2026年中考数学真题知识点专题 二次函数(一)

年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（一）一．选择题（共20小题）1．（2026•成都）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表：x…﹣2﹣1013…y…3430﹣12…下列说法错误的是（）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x＝﹣1 C．2a+c＝0 D．b2﹣4ac＞02．（2026•内蒙古）二次函数y＝x2﹣9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（）A．3 B．6 C．9 D．183．（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（）A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm4．（2026•巴中）关于二次函数y=14①它的图象经过第一、二、三象限；②当x＞3时，y随x的增大而增大；③它的图象可由y=1④直线y＝kx+1（k为常数）与它的图象一定有两个交点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2026•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，5），与x轴交于A（m，0），B两点，其中2＜m＜3．则下列结论：①bac②b+4a＝0；③a﹣b+3c＞0；④−5⑤方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k为常数）有实数根．其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（2026•广元）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当a≤x≤a+2时，y的最小值为t，则下列t与a的函数关系图象正确的是（）A． B． C． D．7．（2026•甘孜州）对于抛物线y＝3（x﹣5）2﹣4，以下说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴为直线x＝5 C．顶点坐标为（5，4） D．当x＞5时，y随x的增大而减小8．（2026•齐齐哈尔）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c﹣n）；④若点P（t，y1），Q（3﹣t，y2）（t＜32）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程ax2+（b+1）x＝0的两根之和为A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．（2026•内江）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（5，0），下列说法正确的是（）A．c＞0 B．4a﹣2b+c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．图象的对称轴是直线x＝210．（2026•宜宾）点P是抛物线y＝﹣x2+2（a﹣1）x﹣（a2﹣1）的顶点，点A（﹣1，m）、B（t，m）在抛物线上（其中t＞﹣1）．下列结论：①当点P在x轴上时，a＝1；②点P在直线y＝2x上；③m+2t＜1；④当点P所在直线与线段AB没有交点时，a的取值范围是a＞2；⑤当点P在原点时，过点C(0，−14)的直线与抛物线交于M、N其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个11．（2026•福建）已知抛物线y＝x2﹣2nx经过点A（3，a），B（5，b）．若a＜b，且ab＜0，则n的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．312．（2026•天津）矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝7cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动．设运动的时间为ts．当t＝3s时，点P，Q的位置如图所示．给出下面三个结论：①当t＝6s时，四边形APCQ是平行四边形；②△APQ的最大面积为352cm2③当△APQ的面积为10cm2时，t＝25s或t＝10s．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③13．（2026•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0 B．b+4a＝0 C．5a+c＞0 D．当x＜﹣5或x＞1时，y＞014．（2026•眉山）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①3a+b＜0；②23≤a≤1；③对于任意实数m，a+b≤m（am+b）总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．（2026•乐山）已知二次函数y＝x2+bx+c，有下列结论：①二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c）；②二次函数的顶点坐标是(b③若二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，则b＞﹣2；④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值与c无关．其中，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．（2026•江西）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（）A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣317．（2026•山东）如图，点P是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点．下列结论正确的是（）A．2a+b＝0 B．−3C．对任意实数t，at2+bt＜4a+2b总成立 D．若点A（1﹣m，y1），B（1+m，y2）在抛物线上，则y1＜y218．（2026•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a＜−23；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，aA．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④19．（2026•南充）已知抛物线C1：y1＝mx2与C2：y2＝（m+2）x2，过原点O的直线l与抛物线C1，C2的另一个交点分别为A1，A2，如果OA2＝3OA1，则m的值为（）A．﹣3或−32 B．﹣3或1 C．−12或−20．（2026•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）、（m，0），且2＜m＜3．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③﹣4a＜y最小值＜−9a4；④若方程ax2+bx+c+12=0有实数根，则b2A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④

