2026年中考数学真题知识点专题 图形的相似(一)

年中考数学真题知识点分类汇编之图形的相似（一）一．选择题（共13小题）1．（2026•贵州）如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m，测得AE＝6m，BE＝18m，则旗杆BC的高度是（）A．9m B．12m C．18m D．24m2．（2026•南充）中国古代思想家庄子在《墨经》中记载了小孔成像实验．图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体AB在幕布上形成倒立的实像A′B′（点A，B的对应点分别是A′，B′），且AB⊥A′B，A′B′⊥A′B，若AB＝10cm，P到A′B的距离PQ＝6cm，则A′B′长为（）A．12cm B．13.5cm C．15cm D．18cm3．（2026•绥化）如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等腰直角三角形，∠A＝90°，OB＝22，将△OAB绕点O顺时针旋转45°后，得到△OA′B′，点A，B的对应点分别是点A′，B′，以原点为位似中心，将△OA′B′放大为原来的3倍后，得到△OA″B″，顶点B′在第一象限对应点B″的坐标是（）A．（6，6） B．（6，2） C．(6，62) 4．（2026•河北）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，过点A作AE∥DC交BC于点E，将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E．B′A，B′E分别与直线DC交于M，N两点，则△MB′N与△ABE的面积之比为（）A．12 B．13 C．145．（2026•内江）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：AB＝1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：96．（2026•攀枝花）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若OP＝OC，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，OC为半径的圆上；②∠APO+∠DCO＝30°；③△POC是等边三角形；④△POA∽△CAO．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2026•云南）如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，记△COD的面积为S1，△AOB的面积为S2．若CDAB=2A．25 B．37 C．498．（2026•苏州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是AB边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作CE的垂线交AD边于点F，则AE+AF的最大值是（）A．218 B．3 C．258 9．（2026•甘肃）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形．若B′（2，0），B（4，0），A'B'=5，则ABA．3 B．25 C．4 D．10．（2026•凉山州）如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F，则下列结论不一定正确的是（）A．AE＝EF B．∠ABA′＝∠CBC′ C．△ABC≌△A′BC′ D．△BCF∽△EC′F11．（2026•重庆）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且CE＝2BE，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，连接BF并延长交CD于点G，连接CF，则△BEF与△CFG的面积之比为（）A．79 B．34 C．5712．（2026•泸州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，若AD＝BC＝BD，则S△BCDA．5−14 B．3−52 C．13．（2026•台湾）如图，△ABC与△ADE中，D点在△ABC外，E点在AB上，∠D＝∠DEA＝∠EAC＝∠C＝65°．若BC上有一点F，AF与直线DE相交于P点，且BF＝5，FC＝8，BE＝6，则AP与AF的长度比为何？（）A．4：5 B．5：6 C．6：7 D．7：8二．填空题（共7小题）14．（2026•吉林）如图，在△ABC中，AC＞AB，点D为边AB上一点，AD＝2，BD＝1．以点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，连接DE．若DE∥BC，则AE＝．15．（2026•广元）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，连接DE，DF，EF，若∠EDF＝90°，AD＝AE，则EF的最小值为．16．（2026•深圳）已知2a+bb=7，则ab17．（2026•眉山）如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝5，BC＝6，则DF的长度是．18．（2026•湖南）如图，A，B，C是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上三个不同的点，AD⊥x轴于点（1）若C在△OAD的外接圆上，且A点的坐标是（4，2），则tan∠OCD＝；（2）设E是线段OA的中点，且BE∥y轴．若BE＝mAD，则m＝．19．（2026•泸州）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点，AF与DE交于点M，BD与AF，MG分别交于点N，P．则NP的长为．20．（2026•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD为△ABC的一条中线，E为AC上一点，∠ADE＝∠B．