2026年中考数学真题知识点专题 四边形(三)

年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（三）一．填空题（共10小题）1．（2026•烟台）如图，以原点O为顶点作边长为2的菱形OA1A2A3，点A3在x轴上，且∠A1OA3＝60°，将点A3向右平移2个单位得到点A4，以A4为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A4A5A6A7，点A7在x轴上；再将点A7向右平移2个单位得到点A8，以A8为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A8A9A10A11，点A11在x轴上；…；按照以上规律作图，则点A126的坐标为．2．（2026•连云港）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD的平分线交CD于点E，则CE＝．3．（2026•凉山州）四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足AO＝CO，请添加一个适当的条件：，使四边形ABCD成为菱形．（只需要添加一个条件即可）4．（2026•云南）在矩形ABCD中，若AC＝7，则BD＝．5．（2026•自贡）如图，正方形ABCD中，点E为CD的中点，作∠EBF＝45°，交AD于点F．点G，H分别在等腰Rt△DFQ的直角边DQ和斜边FQ上，且GQ=2FH，FG与DH交于点P．连接BP，若AF＝2，则BP的最小值为6．（2026•连云港）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝60°，CD＝6，点P在边CD上，且PC＝2，Q为边BC上的动点，点C关于PQ的对称点为C′．若△C′AD、△C′BD的面积分别记为S△C′AD、S△C′BD，则S△C′AD﹣S△C′BD的最大值为．7．（2026•广安）正九边形一个外角的度数是．8．（2026•安徽）如图，点F在正五边形ABCDE的边AB的延长线上，则∠CDE﹣∠CBF＝°．9．（2026•泸州）已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为．10．（2026•遂宁）如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，以点B为圆心，23cm为半径作弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线BK．点E在边AB上，且BE＝2AE，连结EM并延长，交BK于点F，连结DF，交BC于点G，则DG的长为二．解答题（共10小题）11．（2026•北京）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D，E分别为AB，BC的中点，BC＝2BF，AE∥BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；（2）若AB＝2，AC＝3，求四边形DBFE的面积．12．（2026•贵州）如图，在正方形ABCD中，点E是AD边的中点，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）若正方形ABCD的边长为4，求△BCE的周长．13．（2026•贵州）小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下：【动手操作】如图①，在直线l的两侧有两点A，B，小红要在直线l上确定一点P，使AP+BP最短．（1）请帮小红确定点P的位置，并画出图象；（2）解决该问题的依据是；【问题探究】如图②，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是对角线BD上一个动点，连接EF，CF，∠DBC＝30°，BC＝23，当EF+CF的值最小时，求线段EF的长；【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，CE⊥BD，垂足为E，∠A＝2∠ADB，AD＝1，AB＝3，若点P是线段BC垂直平分线上的一个动点，连接BP，EP．确定点P的位置使△BPE周长最小，并求出该周长的最小值．14．（2026•内蒙古）综合与探究问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD，将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点A重合放置，记该三角形为△AEF．顶点E，F分别在正方形的AB，AD边上，如图1．现将△AEF绕点A按逆时针方向旋转α角，其中0°＜α＜90°，得到△AE′F′，连接BE′，DF′，如图2．初步探究：（1）猜想线段BE′与线段DF′的数量关系，并说明理由；深入探究：（2）在△AEF绕点A按逆时针方向旋转过程中，当AE′与BE′互相垂直时，AE′交EF边于点M，E′F′交AD边于点N，如图3．①求证：NA•NF′＝ND•NE′；②求△AEM与△AFM面积的比值．15．（2026•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝BF，连接DE，AF．求证：△DAE≌△ABF．16．（2026•湖北）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点．求证：△EBF≌△GCF．17．（2026•巴中）如图，在▱ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．（2）若EF⊥AC，BC＝AC，∠B＝70°，求∠BAF的度数．18．（2026•绥化）综合与实践【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究．在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的动点．【观察感知】（1）如图1，当点E，F运动到AE＝BF时，连接AF，BE．求证：△ABE≌△BAF．【探索发现】（2）如图2，连接AC，点M是AC上的一点，CM：AM＝1：2，连接AF，BE，AF与BE相交于点G，连接GM．当BE平分∠ABC，AF平分∠BAC时，且AB+AC＝2BC，试求出GM与FC的数量关系，并说明你的理由．【问题拓展】（3）如图3，当AB＝23，BC＝8时，作直线EF，若直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点D作DH⊥EF于点H，连接AH．