2026年中考数学真题知识点专题 图形的对称(二)

年中考数学真题知识点分类汇编之图形的对称（二）一．填空题（共14小题）1．（2026•甘肃）如图，矩形纸片ABCD的边BC上有一点E，将纸片沿AE折叠，点B落在点B′．若∠CEB′＝60°，AB＝3cm，则点B′到AD的距离等于cm．2．（2026•内蒙古）如图，等边三角形纸片ABC的边长为10，点E，F分别为AB，AC边上的点．将∠BAC沿EF折叠，若点A恰好落在该纸片BC边的中点D处，则四边形EBDF的周长是．3．（2026•绥化）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P，D分别在边AB，BC上运动，连接PC，PD．则PC+PD的最小值是．4．（2026•湖北）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝22，∠D＝105°，点M是边DC上一动点，将△ADM沿AM翻折，得到△AEM．（1）当ME⊥DC时，∠BAE的度数是；（2）过点A作直线BE的垂线，垂足为H，则BH的最小值是．5．（2026•黑龙江）在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直角三角形纸片进行折叠．已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝2，在AC边上找一点D，将纸片沿BD折叠，使点A落在A′处，当△A′BD的某一边与AC边垂直时，A′D＝．6．（2026•黑龙江）如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD＝16，P，Q为BD上两个动点，且PQ＝2，则AP+AQ的最小值为．7．（2026•扬州）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形ABCD和正方形BEFG按如图所示的方式摆放，在AB边上取点M，使AM＝BE，沿MD，MF剪开，可拼成正方形MFND．若AE＝9，MN＝10，则△DAM的面积是．8．（2026•苏州）如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AB＝2．将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若点A'恰好落在边BC上，则线段AD长度的最小值为．9．（2026•眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在AB边上，且BE＝3，点F是BC边上的一个动点，将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点B′，连接AB′．点G在线段AB′上，若AG=23AB'，连接DG，则DG10．（2026•山东）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝4cm，AD＝5cm，点E是边AD的中点，点F在边CD上，连接EF．将纸片沿EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG，CG．若AG＝3cm，GE∥AB，则△CFG的面积为cm2．11．（2026•连云港）取一张矩形纸片ABCD（图1），按如图2所示方式折叠，使点A落在CD上，折痕为DE，再按如图3所示方式折叠，点C与点E恰好重合，则ABBC=12．（2026•凉山州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝8厘米．动点E从点B出发以2厘米/秒的速度在线段BC上运动，运动到点C处停止．动点E运动t秒时，连接AE，将△ABE沿着直线AE折叠，顶点B的对应点是点F，连接CF．当△EFC是直角三角形时，则t为秒．13．（2026•广安）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点E是射线BC（不与点B重合）上的一个动点，连接AE并延长交直线CD于点F，将△ABE沿射线AE翻折，点B的对应点为点B′，延长AB′交直线CD于点G．有下列结论：①AG＝GF；②∠DGA＝2∠BAE；③若点B′恰好落在对角线AC上时，则CE=52；④若BECE=32时，则S△AB'D=5441或185；⑤B14．（2026•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为．二．解答题（共2小题）15．（2026•深圳）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接OC并延长至点D，使得∠CBD＝∠ACO．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，BD＝6，求BC的长；（3）利用圆规和无刻度直尺在图中作出点C关于直线AB的对称点P（保留作图痕迹，不要求写出作法）．16．（2026•福建）如图，在四边形ABCD中，E是AB上的一点，∠ADC＝∠BCD＝∠CED＝90°，CE＝DE．四边形A′B′CD由四边形ABCD沿CD翻折得到，点A，B，E的对应点分别为A′，B′，E′．F是AD延长线上的一点，且FE′∥AB．（1）求证：E′A′＝E′F；（2）若AD=2，DE＝4，求A′F