若AE＝5，CE＝2，则AB＝．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之图形的相似（一）参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）题号1234567891011答案BCACDCCCBAB题号1213答案BD一．选择题（共13小题）1．（2026•贵州）如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m，测得AE＝6m，BE＝18m，则旗杆BC的高度是（）A．9m B．12m C．18m D．24m【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．【答案】B【分析】可证△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆BC的高度．【解答】解：由题意可知：DE⊥AB，BC⊥AB，DE＝3m，AE＝6m，BE＝18m，∴DE∥BC，AB＝AE+BE＝6+18＝24（m），∴△ADE∽△ACB，∴AEAB=DE解得：BC＝12（经检验，是分式方程的解，且符合题意），故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2026•南充）中国古代思想家庄子在《墨经》中记载了小孔成像实验．图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体AB在幕布上形成倒立的实像A′B′（点A，B的对应点分别是A′，B′），且AB⊥A′B，A′B′⊥A′B，若AB＝10cm，P到A′B的距离PQ＝6cm，则A′B′长为（）A．12cm B．13.5cm C．15cm D．18cm【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；应用意识；生活情境．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：物体AB在幕布上形成倒立的实像A′B′（点A、B的对应点分别是A′、B′）．若物体AB的高为10cm，小孔P到地面距离PQ为6cm，∴PQ∥AB，∴△A′PQ∽△A′AB，∴A'QA'B∵PQ∥A′B′，∴△BPQ∽△BB′A′，∴BQBA'则①+②得A'QA'B∴A'BA'B∴PQAB∵AB＝10cm，PQ＝6cm，∴610解得A′B′＝15，∴实像A′B′的高度为15cm．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．3．（2026•绥化）如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等腰直角三角形，∠A＝90°，OB＝22，将△OAB绕点O顺时针旋转45°后，得到△OA′B′，点A，B的对应点分别是点A′，B′，以原点为位似中心，将△OA′B′放大为原来的3倍后，得到△OA″B″，顶点B′在第一象限对应点B″的坐标是（）A．（6，6） B．（6，2） C．(6，62) 【考点】位似变换；勾股定理；等腰直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】A【分析】根据勾股定理求出OA、AB，根据旋转变换求出OA′、A′B′，得出点B′的坐标，再根据位似变换的性质解答．【解答】解：设OA＝AB＝x，由勾股定理得：x2+x2＝（22）2，解得：x＝2（负值舍去），∴OA＝AB＝2，由旋转的性质可知：∠OA′B′＝∠OAB＝90°，OA′＝OA＝2，A′B′＝AB＝2，∴点B′的坐标是（2，2），以原点为位似中心，将△OA′B′放大为原来的3倍后，得到△OA″B″，点B′在第一象限对应点B″的坐标是（2×3，2×3），即（6，6），故选：A．【点评】本题考查的是位似变换、勾股定理、坐标与图形性质﹣旋转，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．4．（2026•河北）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，过点A作AE∥DC交BC于点E，将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E．B′A，B′E分别与直线DC交于M，N两点，则△MB′N与△ABE的面积之比为（）A．12 B．13 C．14【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】先证明四边形AECD为平行四边形得到AD＝CE，则BE＝2CE，再根据折叠的性质得到S△AB′E＝S△ABE，B′E＝BE，∠AEB＝∠AEB′，接着证明∠ENC＝∠C得到NE＝CE，所以B′N＝NE=12B′E，然后证明△B′MN∽△B′AE，根据相似三角形的性质得到S△B'MNS△B'AE=（B'NB'E）2=【解答】解：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE，∵BC＝3AD，即BE+EC＝3AD，∴BE＝2CE，∵△ABE沿AE翻折，得到△AB′E，∴S△AB′E＝S△ABE，B′E＝BE，∠AEB＝∠AEB′，∵AE∥DC，∴∠ENC＝∠AEB′，∠AEB＝∠C，∴∠ENC＝∠C，∴NE＝CE，∴B′E＝BE＝2NE，∴B′N＝NE=12B′∵MN∥AE，∴△B′MN∽△B′AE，∴S△B'MNS△B'AE=（B'NB'E）2＝（∴△MB′N与△ABE的面积之比为14故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示三角形面积之间的关系．也考查了折叠的性质．5．（2026•内江）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：AB＝1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】由DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，而AD：AB＝1：3，则S△ADE【解答】解：∵D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：AB＝1：3，∴S△ADE∴△ADE与△ABC的面积之比为1：9，故选：D．