当矩形的边AD与直线EF的夹角成60°时，请你直接写出∠DAH的正切值．（自行完成作图并作答）19．（2026•吉林）如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，连接CE．将△BCE沿CE折叠得到△FCE．点G为CE上一点，连接FG，BG．（1）如图②，当直线BG经过点F时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使△BCF是等边三角形，不需要说明理由．（2）如图③，当BG⊥CF于点H时，判断四边形EBGF的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，延长CF交矩形ABCD的边于点P．若AB＝4，BC＝3，当PA＝PF时，直接写出BG的长．20．（2026•深圳）综合与探究定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为k（k≥1），则称该四边形为“k倍四边形”．（1）①如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E为OB中点．若四边形AECD为k倍四边形，则k的值为；②如图2，在k倍四边形ABCD中，若对角线AC被BD平分，则S△ACDS△ACB=（2）如图3，四边形ABCD为k倍四边形，其对角线BD平分对角线AC，且满足∠BDC＝2∠ABD，BD＝4CD，求k的值；（3）如图4，已知定点A，B，且AB⊥BM，点C为射线BM上一动点，点D为平面内一点，连接A，B，C，D构成四边形ABCD．若BD平分AC，∠BAC＝∠DAC，四边形ABCD是“2倍四边形”，求tan∠ACD的值．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之四边形（三）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2026•烟台）如图，以原点O为顶点作边长为2的菱形OA1A2A3，点A3在x轴上，且∠A1OA3＝60°，将点A3向右平移2个单位得到点A4，以A4为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A4A5A6A7，点A7在x轴上；再将点A7向右平移2个单位得到点A8，以A8为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A8A9A10A11，点A11在x轴上；…；按照以上规律作图，则点A126的坐标为（125，−3）【考点】菱形的判定与性质；坐标与图形变化﹣平移；旋转的性质；规律型：点的坐标．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（125，−3【分析】过点A1作A1H⊥x轴于点H，从A1开始，每8个点记为1组，根据126＝8×15+6得到A126的位置和第1组中A6的位置相同，然后求出A6，A14，A22的坐标，发现规律解答即可．【解答】解：如图，过点A1作A1H⊥x轴于点H，∵所有菱形都两两全等，∴从A1开始，每8个点记为1组，∵126＝8×15+6，∴A126的位置和第1组中A6的位置相同，∵∠A1OA3＝60°，∴∠OA1H＝30°，∵菱形OA1A2A3的边长为2，∴OA1＝A1A2＝OA3＝2，∴OH=12OA∴A1H=O∴A1（1，3），∴A2（3，3），A3（2，0），由平移得，A3A4＝2，∴OA4＝OA3+A3A4＝4，∴A4（4，0），A7（6，0），∵菱形OA1A2A3与菱形A4A5A6A7全等，同理可得，A6（5，−3），A14（13，−3），A22（21，∴A6+8n（5+8n，−3∴A6+8×15（5+8×15，−3∴A126（125，−3故答案为：（125，−3【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据126＝8×15+6得到A126的位置和第1组中A6的位置相同解答．2．（2026•连云港）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD的平分线交CD于点E，则CE＝1．【考点】平行四边形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力．【答案】1．【分析】由平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，可证得△ADE是等腰三角形，又由AB＝3，AD＝2，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，BC＝AD＝2，∴∠EAB＝∠AED，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠AED，∴DE＝AD＝2，∴CE＝CD﹣DE＝3﹣2＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．3．（2026•凉山州）四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足AO＝CO，请添加一个适当的条件：DO＝BO（答案不唯一），使四边形ABCD成为菱形．（只需要添加一个条件即可）【考点】菱形的判定．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】DO＝BO（答案不唯一）．【分析】由菱形的判定方法，即可得到答案．【解答】解：添加一个适当的条件：DO＝BO（答案不唯一），使四边形ABCD成为菱形，理由如下：∵AO＝CO，DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．故答案为：DO＝BO（答案不唯一）．【点评】本题考查菱形当判定，关键是掌握菱形的判定方法．4．（2026•云南）在矩形ABCD中，若AC＝7，则BD＝7．【考点】矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形．【答案】7．【分析】根据矩形的性质即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC，BD为矩形的两条对角线，∴AC＝BD，∵AC＝7，∴BD＝7，故答案为：7．【点评】本题主要考查了矩形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．5．（2026•自贡）如图，正方形ABCD中，点E为CD的中点，作∠EBF＝45°，交AD于点F．点G，H分别在等腰Rt△DFQ的直角边DQ和斜边FQ上，且GQ=2FH，FG与DH交于点P．