2026年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（一）参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）题号1234567891011答案CBCCBABBBBC题号121314151617181920答案DDBBBBAAD一．选择题（共20小题）1．（2026•成都）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表：x…﹣2﹣1013…y…3430﹣12…下列说法错误的是（）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x＝﹣1 C．2a+c＝0 D．b2﹣4ac＞0【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质．【答案】C【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可．【解答】解：将点（﹣1，4），（1，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：a−b+c=4a+b+c=0解得a=−1b=−2∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∵a＝﹣1＜0，∴函数图象的开口向下，则选项A正确；将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3化成顶点式为y＝﹣（x+1）2+4，∴函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，则选项B正确；又∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，∴2a+c＝2×（﹣1）+3＝1，则选项C错误；b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×3＝16＞0，则选项D正确，故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，掌握其相关知识点是解题的关键．2．（2026•内蒙古）二次函数y＝x2﹣9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（）A．3 B．6 C．9 D．18【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质．【答案】B【分析】先利用x轴上点的纵坐标为0的性质，求出二次函数与x轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果．【解答】解：∵二次函数图象与x轴交点的纵坐标为0，∴令y＝0，得方程x2﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3，∴A，B两点的坐标为（﹣3，0）和（3，0），∴线段AB的长为3﹣（﹣3）＝6，故选：B．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．3．（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（）A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】C【分析】将解析数化为顶点式，即可得到这条鱼此次射出的水流的最大高度．【解答】解：∵y＝﹣0.1x2+6x＝﹣0.1（x﹣30）2+90，∴当x＝30时，y取得最大值90，即这条鱼此次射出的水流的最大高度是90cm，故选：C．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，会将函数解析式化为顶点式．4．（2026•巴中）关于二次函数y=14①它的图象经过第一、二、三象限；②当x＞3时，y随x的增大而增大；③它的图象可由y=1④直线y＝kx+1（k为常数）与它的图象一定有两个交点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】C【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论．【解答】解：∵y=1∵a=1∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），①令y＝0，得14解得x＝0或x＝4，即抛物线与x轴交于（0，0）和（4，0），∵抛物线开口向上，∴当x＜0时，y=14x2−x＞0∴图象不经过第三象限，故①错误；②∵开口向上，对称轴为x＝2，∴x＞2时，y随x的增大而增大，又3＞2，∴x＞3时y随x的增大而增大，故②正确；③根据平移规律可得，y=14x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为④联立y=14x2−xy=kx+1，整理得x∵Δ＝[﹣4（k+1）]2﹣4×1×（﹣4）＝16（k+1）2+16＞0恒成立，∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确；综上所述，正确的说法共3个．故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5．（2026•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，5），与x轴交于A（m，0），B两点，其中2＜m＜3．则下列结论：①bac②b+4a＝0；③a﹣b+3c＞0；④−5⑤方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k为常数）有实数根．其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根的判别式．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】B【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，5），与y轴交于正半轴，得到a＜0，b＝4a＜0，c＞0，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为（﹣2，5）得到c＝4a+5，根据当x＝2时，y＞0，当x＝3时，y＜0，即可判断④；讨论抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2x﹣k2的交点情况即可判断⑤．