2026年中考数学真题知识点专题 四边形(二)

年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（二）一．填空题（共20小题）1．（2026•成都）正八边形的每个内角的度数都为．2．（2026•北京）在凸五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∠D＝∠E，则∠D＝°．3．（2026•贵州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，且∠A＝45°，AE＝2，则AB与CD之间的距离为．4．（2026•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，分别以B，C两点为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧在矩形ABCD内部交于点P，则点P到AD所在直线的距离为．5．（2026•遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝27，BD＝6，EF是线段BC的垂直平分线，交BC于点E，交BD于点F，连结CF，则△CDF的周长为．6．（2026•南京）正九边形，任意顺次连接某几个顶点恰好构成一个正n边形，求n可以是（任写一个符合的）．7．（2026•内蒙古）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC是它的一条对角线．以点B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于点E（异于点A），分别以点A和点E为圆心，大于12AE长为半径，在直线AC的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M，连接BM，与AC交于点N，则BN的长为8．（2026•广元）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是1个小正方形．某数学兴趣小组在进行探究时，将图1中的四个直角三角形裁剪出来，拼成图2和图3，图2中菱形对角线的和为12，图3中间正方形的面积为20，则图1中间正方形的面积是．9．（2026•齐齐哈尔）菱形ABCD中，点E是边AD的中点，EF⊥BC交直线BC于点F．若DE＝3CF，EF＝410，则菱形ABCD的边长为．10．（2026•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，请添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．11．（2026•广西）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE，BE．若AB＝4，tan∠DAE=14，则BE＝12．（2026•宜宾）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E．已知BD＝20cm，则AB的长为cm．13．（2026•内江）在边长为6的正方形ABCD中，点P、Q分别为对角线AC、边CD上的动点，且DQ=2AP，则PQ的最小值为14．（2026•福建）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠B＝∠DFC＝90°，∠BAE＝30°，∠CDF＝45°，四边形ABCD恰好为矩形，点E，F分别在BC，AE上，则∠AFD等于度．15．（2026•上海）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，如果BC＝2AD，S△PMN＝1，则梯形ABCD的面积为．16．（2026•天津）如图，在菱形ABCD中，BC＝5，∠B＝60°，连接AC．（Ⅰ）线段AC的长为；（Ⅱ）点E在边AB上，点F在BC的延长线上，EF与AC相交于点G，H为CD的中点．若AE＝CF＝1，则线段GH的长为．17．（2026•扬州）扬州漆器造型雅致，做工精巧，色彩和谐，光泽腴润．如图，扬州漆器作品《春山畅游》的轮廓是一个正八边形，它的每个内角为°．18．（2026•湖南）如图，BD是两个正六边形的公共边，A和C是离B最远的顶点，则∠ABC＝．19．（2026•江西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边AD上的动点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F．当△BFC面积最大时，DE的长为．20．（2026•山东）如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于°．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（二）参考答案与试题解析一．填空题（共20小题）1．（2026•成都）正八边形的每个内角的度数都为135°．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】135°．【分析】根据正多边形的定义可知，正八边形的内个内角都相等，由多边形的内角和公式，可得正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，最后计算1080°÷8即可得出答案．【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，∵正八边形的内个内角都相等，∴正八边形每个内角的度数为：1080°÷8＝135°．故答案为：135°．【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，正多边形的定义是解题的关键．2．（2026•北京）在凸五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∠D＝∠E，则∠D＝135°．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】135．【分析】根据多边形内角和的计算方方求出五边形的内角和，再根据各个内角的度数和关系进行计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，而∠A＝∠B＝∠C＝90°，∠D＝∠E，∴∠D＝∠E=540°−90°×3故答案为：135．【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．3．