连接BP，若AF＝2，则BP的最小值为45【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】45【分析】根据题意，四边形ABCD是正方形，设边长为a，如图所示，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△CBK，点K在DC的延长线上，则EF=EK=12a+2，有勾股定理列式求解得到a＝6，再证明△DFH∽△FQG，结合角度的计算得到点P在以DF为弦，含135°圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为O'，半径为R，得到R=O'D=DF2=22，如图，建立平面直角坐标系，以B为原点，BC【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，设边长为a，∴AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∵点E为CD的中点，∴DE=CE=1∵AF＝2，AD＝a，且△DFQ是等腰直角三角形，∴DF＝DQ＝AD﹣AF＝a﹣2，∠DFQ＝∠DQF＝45°，∵∠EBF＝45°，∴∠CBE+∠ABF＝∠ABC﹣∠EBF＝90°﹣45°＝45°，如图所示，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△CBK，点K在DC的延长线上，∴△ABF≌△CBK，∴BF＝BK，AF＝CK，∠ABF＝∠CBK，则∠CBK+∠CBE＝∠ABF+∠CBE＝45°＝∠EBF，且BE＝BE，∴△EBF≌△EBK（SAS），∴EF＝EK＝EC+CK＝EC+AF=12在Rt△DEF中，EF2＝DF2+DE2，∴(1整理得，a2﹣6a＝0，解得，a1＝6，a2＝0（舍去），∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∴DF＝DQ＝6﹣2＝4，DE＝3，∴FQ=2∴FQDF∵GQ=2∴GQFH∴FQDF=GQFH，且∠∴△DFH∽△FQG，∴∠FDH＝∠QFG，在△PDF中，∠DPF＝180°﹣（∠PDF+∠PFD），∵∠PFD＝∠QFD﹣∠QFG＝45°﹣∠QFG＝45°﹣∠FDH，∴∠PDF+∠PFD＝∠FDH+45°﹣∠FDH＝45°，∴∠DPF＝180°﹣45°＝135°，∴点P在以DF为弦，含135°圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为O'，半径为R，∵圆周角∠DO'F＝2×（180°﹣135°）＝90°，DF＝4，∴△DO'F是等腰直角三角形，∴R=O'D=DF如图，建立平面直角坐标系，以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，∴B（0，0），A（0，6），D（6，6），F（2，6），∵DF在直线y＝6上，且P在正方形内部（y＜6），∴圆心O'在DF的上方，且O'到DF的距离为O'J=1∵DF的中点坐标为J（4，6），∴圆心O'的坐标为（4，8），连接BO'，交圆弧于点P，此时BP取得最小值BO'=(4−0∴BP故答案为：45【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理等，掌握综合知识是解题的关键．6．（2026•连云港）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝60°，CD＝6，点P在边CD上，且PC＝2，Q为边BC上的动点，点C关于PQ的对称点为C′．若△C′AD、△C′BD的面积分别记为S△C′AD、S△C′BD，则S△C′AD﹣S△C′BD的最大值为6．【考点】菱形的性质；轴对称的性质；三角形的面积；等边三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【答案】6．【分析】依据题意得，S△ADC′﹣S△BC′D＝S△ABD﹣S△ABC′，又S△ABD面积是定值为93，S△ABC′面积随着Q的运动而变化，则当PC′⊥DC时，S△ABC′面积最小，最小值为6×(33−2)2=93−6，从而S△ADC′﹣S△BC【解答】解：由题意得，S△ADC′﹣S△BC′D＝S△ABD﹣S△ABC′，∵S△ABD面积是定值为93，S△ABC′面积随着Q∴当PC′⊥DC时，S△ABC′面积最小，最小值为6×(33∴S△ADC′﹣S△BC′D＝93−（93故答案为：6．【点评】本题主要考查了菱形的性质、三角形的面积、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用菱形的性质是关键．7．（2026•广安）正九边形一个外角的度数是40°．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；正多边形与圆；运算能力．【答案】40°．【分析】根据多边形的外角和是360°进行计算即可．【解答】解：正九边形的一个外角是360°9故答案为：40°．【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360°是正确解答的关键．8．（2026•安徽）如图，点F在正五边形ABCDE的边AB的延长线上，则∠CDE﹣∠CBF＝36°．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】36．【分析】根据正五边形的性质和它的内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合正五边形的外角和是360°，求得正五边形的每个外角是72°，然后可解答．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE=180°×(5−2)∵正五边形的外角和是360°，∴∠CBF＝360°÷5＝72°．∴∠CDE﹣∠CBF＝108°﹣72°＝36°．故答案为：36．【点评】本题考查了正五边形．解题的关键是掌握正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．熟记定义是解题的关键．9．（2026•泸州）已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为12．【考点】中点四边形；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力；推理能力；科学文化情境．【答案】12．