金融基础及经济 8

一、本章教学目的和要求

1.了解和掌握如何界定不确定条件下不同经济行为主体风险态度的类型；

2.掌握三种不同风险态度的经济行为主体效用函数的性质；

3.掌握确定性等价和风险溢价的含义及其计算方法；

4.从定义和性质等各方面区分绝对风险厌恶度量和相对风险厌恶度量；

5.掌握具有线性风险容忍系数的几个效用函数的风险绝对与相对厌恶系数。二、风险的主观态度

1.问题的提出

现实观察：

经济行为主体对待风险的态度是存在差异的。热衷冒险的人会在等待不确定性结果中获得刺激而兴奋不已；大多数的行为主体则认为风险是一种折磨，尽可能地回避风险；而另一些人对风险可能采取一种无所谓的态度。如何通过效用函数描述不同经济主体对待风险的态度？

通常可以从两个方面来刻画：（1）观察经济行为主体面对公平博彩时的行为选择，即是愿意确定性地接受一个公平博彩的期望价值还是宁愿接受这个博彩本身及其不确定性的结果。（2）经济行为主体愿意付出多少价值来避免蕴含在这个博彩中的风险。或者说，让经济行为主体参与这个博彩行为需要多少风险溢价补偿。

2.公平博彩（FairGame）

公平博彩是指不改变个体当前期望收益的赌局，如一个博彩的随机收益为，其期望收益为，我们就称其为公平博彩。当然，既然是博彩，通常隐含地假设其收益的方差大于零，即其收益不会是确定值零。或者公平博彩是指一个博彩结果的预期收益只应当和入局费相等的博彩。

我们将满足下式的博彩，称为一个公平博彩：各种彩票是公平博彩吗?

3.风险态度的描述

公平博彩不改变个体原来的期望收益，但它提供了个体增加或减少原来收入的机会。风险厌恶者：如果经济主体拒绝接受公平博彩，这说明该个体在确定性收益和博彩之间更偏好确定性收益，我们称该主体为风险厌恶者。风险偏好者：如果一个经济主体在任何时候都愿意接受公平博彩，则称该主体为风险偏好者。

定义：u是经济主体的VNM效用函数，W为个体的初始禀赋，如果对于任何足的随机变量，有:则称个体是（严格）风险厌恶（riskaversion）；如果上述不等号方向相反，则称个体是风险偏好（riskloving）；如果两边相等，则称个体是风险中性（neutral）。

对于一个具有效用函数为U和初始禀赋为W的经济主体，如果他不参加博彩，则其效用为U（W）。如果他愿意参加博彩，则他有p的概率消费，1-p的概率获得，因此，他的期望效用为根据我们对风险厌恶者的定义，对于一个风险厌恶的经济主体而言，我们有：

由于为公平博彩,所以:所以，上述不等式可改写为：

或：或：

这表明，风险厌恶的经济主体偏好未来收益分布的期望值，而不是未来收益分布本身。即对于风险厌恶的经济主体而言，确定性收益（数学期望值）的效用大于效用的期望值。基于这一性质，我们认为，风险厌恶者的效用函数为凹函数。经济意义：风险厌恶者,财富的预期的效用大于财富效用的预期。个体风险厌恶是指个体不愿意接受或至多无差异于任何公平的赌博。个体严格风险厌恶是指个体不乐意接受任何公平的赌博。

U(x)xABC风险厌恶者的效用函数凹函数定义：（两个点）与凹函数等价定义：（有限个点，归纳法，证明不要求）凹函数的判断:二阶导数<=0一般效用函数：递增凹函数例子：初等函数