【解答】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，5），与y轴交于正半轴，∴a＜0，−b∴b＝4a＜0，∴bac＞0，故∵b＝4a，∴b﹣4a＝0，故②错误；∵a＜0，c＞0，∴c﹣a＞0，∴a﹣b+3c＝a﹣4a+3c＝3（c﹣a）＞0，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，5），∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝5，即4a﹣2×4a+c＝5，∴c＝4a+5，由图象可得当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，∴4a+8a+4a+5＞0，∴a＞−5由图象可得当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，∴9a+12a+4a+5＜0，∴a＜−1∴−516＜a＜−∵方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0可化为ax2+bx+c＝﹣k2x﹣k2，∴该方程的解为抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2x﹣k2的交点的横坐标，∵直线y＝﹣k2x﹣k2＝﹣k2（x+1），∴该直线过定点（﹣1，0），且过第二、三、四象限，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2x﹣k2必有交点，∴方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k为常数）有实数根．故⑤正确．综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，掌握二次函数的综合知识是解题的关键．6．（2026•广元）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当a≤x≤a+2时，y的最小值为t，则下列t与a的函数关系图象正确的是（）A． B． C． D．【考点】二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】A【分析】根据二次函数的性质和分类讨论的方，可以发现t随a的变化如何变化，然后即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该函数的对称轴为直线x＝1，最小值为2，当a＞1，a≤x≤a+2时，t随a的增大而增大，故选项B和D不符合题意；当﹣1≤a≤1，a≤x≤a+2时，t的值恒为2，当a＜﹣1，a≤x≤a+2时，t随a的增大而减小，故选项A符合题意，选项C不符合题意；故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．（2026•甘孜州）对于抛物线y＝3（x﹣5）2﹣4，以下说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴为直线x＝5 C．顶点坐标为（5，4） D．当x＞5时，y随x的增大而减小【考点】二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】B【分析】根据所给二次函数解析式，结合二次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可．【解答】解：由题知，因为抛物线的解析式为y＝3（x﹣5）2﹣4，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝5，顶点坐标为（5，﹣4），当x＞5时，y随x的增大而增大，所以只有B选项符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．8．（2026•齐齐哈尔）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c﹣n）；④若点P（t，y1），Q（3﹣t，y2）（t＜32）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程ax2+（b+1）x＝0的两根之和为A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质．【答案】B【分析】先根据抛物线开口、对称轴、与y轴交点判定a、b、c正负，判断①；利用抛物线对称性得到y（3）＝3a+c，结合B点横坐标范围判断②；由顶点纵坐标公式变形推导验证等式判断③；计算两点到对称轴距离并作差比较远近，结合开口方向判断函数值大小得④；由OA＝OB推出m＝c，代入抛物线得到b+1与a、c关系式，再借助韦达定理验证方程两根之和判断⑤，最后统计正确结论个数选出答案．【解答】解：由二次函数图象可得：∵抛物线开口向下，∴a＜0；顶点坐标为（1，n），则对称轴为直线x＝1，由对称轴公式−b整理得b＝﹣2a，结合a＜0，得b＞0；抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0；抛物线与x轴正半轴交点B（m，0）满足3＜m＜4．∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①错误；根据二次函数轴对称性质：对称轴为x＝1，则y（﹣1）＝y（3），将x＝3代入解析式得，y（3）＝9a+3b+c，把b＝﹣2a代入，化简得，y（3）＝9a+3（﹣2a）+c＝3a+c，∵3＜m＜4，说明直线x＝3在交点B左侧，此位置抛物线图象在x轴上方，∴y（3）＞0，即3a+c＞0，故②错误；∵顶点坐标为（1，n），∴n=4ac−∴4an＝4ac﹣b2，b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），故③正确；抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大．点P到对称轴x＝1的距离：|t﹣1|，点Q到对称轴x＝1的距离：|（3﹣t）﹣1|＝|2﹣t|，平方作差比较距离大小：|t﹣12|﹣|2﹣t|2＝（t2﹣2t+1）﹣（t2﹣4t+4）＝2t﹣3，∵t＜3∴2t﹣3＜0，即|t﹣1|2＜|2﹣t|2，得|t﹣1|＜|2﹣t|，∴点P离对称轴更近，y1＞y2，故④正确；由A（0，c）得OA＝c，由B（m，0）得OB＝m，∵OA＝OB，∴m＝c，即B（c，0），将B（c，0）代入抛物线解析式：ac2+bc+c＝0，∵c≠0，∴ac+b+1＝0，b+1＝﹣ac，设一元二次方程ax2+（b+1）x＝0的两根为x1，x2，由韦达定理可得：x1将b+1＝﹣ac代入得：x1+x综上所述正确结论一共有3个，故选：B．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键．9．（2026•内江）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（5，0），下列说法正确的是（）A．c＞0 B．4a﹣2b+c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．图象的对称轴是直线x＝2【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】B【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：由图象可得，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故选项A错误，不符合题意；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故选项B正确，符合题意；图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项C错误，不符合题意；图象的对称轴是直线x=1+52=故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．