【分析】根据矩形的性质得到AC＝BD＝6，再根据三角形中位线定理得到EH＝GF=12BD=12×6＝3，EF＝【解答】解：已知矩形的对角线长为6，如图，∴AC＝BD＝6，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD是中位线，EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线，∴EH＝GF=12BD=12×6＝3，EF＝∴顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为：EH+GF+EF+GH＝3+3+3+3＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质，解答本题的关键要明确：三角形的中位线等于第三边的一半．10．（2026•遂宁）如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，以点B为圆心，23cm为半径作弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线BK．点E在边AB上，且BE＝2AE，连结EM并延长，交BK于点F，连结DF，交BC于点G，则DG的长为352【考点】正方形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力；科学文化情境．【答案】35【分析】延长DF，AN交于M，过F作FH⊥AN于H，根据正方形的性质得到AB＝BC＝3cm，∠ABC＝∠C＝90°，由作图知BM=23cm，BF平分∠CBM，推出△BHF是等腰直角三角形，得到FH＝BH，求得BE＝2cm，根据相似三角形的性质得到FH＝1，PH＝2，根据全等三角形的性质得到CG＝BG=1【解答】解：延长DF，AN交于M，过F作FH⊥AN于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝3cm，∠ABC＝∠C＝90°，由作图知BM=23cm，BF平分∠∴∠FBP＝45°，∴△BHF是等腰直角三角形，∴FH＝BH，∵BE＝2AE，∴BE＝2cm，∵∠ABC＝∠BHF＝90°，∴BM∥FH，∴△EBM∽△EHF，∴BMFH∴23∴FH＝1，∵FH∥BC∥AD，∴△PFH∽△PDA，∴FHAD∴13∴PH＝2，∴PB＝PH+BH＝2+1＝3（cm）＝CD，∵∠C＝∠GBP＝90°，∠CGD＝∠BGF，∴△DCG≌△PBG（AAS），∴CG＝BG=12BC=∴DG=CD2故答案为：35【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性在，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．二．解答题（共10小题）11．（2026•北京）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D，E分别为AB，BC的中点，BC＝2BF，AE∥BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；（2）若AB＝2，AC＝3，求四边形DBFE的面积．【考点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】（1）∵∠CAB＝90°，E为BC的中点，∴BC＝2AE，∵BC＝2BF，∴AE＝BF，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形；（2）94【分析】（1）由直角三角形的性质得BC＝2AE，再证明AE＝BF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）证明DE是△ABC的中位线，得DE=12AC=32，DE∥AC，则∠EDB＝∠CAB＝90°，再由平行四边形的性质得AB∥EF，EF＝【解答】（1）证明：∵∠CAB＝90°，E为BC的中点，∴BC＝2AE，∵BC＝2BF，∴AE＝BF，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形；（2）解：∵D是AB的中点，AB＝2，∴BD=12∵D，E分别为AB，BC的中点，AC＝3，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC=32，∴∠EDB＝∠CAB＝90°，∴DE⊥AB，由（1）可知，四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF，EF＝AB＝2，∴四边形DBFE是梯形，∴四边形DBFE的面积=12（BD+EF）•DE=1【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理、平行线的性质以及梯形的判定与性质等知识，不同综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．12．（2026•贵州）如图，在正方形ABCD中，点E是AD边的中点，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）若正方形ABCD的边长为4，求△BCE的周长．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵点E是AD边的中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，AB=DC∠A=∠D=90°∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）4+4【分析】（1）由正方形性质得AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，再由点E是AD边的中点得AE＝DE，由此可依据“SAS”判定△ABE和△DCE全等；（2）由正方形的边长为4得AB＝AD＝BC＝CD＝4，进而得AE=12AD＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=25，再由（1）的结论得CE＝BE=25，据此可得△【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵点E是AD边的中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，AB=DC∠A=∠D=90°∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）解：∵四边形ABCD正方形的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠A＝90°，∵点E是AD边的中点，∴AE=12在Rt△ABE中，∠A＝90°，由勾股定理得：BE=A由（1）可知：△ABE≌△DCE，∴CE＝BE=25∴△BCE的周长是：BC+BE+CE=4+25【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．