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．6．（2026•攀枝花）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若OP＝OC，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，OC为半径的圆上；②∠APO+∠DCO＝30°；③△POC是等边三角形；④△POA∽△CAO．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】连接OB，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝30°，BD＝CD，即AD垂直平分BC，则根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，于是根据点与圆的位置关系可对①进行判断；根据等腰三角形的性质，由OB＝OC，OB＝OP，∠DCO＝∠DBO，∠APO＝∠ABO，则∠APO+∠DCO＝∠ABD＝30°，从而可对②进行判断；根据圆周角定理得到∠POC＝2∠ABC＝60°，则可判断△OPC为等边三角形，从而可对③进行判断；先计算出∠PAO＝120°，而∠BAD＞∠AOP，所以∠AOC＜120°，则∠PAO＞∠AOC，然后根据相似三角形的判定方法可对④进行判断．【解答】解：连接OB，如图，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB=1∵AD⊥BC，∴BD＝CD，即AD垂直平分BC，∴OB＝OC，∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴点P、C、B在以点O为圆心，OC为半径的圆上，所以①正确；∵OB＝OC，OB＝OP，∴∠DCO＝∠DBO，∠APO＝∠ABO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，所以②正确；∵点P、C、B在以点O为圆心，OC为半径的圆上，∴∠POC＝2∠ABC＝60°，而OP＝OC，∴△OPC为等边三角形，所以③正确；∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD＝60°，∴∠PAO＝180°﹣60°＝120°，∵∠BAD＞∠AOP，即∠AOP＜60°，∴∠AOC＜120°，∴∠PAO＞∠AOC，∴△POA与△CAO不相似，所以④错误．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质和圆周角定理．7．（2026•云南）如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，记△COD的面积为S1，△AOB的面积为S2．若CDAB=2A．25 B．37 C．49【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】先证明△CDO∽△ABO，然后根据相似三角形的性质解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴△CDO∽△ABO，∴S1S2=（CDAB）2＝（故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示两个三角形面积之间的关系或进行几何计算．8．（2026•苏州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是AB边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作CE的垂线交AD边于点F，则AE+AF的最大值是（）A．218 B．3 C．258 【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的性质．【专题】二次函数的应用；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】设AE＝x，AE+AF＝y，由矩形的性质得∠A＝∠B＝90°，因为AB＝3，BC＝2，E是AB边上的动点，所以BE＝3﹣x，因为EF⊥CE交AD于点F，所以∠CEF＝90°，推导出∠AFE＝∠BEC，可证明△AFE∽△BEC，得AFBE=AEBC，则AF=12AE•BE，所以y＝AE+AF＝AE+12AE•BE=−12x2+52x，由y=−12x2+52x=−12（x【解答】解：设AE＝x，AE+AF＝y，∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝2，E是AB边上的动点，∴BE＝3﹣x，∠A＝∠B＝90°，∵EF⊥CE交AD于点F，∴∠CEF＝90°，∵∠AFE+∠AEF＝90°，∠BEC+∠AEF＝90°，∴∠AFE＝∠BEC，∴△AFE∽△BEC，∴AFBE∴AF=AE⋅BEBC=AE⋅BE∴y＝AE+AF＝AE+12AE•BE＝x+12x（3﹣x）=−1∵y=−12x2+52x=−12（∴当x=52时，y的值最大，最大值是∴AE+AF的最大值是258故选：C．【点评】此题重点考查矩形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值等知识，证明△AFE∽△BEC是解题的关键．9．（2026•甘肃）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形．若B′（2，0），B（4，0），A'B'=5，则ABA．3 B．25 C．4 D．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】B【分析】先根据以原点为位似中心的位似图形对应点的坐标之间的关系得到相似比为2：1，然后根据相似多边形的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形，而B′（2，0），B（4，0），∴相似比为2：1，∴AB：A′B′＝2：1，∴AB＝2A′B′＝2×5=2故选：B．