（2026•贵州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，且∠A＝45°，AE＝2，则AB与CD之间的距离为2．【考点】平行四边形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．【答案】2．【分析】由平行四边形性质得AB∥CD，再由DE⊥AB得DE⊥CD，∠DEA＝90°，则AB与CD之间的距离为线段DE的长，证明△ADE是等腰直角三角形得DE＝AE＝2，据此可得AB与CD之间的距离为2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵DE⊥AB，∴DE⊥CD，∠DEA＝90°，∴AB与CD之间的距离为线段DE的长，在△ADE中，∠DEA＝90°，∠A＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，AB与CD之间的距离为2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键．4．（2026•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，分别以B，C两点为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧在矩形ABCD内部交于点P，则点P到AD所在直线的距离为4−7【考点】矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；尺规作图；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】4−7【分析】连接PB，PC，过点P作PE⊥AD于点E，EP的延长线交BC于点F，证明四边形ABFE是矩形得EF＝AB＝4，PF⊥BC，由尺规作图得PB＝PC＝AB＝4，由此得BF＝CF=12BC＝3，在Rt△PFB中，由勾股定理得PF=7，进而得PE=4−7，据此可得点【解答】解：连接PB，PC，过点P作PE⊥AD于点E，EP的延长线交BC于点F，如图所示：∴∠FEA＝90°，∵四边形ABCD是矩形，且AB＝4，BC＝6，∴∠A＝∠ABC＝90°，∴∠A＝∠ABC＝∠FEA＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∴EF＝AB＝4，∠PFB＝90°，∴PF⊥BC，由尺规作图得：PB＝PC＝AB＝4，在△PBC中，PB＝PC＝4，PF⊥BC，∴BF＝CF=12在△PFB中，∠PFB＝90°，由勾股定理得：PF=P∴PE＝EF﹣PF=4−7∴点P到AD所在直线的距离为4−7故答案为：4−7【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键．5．（2026•遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝27，BD＝6，EF是线段BC的垂直平分线，交BC于点E，交BD于点F，连结CF，则△CDF的周长为10．【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】10．【分析】由菱形的性质得OA＝OC=7，OB＝OD＝3，AC⊥BD，再由勾股定理求出CD＝4，然后由线段垂直平分线的性质得BF＝CF【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝27，BD＝6，∴OA＝OC=12AC=7，OB＝OD=12BD∴∠COD＝90°，∴CD=O∵EF是线段BC的垂直平分线，∴BF＝CF，∴△CDF的周长＝CD+DF+CF＝CD+DF+BF＝CD+BD＝4+6＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．6．（2026•南京）正九边形，任意顺次连接某几个顶点恰好构成一个正n边形，求n可以是3或9（任写一个符合的）．【考点】多边形内角与外角．【专题】正多边形与圆．【答案】3或9．【分析】求出正九边形的外接圆圆心，表示出相邻顶点对应的圆心角度数即可．【解答】解：∵正九边形，∴外接圆对应的圆心角为：360°9∵顺次连接正九边形的若干顶点得到的正n边形，顶点必然也落在这个外接圆上，∴它的相邻顶点对应的圆心角为360°n即存在正整数k满足：k×40°=360°n，整理可得k×9的正整数因数中，满足多边形边数n≥3的取值只有3和9，故答案为：3或9．【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，掌握其相关知识点是解题的关键．7．（2026•内蒙古）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC是它的一条对角线．以点B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于点E（异于点A），分别以点A和点E为圆心，大于12AE长为半径，在直线AC的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M，连接BM，与AC交于点N，则BN的长为45【考点】矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；尺规作图；运算能力；推理能力．【答案】45【分析】由矩形的性质得到∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，由勾股定理求出AC=AB2+BC2=2【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，∵AB＝2，∴AC=AB2由题意得到BN⊥AC，∵△ABC的面积=12AC•BN=12∴25×BN∴BN=4故答案为：BN=4【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，尺规作图﹣基本作图，关键是由三角形的面积公式得到AC•BN＝AB•BC，掌握用尺规过直线外一点作已知直线的方法．8．（2026•广元）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是1个小正方形．某数学兴趣小组在进行探究时，将图1中的四个直角三角形裁剪出来，拼成图2和图3，图2中菱形对角线的和为12，图3中间正方形的面积为20，则图1中间正方形的面积是4．【考点】菱形的性质；勾股定理的证明．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；社会热点情境．【答案】4．