（2026•宜宾）点P是抛物线y＝﹣x2+2（a﹣1）x﹣（a2﹣1）的顶点，点A（﹣1，m）、B（t，m）在抛物线上（其中t＞﹣1）．下列结论：①当点P在x轴上时，a＝1；②点P在直线y＝2x上；③m+2t＜1；④当点P所在直线与线段AB没有交点时，a的取值范围是a＞2；⑤当点P在原点时，过点C(0，−14)的直线与抛物线交于M、N其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】B【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再逐个验证五个结论，利用二次函数顶点坐标性质、对称点性质、交点判断等初中知识逐一分析，统计正确结论个数即可．【解答】解：∵y＝﹣x2+2（a﹣1）x﹣（a2﹣1）＝﹣[x﹣（a﹣1）]2﹣2a+2，∴顶点P坐标为（a﹣1，﹣2a+2），①若P在x轴上，则顶点纵坐标为0，即﹣2a+2＝0，解得a＝1，故①正确；②将x＝a﹣1代入y＝2x＝2（a﹣1）＝2a﹣2，当a≠1时，2a﹣2≠﹣2a+2，∴点P不在直线y＝2x上，故②错误；③∵A（﹣1，m），B（t，m）纵坐标相同，对称轴为x＝a﹣1，∴−1+t2解得t＝2a﹣1，将A（﹣1，m）代入抛物线得m＝﹣（﹣1）2+2（a﹣1）（﹣1）﹣（a2﹣1）＝2﹣2a﹣a2，∴m+2t＝2﹣2a﹣a2+2（2a﹣1）＝﹣a2+2a＝﹣（a﹣1）2+1≤1，当a＝1时，m+2t＝1，不满足m+2t＜1，故③错误；④∵顶点P坐标为（a﹣1，﹣2a+2），∴yp＝﹣2a+2＝﹣2（a﹣1）＝﹣2xp，∴P所在直线为y＝﹣2x，将y＝m代入y＝﹣2x得，m＝﹣2x，解得x=−m∵当点P所在直线与线段AB没有交点时，∴x＜﹣1或x＞t＝2a﹣1，∴a2+2a−22整理得，a（a+2）＜0或a（a﹣2）＞0，∵t＝2a﹣1＞﹣1，∴a＞0，∴a（a+2）＜0无解；∵a（a﹣2）＞0，∴a﹣2＞0，∴a＞2，故④正确；⑤∵点P（a﹣1，﹣2a+2）在原点，∴a﹣1＝0，﹣2a+2＝0，∴a＝1，∴抛物线为y＝﹣x2，当过C(0，−14)则可设过C(0，−14)联立得−x整理得，4x2+4kx﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2＝﹣k，x1∴(x1+∴x12+∴(|x∴|x∴CM=(同理可得，CN=|x∴1CM+1综上，正确结论为①④⑤，共3个．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的应用等，掌握二次函数的综合知识是解题的关键．11．（2026•福建）已知抛物线y＝x2﹣2nx经过点A（3，a），B（5，b）．若a＜b，且ab＜0，则n的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】C【分析】根据抛物线y＝x2﹣2nx经过点A（3，a），B（5，b），可以得到a＝9﹣6n，b＝25﹣10n，然后根据a＜b，且ab＜0，可以得到a＜0，b＞0，从而可以得到关于n的不等式组，求出该不等式组的解集，最后即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2nx经过点A（3，a），B（5，b），∴a＝9﹣6n，b＝25﹣10n，∵a＜b，且ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴9−6n＜025−10n＞0解得32＜n∴n可以为2，n不可以取0，1，3，故选：C．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．（2026•天津）矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝7cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动．设运动的时间为ts．当t＝3s时，点P，Q的位置如图所示．给出下面三个结论：①当t＝6s时，四边形APCQ是平行四边形；②△APQ的最大面积为352cm2③当△APQ的面积为10cm2时，t＝25s或t＝10s．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；矩形的性质．【专题】二次函数图象及其性质；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；运算能力．【答案】D【分析】依据题意，由AB＝5cm，AD＝7cm，从而结合题意可分下面三种情形分析：当0＜t≤5时，S=12t2；当5＜t≤7时，S=52t；当7＜t＜12时，S＝35−5(t−5)【解答】解：由题意，∵AB＝5cm，AD＝7cm，∴可分下面三种情形分析：当0＜t≤5时，S=12t当5＜t≤7时，S=52当7＜t＜12时，S＝35−5(t−5)2−7(t−7)2①当t＝6s时，如图所示，∴CQ＝AB+BC﹣6＝12﹣6＝6（cm），AP＝6cm，即AP＝CQ，又∵AP∥CQ，∴四边形APCQ是平行四边形，故①正确；②当0＜t≤5时，S=12t2，则S最大值为当5＜t≤7时，S=52t，则S最大值为当7＜t＜12时，S＝35−5(t−5)2−7(t−7)2−(12−t)22=−1综上，△APQ的最大面积为352cm2，故②③当0＜t≤5时，S=12t令S＝10，则t＝25s，负值舍去；当5＜t≤7时，S=52令S＝10，则t＝4＜5，不合题意；当7＜t＜12时，S＝35−5(t−5)2−7(t−7)2令S＝10，则−12t2+6∴t＝2或10，∵7＜t＜12，∴t＝10．综上，t＝25s或t＝10s，故③正确．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的最值、平行四边形的判定与性质、矩形的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．13．（2026•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0 B．b+4a＝0 C．5a+c＞0 D．当x＜﹣5或x＞1时，y＞0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】观察图象可得a＞0，b＞0，c＜0，则可判断A选项；由图象可得对称轴为直线x＝﹣2，可判断B选项；由对称性质可得抛物线与x轴的右交点的横坐标为1，此时a+b+c＝0，可判断C选项；观察图象可知当x＜﹣5或x＞1时，y＞0，可判断D选项．【解答】解：观察图象可得a＞0，b＞0，c＜0，故abc＜0，则A选项错误；由图象可得对称轴为直线x=−b故b＝4a，则B选项错误；由对称性质可得抛物线与x轴的右交点的横坐标为2×（﹣2）﹣（﹣5）＝1，此时a+b+c＝0，即a+4a+c＝0，即5a+c＝0，则C选项错误；观察图象可知当x＜﹣5或x＞1时，y＞0，则D选项正确，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性质，增减性质，掌握二次函数与系数的关系并准确从图象中获取信息是解题关键．14．（2026•眉山）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①3a+b＜0；②23≤a≤1；③对于任意实数m，a+b≤m（am+b）总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根的判别式．