【点评】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了坐标与图形性质．10．（2026•凉山州）如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F，则下列结论不一定正确的是（）A．AE＝EF B．∠ABA′＝∠CBC′ C．△ABC≌△A′BC′ D．△BCF∽△EC′F【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定；旋转的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【答案】A【分析】由旋转得∠ABA′＝∠CBC′，△ABC≌△A′BC′，可判断B不符合题意，C不符合题意；由∠BFC＝∠EFC′，∠C＝∠C′，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BCF∽△EC′F，可判断D不符合题意；当AB＝BC，且BC′⊥AC时，设AB交A′C′于点H，连接AC′，而BC′＝BC，则AB＝BC′，所以∠BAC′＝∠BC′A，由∠BAC＝∠C，∠A′C′B＝∠C，推导出∠BAC＝∠A′C′B，进而证明∠EAC′＝∠EC′A，则AE＝C′E，即可由C′E＞EF，证明AE＞EF，通过这个“反例”证明“AE＝EF”这一结论不一定正确，可判断A符合题意，于是得到问题的答案．【解答】解：∵将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，∴∠ABA′＝∠CBC′，△ABC≌△A′BC′，∴故B不符合题意，C不符合题意；∵AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F，∴∠BFC＝∠EFC′，∵∠C＝∠C′，∴△BCF∽△EC′F，故D不符合题意；如图，当AB＝BC，且BC′⊥AC时，设AB交A′C′于点H，连接AC′，∵BC′＝BC，∴AB＝BC′，∴∠BAC′＝∠BC′A，∵∠BAC＝∠C，∠A′C′B＝∠C，∴∠BAC＝∠A′C′B，∴∠BAC′﹣∠BAC＝∠BC′A﹣∠A′C′B，∴∠EAC′＝∠EC′A，∴AE＝C′E，∵C′E＞EF，∴AE＞EF，∴“AE＝EF”这一结论不一定正确，故A符合题意，故选：A．【点评】此题重点考查旋转的性质、相似三角形的判定、垂线段最短等知识，正确理解和应用旋转的性质是解题的关键．11．（2026•重庆）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且CE＝2BE，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，连接BF并延长交CD于点G，连接CF，则△BEF与△CFG的面积之比为（）A．79 B．34 C．57【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】三角形；矩形菱形正方形．【答案】B【分析】设BE＝a（a＞0），则CE＝2a，AD＝CD＝BC＝3a，DE=13a，先得出△ADF∽△DEC，则可得DF的长，再过点F作FM⊥BC于点M，作FN⊥CD于点N，得出△DFN∽△DEC，△BCG∽△BMF，求出FN，FM，CG的长，进而求出△BEF与△【解答】解：设BE＝a（a＞0），∵CE＝2BE，∴CE＝2a，BC＝BE+CE＝3BE＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD＝BC＝3a，∴∠ADF+∠CDE＝90°，DE=C∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，∴∠FAD＝∠CDE，在△ADF和△DEC中，∠FAD=∠CDE∠AFD=∠DCE=90°∴△ADF∽△DEC，∴DFCE=AD解得DF=6如图，过点F作FM⊥BC于点M，作FN⊥CD于点N，∴四边形CMFN是矩形，∴FM＝CN，FN＝CM，FN∥BC，FM∥CD，∴△DFN∽△DEC，∴FNCE=DN解得FN=12a13，∴BM=BC−CM=BC−FN=27a13，又∵FM∥CD，∴△BCG∽△BMF，∴CGMF=BC解得CG=7a∴S△BEF=1∴△BEF与△CFG的面积之比为21a故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．12．（2026•泸州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，若AD＝BC＝BD，则S△BCDA．5−14 B．3−52 C．【考点】黄金分割；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】B【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．【解答】解：由题知，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∵BC＝BD，∴∠C＝∠BDC，∴∠A＝∠CBD＝180°﹣2∠C，∴△ABC∽△BDC，∴ABBD又∵AD＝BD，∴ACAD令AC＝k，则k（k﹣AD）＝AD2，解得AD=−k+∴BCAB∴S△BCDS△ABC=（BC故选：B．【点评】本题主要考查了黄金分割及等腰三角形的性质，熟知黄金分割的定义及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13．（2026•台湾）如图，△ABC与△ADE中，D点在△ABC外，E点在AB上，∠D＝∠DEA＝∠EAC＝∠C＝65°．若BC上有一点F，AF与直线DE相交于P点，且BF＝5，FC＝8，BE＝6，则AP与AF的长度比为何？（）A．4：5 B．5：6 C．6：7 D．