元。现有950元租车费，全部用完。请问，最多可以有多少人去春游？2.3.学生独立完成，汇报时重点说清：要求人数最多，就要尽量租便宜的面包车，还是尽量租坐得少但人均便宜的车？此题需要引导学生分析“人均成本”，建立更复杂的最优观念。但基于本课重点，可以简化处理，直接引导：人数多，就是让能坐人的车尽可能多地拉人，但受总钱数限制，我们要算算哪种车能让每一分钱拉的人更多？引导学生计算大客车人均约11.1元，面包车人均约11.1元，其实差不多。但为了简化，本题数据设计为使计算无余数。950÷100=9950\div100=9950÷100=9（辆）……50元，50元不够租一辆大客车，所以最多租9辆面包车？人数9×9=819\times9=819×9=81人。如果租一辆大客车500元，剩下450元租4辆面包车（400元）剩50元，总人数45+36=8145+36=8145+36=81人。结果一样。通过此题，让学生明白，模型不是死套公式，要根据实际情况灵活分析。4.【变式练习】（情境迁移）1.5.题目：水果店运来一批苹果，大箱每箱装24千克，小箱每箱装16千克。现有总重量368千克的苹果需要装箱（每箱必须装满），要求使用的箱子总数最少。大箱和小箱应各用多少个？2.6.引导学生分析：箱子总数最少→尽量用装得多的箱子（大箱）。列式：368÷24=15368\div24=15368÷24=15（箱）……8（千克）。余下的8千克怎么办？不能装一小箱（小箱装16千克）。说明全用大箱不行，必须减少大箱数量，腾出空间让小箱正好装满。这进入了更深的“调整”阶段。教师可引导学生尝试：如果用14个大箱，装14×24=33614\times24=33614×24=336千克，剩下368−336=32=32368−336=32千克，正好装2个小箱。总箱子14+2=1614+2=1614+2=16个。比一开始15+1（但1小箱装不下）要好。此题作为课堂延伸，不做硬性要求，旨在启迪优生思维。（四）总结反思，提升认识（预计3分钟）1.今天这节课，我们重点研究了什么样的问题？（在总价固定，有两种不同价格的商品时，求数量最少或最多的问题。）2.解决这类问题的“金钥匙”是什么？（抓住问题中的关键词。求