【分析】设四个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，根据菱形的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：设四个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，∵图2中菱形对角线的和为12，∴2a+2b＝12，∴a+b＝6，∵图3中间正方形的面积为20，∴c2＝20，∴c＝25，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝c2＝20，∴ab＝8，∴图1中间正方形的面积＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝36﹣32＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理的证明，熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解题的关键．9．（2026•齐齐哈尔）菱形ABCD中，点E是边AD的中点，EF⊥BC交直线BC于点F．若DE＝3CF，EF＝410，则菱形ABCD的边长为65或122【考点】菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】65或12【分析】设CF＝a，则DE＝3a，AD＝2DE＝6a，由菱形性质得CD＝AD＝6a，AD∥BC，则EF⊥BC，再分两种情况讨论如下：①当点F在BC上时，过点CH⊥AD于点H，证明四边形CHEF是矩形得HE＝CF＝a，CH＝EF=410，则DH＝2a，在Rt△CHD中，由勾股定理得a=5，进而得CD＝6a=65；②当点F在BC的延长线上时，过点CH⊥AD于点H，同①得四边形CHEF是矩形，则HE＝CF＝a，CH＝EF=410，进而得DH＝4a，在Rt△CHD中，由勾股定理得a=22，则CD＝6【解答】解：∵DE＝3CF，∴设CF＝a，则DE＝3a，其中a＞0，∵点E是边AD的中点，∴AD＝2DE＝6a，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝6a，AD∥BC，∵EF⊥BC交直线BC于点F，∴EF⊥BC，∴∠EFC＝∠FED＝90°，依题意有以下两种情况：①当点F在BC上时，过点CH⊥AD于点H，如图1所示：∴∠CHE＝∠CHD＝90°，∴∠CHE＝∠EFC＝∠FED＝90°，∴四边形CHEF是矩形，∴HE＝CF＝a，CH＝EF=410∴DH＝DE﹣HE＝3a﹣a＝2a，在△CHD中，∠CHD＝90°，由勾股定理得：CH=C解得：a=5∴CD＝6a=65∴菱形ABCD的边长为65②当点F在BC的延长线上时，过点CH⊥AD于点H，如图2所示：∴∠CHD＝90°，同①得：四边形CHEF是矩形，HE＝CF＝a，CH＝EF=410∴DH＝DE+HE＝3a+a＝4a，在△CHD中，∠CHD＝90°，由勾股定理得：CH=C解得：a=22∴CD＝6a=122∴菱形ABCD的边长为122综上所述：菱形ABCD的边长为65或12故答案为：65或12【点评】此题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是易错点．10．（2026•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，请添加一个条件OB＝OD（答案不唯一），使四边形ABCD是平行四边形．【考点】平行四边形的判定．【专题】多边形与平行四边形．【答案】OB＝OD（答案不唯一）．【分析】已知对角线AC被点O平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只需补充另一条对角线BD也被点O平分即可．【解答】解：添加条件：OB＝OD，∵在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．故答案为：OB＝OD（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键．11．（2026•广西）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE，BE．若AB＝4，tan∠DAE=14，则BE＝【考点】正方形的性质；解直角三角形．【专题】矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】5．【分析】解Rt△ADE得DE＝1，进而得CE＝3，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE＝5．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且AB＝4，∴AD＝CD＝BC＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°，在△ADE中，∠D＝90°，∴tan∠DAE=DE∴DE=14AD∴CE＝CD﹣DE＝4﹣1＝3，在△BCE中，∠C＝90°，由勾股定理得：BE=B故答案为：5．【点评】此题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，理解正方形的性质，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．12．（2026•宜宾）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E．已知BD＝20cm，则AB的长为10cm．【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】10．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AO，再由矩形的性质得到AO=12BD=10cm，则AB＝AO【解答】解：∵AE垂直且平分线段BO，∴AB＝AO，∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，BD＝20cm，∴AO=1∴AB＝AO＝10cm，故答案为：10．【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．13．（2026•内江）在边长为6的正方形ABCD中，点P、Q分别为对角线AC、边CD上的动点，且DQ=2AP，则PQ的最小值为32【考点】正方形的性质．