7：8【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】设直线DE交BC于点H，由BF＝5，FC＝8，求得BC＝13，由∠D＝∠DEA＝∠EAC＝∠C＝65°，得DH∥AC，AB＝BC＝13，而BE＝6，所以AD＝AE＝AB﹣BE＝7，可证明∠BEH＝∠BHE，则BH＝BE＝6，推导出∠BHE＝∠D，则CH∥AD，所以四边形ACHD是平行四边形，则CH＝AD＝7，求得FH＝BC﹣BF﹣CH＝1，再证明△FPH∽△APD，得FPAP=FHAD=17，则AP＝7FP，所以AF＝AP【解答】解：设直线DE交BC于点H，∵点F在BC上，BF＝5，FC＝8，BE＝6，∴BC＝BF+FC＝5+8＝13，∵D点在△ABC外，E点在AB上，∠D＝∠DEA＝∠EAC＝∠C＝65°，∴DH∥AC，AB＝BC＝13，∴AD＝AE＝AB﹣BE＝13﹣6＝7，∵∠BEH＝∠EAC，∠BHE＝∠C，∴∠BEH＝∠BHE，∴BH＝BE＝6，∵∠BHE＝∠C，∠D＝∠C，∴∠BHE＝∠D，∴CH∥AD，∴四边形ACHD是平行四边形，∴CH＝AD＝7，∴FH＝BC﹣BF﹣CH＝13﹣5﹣7＝1，∵FH∥AD，AF与直线DE相交于P点，∴△FPH∽△APD，∴FPAP∴AP＝7FP，∴AF＝AP+FP＝7FP+FP＝8FP，∴APAF∴AP与AF的长度比为7：8，故选：D．【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出图中的相似三角形是解题的关键．二．填空题（共7小题）14．（2026•吉林）如图，在△ABC中，AC＞AB，点D为边AB上一点，AD＝2，BD＝1．以点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，连接DE．若DE∥BC，则AE＝4．【考点】平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】4．【分析】利用基本作图得到CE＝AD＝2，再根据平行线分线段成比例定理得到ADDB=AE【解答】解：由作法得CE＝AD＝2，∵DE∥BC，∴ADDB即21解得AE＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．15．（2026•广元）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，连接DE，DF，EF，若∠EDF＝90°，AD＝AE，则EF的最小值为655【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】三角形．【答案】65【分析】勾股定理求得AB＝5，设∠BAC＝2α，延长CA至H，使得AH＝AB＝5，则∠H=∠ABH=12∠CAB=α，进而求得sinα=55，取EF的中点G，连接AG，CG，DG，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，三线合一，得出DG＝EG，CG=12EF，可得G点在∠CAB的角平分线上，CG⊥AG时，【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=A设∠BAC＝2α，如图，延长CA至H，使得AH＝AB＝5，则∠H=∠ABH=1∴HC＝AC+AH＝AC+AB＝3+5＝8，HB=B∴sinα=sinH=BC如图，取EF的中点G，连接AG，CG，DG，∴DG＝EG，CG=1又∵AD＝AE，∴AG垂直平分DE，AG是∠CAB的角平分线，∴G点在∠CAB的角平分线上，CG⊥AG时，CG最小，此时EF最小，∴此时CG=ACsinα=3∴EF故答案为：65【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键．16．（2026•深圳）已知2a+bb=7，则ab【考点】比例的性质．【专题】分式；运算能力．【答案】3．【分析】将已知等式拆分变形，整理后即可计算得到ab【解答】解：∵2a+bb∴2ab即2ab∴2ab∴ab故答案为：3．【点评】本题考查的是比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键．17．（2026•眉山）如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝5，BC＝6，则DF的长度是15．【考点】平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】15．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出EF，进而求出DF．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴ABBC=DE解得：EF＝10，∴DF＝DE+EF＝5+10＝15，故答案为：15．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．18．（2026•湖南）如图，A，B，C是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上三个不同的点，AD⊥x轴于点（1）若C在△OAD的外接圆上，且A点的坐标是（4，2），则tan∠OCD＝2；（2）设E是线段OA的中点，且BE∥y轴．若BE＝mAD，则m＝32【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）2；（2）32【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，得∠OCD＝∠OAD，在Rt△OAD中求tan∠OAD即可；（2）连接BE并延长，交x轴于点F，先根据平行关系得出BE∥AD，根据A，B，E三点坐标关系得出BF＝2AD，再根据相似三角形的相似比得出EF=12AD，即可求出【解答】解：（1）∵AD⊥x轴，∴∠ODA＝90°，OD＝4，AD＝2，∵C在△OAD的外接圆上，∠OCD，∠OAD所对圆弧均为OD，∴tan∠OCD＝tan∠OAD=OD故答案为：2；（2）如图，连接BE并延长，交x轴于点F，设A（x1，y1），B（x2，y2），由E是线段OA的中点得E(x∵AD⊥x轴，BE∥y轴，∴AD∥BE，∴B，E两点横坐标相同，∴x12=x2，即x∵A，B都在反比例函数上，∴x1y1＝x2y2＝k，∴y1=12y∵AD∥BE，∴△OEF∽△OAD，∴EFAD∵BF=BE+EF=BE+∴BE=3∴m=3故答案为：32【点评】本题考查了圆的基本性质，反比例函数的性质等，掌握综合知识是解题的关键．