定理：一个投资者是（严格）风险厌恶的，其充分必要条件（等价条件）是投资者的确定性效用函数U是（严格）凹函数。（宋：P43；王：P101）

证明：必要性，也就是证明风险厌恶意味着U的凹性。W—表示财富，p—表示概率，U--表示效用函数.任给w1,w2(w2>w1),p属于（0，1），构造如下博彩g={g1,g2}两者状态,其概率为{p,1-p},并且：g1=-(1-p)(w2-w1),

g2=p(w2-w1).很明显：E(g)=g1*p+g2*(1-p)=0,是一个公平博彩。定义w=pw1+(1-p)w2,则：

w1=w+g1,w2=w+g2由风险厌恶的定义，对于投资者持有的原始财富w,一个公平赌博g,财富的预期的效用大于财富效用的预期,即：U(w)>=pU(w1)+(1-p)U(w2)，即：

U(pw1+(1-p)w2)>=pU(w1)+(1-p)U(w2),对于任意的w1,w2都成立，所以U是凹函数。证明充分性,凹函数意味着风险厌恶。凹函数的等价定义：w+g=w+g1,w+g2…,w+gn，0<a1,a2,…an<1,

(ai)=1,有：

U(

(ai(w+gi)))>=

(aiU(w+gi))

U(E(w+g))>=E(U(w+g))

U(E(w)+E(g))>=E(U(w+g))

U(E(w))>=E(U(w+g)),对任意的E(g)=0.根据厌恶风险的定义，即得。上面的过程>＝换成>，即得严格的结论。风险厌恶者之所以回避公平赌博，从直观讲，原因是损失带来的“不愉快”量大于可能的赢所带来的“愉快”量。

U(x)xW-x风险厌恶者wW+x风险厌恶者效用递减的例子假定有一个公平游戏，即投资者投资10万元，获利5万元的概率50％，亏损5万元的概率也是50％，因此，这一投资的期望收益为0。由于边际效用递减法则（log），损失5万元造成的效用减少超过了获利5万元形成的效用增加。

log(100000)=11.51;log(150000)=11.92;效用增加值：11.92-11.51=0.41;期望效用增加值：0.5*0.41=0.21。

log(50000)=10.82;效用减少值：11.51-10.82=0.69;期望效用减少值：0.5*0.69=0.35。这笔投资的期望效用：＝

0.5*log(150000)+0.5*log(50000)=11.37.

10万元的效用是11.51,比公平游戏的11.37要大，风险厌恶不会参与该游戏，也就是厌恶者不会参与公平游戏。也就更不会购买彩票。

同样地，我们可以得到风险偏好者和风险中性者的效用函数的特征。对于风险偏好者而言，我们有：且其效用函数为凸函数。

x风险偏好者的效用函数BACU(x)

对于风险中性者而言，我们有其效用函数为线性效用函数。此时效用最大化原则等同于期望最大化原则。xU(x)这时，投资者对风险采取完全无所谓的态度，不对风险资产要求任何风险补偿。投资者只是按照预期收益率来判断风险投资。风险的高低与风险中性投资者无关，这意味着不存在风险妨碍。对这样的投资者来说，资产组合的确定等价报酬率就是预期收益率。4.效用函数的凸凹性的局部性质经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是一种局部性质。即一个经济主体可以在某些情况下是风险厌恶者，在另一种情况下是风险偏好者。弗里德曼-萨维奇（1948）解释了这种现象。他们认为，效用函数是几个不同的部分组成。在人们财富较少时，部分投资者是风险厌恶的；随着财富的增加，投资者对风险有些漠不关心；而在较高财富水平阶段，投资者则显示出风险偏好。三、风险厌恶的度量假定所有投资者是厌恶风险的，然而每个人风险厌恶的程度可能各不相同，因此需要对风险厌恶程度给出一个度量。MarkowitzriskpremiumPratt-Arrowriskpremium三、风险厌恶的度量1.风险溢价与确定性等价值