13．（2026•贵州）小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下：【动手操作】如图①，在直线l的两侧有两点A，B，小红要在直线l上确定一点P，使AP+BP最短．（1）请帮小红确定点P的位置，并画出图象；（2）解决该问题的依据是两点之间线段最短；【问题探究】如图②，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是对角线BD上一个动点，连接EF，CF，∠DBC＝30°，BC＝23，当EF+CF的值最小时，求线段EF的长；【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，CE⊥BD，垂足为E，∠A＝2∠ADB，AD＝1，AB＝3，若点P是线段BC垂直平分线上的一个动点，连接BP，EP．确定点P的位置使△BPE周长最小，并求出该周长的最小值．【考点】四边形综合题．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】【动手操作】（1）如图，点P即为所求；（2）两点之间线段最短；【问题探究】1；【拓展延伸】43【分析】【动手操作】（1）连接AB与直线l的交点即为点P；（2）依据为两点之间线段最短；【问题探究】过点C作BD的对称点T，CT交BD于点S，连接FT，ET，ET交BD于点Q，则EF+CF＝TF+EF≥TE，故当点F与点Q重合时，EF+CF取得最小值，如图，连接ES，然后证明FE⊥BC，再解Rt△BEF即可；【拓展延伸】过点D作DF⊥BC于点F，连接PE，PB，PC，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M，先确定△BPE周长的最小值为BE+CE，先证明△MCD∽△DCB，再利用△DBF∽△CBE求解即可．【解答】解：【动手操作】（1）如图，点P即为所求；（2）依据是：两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；【问题探究】过点C作BD的对称点T，CT交BD于点S，连接FT，ET，ET交BD于点Q，∴CS⊥BD，FT＝FC，∴EF+CF＝TF+EF≥TE，∴当点F与点Q重合时，EF+CF取得最小值，如图，连接ES，∵CS⊥BD，点E为BC中点，∠DBC＝30°，∴BE=ES=EC=12BC=12∴△ESC为等边三角形，∴SE＝SC＝ST，∴∠SEC＝∠SCE＝∠ESC＝60°，∠T＝∠SET，∵∠T+∠SET＝∠ESC，∴∠SET＝∠T＝30°，∴∠TEC＝∠SET+∠SEC＝90°，∴FE⊥BC，∴EF=BE×tan∠DBC=3【拓展延伸】如图，过点D作DF⊥BC于点F，连接PE，PB，PC，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M，∵DB＝DC，∴BF＝CF，∠DBC＝∠DCB，∴DF垂直平分BC，∴点P在直线DF上，∴PB＝PC，∴PE+PB＝PE+PC≥CE，∴当点P在CE上时，PE+PB取得最小值即为CE，∵C△BPE＝BE+PE+PB，BE不变，∴△BPE周长的最小值为BE+CE，∵AD∥BC，CM∥AB，∴四边形ABCM是平行四边形，∴CM＝AB＝3，∠A＝∠BCM，BC＝AM，∵AD∥BC，∵∠ADB＝∠DBC，∠MDC＝∠DCB，∴∠ADB＝∠DBC＝∠MDC＝∠DCB，设∠ADB＝∠DBC＝∠MDC＝∠DCB＝α，∵∠A＝2∠ADB，∴∠A＝∠BCM＝2α，∴∠DCM＝∠BCM﹣∠DCB＝α，∴∠MDC＝∠MCD＝∠DCB＝∠DBC，∴MD＝MC＝3，△MCD∽△DCB，∵BC＝AM＝AD+DM＝1+3＝4，∴MCDC∴3CD解得CD=23∵BF=CF=1∴DF=C∵CE⊥BD，∴∠DFB＝∠CEB＝90°，∵∠DBF＝∠CBE，∴△DBF∽△CBE，∴DBCB∴23∴22∴CE+BE=4∴△BPE周长的最小值为43【点评】本题考查了相似三角形的性质及判定，作图等，掌握综合知识是解题的关键．14．（2026•内蒙古）综合与探究问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD，将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点A重合放置，记该三角形为△AEF．顶点E，F分别在正方形的AB，AD边上，如图1．现将△AEF绕点A按逆时针方向旋转α角，其中0°＜α＜90°，得到△AE′F′，连接BE′，DF′，如图2．初步探究：（1）猜想线段BE′与线段DF′的数量关系，并说明理由；深入探究：（2）在△AEF绕点A按逆时针方向旋转过程中，当AE′与BE′互相垂直时，AE′交EF边于点M，E′F′交AD边于点N，如图3．①求证：NA•NF′＝ND•NE′；②求△AEM与△AFM面积的比值．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题．【答案】（1）BE'＝DF'，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AE＝AF，∠EAF＝90°，∴由旋转可得，AE'＝AF'，∠E'AF'＝90°，∴∠BAD＝∠E'AF'＝90°，∴∠BAE'＝∠DAF'∴△BAE'≌△DAF'（SAS），∴BE'＝DF'；（2）①∵AE'⊥BE'，∴∠AE'B＝90°，由（1）可得，△BAE'≌△DAF'，∴∠AE′B＝∠AF′D＝90°，∵∠E'AF'＝90°，∴∠E'AF'+∠AF'D＝180°，∴AE'∥DF'，∴NAND∴NA•NF'＝ND•NE'；②43【分析】（1）证明△BAE′≌△DAF′（SAS）即可；（2）①证明AE'∥DF′，再由平行线分线段成比例定理求解即可；②过点F作FH⊥AF交AE'的延长线于点H，先求出BE'=AB2−AE2=12，然后证明△AFH∽△BE'A，求出FH=【解答】（1）解：BE'＝DF'，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AE＝AF，∠EAF＝90°，∴由旋转可得，AE'＝AF'，∠E'AF'＝90°，∴∠BAD＝∠E'AF'＝90°，∴∠BAE'＝∠DAF'∴△BAE'≌△DAF'（SAS），∴BE'＝DF'；（2）①证明：∵AE'⊥BE'，∴∠AE'B＝90°，由（1）可得，△BAE'≌△DAF'，∴∠AE′B＝∠AF′D＝90°，∵∠E'AF'＝90°，∴∠E'AF'+∠AF'D＝180°，∴AE'∥DF'，∴NAND∴NA•NF'＝ND•NE'；②解：过点F作FH⊥AF交AE'的延长线于点H，由题意得，AB＝15，AE'＝AE＝9，∵∠AE'B＝90°，∴BE'=A∵正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠NAM＝∠EBE'＝90°﹣∠MAE，∵∠AFH＝∠BE'A＝90°，∴△AFH∽△BE'A，∴FHAE'∴FH9∴FH=27∵∠HFD＝∠BAD＝90°，∴FH∥AE，∴△AEM∽△HFM，∴EMFM∴S△AEM即△AEM与△AFM面积的比值为43【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．