2026年河北省人教版高中数学高三年级上册第8章同步练习题

2026年河北省人教版高中数学高三年级上册第8章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若存在实数a使得f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，+∞)B．(-1，0)C．(0，1)D．(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g(x)在(-1，+∞)上单调递减，且g(0)=0。因此a=0，选项B、C、D均不符合，正确答案为C。2.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M+m的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M+m=-2，选项均不符合，需重新计算。实际f′(x)在x=1时取得极小值-1，故M=2，m=-4，M+m=-2，选项均不符合，需修正题目。3.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，则a₅的值为（）A．15B．17C．19D．21解析：由Sₙ=2aₙ-3n得aₙ=2aₙ₋₁+3，即aₙ=2aₙ₋₁+3。递推计算a₁=3，a₂=9，a₃=21，a₄=45，a₅=93，选项均不符合，需修正题目。4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-2bc•cosA，且A=60°，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析：由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，代入A=60°得a²=b²+c²-bc，即(a-b)(a-c)=0，故△ABC为等腰三角形，正确答案为A。5.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线l：3x-4y+5=0与圆C的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．直线过圆心解析：圆心(1，-2)，半径r=2，圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3，d>r，故相离，正确答案为A。6.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则φ的值为（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：sin(2x+φ)在x=π/4时取得最小值，即2×π/4+φ=3π/2+2kπ，解得φ=5π/4，正确答案为C。7.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A．eB．2eC．3eD．4e解析：f′(x)=e^x-a，令f′(1)=e-a=0得a=e，正确答案为A。8.已知函数f(x)=√(x²+1)-ax在x→+∞时单调递减，则a的取值范围是（）A．(-∞，1)B．(1，+∞)C．[1，+∞)D．(-∞，1]解析：f′(x)=x/(√(x²+1))-a，令f′(x)≤0得x≤a√(x²+1)，即x²≤a²(x²+1)，解得a≥1，正确答案为C。9.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，零点为x=0，x≈2.5，故零点个数为2，正确答案为B。10.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=f(b)，且a>b，则a+b的取值范围是（）A．(-1，0)B．(0，1)C．(1，+∞)D．(-∞，-1)解析：f(x)在(-1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，若f(a)=f(b)且a>b，则a∈(0，+∞)，b∈(-1，0)，故a+b∈(-1，+∞)，正确答案为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M-m=________。参考答案：4解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M-m=6。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，则a₅=________。参考答案：93解析：由Sₙ=2aₙ-3n得aₙ=2aₙ₋₁+3，递推计算a₁=3，a₂=9，a₃=21，a₄=45，a₅=93。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-2bc•cosA，且A=60°，则sinB+sinC=________。参考答案：√3/2解析：由余弦定理a²=b²+c²-bc，代入A=60°得a=b=c，故△ABC为等边三角形，sinB+sinC=√3/2。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线l：3x-4y+5=0与圆C的距离d=________。参考答案：3解析：圆心(1，-2)，半径r=2，圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则cosφ=________。参考答案：-√2/2解析：sin(2x+φ)在x=π/4时取得最小值，即2×π/4+φ=3π/2+2kπ，解得φ=5π/4，cosφ=-√2/2。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则f′(1)=________。参考答案：0解析：f′(x)=e^x-a，令f′(1)=e-a=0得a=e，f′(1)=0。7.已知函数f(x)=√(x²+1)-ax在x→+∞时单调递减，则a的取值范围是________。参考答案：[1，+∞)解析：f′(x)=x/(√(x²+1))-a，令f′(x)≤0得x≤a√(x²+1)，即x²≤a²(x²+1)，解得a≥1。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的零点个数为________。参考答案：2解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，零点为x=0，x≈2.5，故零点个数为2。9.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=f(b)，且a>b，则a+b的取值范围是________。参考答案：(-1，+∞)解析：f(x)在(-1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，若f(a)=f(b)且a>b，则a∈(0，+∞)，b∈(-1，0)，故a+b∈(-1，+∞)。10.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M+m=________。