高中数学必修三《算法框图的三种基本结构》教学设计

高中数学必修三《算法框图的三种基本结构》教学设计【基础·概念建构】第一课时：从自然语言到框图语言的思维转换一、教学内容分析本节课选自北京师范大学出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修三）》第二章“算法初步”第二节“算法的基本结构及设计”。算法是高中数学课程中体现现代数学思想与方法的新增内容，是连接数学与计算机科学的桥梁。算法框图（又称程序框图）作为算法的图形化表示方式，具有直观、清晰、结构明确的特点，是描述算法逻辑的重要工具17。本节内容是在学生已经掌握了算法的基本概念、会用自然语言描述简单算法的基础上，进一步学习算法的规范表达方式。顺序结构、选择结构和循环结构是算法的三种基本逻辑结构，是构建任何复杂算法的基石。掌握这三种结构，不仅有助于学生理解计算机程序的工作原理，更能培养学生的逻辑思维能力和结构化思考方式，为后续学习具体程序设计语言、解决更复杂的数学问题奠定坚实基础28。二、学情分析授课对象为高中一年级下学期学生。从知识储备看，学生已初步了解算法的含义和基本思想，能够用自然语言表述如解一元二次方程、求两个数的最大公约数等简单问题的算法步骤7。从思维特征看，高一年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，他们对直观图形有较高的敏感度，但对于将实际问题抽象为逻辑结构的建模能力尚显薄弱，尤其对于“条件判断”“循环重复”这类需要缜密逻辑控制的思维方式，初次接触时容易产生理解障碍。从认知风格看，学生普遍对与信息技术相关的内容抱有较强好奇心，这为激发学习兴趣提供了有利条件。因此，本课时的教学设计应遵循“从具体到抽象、从模仿到创新”的原则，以典型问题为载体，引导学生在“做中学”，在“画中悟”，逐步建立对算法结构的本质理解。三、教学目标设定【核心素养导向】1.知识与技能目标：【基础】理解算法框图的图形符号及其功能（起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线）；【重要】掌握算法的顺序结构、选择结构（条件分支结构）和循环结构的逻辑特征；能够根据具体问题，选用恰当的结构设计算法框图。2.过程与方法目标：通过观察、模仿、操作、探究等学习活动，经历将自然语言描述的算法转化为算法框图的“翻译”过程，以及从实际问题中抽象出算法模型的“建模”过程，体会结构化思想在解决问题中的作用。3.情感态度与价值观目标：感悟算法语言的精确性与简洁美，体会算法思想在日常生活和现代科技中的广泛应用，增强运用数学思维分析问题的意识，培养严谨、缜密的科学态度。四、教学重难点教学重点：【重要】算法框图的规范画法；顺序结构、选择结构、循环结构的逻辑意义及框图表示。教学难点：【难点】【高频考点】选择结构中条件的设定与分支走向的判断；循环结构中循环体、循环变量、循环终止条件的确定与逻辑关系的梳理。五、教学方法与准备教学方法：采用“问题驱动—任务引领—合作探究—归纳建构”的教学模式。融合讲解法、讨论法、练习法与发现法，借助多媒体辅助教学，动态演示框图执行流程，化抽象为具体。教学准备：多媒体课件（包含各类框图的动态演示）、投影仪、直尺（用于规范作图）、导学案。六、教学实施过程（一）创设情境，引入新知——从“买菜”到“算法”教师活动：通过多媒体呈现一个生活化问题：“小明去超市买菜，他计划：如果西红柿每斤低于3元，就买2斤；否则，买1斤。无论是否买西红柿，都要买1斤鸡蛋。请用简洁的步骤描述小明的购物流程。”学生活动：尝试用文字描述。教师请两位学生展示他们的描述，引导学生发现：虽然步骤顺序大致相同，但存在“表述冗长”“关键判断点不突出”等问题。教师追问：我们能否用一种更直观、更规范的方式来描述这个过程，让人一眼就能看清“先做什么，再做什么，在什么情况下做什么”？从而引出课题——算法框图及其基本结构1。（二）明晰规则，建立规范——算法框图的图形符号教师活动：结合多媒体课件，系统介绍国家标准中常用的算法框图符号及其功能。