15．（2026•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝BF，连接DE，AF．求证：△DAE≌△ABF．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【答案】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，AD=BA∠DAE=∠ABF=90°∴△DAE≌△ABF（SAS）．【分析】由正方形性质得AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，再由AE＝BF即可依据“SAS”判定△DAE和△ABF全等．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，AD=BA∠DAE=∠ABF=90°∴△DAE≌△ABF（SAS）．【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形判定是解决问题的关键．16．（2026•湖北）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点．求证：△EBF≌△GCF．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定；三角形中位线定理．【专题】三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】∵点F是BC的中点，∴BF＝CF．∵点E，G分别是边AB，CD的中点，∴BE=12AB∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°．∴BE＝CG．在△EBF和△GCF中，BF=CF∠B=∠C∴△EBF≌△GCF（SAS）．【分析】由矩形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠C即可得证．【解答】证明：∵点F是BC的中点，∴BF＝CF．∵点E，G分别是边AB，CD的中点，∴BE=12AB∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°．∴BE＝CG．在△EBF和△GCF中，BF=CF∠B=∠C∴△EBF≌△GCF（SAS）．【点评】本题考查全等三角形的判定，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．17．（2026•巴中）如图，在▱ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．（2）若EF⊥AC，BC＝AC，∠B＝70°，求∠BAF的度数．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∵O为AC中点，∴OA＝OC，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形；（2）30°．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，再证明△AOE≌△COF（AAS），得OE＝OF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得∠BAC＝∠B＝70°，则∠ACB＝40°，再由线段垂直平分线的性质得AF＝CF，则∠FAC＝∠ACB＝40°，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∵O为AC中点，∴OA＝OC，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形；（2）解：∵BC＝AC，∠B＝70°，∴∠BAC＝∠B＝70°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝40°，∵EF⊥AC，O为AC中点，∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠ACB＝40°，∴∠BAF＝∠BAC﹣∠FAC＝70°﹣40°＝30°．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．18．（2026•绥化）综合与实践【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究．在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的动点．【观察感知】（1）如图1，当点E，F运动到AE＝BF时，连接AF，BE．求证：△ABE≌△BAF．【探索发现】（2）如图2，连接AC，点M是AC上的一点，CM：AM＝1：2，连接AF，BE，AF与BE相交于点G，连接GM．当BE平分∠ABC，AF平分∠BAC时，且AB+AC＝2BC，试求出GM与FC的数量关系，并说明你的理由．【问题拓展】（3）如图3，当AB＝23，BC＝8时，作直线EF，若直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点D作DH⊥EF于点H，连接AH．当矩形的边AD与直线EF的夹角成60°时，请你直接写出∠DAH的正切值．（自行完成作图并作答）【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；几何直观；应用意识．