护士考研数学考试题目与答案

护士考研数学考试题目与答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题：下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置。1.函数f(x)=ln(x^2)在区间(0,1)内是（）。A.单调增加且连续B.单调减少且连续C.单调增加但不连续D.单调减少但不连续2.极限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2的值是（）。A.0B.1/2C.1D.不存在3.若函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=3，则当x→x0时，函数f(x)的增量Δf(x)的线性主部是（）。A.3ΔxB.3C.ΔxD.04.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值点是（）。A.0B.1C.2D.35.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得（）。A.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)B.f'(ξ)=0C.f(ξ)=0D.f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)6.若向量α=(1,k,3)与β=(2,-1,1)平行，则常数k的值为（）。A.-2/3B.2/3C.-3/2D.3/27.设A是3阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|的值是（）。A.2B.4C.8D.168.设矩阵A=[a1,a2,a3;b1,b2,b3;c1,c2,c3]，其中列向量组a1,a2,a3线性无关，b1,b2,b3线性相关，则向量组c1,c2,c3（）。A.线性无关B.线性相关C.既可能线性无关，也可能线性相关D.无法确定是否线性相关9.设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩r(A)=2，且该方程组的一个基础解系为ξ1=(1,-2,1,0)^T,ξ2=(0,1,1,1)^T，则该方程组的通解可以表示为（）。A.c1ξ1+c2ξ2(c1,c2为任意常数)B.c1ξ1-c2ξ2(c1,c2为任意常数)C.c1ξ1+c2ξ2+(1,-1,0,1)^T(c1,c2为任意常数)D.c1ξ1+c2ξ2+(0,0,0,0)^T(c1,c2为任意常数)10.设A是n阶可逆矩阵，B是n阶矩阵，则下列运算中不一定成立的是（）。A.(AB)^T=B^TA^TB.(AB)^-1=B^-1A^-1C.(AB)^k=A^kB^k(k为正整数)D.|AB|=|A||B|二、多项选择题：下列每题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置。1.下列函数中，在区间(-1,1)内有界的是（）。A.f(x)=sin(1/x)B.f(x)=1/(x^2-1)C.f(x)=e^xD.f(x)=ln(1-x^2)2.函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上满足罗尔定理的条件，则定理中的ξ的值为（）。A.-1B.0C.1D.不存在3.向量组α1=(1,1,0)^T,α2=(0,1,1)^T,α3=(1,0,k)^T的线性相关性由k的值决定，则（）。A.k=1时，向量组线性相关B.k=-1时，向量组线性相关C.k=0时，向量组线性相关D.k≠1且k≠-1且k≠0时，向量组线性无关4.设A是n阶矩阵，且A^2=A，则下列命题中正确的有（）。A.A的特征值只能是0或1B.A的秩等于A的迹C.A的行列式|A|等于0或1D.A的特征向量只能是特征值0或1对应的特征向量5.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则下列说法中正确的有（）。A.X的概率密度函数是关于x=μ对称的B.X的数学期望E(X)=μC.X的方差Var(X)=σ^2D.标准化后的随机变量X标准化为N(0,1)三、计算题：1.计算极限lim(x→π/2)(sinx-1)/(x-π/2)。2.设函数f(x)=x^2lnx，求f'(x)和f''(x)。3.计算∫[0,1]x^2*e^xdx。4.解线性方程组：2x1+x2-x3=1x1-3x2+4x3=-2x1+2x2-2x3=05.设A=[(1,0,-1);(2,1,0);(0,1,1)],求矩阵A的逆矩阵A^-1（若存在）。6.设随机变量X的概率分布为：P(X=0)=0.3,P(X=1)=0.5,P(X=2)=0.2，求X的数学期望E(X)和方差Var(X)。四、证明题：1.证明：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且对任意x,y∈[a,b]，都有|f(x)-f(y)|≤L|x-y|，其中L为常数，则f(x)在[a,b]上单调。2.