强调：规范的图形是算法交流的“通用语言”。1.起止框（圆角矩形）：【基础】表示算法的开始和结束。任何完整的算法框图，必须以此为起点和终点，内部通常标注“开始”或“结束”1。2.输入输出框（平行四边形）：【基础】表示数据的输入或结果的输出。例如，“输入x”，“输出y”。3.处理框（矩形）：【基础】表示赋值、计算等操作。例如，“sum=sum+i”，“判别式Δ=b²4ac”。一个入口，一个出口。4.判断框（菱形）：【重要】表示对给定条件进行判断，根据条件是否成立决定后续流程。通常有一个入口，两个出口（如“是”与“否”，或“Y”与“N”）1。5.流程线（带箭头直线）：表示算法执行的流向。教师特别说明画图规则：【重要】使用标准的图形符号；框图一般按从上到下、从左到右的方向画；除判断框外，大多数符号只有一个进入点和一个退出点；框内语言要简练清楚1。（三）分层递进，深度建构——三大结构的探究学习1.【基础】顺序结构——算法的“直行道”问题引入：计算半径为r的圆的面积。假设r=2。师生互动：引导学生用自然语言描述步骤：第一步，输入半径r；第二步，计算面积S=πr²；第三步，输出面积S。概念建立：教师指出，这种按照书写顺序依次执行的结构，就是顺序结构。【重要】它是算法中最基本、最简单的结构，任何一个算法都离不开它17。框图建构：教师板演规范画法：开始→输入r→S=3.14rr→输出S→结束强调：每个步骤对应一个框，框与框之间用流程线连接，确保逻辑的连贯性。即时巩固：导学案练习：已知一个三角形的三边分别为a、b、c，利用海伦公式p=a+b+c2p=\frac{a+b+c}{2}p=2a+b+c​S=p(p−a)(p−b)(p−c)S=\sqrt{p(pa)(pb)(pc)}S=p(p−a)(p−b)(p−c)<pathd="M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120c340,704.7,510.7,1060.3,512,1067l00c4.7,7.3,11,11,19,11H40000v40H1012.3s271.3,567,271.3,567c38.7,80.7,84,175,136,283c52,108,89.167,185.3,111.5,232c22.3,46.7,33.8,70.3,34.5,71c4.7,4.7,12.3,7,23,7s12,1,12,1s109,253,109,253c72.7,168,109.3,252,110,252c10.7,8,22,16.7,34,26c22,17.3,33.3,26,34,26s26,26,26,26s76,59,76,59s76,60,76,60zMh400000v40hz">​设计求三角形面积的算法框图1。学生独立完成后，同桌互评，教师展示典型作品并点评。2.【重要】【难点】选择结构——算法的“分岔口”问题深化：回到课前的“买菜问题”，并增加一个条件：如果鸡蛋每斤也低于5元，则鸡蛋也买2斤，否则买1斤。问题分析：教师引导学生分析，这个算法中出现了“需要根据条件是否满足来决定执行哪一步”的情况。这种结构就是选择结构（也叫条件分支结构）。概念建立：【重要】选择结构是指在算法中通过对条件的判断，根据条件是否成立而选择不同流向的逻辑结构。它的一般形式有两种：一种是“如果……那么……”（单分支）；另一种是“如果……那么……否则……”（双分支）1。框图建构：教师以“买菜问题”的核心部分为例，演示选择结构的规范画法。（1）判断框内写入条件，如“西红柿价格<3？”。（2）在判断框的两个出口处，分别标注“是”和“否”。（3）“是”分支指向“购买2斤西红柿”的处理框，“否”分支指向“购买1斤西红柿”的处理框。（4）两个分支在执行完各自操作后，通常会汇聚到一起，继续执行后续的“买鸡蛋”操作。对比辨析：教师展示单分支结构（如“如果下雨，则带伞”）与双分支结构（如“如果x≥0，则y=x；否则y=x”，即求绝对值的算法1）的框图，让学生观察异同。变式训练：【高频考点】设计一个算法，输入一个数x，输出它的绝对值。学生自主画图，请一名学生上台板演，全班共同修正。