考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷48

考研数学三(解答题)高频考点模拟试

卷48

一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)

lim(x-3sin3x+ax"+6)=0

1、设…

试确定常数a,b的值.

标准答案:由题设知

+力=3］而如近+竺

。出勺•X3

...sin3x+ax

b=-lim----------------

i-Oxi

利用(),方面有

lim眄=|im2+二,x

=0,

lOxx-*043

另一方面.直接计算乂有

sin3x+ax.

lim----------------=3+a,

iOx

这表明3+a=0oa=-3.

将a=-3代人(*)式.即得

...sin3x-3xI..3cos3x-3..cos3x-I3t.sin3x9

-«=hm--------；------=--lim--------；-------=lim-------；------=---lim--------=--

x.0x'3x-ox24mx~214)x2

a9

故6=5.综合得a=-3,b=y.

知识点解析：暂无解析

2、设A是mxn阶矩阵，若人丁人=0,证明：A=0.

标准答案:因为r(A)=r(AiA),WATA=O＞所以r(A)=O,于是

A=0.

知识点解析：暂无解析

3、当XTO时，1一cosx.eos2x.eos3x与ax*1为等价无穷小,求n与a的值.

1=1

标准答案：由题设知0故a=7.当i#2时，显然不合题意.所以a=7,n=2

知识点解析：暂无解析

4、设f(x)在［a,b］上二阶可导，f(a)=f(b)=D。试证明至少存在一点。€

8

kr(f)i♦max1/(%)Io

(1)2

(a,b)使

标准答案：设z=xo处|f(x)|最大，则有f(XQ)=0o由f(A)=0,f(b)=0有

广(G

0=f(A)=f(XQ)+f(XQ)(a—XQ)+2(a—XQ)之,

2|/(x0)|

即=GO-Q)2°

J"(殳TA、2

f

同理，有。=/(6)=/(x0)+f(x)(b-x0)+—j-(6-。)，

即

(O-XQ)

令夕(打I=黑”⑷I,则

LT(f)I=会I〃(&)I+1广(2)门

=!/(x)I[]+11

022

(x0-a)(b-x0)J

8_8|/(>)I

l/(x0)I•

(6-Q)~(b-aY当且仅

a+6

当x()=2时,不等式中的等号成立。故存在自使得

_8

1广(9I妾pl/(^o)L

(6-a

8

…)I2--------TimaxI/(X)Io

(6—Q)

知识点解析：暂无解析

5、设z=z(x,y)满足

踪+"7令

11<p(u9v)=--------.证明:孥=0.

V=-,N«Z*du

ym

标准答案:

X

由<11得<〃则

dtp1/HzHzIHza八|1djc1「Hz11az111

比=一村五•五十热Xj+P•五=一3]石+(1+UV)2反J+了

=7停+1含)+十=T+'=a

知识点解析：暂无解析

/Ij

6、计算J。(1十幻

标准答案：

|[百三一京冬"=[y^T-dr-[内始节dz=fje'd(p^)

Jo(l+z)zJo14-xJo(1+x)2Jol+zJo\1-rxJ

=f田业+泽1-f=

JO1+N14-xIoJO1+N2

知识点解析：暂无解析

CO8

设为两个正项级数.证明।

n・l・・】

8CO

(1)若lim*=0,且2>・收敛，则收敛；

■88

(2)若lim*=。，且W>,发散，则WX发散.

7、—O%„,lR-1

lim鲁

标准答案：(1)取£产1，由-8a=0,根据极限的定义，存在N>0,当n>N时，

OO8

鲁一0<1,即044〈6.，由2"收敛得»,

ba-1"-NH收敛(收敛级数去掉有限项不

火4收敛，从而它。・

改变敛散性)，由比较审敛法得」/I仁收敛(收敛级数添加有限项

不改变敛散性).(2)根据⑴,当n>N时,有叫<加,因为

88OOOO

发散,所以£原.X瓦发散,进一步得£>•

W।发散，由比较审敛法，■不।£发散.

知识点解析：暂无解析

e?一(1+“)』

lim

8、求一。

lim巴二"二义=lim[e+(l+z)与.9卫士亚

x-*0X上-0JD

=2elim=(L+E

x-0X

-----ln(l+z)

=一2elim(l+外+•-------：-------

LOX

[•N-(]+N”n(]+N)

禺x2(l+x)-

2e2lim匚幺■土产?R(1+公

X

・2/1而二一#土幻=e?.

标准答案：x-oLx

知识点解析：暂无解析

9、利用柱面坐标计算下列积分：

(1)口J央+，<Lrdyh，n是由曲面N=9一/一，与z=0所围成的闭区域；

n

(2)g[)didy&，n是由曲面z=2+3•l2+y=1与2=0所围成的闭区域;

(3)『drd>dz,口是由曲面之=/+，与

z=2y所国成的闭区域.

n

标准答案：

解：(Dd04z49-，.04p43,04中《2”

jjjJx2+，dlrdydzp-pdz=2n^ff(.9-ff)dp=警x

(2)n：O4z42p,O4p41・04中42穴

jpdrdydz=「M•曲"9

(3)。在面上的投影为，+9<2”即i+《y-41

Q：04夕4n,04pa2sin^,，&之《2g冲

jjztlrd.ydz

=j'd^j**p(4,sin2tp-p')dp=i；%’sin'p—看p，Jo**由

=I*2(24sin7一为sin")却=⑵一卷)J：sin65Pd华

=芯.&.a._1.1=互友

-364226

知识点解析：暂无解析

dy_1

10、求微分方程石―2n+y的通解.

标准答案：

由常=洋得*e—则

=[上’2"d'+Cc"J~?d>=Ce2y"(I+T)

知识点解析：暂无解析

limp(1+-.

11、求…4'n)

由*A八+；)”为正项级数•设=4(1+=『，由

尸=]q、4\〃/

lim=lim=lim-J-(14-—=-y-<C1

W

«•-*<*>v4'rt/JT-*JO4\ti)4

oo“ZZ

知--)收敛，因此Jim1(1+」・)=0.

标准答案：n)一川n)

知识点解析：暂无解析

12、证明：二次型f(x)=xTAx在|冈|=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

标准答案：A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q,使得QAQ」=diag(入1，入2，.•・，

Xn)=A,其中Q,九2,…，储为A的特征值，不妨设Q最大。作正交变换

y=Qx,即x=Q-Iy=Qry,贝ljf=xTAx=yqQAQTy=yTAy=Xiy12+A,2y22+••.+^nyn2»因为

y=Qx,所以当||x||二l时，有||x『二xTx=yTQQTy=||y|『二l,即丫产+丫22+...+丫，=1。因

222222

此f=Xiyi+X2y2+...+Xnyn<Xi(yi+y2+...+yn)=Xi<>又当yi=l,y3=y2=...=yn=0

时,=仅4,所以fmax=Q。

知识点解析：暂无解析

13、设n是奇数，将1,2,3,…，产共产个数，排成一个n阶行列式，使其每

行及每列元素的和都相等，证明：该行列式的值是全体元素之和的整数倍.

an©2…即

«2102202-

•••*

••♦•

标准答案：设IAI="&2…%其中n=2k+l是奇数，k是整数.设全体元素

5=£*4>=1+2+3+―+/=叱产

之和为S,即’则每行每列元素之和为

一十】

右端行列式中丁。=2,3,…，n),其中n=2k+l是奇数，故n2=(2k+l)