2026年中考数学真题知识点分类汇编之图形的对称（二）参考答案与试题解析一．填空题（共14小题）1．（2026•甘肃）如图，矩形纸片ABCD的边BC上有一点E，将纸片沿AE折叠，点B落在点B′．若∠CEB′＝60°，AB＝3cm，则点B′到AD的距离等于1.5cm．【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】1.5．【分析】过点B'作B'F⊥AD交AD于点F，根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解题即可．【解答】解：如图，过点B'作B'F⊥AD交AD于点F，由折叠的性质知，∠BEA＝∠B'EA，AB＝AB'＝3cm，∠B'AE＝∠BAE，∵∠CEB'＝60°，∴∠BEA=180°−∠CEB'∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠BEA＝90°﹣60°＝30°，∴∠B'AE＝30°，∴∠B'AF＝90°﹣∠BAE﹣∠B'AE＝90°﹣2×30°＝30°，∴B'F=1故答案为：1.5．【点评】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形，矩形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．2．（2026•内蒙古）如图，等边三角形纸片ABC的边长为10，点E，F分别为AB，AC边上的点．将∠BAC沿EF折叠，若点A恰好落在该纸片BC边的中点D处，则四边形EBDF的周长是20．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例；等边三角形的性质；三角形中位线定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】20．【分析】连接AD交EF于点O，由三线合一得BD=CD=12BC=5，AD⊥BC，由折叠的性质可知OA＝OD，AE＝DE，AF＝DF，AD⊥EF，可得EF∥BC，由平行线分线段成比例求出AE=BE=12AB=5，AF＝CF＝【解答】解：如图，连接AD交EF于点O，∵△ABC是等边三角形，边长为10，∴AB＝BC＝AC＝10，∵点D是BC边的中点，∴BD=CD=12BC=5，AD由折叠的性质可知OA＝OD，AE＝DE，AF＝DF，AD⊥EF，∴EF∥BC，∴AEBE∴AE=BE=12AB=5，AF＝CF＝DF∴EF=12∴四边形EBDF的周长＝BD+DF+EF+BE＝5+5+5+5＝20．故答案为：20．【点评】本题考查等边三角形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，折叠的性质，掌握以上知识点是解题的关键．3．（2026•绥化）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P，D分别在边AB，BC上运动，连接PC，PD．则PC+PD的最小值是3．【考点】轴对称﹣最短路线问题；含30度角的直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】3．【分析】延长CA至点M，使∠ABM＝∠CBA，连接MB，过点C作CN⊥MB，交AB于点P，过点P作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质及垂线段最短可得此时PC+PD有最小值，即CN的长度，然后通过解直角三角形求得MC的长度，从而利用面积法求解即可．【解答】解：延长CA至点M，使∠ABM＝∠CBA，连接MB，过点C作CN⊥MB，交AB于点P，过点P作PD⊥BC于点D，∵∠ABM＝∠CBA，∴PD＝PN，这时PC+PD有最小值，即CN的长度，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴BC=AC∵∠ABM＝∠ABC＝30°，∴∠CBM＝∠ABC+∠ABM＝60°，∴MB=BCcos∠MBC=∵S△CMB即12∴CN＝3，∴PC+PD的最小值是3，故答案为：3．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握轴对称是解题的关键．4．（2026•湖北）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝22，∠D＝105°，点M是边DC上一动点，将△ADM沿AM翻折，得到△AEM．（1）当ME⊥DC时，∠BAE的度数是15°；（2）过点A作直线BE的垂线，垂足为H，则BH的最小值是22．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．