W投资者初始财富，表示一个公平博彩事件，符号f(W,

)是投资者为了避免参与博弈（一个不确定性）愿意放弃的财富或缴纳罚金的最大数量。这个特定的额度称为罚金

f(W,

)或Markowitzriskpremium.从风险厌恶者的角度理解，大于这个最大数量后，他就会参加该博彩。三、风险厌恶的度量1.风险溢价与确定性等价值

W-称为确定性等值（certaintyequivalentwealth）.确定性等值是一个完全确定的量，在此收入水平（被认为这是一个确定性财富）上的效用水平等于不确定条件下财富的期望效用水平(对于该风险厌恶者)。

它们满足：这里，ε为公平博彩的随机收益（即报酬的微小增量），W为初始禀赋，ρ被称之为马科维兹风险溢价。其值越大表明经济主体风险厌恶的程度越高。而W-ρ为确定性等价收益。其含义是一个确定的初始财富减去一个特定的额度后的效用相当于不确定财富的期望效用.三、风险厌恶的度量风险溢价的类似描述:

f(W,

)是一个收益额度，当一个完全确定的收入减去该额度后所产生的效用水平仍等于不确定性条件下财富的期望效用水平。该额度越大表明投资者为了避免博彩愿交的罚金越多，因而就越厌恶风险。风险溢价（riskpremium）是指风险厌恶者为避免承担风险而愿意放弃的投资收益。或让一个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的风险补偿。三、风险厌恶的度量

例子：投资者面临如下所示的一个博弈，假设他的初始财富为10，其效用函数为对数函数，计算这个投资者的为避免该博弈而愿意缴纳的罚金以及他的确定性等价财富，并分析说明罚金和确定性等价财富的经济意义。

0.85元

10元

0.230元三、风险厌恶的度量

例子：一个彩票，可能以概率0·2赢900元，也可能以0·8输100元，消费者的效用函数形式为u=w,问消费者愿拿出多少钱去买这张彩票？其风险溢价是多少？2.风险厌恶系数

对于风险很小的公平博彩行为，也即预期收益为0且预期收益的方差很小的博彩行为，如果效用函数是二次连续可微的，我们可对等式：两边在W做泰勒级数展开：这里，Re为高阶余项，由于是风险很小的公平博彩，所以，Re可省略。由此，我们可以得到：由风险溢价的定义可得：

上式的右边由两个部分构成：是体现个体偏好的因素，而Var(ε)则是公平博彩随机收益的方差，体现不确定性风险。将随具体博彩的ε因素除去，留下仅反映个体主观因素的部分，我们可以得到一个比风险溢价更为一般的风险厌恶测度指标：

经济学家普拉特(Pratt,1964)和阿罗(Arrow,1970)分别证明了在一定的假设条件下，反映经济主体的效用函数特征的可以用来度量经济主体的风险厌恶程度。

因此，我们将称为经济主体的阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数（Arrow-Prattabsoluteaversion）在金融理论中，我们时常需要相对测度量，如证券投资者关心的一般不是以多大的概率获得多少绝对收益，而是以多大概率获得百分之几的收益。相应地，我们可以推导出个体的相对风险测度。事实上，要得到相对意义上的风险溢价，只需要将绝对风险厌恶系数的两边除以个体的初始禀赋即可：Var（ε/W）是公平博彩相对收益的方差，另一部分称为个体的阿罗-普拉特相对风险厌恶系数（Arrow-prattrelativeaversion）。或者是对下式泰勒展开：

也可以从马克维兹的风险溢价推出阿罗-普拉特相对风险厌恶系数。

同样地，我们定义阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数的倒数为个体的风险容忍系数（risktolerance），即:

T（W）越大表示个体能够容忍的风险越大，反之则反。常见效应函数的绝对与相对风险厌恶系数求解:练习四、风险厌恶度量的性质

绝对风险厌恶系数主要考察在初始财富相同的条件下，具有不同风险厌恶程度的经济主体的风险性为特点。而相对风险厌恶系数，则主要考察经济行为主体随个人财富或消费收益的变化，对风险资产投资行为的变化。