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】B【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是可对①进行判断；利用﹣3≤c≤﹣2和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1没有交点可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b∴3a+b＝3a﹣2a＝a＞0，故①错误；∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点），∴﹣3≤c≤﹣2，∵抛物线过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴﹣3≤﹣3a≤﹣2，∴23≤a≤1，故∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x＝1时，二次函数值有最小值n，∴a+b+c≤am2+bm+c，∴a+b≤am2+bm，故③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），且抛物线开口向上，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1没有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有没有的实数根，故④错误．综上，正确的有②③，共2个．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．15．（2026•乐山）已知二次函数y＝x2+bx+c，有下列结论：①二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c）；②二次函数的顶点坐标是(b③若二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，则b＞﹣2；④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值与c无关．其中，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】B【分析】①依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，则当x＝0时，y＝c，则二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c），故可判断①；②依据题意得，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴是直线x=−b2，可得顶点坐标为（−b2，c③依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，则抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，又二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，对称轴是直线x=−b2，从而|﹣1+b2|＞|3+b2|，可得当b2＜−3时，即b＜﹣6，则1−b2＞−3−b2，符合题意；当﹣3≤b2≤1时，即﹣6≤b≤2，则1−b2＞④依据题意，当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，不妨设当x＝x1时，取最大值m；当x＝x2时，取最小值为n，可得m=x12+bx1+c，n=x22+bx2+c，从而m﹣n＝（x12+bx1+c）﹣（x22+bx2+c）=【解答】解：①由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c，∴当x＝0时，y＝c，则二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c），故①正确；②由题意得，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴是直线x=−b∴顶点坐标为（−b2，c−b③∵二次函数为y＝x2+bx+c，∴抛物线开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．又∵二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，对称轴是直线x=−b∴|﹣1+b2|＞|3∴当b2＜−3时，即b＜﹣6，则1−b当﹣3≤b2≤1时，即﹣6≤b≤2，则1−b2＞3当b2＞1时，即b＞2，则b2∴b＜﹣2，故③错误；④由题意，当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，不妨设当x＝x1时，取最大值m；当x＝x2时，取最小值为n，∴m=x12+bx1+c，n=x∴m﹣n＝（x12+bx1+c）﹣（x22=x12+bx1∴m﹣n的值与c无关，故④正确．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．16．（2026•江西）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（）A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3【考点】图象法求一元二次方程的近似根；根与系数的关系；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合；一元二次方程及应用；运算能力；模型观念．【答案】B【分析】求出函数y＝x2+3x﹣3的图象的对称轴，再结合已知的根的范围可得答案．【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x﹣3的对称轴为x=−b2a=−32=−1.5，已知根0.75＜x1∴另一根更接近的是﹣4．故选：B．【点评】本题考查的是根据图象求一元二次方程的解，读懂函数图象，从中获取正确的信息是解题的关键．17．（2026•山东）如图，点P是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点．下列结论正确的是（）A．2a+b＝0 B．−3C．对任意实数t，at2+bt＜4a+2b总成立 D．若点A（1﹣m，y1），B（1+m，y2）在抛物线上，则y1＜y2【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】B【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与y轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项．【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0．∵顶点P的坐标为（2，3），∴对称轴为直线x＝2，即−b∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，故A错误；设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，令x＝0，得y＝4a+3，即抛物线与y轴的交点坐标为（0，4a+3）．