19．（2026•泸州）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点，AF与DE交于点M，BD与AF，MG分别交于点N，P．则NP的长为829【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】三角形．【答案】82【分析】根据正方形性质证明△ADE≌△BAF，得出AF⊥DE，等积法求出AM的长，勾股定理求出DM的长，证明△AND∽△FNB，推出DN=23BD，连接BG，易得四边形DEBG为平行四边形，得到BG∥DE，BG=DE=25，证明△DMP∽△BGP，推出DP=4【解答】解∵四边形ABCD是正方形，边长为4，∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD∥BC，∵E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，∴AE＝EB＝BF＝FC＝CG＝GD＝2，在△ADE和△BAF中，AD=AB∠DAE=∠ABF，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，DE＝AF，∴∠ADE+∠DAF＝90°∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝90°，即AF⊥DE，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE=A∵S△ADE∴AM=AD⋅AE∴DM=A∵AD∥BC，∴∠NAD＝∠NFB，∠NDA＝∠NBF，∴△AND∽△FNB，∴DNBN∴DN=2连接BG，∵AB∥CD，BE＝DG＝2，∴四边形DEBG为平行四边形，∴BG∥DE，BG=DE=25∴∠PDM＝∠PBG，∠PMD＝∠PGB，∴△DMP∽△BGP，∴DPBP∴DP=4∴NP=DN−DP=2在Rt△ABD中，BD=A∴NP=2故答案为：82【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．20．（2026•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD为△ABC的一条中线，E为AC上一点，∠ADE＝∠B．若AE＝5，CE＝2，则AB＝7333【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】733【分析】ED和AB的延长线相交于F点，过B点作BH∥AC交EF于H点，如图，∠DBH＝∠C＝90°，先证明△CDE≌△BDH得到CE＝HB＝2，DE＝DH，再证明△FBH∽△FAE，根据相似三角形的性质得到FBFA=FHFE=25，则设FB＝2x，FA＝5x，FH＝4a，FE＝10a，所以AB＝3x，DE＝DH＝3a，接着证明△FBD∽△FDA得到2x：7a＝7a：5x，所以a=107x，DE=3107x，根据勾股定理，在Rt△ABC中得到BC2＝9x2﹣49，则CD2=14（9x2﹣49），然后在Rt△CDE中得到22【解答】解：ED和AB的延长线相交于F点，过B点作BH∥AC交EF于H点，如图，∠DBH＝∠C＝90°，∵AD为△ABC的中线，∴CD＝BD，在△CDE和△BDH中，∠C=∠DBHCD=BD∴△CDE≌△BDH（ASA），∴CE＝HB＝2，DE＝DH，∴BH∥AE，∴△FBH∽△FAE，∴FBFA设FB＝2x，FA＝5x，FH＝4a，FE＝10a，∴AB＝3x，DE＝DH＝3a，∵∠ADE＝∠ABC，而∠ADE＝∠DAF+∠F，∠ABC＝∠BDF+∠F，∴∠BDF＝∠DAF，∵∠BFD＝∠DFA，∴△FBD∽△FDA，即FB：FD＝FD：FA，∴2x：7a＝7a：5x，∴a=107∴DE=310在Rt△ABC中，∵BC2＝AB2﹣AC2＝9x2﹣49，∴CD2=14BC2=14在Rt△CDE中，22+14（9x2﹣49）＝（3107解得x1=7339，x∴AB＝3x=7故答案为：733【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示三之间的关系或进行几何计算．也考查了勾股定理．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．3．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．4．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．6．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．7．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．8．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2−b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．9．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：10．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．11．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．12．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．13．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．14．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．15．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．16．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