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠ABF＝90°，在△ABE和△BAF中，AE=BF∠BAE=∠ABF=90°∴△ABE≌△BAF（SAS）；（2）解：MGCF如图2，连接CG，过点G作GK⊥BC于点K，∵BE平分∠ABC、AF平分∠BAC，且AF与BE相交于点G，∴点G是△ABC的内心∴点G到△ABC三边的距离相等，设GK＝r，根据△ABC的面积得，12∴r（AB+AC+BC）＝BC•AB，∵AB+AC＝2BC，∴r×3BC＝BC•AB，∴AB＝3r，∴GKAB∵∠FKG＝∠FBA＝90°，∠AFB＝∠GFK，∴△FGK∽△FAB，∴GFAF∴AGAF∵CMAM∴AMAC∴AGAF∵∠GAM＝∠FAC，∴△GAM∽△FAC，∴MGCF即GM与FC的数量关系为MGCF（3）∠DAH的正切值为3323或【分析】（1）先判断出∠BAE＝∠ABF＝90°，即可得出结论；（2）连接CG，过点G作GK⊥BC于点K，先判断出点G是△ABC的内心，设GK＝r，根据△ABC的面积得，12r⋅AB+12r⋅AC+12r⋅BC=12BC⋅AB，进而得出AB＝3r（3）①当∠HED＝60°时，如图3，过点H作HN⊥AD于N，先求出∠EHN＝30°，设EN＝x，则HN=3x，进而得出EH＝2x，再判断出ED＝4x，BF＝ED＝4x，过点F作FP⊥AD于点P，求出PF＝23，进而得出AD＝8x+2，建立方程求出②当∠HED＝60°时，如图4，由①知，AD＝8x﹣2，进而建立方程求解，即可的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠ABF＝90°，在△ABE和△BAF中，AE=BF∠BAE=∠ABF=90°∴△ABE≌△BAF（SAS）；（2）解：MGCF如图2，连接CG，过点G作GK⊥BC于点K，∵BE平分∠ABC、AF平分∠BAC，且AF与BE相交于点G，∴点G是△ABC的内心，∴点G到△ABC三边的距离相等，设GK＝r，根据△ABC的面积得，12∴r（AB+AC+BC）＝BC•AB，∵AB+AC＝2BC，∴r×3BC＝BC•AB，∴AB＝3r，∴GKAB∵∠FKG＝∠FBA＝90°，∠AFB＝∠GFK，∴△FGK∽△FAB，∴GFAF∴AGAF∵CMAM∴AMAC∴AGAF∵∠GAM＝∠FAC，∴△GAM∽△FAC，∴MGCF即GM与FC的数量关系为MGCF（3）解：∠DAH的正切值为3323或理由如下：∵矩形的边AD与直线EF的夹角成60°，∴分以下两种情况讨论，①当∠HED＝60°时，如图3，过点H作HN⊥AD于N，∴∠HNE＝90°，∴∠EHN＝30°，设EN＝x，则HN=3∴EH＝2x，∵DH⊥EF，∴∠DHE＝90°，∴∠HDE＝30°，∴ED＝4x，∵直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分，∴BF＝ED＝4x，过点F作FP⊥AD于点P，∴∠APF＝90°，∴四边形ABFP是矩形，∴BF＝AP＝4x，∵AB=23∴PF＝23，在Rt△EFP中，∠EPF＝90°，∴∠PEF＝60°，∠PFE＝30°，∴PE＝2，∴AD＝AP+PE+ED＝4x+2+4x＝8x+2，∵BC＝8，∴AD＝8，∴8x+2＝8，∴x=3∴HN=3x=AN＝AP+PE+EN＝4x+2+x=23∴tan∠DAH=HN②当∠HED＝60°时，如图4，由①知，AD＝AP﹣MP+ED＝4x﹣2+4x＝8x﹣2，∵BC＝8，∴AD＝8，∴8x﹣2＝8，∴x=5∴HQ=3x=AQ＝AP﹣PE+EQ＝4x﹣2+x=17∴tan∠DAH=综上所述，∠DAH的正切值为3323或【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，角平分线的定义，正确作出辅助线是解本题的关键．19．（2026•吉林）如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，连接CE．将△BCE沿CE折叠得到△FCE．点G为CE上一点，连接FG，BG．（1）如图②，当直线BG经过点F时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使△BCF是等边三角形，不需要说明理由．（2）如图③，当BG⊥CF于点H时，判断四边形EBGF的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，延长CF交矩形ABCD的边于点P．若AB＝4，BC＝3，当PA＝PF时，直接写出BG的长．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）添加条件：∠BCE＝30°；（2）四边形EBGF是菱形，理由如下：连接FG．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，由折叠可得△CEF≌△CEB，∴∠CFE＝∠CBE＝90°，∠ECF＝∠ECB，EB＝EF，∵BH⊥CF，∴∠CHB＝∠FHB＝90°，∴∠CGH+∠ECF＝90°，∵∠CEB+∠BCE＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠CGH＝∠CEB，∵∠BGE＝∠CGH，∴∠BGE＝∠BEG，∴BG＝BE，∵BE＝FE，∴BG＝EF．∵∠CHB＝∠CFE＝90°，∴BH∥EF，∴四边形EBGF是平行四边形，∵EB＝EF，∴▱EBGF是菱形．（3）65【分析】（1）由折叠可得CB＝CF，∠FCE＝∠BCE，当∠BCE＝30°时，可得到∠BCF＝60°，即可得出△BCF是等边三角形；（2）连接FG．由矩形的性质得到∠ABC＝90°，由折叠得到∠CFE＝∠CBE＝90°，∠ECF＝∠ECB，EB＝EF，根据等角的余角相等得到∠BGE＝∠CGH＝∠GEB，从而有BG＝BE＝FE，再证明BHEF，可得四边形EBGF是平行四边形，结合EB＝EF得出▱EBGF是菱形；（3）当点P在AB上时，设PA＝PF＝x，则BP＝AB﹣AP＝4﹣x，CP＝CF+PF＝3+x，在Rt△BCP中根据勾股定理构造方程，求得PA=PF=87BP=207，设BE＝EF＝y，则PE=BP−BE=207−y，在Rt△EFP中根据勾股定理构造方程，求得BE=EF=6【解答】解：（1）由折叠可得CB＝CF，∠FCE＝∠BCE，当∠BCE＝30°时，∠FCE＝∠BCE＝30°，∴∠BCF＝∠BCE+∠FCE＝60°，∴△BCF是等边三角形．（2）四边形EBGF是菱形，理由如下：连接FG．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，由折叠可得△CEF≌△CEB，∴∠CFE＝∠CBE＝90°，∠ECF＝∠ECB，EB＝EF，∵BH⊥CF，∴∠CHB＝∠FHB＝90°，∴∠CGH+∠ECF＝90°，∵∠CEB+∠BCE＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠CGH＝∠CEB，∵∠BGE＝∠CGH，∴∠BGE＝∠BEG，∴BG＝BE，∵BE＝FE，∴BG＝EF．