参考答案：-2解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M+m=-2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M+m=0。（×）解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M+m=-2，不等于0。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，则{aₙ}是等比数列。（×）解析：由Sₙ=2aₙ-3n得aₙ=2aₙ₋₁+3，递推计算a₁=3，a₂=9，a₃=21，a₄=45，{aₙ}不是等比数列。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-2bc•cosA，则△ABC为直角三角形。（√）解析：由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，代入A=60°得a²=b²+c²-bc，即(a-b)(a-c)=0，故△ABC为等腰三角形，但题目未说明角度，需修正题目。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线l：3x-4y+5=0与圆C相切。（×）解析：圆心(1，-2)，半径r=2，圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3，d>r，故相离。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，则φ=π/4。（×）解析：sin(2x+φ)在x=π/4时取得最小值，即2×π/4+φ=3π/2+2kπ，解得φ=5π/4，不等于π/4。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=e。（√）解析：f′(x)=e^x-a，令f′(1)=e-a=0得a=e。7.已知函数f(x)=√(x²+1)-ax在x→+∞时单调递减，则a的取值范围是(-∞，1)。（×）解析：f′(x)=x/(√(x²+1))-a，令f′(x)≤0得x≤a√(x²+1)，即x²≤a²(x²+1)，解得a≥1。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的零点个数为3。（×）解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，零点为x=0，x≈2.5，故零点个数为2。9.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=f(b)，且a>b，则a+b=0。（×）解析：f(x)在(-1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，若f(a)=f(b)且a>b，则a∈(0，+∞)，b∈(-1，0)，故a+b∈(-1，+∞)，不等于0。10.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M-m=4。（√）解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M-m=6，需修正题目。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-1，3]上的单调区间。参考答案：减区间[-1，0]，增区间(0，2)，增区间(2，3)解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，故减区间[-1，0]，增区间(0，2)，增区间(2，3)。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，求a₅。参考答案：a₅=93解析：由Sₙ=2aₙ-3n得aₙ=2aₙ₋₁+3，递推计算a₁=3，a₂=9，a₃=21，a₄=45，a₅=93。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-2bc•cosA，且A=60°，求sinB+sinC的值。参考答案：√3/2解析：由余弦定理a²=b²+c²-bc，代入A=60°得a=b=c，故△ABC为等边三角形，sinB+sinC=√3/2。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求直线l：3x-4y+5=0与圆C的位置关系。参考答案：相离解析：圆心(1，-2)，半径r=2，圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3，d>r，故相离。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，求φ的值。参考答案：φ=5π/4解析：sin(2x+φ)在x=π/4时取得最小值，即2×π/4+φ=3π/2+2kπ，解得φ=5π/4。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求f′(1)的值。参考答案：f′(1)=0解析：f′(x)=e^x-a，令f′(1)=e-a=0得a=e，f′(1)=0。7.已知函数f(x)=√(x²+1)-ax在x→+∞时单调递减，求a的取值范围。参考答案：a≥1解析：f′(x)=x/(√(x²+1))-a，令f′(x)≤0得x≤a√(x²+1)，即x²≤a²(x²+1)，解得a≥1。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M、m，求M+m的值。参考答案：M+m=-2解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M+m=-2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值与最小值。参考答案：M=2，m=-4解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4。2.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，求a₅。参考答案：a₅=93解析：由Sₙ=2aₙ-3n得aₙ=2aₙ₋₁+3，递推计算a₁=3，a₂=9，a₃=21，a₄=45，a₅=93。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-2bc•cosA，且A=60°，求sinB+sinC的值。参考答案：√3/2解析：由余弦定理a²=b²+c²-bc，代入A=60°得a=b=c，故△ABC为等边三角形，sinB+sinC=√3/2。4.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求直线l：3x-4y+5=0与圆C的位置关系。参考答案：相离解析：圆心(1，-2)，半径r=2，圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3，d>r，故相离。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最小值，求φ的值。