【专题】展开与折叠．【答案】（1）15°；（2）22．【分析】（1）利用平行四边形邻角互补求出∠DAB，结合折叠性质与ME⊥DC，用四边形内角和算出∠DAE，两角相减即可得到∠BAE；（2）由折叠得AE长度固定，确定点E在以A为圆心，22为半径的定圆上；在Rt△AHB中，斜边AB不变，AH越大，BH越小；根据一点到直线的线段中垂线段最短得AH最大等于AE；代入勾股定理计算出BH【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝105°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣105°＝75°，由翻折得∠AEM＝∠D＝105°，∵ME⊥DC，∴∠DME＝90°，在四边形ADME中，∠DAE＝360°﹣∠D﹣∠DME﹣∠AEM＝60°，∴∠BAE＝∠DAB﹣∠DAE＝15°，故答案为：15°；（2）∵AB＝4，AD=22∴在Rt△AHB中，BH=A由翻折得AE=AD=22∴点E在以A为圆心，22∵AH⊥BE，∴AH≤AE，∴AH最大为22∴BH的最小值是16−(22故答案为：22．【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．5．（2026•黑龙江）在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直角三角形纸片进行折叠．已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝2，在AC边上找一点D，将纸片沿BD折叠，使点A落在A′处，当△A′BD的某一边与AC边垂直时，A′D＝2−3或3+12或【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；展开与折叠；运算能力；推理能力．【答案】2−3或3+12【分析】先根据直角三角形的性质求出原三角形的边长，再根据折叠的性质得到对应边和对应角相等，分三种情况讨论：当A′B⊥AC，当A′D⊥AC，当BD⊥AC当利用直角三角形的边角关系计算A′D的长度．【解答】解：已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝2，所以AB＝1，∠A＝60°．由折叠性质可知：A′D＝AD，A′B＝AB＝1，∠BA′D＝∠A＝60°．过B作BE⊥AC于点E，可得BE=AB⋅sin60°=32，当A′D⊥AC时：∠A′DA＝90°，由折叠性质得∠ADB＝∠A′DB＝45°，在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠BDE＝45°，所以DE=BE=32所以AD=DE+AE=32+当A′B⊥AC时：A'E=A'B−BE=1−3在Rt△A′DE中，∠A′ED＝90°，∠DA′E＝60°，所以A'D=A'E当BD⊥AC时：∠BDA′＝90°，则D，E重合，所以A'D=AE=AD=综上，A′D的值为2−3或3+12故答案为：2−3或3+12【点评】本题考查翻折变换，含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．6．（2026•黑龙江）如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD＝16，P，Q为BD上两个动点，且PQ＝2，则AP+AQ的最小值为237【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】237【分析】利用菱形的轴对称性可知点A关于BD的对称点为点C，则AP＝CP，将AP+AQ转化为CP+AQ；通过平移构造平行四边形，将CP转化为C′Q，从而将问题转化为求AC′的最小值，最后利用勾股定理求解【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD=12BD=8，AC⊥BD，OA在Rt△AOB中，OA=A∴AC＝2OA＝12，∵点A关于BD的对称点是点C，∴AP＝CP，∴AP+AQ＝CP+AQ，将点C沿BD方向平移2个单位长度得到点C′，连接C′Q，AC′，∴CC′∥PQ，CC′＝PQ＝2，∴四边形CC′QP是平行四边形，∴CP＝C′Q，∴AP+AQ＝C′Q+AQ，当A，Q，C′三点共线时，C′Q+AQ最小，最小值为线段AC′的长，∵CC′∥BD，AC⊥BD，∴AC⊥CC′，∴∠ACC′＝90°在Rt△ACC′中，AC'=A∴AP+AQ的最小值为237故答案为：237．【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．7．（2026•扬州）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形ABCD和正方形BEFG按如图所示的方式摆放，在AB边上取点M，使AM＝BE，沿MD，MF剪开，可拼成正方形MFND．