【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】32【分析】过点P作PE⊥CD于点E，设AP=2x，则DQ＝2x，由勾股定理求出AC=62得0＜2x＜62，则0＜x＜6，证明△PEC是等腰直角三角形，由勾股定理得PC=2PE，则2x+2PE=62，由此得PE＝CE＝6﹣x，由此可得EQ＝x，在Rt△PEQ中，由勾股定理得PQ2＝PE2+EQ2＝（6﹣x）2+x2，整理得PQ2＝2x2﹣12x+36＝2（x﹣3）【解答】解：过点P作PE⊥CD于点E，如图所示：∵DQ=2AP∴设AP=2x，则DQ＝2∵四边形ABCD是正方形，且边长为6，AC是对角线，∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，∠ACD＝45°，在△ADC中，∠D＝90°，由勾股定理得：AC=A∴点P是正方形对角线AC上的动点，∴0＜AP＜AC，∴0＜2∴0＜x＜6，∵PE⊥CD于点E，∠ACD＝45°，∴△PEC是等腰直角三角形，∴PE＝CE，由勾股定理得：PC=PE∵AP+PC＝AC=62∴2x+∴PE＝6﹣x，∴PE＝CE＝6﹣x，∴DE＝CD﹣CE＝6﹣（6﹣x）＝x，∴EQ＝DQ﹣DE＝2x﹣x＝x，∵PE⊥CD于点E，∴△PEQ是直角三角形，由勾股定理得：PQ2＝PE2+EQ2＝（6﹣x）2+x2，整理得：PQ2＝2x2﹣12x+36＝2（x﹣3）2+18，∵该二次函数的开口向上，对称轴为x＝3，x的取值范围是0＜x＜6，∴当x＝3时，PQ2的值为最小，最小值为18，∴PQ的最小值为18=故答案为：32【点评】此题主要考查了正方形的性质，二次函数的性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键，灵活利用勾股定理构造二次函数是解决问题的难点．14．（2026•福建）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠B＝∠DFC＝90°，∠BAE＝30°，∠CDF＝45°，四边形ABCD恰好为矩形，点E，F分别在BC，AE上，则∠AFD等于75度．【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】75．【分析】根据矩形的性质和已知条件可得∠DAF＝60°，∠ADF＝45°，再根据三角形的内角和即可求解．【解答】解：∵∠BAE＝30°，∠CDF＝45°，四边形ABCD是矩形，∴∠DAF＝60°，∠ADF＝45°，在三角形ADF中，∠AFD＝180°﹣∠DAF﹣∠ADF＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为：75．【点评】本题考查矩形的性质和直角三角形的性质，正确理解和应用三角形内角和定理是解题关键．15．（2026•上海）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，如果BC＝2AD，S△PMN＝1，则梯形ABCD的面积为12．【考点】梯形中位线定理；三角形的面积；梯形．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；梯形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】12．【分析】首先，由BC＝2AD且P为中点可知BP＝PC＝AD，从而判定四边形ABPD和APCD均为平行四边形．接着，根据梯形中位线EF平行于底边，推导出M、N分别是AP、DP的中点，进而确定MN是△PAD的中位线，得出相似比为1：2．最后，利用相似三角形面积比等于相似比的平方（即1：4），由△PMN面积为1算出△PAD面积为4，再结合平行四边形对角线平分面积的性质，最终求得梯形总面积为12．【解答】解：梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，P是BC的中点，∴BP=PC=1∴四边形ABPD、四边形APCD都是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵EF是梯形的中位线，∴EFAD∥BC，E是AB的中点，F是DC的中点，在△ABP中，E为AB的中点，EM∥BP，∴M是AP的中点，在△DCP中，F为DC的中点，FN∥PC，∴N是DP的中点，∴MN是△ADP的中位线，∴MN∥AD，MN=1∴△PMN∽△PAD，k=MN∵相似三角形的面积比等于相似比的平方∴S△PMN已知S△PMN＝1，代入得：1SS△PAD＝4，∵▱ABPD中，AP为对角线，∴S△ABP＝S△ADP＝4（平行四边形对角线平分面积），∵▱APCD中，DP为对角线，∴S△DPC＝S△ADP＝4S梯形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC＝4+4+4＝12．故答案为：12．【点评】题目考查了梯形及梯形的中位线定理、三角形的面积，解题的关键在于相关知识的灵活运用．16．（2026•天津）如图，在菱形ABCD中，BC＝5，∠B＝60°，连接AC．（Ⅰ）线段AC的长为5；（Ⅱ）点E在边AB上，点F在BC的延长线上，EF与AC相交于点G，H为CD的中点．若AE＝CF＝1，则线段GH的长为212【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）212【分析】（Ⅰ）由菱形性质得AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，再由∠B＝60°得△ABC是等边三角形，据此可得AC＝AB＝5；（Ⅱ）连接FH，并延长交AD于点M，连接EM，过点E作EK∥BC，交AC于点K，EN⊥AD，交DA的延长线于点N，证明△AEK是等边三角形得EK＝AE＝CF＝1，进而证明△GEK和△GFC全等得点G是EF的中点，再证明△HMD和△HFC全等得DM＝CF＝1，HM＝HF，则点H是MF的中点，AM＝4，解Rt△AEN得EN=32，AN=12，则MN=92，在Rt△MNE中，由勾股定理得EM=21，然后证明GH是△【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，且BC＝5，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，在△ABC中，AB＝BC＝5，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝5，故答案为：5；（Ⅱ）连接FH，并延长交AD于点M，连接EM，过点E作EK∥BC，交AC于点K，EN⊥AD，交DA的延长线于点N，如图所示：∴∠N＝90°，由（Ⅰ）可知：△ABC是等边三角形，AB＝BC＝AC＝AD＝5，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵EK∥BC，交AC于点K，∴∠AEK＝∠B＝60°，∠AKE＝∠ACB＝60°，∴∠AEK＝∠AKE＝60°，∴△AEK是等边三角形，∴EK＝AE，∵AE＝CF＝1，∴EK＝CF＝1，∵点F在BC的延长线上，EK∥BC，AD∥BC，∴EK∥CF，MD∥CF，∴∠GEK＝∠GFC，∠GKE＝∠GCF，在△GEK和△GFC中，∠GEK=∠GFCEK=CF∴△GEK≌△GFC（ASA），∴GE＝GF，即点G是EF的中点，∵MD∥CF，∴∠HMD＝∠HFC，∠D＝∠HCF，∵点H为CD的中点，∴HD＝HC，在△HMD和△HFC中，∠HMD=∠HFC∠D=∠HCF∴△HMD≌△HFC（AAS），∴DM＝CF＝1，HM＝HF，∴点H是MF的中点，AM＝AD﹣DM＝5﹣1＝4，∵点N在AD的延长线上，AD∥BC，∴∠NAE＝∠B＝60°，在△AEN中，∠N＝90°，AE＝1，∴sin∠NAE=ENAE，cos∠NAE∴EN＝AE•sin∠NAE＝1×sin60°=32，AN＝AE•cos∠NAE＝1×cos60°∴MN＝AM+AN=4+1在△MNE中，∠N＝90°，由勾股定理得：EM=E∴点G是EF的中点，点H是MF的中点，∴GH是△EFM的中位线，∴GH=12EM故答案为：212【点评】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形，菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．17．（2026•扬州）扬州漆器造型雅致，做工精巧，色彩和谐，光泽腴润．如图，扬州漆器作品《春山畅游》的轮廓是一个正八边形，它的每个内角为135°．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】135．【分析】根据正八边形的定义，多边形的内角和公式计算即可．【解答】解：由题意可知，正八边形的每一个内角都相等，正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝6×180°＝1080°，∴正八边形的每个内角为：1080°÷8＝135°．故答案为：135．【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，正多边形的定义是解题的关键．18．（2026•湖南）如图，BD是两个正六边形的公共边，A和C是离B最远的顶点，则∠ABC＝120°．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】120°．【分析】根据正六边形的内角和求得每一个内角为120°，由外角和角可得∠ABD＝∠CBD＝60°从而求解．【解答】解：∵这两个多边形为正六边形，∴每一个内角是(6−2)×180°6∵∠ABD和∠CBD是正六边形的外角，根据多边形的外角和为360°，∴每一个外角是360°6∴∠ABD＝∠CBD＝60°，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝120°．故答案为：120°．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式和外角和为360°是关键．19．（2026•江西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边AD上的动点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F．当△BFC面积最大时，DE的长为1．【考点】矩形的性质；圆周角定理；等腰直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；与圆有关的计算；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】1．【分析】根据题意得出点F在以BC为直径的⊙O上运动，进而可得当OF⊥BC时，点F到BC的距离最大，此时△BFC面积最大，得出∠FBC＝45°，结合题意得出△ABE是等腰直角三角形，求得AE＝AB＝3，根据线段的和差关系，即可求解．【解答】解：如图，设BC的中点为O，∵CF⊥BE，∴∠BFC＝90°，∴点F在以BC为直径的⊙O上运动，∴当OF⊥BC时，点F到BC的距离最大，此时△BFC面积最大，∴BF＝FC，∴∠FBC＝45°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝4，∴∠ABE＝90°﹣∠FBC＝90°﹣45°＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB＝3，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，圆周角定理，掌握以上知识点是解题的关键．20．（2026•山东）如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于720°．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】720．【分析】根据多边形内角和的计算方法进行计算即可．【解答】解：图中正多边形是正六边形，正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，故答案为：720．【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．

考点卡片1．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．2．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．3．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．4．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．5．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．6．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：7．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．8．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．9．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）