设向量组α1,α2,α3线性无关，证明向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关。试卷答案一、单项选择题：1.B2.B3.A4.C5.A6.B7.B8.C9.A10.C二、多项选择题：1.CD2.B3.ABCD4.ABD5.ABCD三、计算题：1.解：令t=x-π/2，则当x→π/2时，t→0。原式=lim(t→0)(sin(t+π/2)-1)/t=lim(t→0)(cost-1)/t=lim(t→0)[-sint/t]=-sin(0)/0=-1*(0/0)型，使用洛必达法则：=-lim(t→0)cost/1=-cos(0)=-1答案：-12.解：f'(x)=d/dx(x^2lnx)=2xlnx+x^2*(1/x)=2xlnx+xf''(x)=d/dx(2xlnx+x)=2lnx+2x*(1/x)+1=2lnx+2+1=2lnx+3答案：f'(x)=x(2lnx+1),f''(x)=2lnx+33.解：∫[0,1]x^2*e^xdx使用分部积分法，设u=x^2,dv=e^xdx则du=2xdx,v=e^x原式=x^2*e^x|[0,1]-∫[0,1]2x*e^xdx=(1^2*e^1-0^2*e^0)-2∫[0,1]x*e^xdx=e-2∫[0,1]x*e^xdx对∫[0,1]x*e^xdx再次使用分部积分法，设u=x,dv=e^xdx则du=dx,v=e^x∫[0,1]x*e^xdx=x*e^x|[0,1]-∫[0,1]e^xdx=(1*e^1-0*e^0)-e^x|[0,1]=e-(e^1-e^0)=e-(e-1)=1代回原式：原式=e-2*1=e-2答案：e-24.解：写出增广矩阵并化为行阶梯形：[21-1|1][1-34|-2][12-2|0]→[12-2|0](R1↔R3)→[0-50|1](R2-R1→R2)→[0-50|1](R3-2R1→R3)→[12-2|0](R2/-5→R2)→[010|-1/5](R3/-5→R3)→[10-2|2/5](R1-2R2→R1)→[001|1/5](R1+2R3→R1)对应行阶梯形矩阵对应的方程组为：x1-2x3=2/5x2=-1/5x3=1/5解得：x1=2/5+2(1/5)=4/5,x2=-1/5,x3=1/5通解为：x1=4/5,x2=-1/5,x3=1/5答案：x1=4/5,x2=-1/5,x3=1/55.解：计算行列式|A|=|(1,0,-1);(2,1,0);(0,1,1)|=1(1*1-0*1)-0(2*1-0*0)+(-1)(2*1-1*0)=1-0-2=-1≠0，故A可逆。A^-1=(1/|A|)*Adj(A)=(-1)*Adj(A)计算A的每个元素的代数余子式：A11=(-1)^(1+1)*|(1,0);(1,1)|=1*(1-0)=1A12=(-1)^(1+2)*|(2,0);(0,1)|=-1*(2-0)=-2A13=(-1)^(1+3)*|(2,1);(0,1)|=1*(2-0)=2A21=(-1)^(2+1)*|(0,-1);(1,1)|=-1*(0-(-1))=-1A22=(-1)^(2+2)*|(1,-1);(0,1)|=1*(1-0)=1A23=(-1)^(2+3)*|(1,0);(0,1)|=-1*(1-0)=-1A31=(-1)^(3+1)*|(0,-1);(1,0)|=1*(0-(-1))=1A32=(-1)^(3+2)*|(1,-1);(2,0)|=-1*(0-(-2))=-2A33=(-1)^(3+3)*|(1,0);(2,1)|=1*(1-0)=1代入伴随矩阵Adj(A)=[A11,A21,A31;A12,A22,A32;A13,A23,A33]=[(1,-1,1);(-2,1,-2);(2,-1,1)]A^-1=-1*[(1,-1,1);(-2,1,-2);(2,-1,1)]=[(-1,1,-1);(2,-1,2);(-2,1,-1)]答案：[(-1,1,-1);(2,-1,2);(-2,1,-1)]6.解：E(X)=Σx*P(X=x)=0*0.3+1*0.5+2*0.2=0+0.5+0.4=0.9E(X^2)=Σx^2*P(X=x)=0^2*0.3+1^2*0.5+2^2*0.2=0+0.5+4*0.2=0.5+0.8=1.3Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=1.3-(0.9)^2=1.3-0.81=0.49答案：E(X)=0.9,Var(X)=0.49四、证明题：1.证明：设x1,x2∈[a,b]，且x1<x2。由题意，|f(x)-f(y)|≤L|x-y|对任意x,y∈[a,b]成立。则|f(x2)-f(x1)|≤L|x2-x1|因为x2-x1>0，所以f(x2)-f(x1)≤L(x2-x1)①同时，|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|=L(x2-x1)所以f(x1)-f(x2)≤L(x2-x1)②由①和②可得，-L(x2-x1)≤f(x1)-f(x2)≤L(x2-x1)即f(x1)-f(x2)≤L(x2-x1)且f(x1)-f(x2)≥-L(x2-x1)因此，f(x2)-f(x1)≥-L(x2-x1)且f(x2)-f(x1)≤L(x2