若AE＝9，MN＝10，则△DAM的面积是314【考点】图形的剪拼；整式的混合运算；全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【答案】314【分析】设AM＝BE＝EF＝x，AD＝AB＝EM＝y．构建方程组求出12xy【解答】解：设AM＝BE＝EF＝x，AD＝AB＝EM＝y．∵AE＝9，∴x+y＝9①，∵四边形DMFN是正方形，∴MN=2FM∴MN2＝2MF2，∵MF2＝EF2+EM2，∴102＝2（x2+y2），∴x2+y2＝50②，①2﹣②得到2xy＝31，∴12xy=∴△DAM的面积=12AD•AM=1故答案为：314【点评】本题考查图形的拼剪，整式的混合运算，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题．8．（2026•苏州）如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AB＝2．将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若点A'恰好落在边BC上，则线段AD长度的最小值为43−6【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】43【分析】过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝x，则BD＝2﹣x，解Rt△DHB得DH=3(2−x)2，由翻折性质得AD＝A'D＝x，由此得当A'D为最小时，线段AD的长度为最小，再根据“垂线段最短”得A'D≥DH，则当点A'与点H重合时，A'D为最小，此时AD的长度为最小，由此得x≥3(2−x)2，解得x【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：∴∠DHB＝∠DHA'＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，设AD＝x，∵AB＝2，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣x，在△DHB中，∠DHB＝90°，∴sinB=DH∴DH＝BD•sinB＝（2﹣x）×sin60°=3∵将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若点A'恰好落在边BC上，∴AD＝A'D＝x，∴当A'D为最小时，线段AD的长度为最小，根据“垂线段最短”得：A'D≥DH，∴当点A'与点H重合时，A'D为最小，此时AD的长度为最小，∴x≥3解得：x≥43∴x的最小值为43∴线段AD长度的最小值为43故答案为：43【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握图形的翻折变换及性质，等边三角形的性质，灵活利用锐角三角函数的定义计算是解决问题的关键．9．（2026•眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在AB边上，且BE＝3，点F是BC边上的一个动点，将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点B′，连接AB′．点G在线段AB′上，若AG=23AB'，连接DG，则DG的最小值为【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】410【分析】根据翻折的性质可知EB'＝EB＝3，即点B'在以E为圆心，3为半径的圆上运动，由AG=23AB'，联想到位似变换，在AE上取点H使得AH=23AE，构造△AHG∽△AEB'，从而确定点G的轨迹是以H为圆心，2为半径的圆，连接DH，当D，G，【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝12，AB＝9，∵点E在AB边上，BE＝3，∴AE＝AB﹣BE＝9﹣3＝6，由翻折的性质可知，EB'＝EB＝3，如图，在AE上取一点H，使得AH=23AE∴AH=2在△AHG和△AEB'中，AGAB'=AHAE=∴△AHG∽△AEB'，∴HGEB'∴HG=2∵点H是定点，HG长为定值2，∴点G在以点H为圆心，2为半径的圆上运动，连接DH，当点G在线段DH上时，DG的值最小，最小值为DH﹣HG，在Rt△DAH中，AD＝12，AH＝4，根据勾股定理得：DH=A∴DG的最小值为410故答案为：410【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，点与圆上一点的最值问题，掌握以上知识点是解题的关键．10．（2026•山东）如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝4cm，AD＝5cm，点E是边AD的中点，点F在边CD上，连接EF．将纸片沿EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG，CG．若AG＝3cm，GE∥AB，则△CFG的面积为1.8cm2．