1.相同财富水平下的经济主体风险厌恶的度量对于具有相同财富水平的经济主体，我们可以用三种不同的方法来比较两者之间的风险厌恶程度：（1）绝对风险厌恶度量对于任意给定的初始财富水平W，如果下式成立，则表明经济主体i比经济主体j更加厌恶风险：

（2）风险溢价度量对于任意给定的初始财富水平W，为避免相同的风险，如果经济主体i比经济主体j需要更多的风险溢价补偿，则经济主体i比经济主体j更厌恶风险：（3）效用函数的曲率从几何上看，绝对风险厌恶系数代表了效用函数的曲率（弯曲程度），如果经济主体i较经济主体更加厌恶风险，则表明，经济主体i有比经济行为主体j更加凹的效用函数。更确切地讲，经济行为主体i的效用函数是经济行为主体j的效用函数的一个凹变换，即存在一个递增的、严格凹的函数G(·)，使得：对于任意的W都成立。

（4）普拉特定理假设是两个二次可微、严格单调递增的效用函数，则以下三种表述是等价的：

对所有的W，有；存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函数G(·)，使得；

任何公平博彩ε对经济主体i的风险溢价较经济主体j的风险溢价高，即：2.风险厌恶与财富水平

在经济主体的财富水平发生变化时，仅仅区别投资者的风险态度是不够的，还需要考察经济行为主体随个人初始财富水平的变化而对风险资产投资数量的变化。即考察投资者是将风险资产看着是正常品还是劣等品。也就是需要对绝对风险厌恶系数进一步分析。

（1）定义

如果经济主体的绝对风险厌恶系数是严格递减的函数，即，则这类经济行为主体是递减绝对风险厌恶的；类似地，如果，则称这类经济主体为递增绝对风险厌恶的。如果则称这类经济行为主体是常数绝对风险厌恶的。

（2）阿罗-普拉特定理对于递减绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增加，其对风险资产的投资逐渐增加，即他视风险资产为正常品；对于递增绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增加，他对风险资产的投资减少，即他视风险资产为劣等品；对于常数绝对风险厌恶的经济行为主体，他对风险资产的需求与其初始财富的变化无关。

掌握了投资者的绝对风险厌恶系数，当其财富变化时，可以知道其投资风险资产的绝对数量的变化，但是，不能回答，相对于总财富的风险投资比例是增加还是减少。

（3）相对风险厌恶系数的性质定理对于递增相对风险厌恶的经济主体，其风险资产的财富需求弹性小于1（即随着财富的增加，投资于风险资产的财富相对于总财富的比例下降）；对于递减相对风险厌恶的经济行为主体，风险资产的财富需求弹性大于1；对于常数风险厌恶的经济行为主体，风险资产的需求弹性等于1。对于在时期0具有初始财富W的经济主体，设为他的风险资产需求弹性，则有：究竟现实中的投资者属于哪种风险厌恶类型？普遍接受的看法是，大多数人具有递减绝对风险厌恶系数和不变相对厌恶系数，这反映了大多数投资者的投资行为。（财富量越多，投资到风险资产的量增加，但比例不变。）但也有人认为，递减相对风险厌恶系数也许更能反映大多数人投资者的行为：即随财富的增加，投资于风险资产量增加，并且相对于财富的比例上升。作业：找出相应的效用函数，并进行解释。思考题：持有递减的绝对风险厌恶，递增的相对风险厌恶的投资者对风险资产的投资趋势如何？常相对风险厌恶者的绝对风险厌恶态度怎样？常绝对风险厌恶者的相对风险厌恶态度怎样？

五、几种常用的效用函数

金融经济学理论有时需要对个体的偏好做出某种假设。其中，常用的一个假设是个体具有线性的风险容忍系数（linearrisktolerance），满足这一假设的VNM效用函数具有LRT形式：在这种形式下，容易验证个体的风险容忍系数为其初始财富的线性函数。