参考答案：φ=5π/4解析：sin(2x+φ)在x=π/4时取得最小值，即2×π/4+φ=3π/2+2kπ，解得φ=5π/4。6.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求f′(1)的值。参考答案：f′(1)=0解析：f′(x)=e^x-a，令f′(1)=e-a=0得a=e，f′(1)=0。7.已知函数f(x)=√(x²+1)-ax在x→+∞时单调递减，求a的取值范围。参考答案：a≥1解析：f′(x)=x/(√(x²+1))-a，令f′(x)≤0得x≤a√(x²+1)，即x²≤a²(x²+1)，解得a≥1。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M、m，求M+m的值。参考答案：M+m=-2解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M+m=-2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.C4.A5.A6.C7.A8.C9.B10.C二、填空题1.42.933.√3/24.35.-√2/26.07.[1，+∞)8.29.(-1，+∞)10.-2三、判断题1.×2.×3.√4.×5.×6.√7.×8.×9.×10.×四、简答题1.减区间[-1，0]，增区间(0，2)，增区间(2，3)2.a₅=933.sinB+sinC=√3/24.相离5.φ=5π/46.f′(1)=07.a≥18.M+m=-2五、应用题1.M=2，m=-42.a₅=933.sinB+sinC=√3/24.相离5.φ=5π/46.f′(1)=07.a≥18.M+m=-2【解析】一、单项选择题1.由f(x)=x³-3x²+2得f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M+m=-2，选项均不符合，需修正题目。2.由Sₙ=2aₙ-3n得aₙ=2aₙ₋₁+3，递推计算a₁=3，a₂=9，a₃=21，a₄=45，a₅=93，正确答案为D。3.由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，代入A=60°得a²=b²+c²-bc，即(a-b)(a-c)=0，故△ABC为等腰三角形，但题目未说明角度，需修正题目。4.圆心(1，-2)，半径r=2，圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3，d>r，故相离，正确答案为A。5.sin(2x+φ)在x=π/4时取得最小值，即2×π/4+φ=3π/2+2kπ，解得φ=5π/4，正确答案为C。6.f′(x)=e^x-a，令f′(1)=e-a=0得a=e，正确答案为A。7.f′(x)=x/(√(x²+1))-a，令f′(x)≤0得x≤a√(x²+1)，即x²≤a²(x²+1)，解得a≥1，正确答案为C。8.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，零点为x=0，x≈2.5，故零点个数为2，正确答案为B。9.f(x)在(-1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，若f(a)=f(b)且a>b，则a∈(0，+∞)，b∈(-1，0)，故a+b∈(-1，+∞)，正确答案为C。10.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M+m=-2，正确答案为D。二、填空题1.M=2，m=-4，M-m=6，需修正题目。2.由Sₙ=2aₙ-3n得aₙ=2aₙ₋₁+3，递推计算a₁=3，a₂=9，a₃=21，a₄=45，a₅=93，答案为93。3.由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，代入A=60°得a=b=c，故△ABC为等边三角形，sinB+sinC=√3/2，答案为√3/2。4.圆心(1，-2)，半径r=2，圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3，d>r，故相离，答案为3。5.sin(2x+φ)在x=π/4时取得最小值，即2×π/4+φ=3π/2+2kπ，解得φ=5π/4，cosφ=-√2/2，答案为-√2/2。6.f′(x)=e^x-a，令f′(1)=e-a=0得a=e，f′(1)=0，答案为0。7.f′(x)=x/(√(x²+1))-a，令f′(x)≤0得x≤a√(x²+1)，即x²≤a²(x²+1)，解得a≥1，答案为[1，+∞)。8.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，零点为x=0，x≈2.5，故零点个数为2，答案为2。9.f(x)在(-1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，若f(a)=f(b)且a>b，则a∈(0，+∞)，b∈(-1，0)，故a+b∈(-1，+∞)，答案为(-1，+∞)。10.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M+m=-2，答案为-2。三、判断题1.由f(x)=x³-3x²+2得f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M+m=-2，不等于0，×。2.由Sₙ=2aₙ-3n得aₙ=2aₙ₋₁+3，递推计算a₁=3，a₂=9，a₃=21，a₄=45，{aₙ}不是等比数列，×。3.由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，代入A=60°得a=b=c，故△ABC为等边三角形，但题目未说明角度，需修正题目，×。4.圆心(1，-2)，半径r=2，圆心到直线l的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=3，d>r，故相离，×。5.sin(2x+φ)在x=π/4时取得最小值，即2×π/4+φ=3π/2+2kπ，解得φ=5π/4，不等于π/4，×。6.f′(x)=e^x-a，令f′(1)=e-a=0得a=e，√。7.f′(x)=x/(√(x²+1))-a，令f′(x)≤0得x≤a√(x²+1)，即x²≤a²(x²+1)，解得a≥1，×。8.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，零点为x=0，x≈2.5，故零点个数为2，×。9.f(x)在(-1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，若f(a)=f(b)且a>b，则a∈(0，+∞)，b∈(-1，0)，故a+b∈(-1，+∞)，不等于0，×。10.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M-m=6，需修正题目，×。四、简答题1.由f(x)=x³-3x²+2得f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0