【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；平行四边形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】1.8．【分析】过点G作GH⊥AD于点H，连接GD，由平行四边形性质得AB∥CD，再由点E是AD的中点得AE＝DE＝2.5cm，设AH＝acm，则EH＝（2.5﹣a）cm，由折叠性质得GE＝DE＝2.5cm，∠1＝∠2，∠EGF＝∠D，在△GHA和△GHE中，由勾股定理得GH＝a=95cm，进而得GH=125cm，再由平行线的性质可证明∠2＝∠4，进而得DF＝DE＝2.5cm，继而可得平行四边形EGFD的面积为3cm2，则△GDF的面积为1.5，然后根据S△CFGS【解答】解：过点G作GH⊥AD于点H，连接GD，如图所示：∴∠GHA＝∠GHE＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4cm，∴AB∥CD，CD＝AB＝4cm，∵点E是AD的中点，且AD＝5cm，∴AE＝DE＝2.5cm，设AH＝acm，则EH＝AE﹣AH＝（2.5﹣a）cm，由折叠性质得：GE＝DE＝2.5cm，∠2＝∠3，∠EGF＝∠D，在△GHA和△GHE中，∠GHA＝∠GHE＝90°，AG＝3cm，由勾股定理得：GH2＝AG2﹣AH2＝GE2﹣EH2，∴32﹣a2＝2.52﹣（2.5﹣a）2，解得：a=9∴AH＝a=95（∴GH=32−∵GE∥AB，AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠1＝∠ADC，∴∠1＝∠EGF．∴AD∥GF，∵GE∥AB，AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠1＝∠D，∴∠1＝∠EGF．∴AD∥GF，在四边形EGFD中，GE∥CD，AD∥GF，∴四边形EGFD是平行四边形，∴DF＝GE＝2.5cm，∴CF＝CD﹣DF＝1.5cm，∵平行四边形EGFD的面积为：DE•GH=2.5×125=6（∴S△GDF=12×6＝3（∴GE∥CD，∴△CFG的边CF上的高与△GDF的边DF上的高相同，∴S△CFG∴S△CFG=35S△GDF故答案为：1.8．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行四边形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，平行四边形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．11．（2026•连云港）取一张矩形纸片ABCD（图1），按如图2所示方式折叠，使点A落在CD上，折痕为DE，再按如图3所示方式折叠，点C与点E恰好重合，则ABBC=2【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】2．【分析】在图3的CD上截取CH＝CG，连接GH，根据按如图2所示方式折叠得∠CDE＝∠ADE＝45°，根据再按如图3所示方式折叠得∠CDG＝∠EDG＝22.5°，∠CGD＝∠EGD，CG＝EG，在Rt△CDG中可得∠CGD＝67.5°，则∠CGD＝∠EGD＝67.5°，由此得∠BGE＝45°，则△BGE是等腰直角三角形，设BG＝BE＝a，由勾股定理得EG=2a，则CG＝EG=2a，在Rt△CGH中可得∠CHG＝45°，CH＝CG=2a，GH＝2a，则BC=a+2a，再证明∠CDG＝∠HGD＝22.5°得DH＝GH＝2a【解答】解：在图3的CD上截取CH＝CG，连接GH，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，∵按如图2所示方式折叠，使点A落在CD上，折痕为DE，∴∠CDE＝∠ADE=12∠∵再按如图3所示方式折叠，点C与点E恰好重合，∴∠CDG＝∠EDG=12∠CDE＝22.5°，∠CGD＝∠EGD，CG＝在△CDG中，∠C＝90°，∴∠CGD＝90°﹣∠CDG＝67.5°，∴∠CGD＝∠EGD＝67.5°，∴∠CGE＝∠CGD+∠EGD＝135°，∴∠BGE＝180°﹣∠CGE＝45°，在△BGE中，∠B＝90°，∠BGE＝45°，∴△BGE是等腰直角三角形，∴BG＝BE，设BG＝BE＝a，由勾股定理得：EG=B∴CG＝EG=2在△CGH中，∠C＝90°，CH＝CG，∴△CGH是等腰直角三角形，∴∠CHG＝45°，CH＝CG=2由勾股定理得：GH=CG2∴BC＝BG+CG=a+2∵∠CHG是△HDG的外角，∴∠CHG＝∠CDG+∠HGD，∴∠HGD＝∠CHG﹣∠CDG＝45°﹣22.5°＝22.5°，∴∠CDG＝∠HGD＝22.5°，∴DH＝GH＝2a，∴DC＝DH+CH=2a+2∴AB＝DC=2a+2∴ABBC故答案为：2．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．12．（2026•凉山州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝8厘米．