∵∠CHB＝∠CFE＝90°，∴BH∥EF，∴四边形EBGF是平行四边形，∵EB＝EF，∴▱EBGF是菱形．（3）①如图，点P在AB上，设PA＝PF＝x，则BP＝AB﹣AP＝4﹣x，∵由翻折有CF＝CB＝3，∴CP＝CF+PF＝3+x，∵在Rt△BCP中，BC2+BP2＝PC2，∴32+（4﹣x）2＝（3+x）2，解得x=8∴PA=PF=8∴BP=20设BE＝EF＝y，则PE=BP−BE=20∵∠CFE＝90°，∴∠EFP＝180°﹣∠CFE＝90°，∴在Rt△EFP中，EF2+PF2＝PE2，即y2解得y=6∴BE=EF=6∴BG=EF=6②如图，点P在CD上，设PA＝PF＝x，则DP＝AD﹣AP＝3﹣x，由翻折有CF＝CB＝3，∴CP＝CF+PF＝3+x，∵在Rt△DCP中，DC2+DP2＝PC2，则42+（3﹣x）2＝（3+x）2，解得x=4∴PA=PF=4∴DP=5设BE＝EF＝y，则AE＝BA﹣BE＝4﹣y，∵∠CFE＝90°，∴∠EFP＝180°﹣∠CFE＝90°，∴在Rt△EFP中，EF2+PF2＝PE2，在Rt△EAP中，EA2+PA2＝PE2，∴EA2+PA2＝EF2+PF2，即EF2＝AE2，EF＝AE，∴y＝4﹣y，解得y＝2，∴BE＝EF＝2，∴BG＝EF＝2．综上，BG的长为65【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等边三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．20．（2026•深圳）综合与探究定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为k（k≥1），则称该四边形为“k倍四边形”．（1）①如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E为OB中点．若四边形AECD为k倍四边形，则k的值为2；②如图2，在k倍四边形ABCD中，若对角线AC被BD平分，则S△ACDS△ACB=（2）如图3，四边形ABCD为k倍四边形，其对角线BD平分对角线AC，且满足∠BDC＝2∠ABD，BD＝4CD，求k的值；（3）如图4，已知定点A，B，且AB⊥BM，点C为射线BM上一动点，点D为平面内一点，连接A，B，C，D构成四边形ABCD．若BD平分AC，∠BAC＝∠DAC，四边形ABCD是“2倍四边形”，求tan∠ACD的值．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）①2；②k；（2）53（3）35或15【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，根据点E为OB中点，得出DO＝2EO，结合k倍四边形的定义，即可求解；②过点B，D分别作AC的垂线，垂足分别为E，F，证明△BOE∽△DOF得出DFBE（2）过点A作AG∥CD交BD于点G，证明△APG≌△CPD（AAS）得出AG＝CD，设CD＝a，进而表示出BP，PD的长，即可求解；（3）设AC，BD交于点E，过点B，D分别作AC的垂线，垂足分别为H，G；分两种情况讨论，当BEDE=2时，设BE＝2，DE＝1，证明△DGE∽△BHE得出EHEG=2，设EH＝2m，则EG＝m，证明△ABH∽△ADG得出AH＝2AG，进而求得m的值，勾股定理求得【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵E是OB的中点，∴BE=EO=1∵四边形AECD为k倍四边形，∴k=DO故答案为：2；②如图，过点B，D分别作AC的垂线，垂足分别为E，F，∵∠EOB＝∠DOF，∠BEO＝∠DFO＝90°，∴△BOE∽△DOF，∴DFBE∵对角线AC被BD平分，∴S△ACD故答案为：k；（2）如图，过点A作AG∥CD交BD于点G，∴∠3＝∠BDC，∵∠BDC＝2∠ABD，∴∠3＝2∠2，又∵∠1+∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AG＝BG，∵四边形ABCD为k倍四边形，其对角线BD平分对角线AC，∴AP＝PC，又∵∠APG＝∠CPD，∴△APG≌△CPD（AAS），∴AG＝CD，GP＝DP，设CD＝a，∴AG＝CD＝a，∴BG＝a，∵BD＝4CD＝4a，∴GD＝BD﹣BG＝4a﹣a＝3a，∴GP=PD=1则BP=BG+GP=a+3∴k=BP（3）设AC，BD交于点E，过点B，D分别作AC的垂线，垂足分别为H，G，①当BEDE=2时，设BE＝2，∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝AE＝EC＝2，∵∠BEH＝∠DEG，∠DGE＝∠BHE＝90°，∴△DGE∽△BHE，∴BEDE设EH＝2m，则EG＝m，∴AH＝AE+EH＝2+2m，AG＝AE﹣GE＝2﹣m，∵∠BAC＝∠DAC，∠AGD＝∠AHB＝90°，∴△ABH∽△ADG，∴AHAG∴AH＝2AG，即2+2m＝2（2﹣m），解得m=1∴CG=CE+GE=2+1在Rt△DEG中，GD=D∴tan∠ACD=tan∠GCD=GD②当BEDE=12时，设同①可得BE＝AE＝EC＝1，△ABH∽△ADG，∴AHAG同①可得△DGE∽△BHE，∴BEDE设EH＝m，则EG＝2m，∴AH＝AE﹣HE＝1﹣m，AG＝AE+EG＝1+2m，∵2AH＝AG，即2（1﹣m）＝1+2m，解得m=1∴EG=2m=12，在Rt△DEG中，GD=D∴tan∠ACD=tan∠GCD=GD综上所述，tan∠ACD=35或【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键．

考点卡片1．规律型：点的坐标1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．2．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．3．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．6．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2−b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．8．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：9．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=1210．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即