重点检查判断条件（x≥0?）是否正确，两个分支的处理（y=x与y=x）是否对应。3.【重要】【难点】【高频考点】循环结构——算法的“旋转门”问题挑战：设计一个算法，计算1+2+3+…+100的值。学生尝试：有学生可能会尝试用顺序结构，写出100个加法式子。教师引导：这种方法虽然可行，但繁琐且不具备可扩展性。如果求1加到10000呢？显然需要更优的方案。思想启发：教师提出“累加器”思想。设两个变量：一个变量i代表要加的数（从1开始，每次增加1），另一个变量sum代表累加和（初始为0）。每次操作：sum=sum+i；i=i+1。这个过程需要重复多次，直到i超过100为止。概念建立：【重要】这种按照一定条件，重复执行某一步骤的结构，称为循环结构。被重复执行的部分称为“循环体”8。循环结构包含三个要素：循环变量（如i）、循环体（如sum=sum+i;i=i+1）、循环终止条件（如i>100）。框图建构：教师分步讲解循环结构的两种常见形式——当型（While型）循环和直到型（Until型）循环。（1）当型循环：先判断条件，条件成立则执行循环体；否则退出循环。开始→i=1,sum=0→判断“i≤100？”（是）→sum=sum+i→i=i+1→返回判断框前（流程线构成回路）；若判断“i≤100？”（否）→输出sum→结束。（2）直到型循环：先执行一次循环体，再判断条件，条件成立则继续循环，否则退出。开始→i=1,sum=0→sum=sum+i→i=i+1→判断“i>100？”（否）→返回至“sum=sum+i”前；若判断“i>100？”（是）→输出sum→结束。对比辨析：教师通过动态演示，让学生观察两种循环的执行流程差异，强调“当型循环是‘先判断后执行，可能一次也不执行’；直到型循环是‘先执行后判断，至少执行一次’”。【难点】小组合作探究：导学案拓展题：设计一个算法，求满足1+2+3+…+n>1000的最小正整数n。要求学生先小组内讨论算法逻辑，再尝试画出框图。教师巡视指导，选取有代表性的小组作品进行投影展示，由学生讲解设计思路，重点分析循环条件是如何设定的（是“s≤1000”还是“s>1000”？）。（四）综合应用，思维进阶——结构的嵌套与组合教师呈现一个稍复杂的实际问题：某商场进行促销活动，购物金额x（元）按以下规则打折：如果x<500，不打折；如果500≤x<1000，打9折；如果x≥1000，打8折。设计算法，输入x，输出实际应付金额y。问题拆解：教师引导学生分析，这是一个多分支的选择结构。但在一个判断框中，通常只能给出“是”或“否”两个出口。如何实现三个分支？——需要“嵌套”使用选择结构。框图设计：师生共同构建逻辑：（1）输入x；（2）判断x<500？若是，则y=x；若否，则进入下一层判断；（3）判断x<1000？若是，则y=0.9x；若否，则y=0.8x；（4）输出y。教师板演框图，重点展示一个判断框的“否”分支如何连接到下一个判断框，形成嵌套结构。强调：【重要】在复杂的算法中，顺序、选择、循环三种结构往往不是孤立存在的，而是通过嵌套和组合的方式协同工作，共同解决复杂问题。（五）归纳总结，内化迁移师生共同回顾本节课的核心内容：1.【基础】算法框图的规范符号及其功能。2.【重要】三种基本逻辑结构：顺序结构、选择结构、循环结构。顺序结构是基础，选择结构使算法具有“智能”，循环结构使算法具有“高效性”。3.【难点】选择结构中条件的准确设定；循环结构中循环变量、循环体、循环终止条件的确定。4.绘制算法框图的基本步骤：分析问题、确定算法思路、选择合适的结构、规范作图。（六）分层作业，巩固提升1.基础作业（必做）：课本练习题：用框图表示“已知圆的直径，求圆的面积”的算法。2.巩固作业（必做）：设计一个算法，输入三个数，输出其中的最大数，并画出框图。【高频考点】3.拓展作业（选做）：查阅资料，了解“辗转相除法”或“更相减损术”求两个数的最大公约数的算法步骤，尝试画出其算法框图，并尝试向同学解释其中包含了哪些基本结构。七、板书设计主板书左侧列出三种基本结构名称及其核心特征；中间以“累加求和”为例展示循环结构框图；右侧保留为典型例题的临时