动点E从点B出发以2厘米/秒的速度在线段BC上运动，运动到点C处停止．动点E运动t秒时，连接AE，将△ABE沿着直线AE折叠，顶点B的对应点是点F，连接CF．当△EFC是直角三角形时，则t为3或1.5秒．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】3或1.5．【分析】由矩形性质得CD＝AB＝6厘米，AD＝BC＝8厘米，∠B＝∠BCD＝90°，由折叠性质得AF＝AB＝6厘米，FE＝BE，∠AFE＝∠B＝90°，根据∠ECF＜∠BCD＝90°得有以下两种情况：①当∠CEF＝90°时，则∠BEF＝90°，由此得四边形ABEF是矩形，在根据AF＝AB＝6厘米得矩形ABEF是正方形，则BE＝AB＝6厘米，点F在AD边上，此时点E运动的时间t＝6÷2＝3（秒）；②当∠CFE＝90°时，则∠AFE+∠CFE＝180°，由此得点C，F，A共线，由勾股定理求出AC＝10厘米得CF＝4厘米，设BE＝a厘米，则FE＝BE＝a厘米，CE＝（8﹣a）厘米，在Rt△CFE中，由勾股定理得BE＝a＝3厘米，此时点E运动的时间t＝3÷2＝1.5（秒），综上所述即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6厘米，BC＝8厘米，∴CD＝AB＝6厘米，AD＝BC＝8厘米，∠B＝∠BCD＝90°，由折叠性质得：AF＝AB＝6厘米，FE＝BE，∠AFE＝∠B＝90°，∵动点E从点B出发以2厘米/秒的速度在线段BC上运动，∴∠ECF＜∠BCD＝90°，∴当△EFC是直角三角形时，有以下两种情况：①当∠CEF＝90°时，则∠BEF＝180°﹣∠CEF＝90°，∴∠B＝∠BEF＝∠AFE＝90°，∴四边形ABEF是矩形，又∵AF＝AB＝6厘米，∴矩形ABEF是正方形，∴BE＝AB＝6厘米，点F在AD边上，如图1所示：此时点E运动的时间t＝6÷2＝3（秒）；②当∠CFE＝90°时，则∠AFE+∠CFE＝180°，∴点C，F，A共线，如图2所示：在△ABC中，∠B＝90°，由勾股定理得：AC=A∴CF＝AC﹣AF＝10﹣6＝4（厘米），设BE＝a厘米，则FE＝BE＝a厘米，∴CE＝BC﹣BE＝（8﹣a）厘米，在△CFE中，∠CFE＝90°，由勾股定理得：CE2＝EF2+CF2，∴（8﹣a）2＝a2+42，解得：a＝3，∴BE＝a＝3厘米，此时点E运动的时间t＝3÷2＝1.5（秒），综上所述：△EFC是直角三角形时，则t为3或1.5秒．故答案为：3或1.5．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，灵活利用勾股定理计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．13．（2026•广安）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点E是射线BC（不与点B重合）上的一个动点，连接AE并延长交直线CD于点F，将△ABE沿射线AE翻折，点B的对应点为点B′，延长AB′交直线CD于点G．有下列结论：①AG＝GF；②∠DGA＝2∠BAE；③若点B′恰好落在对角线AC上时，则CE=52；④若BECE=32时，则S△AB'D=5441或185；⑤B′D【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；展开与折叠．【答案】①③⑤．【分析】①②分类讨论，当E在C的左侧和E在C的右侧（含点C），根据矩形性质和折叠的性质即可推出结论；③先判断E在C的左侧，根据矩形的性质结合勾股定理求出AC的长，再根据折叠的性质结合勾股定理求出CE的长；④分类讨论，当E在C的左侧和E在C的右侧（含点C），分别作过点D作DM⊥AG交AG于点M，过点D作DN⊥AG交AG于点N，运用矩形的性质证明△ABE﹣△FCE，得出FC的长，再结合①的结论算出DG的长，根据等面积法求出DM、DN，最后运用三角形的面积求解即可；⑤先判断g在以A为圆心，半径为3的圆上运动，即可求解【解答】解：关于①，如图，当E在C的左侧，∵△ABE关于AE折叠为△A'BE，∴∠BAE=∠B'AE=1∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠AFD，∴∠AFD＝∠B'AE，∴AG＝GF，如图，E在C的右侧（含点C），与当E在C的左侧同理，与当E在C的左侧同理，综上，AG＝GF，∴①符合题意；关于②，如图，当E在C的左侧，∵△ABE关于AE折叠为△AB'E，∴2∠BAE＝2∠B'AE＝∠BAB'，∴四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠AGD＝∠BAB'＝2∠BAE，如图，E在C的右侧（含点C），∵AB∥CD，∴∠AGD+∠BAB'＝∠AGD+2∠BAE＝180°，即∠AGD＝180°﹣2∠BAE，∴②不符合题意；关于③，∵点B'恰好落在对角线AC上，∴如图，E在C的左侧，∵矩形ABCD，∴∠B＝90°∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴根据勾股定理，AC=A∵△ABE关于AE折叠为△AB′E，∴BE＝B'E，AB＝AB'，∠B＝∠AB'E＝90°，∴∠AB'E＝∠CB'E＝90°，B'C＝AC﹣AB'＝2，在Rt△CB'E中，B'C＝2，B'E＝BE＝BC﹣CE＝4﹣CE，∴根据勾股定理，CE2＝B'E2+B'C2，即CE2＝（4﹣CE）2+4，解得：CE=5∴③符合题意；关于④，如图，当E在C的左侧，过点D作DM⊥AG交AG于点M，∵△ABE关于AE折叠为△AB′E，∴AB＝AB'＝3，∵矩形ABCD，∴AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴△ABE∽△FCE，∴ABFC=BE解得：FC＝2，∴GF＝CD﹣DG+CF＝5﹣DG，在Rt△ADG中，AD＝4，∴根据勾股定理，AG2＝AD2+DG2＝4+DG2，∵由①得AG＝GF，∴AG2＝GF2，即16+DG2＝（5﹣DG）2，解得：DG=9∴AG=GF=41∵S△AGD=1∴DM=36∴S△ABD如图，当E在C的右侧（含点C），过点D作DN⊥AG交AG于点N，∵△ABE关于AE折叠为△AB′E，∴AB＝AB；＝3，∵矩形ABCD，∴AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴△ABE∽△FCE，∴ABFC=BECE=∴GF＝CD﹣CF+DG＝1+DG，∵在Rt△ADG中，AD＝4，∴根据勾股定理，AG2＝AD2+DG2＝4+DG2，∵由①得AG＝GF，∴AG2＝GF2，即16+DG2＝（1+DG）2，解得：DG=15∴AG=GF=17∵S△AGD=1∴DN=60∴S△AB'D综上，S△AB'D=54∴故④不符合题意；关于⑤，∵△ABE关于AE折叠为△AB′E，∴AB＝AB'＝3，∴如图，B'在以A为圆心，半径为3的圆上运动，∵点E是射线BC（不与点B重合）上的一个动点，∴0°＜∠BAE＜90°，即0°＜∠BAB'＜180°，∴B'在BT上运动，当B'在K点时，B'D有最小值，最小值为4﹣3＝1，当B'接近T时停止，B′D趋近于DT=4∴B′D的取值范围为1≤B′D＜5，故⑤符合题意；综上，符合题意的有①③⑤，故答案为：①③⑤．【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），三角形的面积，矩形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．14．（2026•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】函数及其图象；运算能力．【答案】（﹣3，﹣5）．【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可解答．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5），故答案为：（﹣3，﹣5）．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．二．解答题（共2小题）15．（2026•深圳）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接OC并延长至点D，使得∠CBD＝∠ACO．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，BD＝6，求BC的长；（3）利用圆规和无刻度直尺在图中作出点C关于直线AB的对称点P（保留作图痕迹，不要求写出作法）．【考点】作图﹣轴对称变换；圆周角定理；切线的判定与性质．【专题】作图题；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∵∠CBD＝∠ACO，∴∠CBD＝∠OAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°，∵OB为半径，∴BD是⊙O的切线；（2）1013（3）如图，点P即为所求．【分析】（1）由OA＝OC结合已知条件得到∠CBD＝∠OAC，然后根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再由直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可；（2）设OB＝OC＝r，则OD＝r+4，先对Rt△OBD运用勾股定理求解半径r，然后利用△BOT∽△DOB，以及对Rt△BTC运用勾股定理求解即可；（3）以点A为圆心，AC为半径画弧与⊙O交点即为点P．