由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方且在y＝1的下方，∴0＜4a+3＜1，解得−34＜a＜−根据图象得：当x＝2时，y＝ax2+bx+c取得最大值为：y＝4a+2b+c，对任意实数t，at2+bt+c≤4a+2b+c，∴at2+bt≤4a+2b，故C错误；∵对称轴为x＝2，∴|1﹣m﹣2|＝|m+1|，|1+m﹣2|＝|m﹣1|，当m＝0时，两点到对称轴的距离相等，y1＝y2，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象等，掌握综合知识是解题的关键．18．（2026•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a＜−23；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，aA．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【专题】二次函数图象及其性质．【答案】A【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点分别判断a、b、c的正负，进而判断abc的正负；②用对称轴公式x=−b③把b＝﹣4a、A（1，0）代入解析式得c＝3a，结合c的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得B点坐标，据c＝3a，得C点坐标，将x＝2，c＝3a，b＝﹣4a代入y＝ax2+bx+c，得出点P的坐标，根据勾股定理列方程求出a．【解答】解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=−b∴b＞0，∵二次函数的图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，∴c＜0，∴abc＞0，①错；∵对称轴为直线x=−b∴b＝﹣4a，∴4a+b＝0，②正确；∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），∴a+b+c＝0，∵b＝﹣4a，∴a﹣4a+c＝0，∴c＝3a，∵二次函数图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，∴可得﹣3＜c＝3a＜﹣2，∴−1＜a＜−23，∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝2，∴点B的坐标为（3，0），∵c＝3a，∴点C的坐标为（0，3a），当x＝2，可得y＝4a+2b+c，将c＝3a，b＝﹣4a代入，可得y＝﹣a，∴点P的坐标为（2，﹣a），∴PC2＝4+16a2，PB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，∵∠CPB＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，可得4+16a2+1+a2＝9+9a2，解得a=22或∵a＜0，∴a=−22，④解法二前面已证c＝3a，设C（0，3a）P（2，﹣a）∵∠CPB＝90°∴CP⊥PB∴直线CP，PB对应一次函数斜率乘积为﹣1−a−3a2−0a2∴④正确综上，正确的说法为②③④，故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握其相关知识点是解题的关键．19．（2026•南充）已知抛物线C1：y1＝mx2与C2：y2＝（m+2）x2，过原点O的直线l与抛物线C1，C2的另一个交点分别为A1，A2，如果OA2＝3OA1，则m的值为（）A．﹣3或−32 B．﹣3或1 C．−12或−【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】A【分析】依据题意，设过原点直线l：y＝kx（k≠0），联立方程组y=mx2y=kx，则mx2＝kx，则x（mx﹣k）＝0，舍去原点x＝0，得A1(km，k2m)；联立方程组y=(m+2)x2y=kx，则（m+2）x2＝kx，则x[（m+2）x﹣k]＝0，舍去原点x＝0，得A2(【解答】解：设过原点直线l：y＝kx（k≠0），联立方程组y=mx2y=kx，则mx2∴x（mx﹣k）＝0，舍去原点x＝0，得A1联立方程组y=(m+2)x2y=kx，则（m+2）x2∴x[（m+2）x﹣k]＝0，舍去原点x＝0，得A2∴OA1=∵OA2＝3OA1，∴|m|＝3|m+2|．∴m＝﹣3或m=−3故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．20．（2026•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）、（m，0），且2＜m＜3．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③﹣4a＜y最小值＜−9a4；④若方程ax2+bx+c+12=0有实数根，则b2A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；根的判别式．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】D【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点判断系数符号，利用抛物线解析式及m的范围推导最小值范围；利用一元二次方程根的判别式判断结论④．【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）、（m，0），∴对称轴x=−b2a=−1+m2，a﹣b+c＝0，y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m∴b＝（1﹣m）a，c＝﹣am，∵2＜m＜3，∴12∴对称轴在y轴右侧，∴x=−b∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；3a+c＝3a﹣am＝a（3﹣m），由a＞0和2＜m＜3可得3a+c＝a（3﹣m）＞0，故②结论错误；③当x=−1+m2时，抛物线有最小值，∵2＜m＜3，−1∴当2＜m＜3时，y最小值=−1当m＝2时，y最小值当m＝3时，y最小值＝﹣4a；∴−4a＜y最小值＜−④∵方程ax∴Δ=b2−4a(c+12)≥0，即b∴b2﹣4ac≥2a，∵a＞0，∴2a＞a，∴b2﹣4ac＞a，故④正确．综上所述，正确的结论是①③④．故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．

考点卡片1．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．3．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．4．正比例函数的性质单调性当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．对称性对称点：关于原点成中心对称．[1]对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．5．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．6．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−7．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|8．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开