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∵∠CBD＝∠ACO，∴∠CBD＝∠OAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°，∵OB为半径，∴BD是⊙O的切线；（2）解：过点B作BT⊥OC于点T，则∠OTB＝90°，设OB＝OC＝r，则OD＝r+4，∵∠ABD＝90°，∴OB2+BD2＝OD2，∴r2+62＝（r+4）2，解得r=5∵∠OTB＝∠OBD＝90°，∠BOT＝∠DOB，∴△BOT∽△DOB，∴BOOT∴52∴OT=2526，∴CT=OC−OT=5∴BC=B（3）解：连接AP，PC，由作图可得AP＝AC，则AP=AC，再由垂径定理的推论可得AB垂直平分CP，即可得到点P，C关于【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换、切线的判定与性质、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是关键．16．（2026•福建）如图，在四边形ABCD中，E是AB上的一点，∠ADC＝∠BCD＝∠CED＝90°，CE＝DE．四边形A′B′CD由四边形ABCD沿CD翻折得到，点A，B，E的对应点分别为A′，B′，E′．F是AD延长线上的一点，且FE′∥AB．（1）求证：E′A′＝E′F；（2）若AD=2，DE＝4，求A′F【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）由翻折性质得：∠B'A'D＝∠A，点F是AD延长线上的一点，∴∠E'A'F+∠B'A'D＝180°，∴∠E'A'F+∠A＝180°，∵FE′∥AB，∴∠F+∠A＝180°，∴∠E'A'F＝∠F，∴E′A′＝E′F；（2）A′F的长是22【分析】（1）由翻折性质得∠B'A'D＝∠A，再由∠E'A'F+∠B'A'D＝180°得∠E'A'F+∠A＝180°，然后由FE′∥AB得∠F+∠A＝180°，则∠E'A'F＝∠F，据此可得E′A′＝E′F；（2）过点E'作E'H⊥A'F于点H，由（1）的结论得A'H＝FH，则A'F＝2A'H，由翻折性质得DE＝DE'，CE＝CE'，A'D＝AD=2，∠A'DC＝∠ADC＝90°，再由CE＝DE＝4，∠CED＝90°得四边形形DECE'是正方形，则∠E'DC＝45°，进而得∠E'DH＝45°，由此得△E'HD是等腰直角三角形，再由勾股定理得DH=22，则A'H=2，据此可得A'F＝2A'【解答】（1）证明：由翻折性质得：∠B'A'D＝∠A，点F是AD延长线上的一点，∴∠E'A'F+∠B'A'D＝180°，∴∠E'A'F+∠A＝180°，∵FE′∥AB，∴∠F+∠A＝180°，∴∠E'A'F＝∠F，∴E′A′＝E′F；（2）解：过点E'作E'H⊥A'F于点H，如图所示：∴∠E'HD＝90°，由（1）的结论可知：△E'A'F是等腰三角形，∴A'H＝FH，∴A'F＝2A'H，由翻折性质得：DE＝DE'，CE＝CE'，A'D＝AD=2，∠A'DC＝∠ADC又∵CE＝DE，DE＝4，∴DE＝DE'＝CE＝CE'＝4，∴四边形DECE'是菱形，又∵∠CED＝90°，∴菱形DECE'是正方形，∴∠E'DC＝45°，∴∠E'DH＝∠A'DC﹣∠E'DC＝45°，在△E'HD中，∠E'HD＝90°，∠E'DH＝45°，∴△E'HD是等腰直角三角形，∴DH＝E'H，由勾股定理得：DE'=E'H∴DH=22∴A'H＝DH﹣A'D=22∴A'F＝2A'H=22【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及性质，熟练掌握正方形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理计算是解决问题的关键．

考点卡片1．整式的混合运算（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．2．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．3．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．5．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2−b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．7．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：8．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=129．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．10．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、11．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．12．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．13．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（